Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи с периодическими точками поворота в комплексной плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ЗАДАЧИ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ТОЧКАМИ ПОВОРОТА В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Турсунов Дилмурат Абдиллажанович,

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры алгебры и геометрии Ошского государственного университета, Республика Кыргызстан, 714000, г. Ош, ул. Ленина, 331. E-mail: [email protected]

При исследовании любой динамической системы особый интерес представляют критические значения ее параметров, при которых происходят качественные изменения свойств стационарных или квазистационарных режимов, т. е. наблюдаются бифуркации. Один из видов бифуркации, при которой нарушается условие асимптотической устойчивости и выполняется предельный переход, появляется в системах, встречающихся в физике лазеров, химической кинетике, пластической деформации, биофизике, в модифицированной системе Циглера, и при моделировании верховых лесных пожаров, безопасных процессов горения с максимальной температурой. В работе, применяя метод стационарной фазы, построена асимптотика решения системы сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими точками поворота в комплексной плоскости при нарушении условия асимптотической устойчивости. Полученная асимптотическая оценка для решения задачи является неулучшаемой.

Ключевые слова:

Асимптотика решения, точка поворота, сингулярное возмущение, асимптотическая устойчивость, линия Стокса, обыкновенное дифференциальное уравнение.

Введение

При исследовании любой динамической системы особый интерес представляют критические значения ее параметров, при которых происходят качественные изменения свойств стационарных или квазистационарных режимов, т. е. наблюдаются бифуркации. Один из видов бифуркации, при которой нарушается условие асимптотической устойчивости и выполняется предельный переход, появляется в системах, встречающихся в физике лазеров [1], химической кинетике [2], пластической деформации [3], биофизике [4, 5], в модифицированной системе Циглера [6], и при моделировании верховых лесных пожаров [7], безопасных процессов горения с максимальной температурой

[8]. В данной работе строится асимптотика решения, в случае нарушения условия асимптотической устойчивости.

Постановка задачи

Рассмотрим задачу

sx (t,s)=A(t)x(t,s)+f(t),

(1)

х(^,е)=х°, (2)

где А(¿) - квадратная матрица-функция второго порядка с элементами аДО; Л0=1/1(0 /2(0}, аДО, /&) - аналитические функции в области Б; хо={х0,х2о} - постоянный вектор, teD, t= ^+^2.

Условие и1. Пусть А (^ - матрица-функция второго порядка, имеет комплексно-сопряженные собственные значения А12(0=81^±1аео8^ 0<а<1, t0= -агсеоя ((1-а)1/2).

Асимптотику решения задачи (1), (2) при условиях и1 построим в области Б при е-^0, которая содержит неустойчивую область.

Систему (1) можно рассматривать как возмущенную по отношению к вырожденной системе

A(t ) x (t ) + f (t ) = 0. (3)

Вырожденная система (3) имеет единственное решение x(t)=-A4(tf(t).

Это решение в области D, а именно в точках t=nk, ±ai, keZ, имеет особенность, так как собственные значения матрицы-функции A(t) в этих точках обращаются в нуль:

Л1(лка)=0, Л2(лк,-а)=0, а = ln

1 + a 1 — a

Поэтому рассматриваемую задачу можно называть бисингулярной [9].

Для приведения А^) к диагональному виду выполняем следующее преобразование ВоШто^Б^),

где

( ап0) ап^ Я

ч. а21 «22 (') ^

A(t) = I ^ t

В ) = (Х1({) - "22 О) А2 О) - «22 ОЛ

I «21(0 *21«) )’

Б(^=^ (А^ШО).

Пусть в области Б выполняется неравенство det Во(0*°.

Задача (1), (2) с заменой х(^е)=В0(%(^£) принимает вид:

£у'(^е)=Б^) у^,с)+В) у^,с)+Н^), (4)

(5)

где

y(to,s)=y°,

B(t) = — B—1(t)B0(t), y0 = B—1-(t0)x0,

Н(1) = В0-1(?)/(().

Задачу Коши для дифференциальных уравнений (4), (5) заменим интегральным уравнением:

Ж,е) = E (t, to, е) .у0 +

+ Je(t, т, е) ("В(т)у(т, е) + - h(T) 1 dr,

(6)

Г1V ^

где E (t, т, е) = exp |^— J D s)dsj .

Если обозначить у(^е)=2^,е)/е, то (6) примет вид:

2(/, е) = еЕ (г, ?0, е) .у0 +

г

+1Е (г, т, е)( В(т) z(т, е) + Л(т)) йт.

г0

Теорема 1. Если для интеграла

г

| Е (г, т, е) й(т)йт

г0

в некоторой области Б справедлива оценка

J E (t, т, е)Н(т) dr

< с5(е),

По условию теоремы

t

J E (t, т, е)й(т)кт

< сй(е)

и е<$(а)<1. Тогда для первого приближения имеем:

||zi(t,е)Ц < |e(t,to,е)7°|е-

t

J E( t, т, е) й(т) dт

< с5(е).

Оценим второе приближение

К0,е)|| < k(t> е)| +

J E (t, т, е) В(т) г1(т, е)кт

< с5(е) +(с5(е))2

Для n-го приближения справедлива оценка ||zB (t, е)|| < с<5(е) + (с<5(е))2 +... + (с<5(е)) ”.

Действительно, применим метод математической индукции. При п=1 мы уже доказали верность. Пусть п=к:

\гк (г, е)|| < с«5(е) + (с«5(е))2 +... + (с«5(е))к.

Для (к+1)-го приближения имеем:

1к+1^,е)|| < к(Л е)| +

Je( t, т, е) В( т) z (т, е) кт

(7)

(8)

s < c5(s) < 1, lim 5(s) = 0,

s——0

то для решения систем интегральных уравнений (7) справедлива оценка

||z(t,s)||<c5(s).

Доказательство. Воспользуемся методом последовательных приближений:

Пусть z0(t,s)=0,

zB (t,s) = sE (t, to, s) y0 +

t

+ J E (t, t, s)( B( t) zB_i ( t, s) + h( t)) d т.

t0

Тогда

t

z1(t,s) = sE (t, t0, s) У + JE( t, t, s) h(T) dT.

t0

t

z„(t, s) = zi(t, s) + JE(t, t, s)B(t)zB_i(t, s)dT.

< с5(е) + с5(е)(с5(е) + (с<5(е))2 +... + (с<5(е))*). Отсюда и получаем

||z*+i(t, е)| < с5(е) + (е8(е))2 +... + (с5(е)) *+'.

Последовательные приближения равномерно ограничены

VneN: ||г„(£,е)||<с5(е).

Рассмотрим ряд

||2„(£,е)||=||21(£,е)||+(||22(£,е)||-||21(£,е)||)+(||23(£,е)||-||22(£,е)|)+ + ...+(|К (£)е)||-||2„_1(£,е)||),

так как

||2^,е)||<с5(е)<1, (||22(£,е)||-||21(£,е)||)<(с5(е))2<1, (||23(£,е)||-||22(£,е)||)<(с5(е))3<1,...(||2„(£,е)||-||2„-1(£,е)||)< <(с5(е))"<1,

то в рассматриваемой области последовательность {2n(t,é}} является сходящейся и имеет предел 2(t,é):

||2„(£,е)||<с5(е)(1-(с5(е))"+1)/(1-с5(е)), при получим

||2(t, е)||<С^(е).

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь собственные значения A12(t)=sint±íacost, при 0<а<1.

Отсюда

Re(A1(t))=Re(A2(t))=sint, Re(A12(t))<0, при -n+2nk<t<2nk,

Re(A12(t))>0, при 2nk<t<n+2nk, Re(A12(t))=0, при t=nk, keZ.

Если t=t1+ít2, то A1(t1,t2)=sint1(cht2+asht2)+ícost1(sht2+acht2), A2(t1,t2)=sint1(cht2-asht2)+ícost1(sht2-acht2).

Из систем

[sin t1(cht2 + asht2) = 0, [sin t1(cht2 - asht2) = 0,

[eos t1(sht2 + acht2) = 0, [cos t1(sht2 - acht2) = 0

находим нули A1(t1,t2) и A2(t1,t2) в комплексной плоскости:

t1 = nk, k e Z,

sin t1 = 0, sht2 + acht2 = 0,

t2 = -a, a = ln

1 + a

> 0,

V 1 - a

I sin t = 0, 111 = nk, k eZ,

[sht2 - acht2 = 0, [t2 = a,

т. е. (nk,-a) и (nk,a) kEZ являются нулями собственных значений A1(í1,í2) и A2(íi,í2) соответственно. Заметим, что ImA1(í1,í2)>0, ImA2(í1,í2)<0, при

ti<to|, W<a.

Рассмотрим теперь функции

иДО = |А1(г)йг, и2(г) = |А2(г)йг.

Если t=t1+it2, то

и^Л)—и^о,0)=

=-со8^(сЫ2+а8Ы2)+г8т^(8^2+асЫ2)+^1-а2,

и2^1,^)—и2^0,0)= =-еost1(еht2-аsht2)+гsint1(аеht2-sht2)+Vl-а2• Пусть

Ull(tl,t2)=Re(Ul(tl,t2)—Ul(tо , 0))=

=-со8^(сЫ2+а8Ы2)+^1-а2, и21^1^2^е(и2^1^2)-и2(^,0))=

=—еost1(еht2—asht2)+Vl—а2. Приступаем к построению области Б: D={(t1,t2):u1l(íl,t2)<0, и21(^^2)<0,У<а}.

Из равенств u11(t1,t2)=0, u21(t1,t2)=0 имеем: —еost1(еht2+asht2)+Vl—a2=0^t2=ф1(t1), ^=%(^),

—еost1(еht2—asht2)+Vl—a2=0^t2=—ф1(t1), ^=—%(^), где

( /Т—

п г,

—+—

4 2

. . . ( Д - а (п г. ^

^2(г1) =1п |^/т—*ё I

1 + <

4 2

и1(г) = е е

г0

и1<т)

е е й1(т)йт,

(9)

в области Б справедлива оценка

|/з(г,е)| < сОш(г, е),

где

u1(t)=—еost1(еht2+asht2)+гsmt1(sht2+aеht2)+еost0, еost0=Vl—а2,

Оз1(г,е) =

е, при г е Н0, е1-7, при г е Н1, те ,при г ен2,

при Л1(0,-а) ^ 0,

Функция t2=ф1(t1) монотонно возрастает, а функция t2=ф2(t1) монотонно убывает при t6[tо,-tо]. Эти две функций t2=фl(t1), t2=ф2(t1) пересекаются в точке (0,-а).

В окрестности точки (0,-а) функция иц(^Л)=0 делит плоскость на четыре равных сектора, в которых знак функций ип(^,^)=0 чередуется. Аналогично в окрестности точки (0,-а) функция и21(^,^)=0 делит плоскость на четыре равных сектора. Обе функции отрицательны в секторе, который содержит действительную ось О^. Из пересечений секторов мы получаем криволинейный четырехугольник. Следовательно, область Б является криволинейным четырехугольником с вершинами А(^,0), В(0,-а), С(-^,0) и Б(0,а). Перейдем к оценке интеграла (8):

Теорема 2. Для интеграла

и1(г) ‘ и1(т)

/3(г, е) = е е [е е А1(т)йт =

031(^е)=е, при й1(0,—а)= 0, Hоо={t:u11(t1,t2)<0, и2х(*1,*2)<0, ^<— 8, 8<^1+1 (#2+а)|};

И01={^и21(^,^)<0, —8<t1, U11(t1,t2)<(еlnе)/2, 82<^1+г (t2+а)|};

И10={^иП(^,^)<0, —а<t2, |t1+г(t2+а)|=е2r82,

—е'с^1<81(е)}; Н11={^:и11(^1,^2)=(1/2-у)е1пе,

81(е)<t1<—t0+c(1/2—7)е1пе};

И2о={^иП(^^2)<0, —а< t2, |^+г^2+а)|<е82};

Н21={^—се<иП(^,^)<0, и21(*1,*2)<0, се/2<^ 1, t2>—а};

И0=И00^И01, И1=И10^И11, И2=И20^И21, Б=И0иИ1иИ2.

8- достаточное малое число, 0<7<1/2.

Лемма 1. Если tеИ00, то для интеграла (9) справедлива оценка

|/з(г,е)| < се. (10)

Доказательство. Путь интегрирование состоит из отрезка прямой, соединяющей точки (^,0) и (^,^), уравнение прямой имеет вид т2=(т-^)(^-^)Д2, при этом t0<т1<t1. Так как в области И00 интеграл не имеет особенностей, то воспользуемся правилом интегрирования по частям:

<1<т1,Д ОО)

/з(г,е) = е е |е е ¿1^1,5(Т1))йТ1 =

. ^ 'V И1(т1) , -= еке е I—1—1— йе

I-ат ( ¿1(г1) + ¿1 (г0) еи

1(т1)

(г)-

= ек

-А(г1) -А(г0)

Л (-¿^Яе-

I ^-АДт))

1(т1)

йт1

где

к=1+г(^—^)^, Ul(Tl)=—еosTl(еh((Tl—tо)(tl—tо)/t2)+ +ash ((т1—tо)(tl—tо)/t2))+isinTl(sh((Tl—tо)(tl—tо)/t2)+ +aеh ((т1—tо)(tl—tо)/t2))+еostо,

А тНтт1(еМ( Tl-tо)(tl—tо)/t2)+

+ash ((т1—tо)(tl—tо)/t2))+iеosтl(sh((тl—tо)(tl—tо)/t2)+ +ach ((т1—tо)(t1—tо)/t2))•

Так как

Re(Аl(Tl))=sinTl(еh((Tl—tо)(tl—tо)/t2)+

+ash((Tl—tо)(t1—tо)/t2))<0

при т1<0 в области Б, то функция Re (и1(т1)) убывает при t0<т1<t1<-8<0, и

кз(г,е) <ес ¡А^ < се.

IА1 (г1, 2 ) |

I

Лемма 2. Если tеИ10, то для интеграла (9) справедлива оценка

\й(е1^7), при А1(0,-а) ф 0,

|J,£)| =

О(е), при hj(0,-а) = 0,

0<7<1/2. (11)

Доказательство вытекает из леммы 1, при

8=сег.

Лемма 3. Если tеИ20, то для интеграла (9) справедлива оценка

\ ^ = ¡0 (7ю, при А1(0,-а) ф 0,

3 , ¡0()е, при А1(0, -а) = 0. (12)

Доказательство. Путь интегрирование состоит из двух частей: 11 - линии Стокса, т2=^2(т1), t0<т1<0,

( 11 - а ( п тЛ^

1 + а*ё 14 2.

м1(т1,ф2(т1)) = «тт^Ьф^т) + аоЬф2(т1)) =

= г б1пт1((1 + а)е^2<т1) + (1 + а) е-^2<т1))/2 =

где Ф2Т1) = 1п 1^/т-rtg[~-~J I, при этом

= _ [ ,g (£+i J _ ctg (£ + -^1]| sin .i =

d т2 = cp'2(T1)d т1 = -

dz1

= z-v/1 - а2tgr1sinr1,

1 dr1

2tg [П- 2Jcos2 If-1

dr1

, COST1 Ф 0, T1 e[to,0].

12 - отрезок, соединяющий точки (0,-а) и (t1,t2), уравнение прямой имеет вид т=^(т2+а)/(^+а),

а = ln

где

1 + а 1 — а

J3(t, е) j31(t, е) + j32(', е),

U1(t) 0 iS(Т1) ( z |

j31(A е) = e " \e £ h1(T1,^2(T1)) I1---------------I dT1,

,0 ^ cosT1J

j'32^ e) =

“1(t) '2 ^ОО;),?;)

= e е [e е Л1(^(т2),т2)('1/('2 +а) + z)dr2,

— a

S(T1)=Vl-a2-a2sinr1, ^(T2)=i1(r2+a)/(i2+a). Рассмотрим функцию S(r1):

S(0)=0, S(r1)^0 при r16[i0,0), |i0|<n/2;

S ,(t1) = V1 - a2 sin t1 (^ +1], S'(0)=0.

^ cos T1 J

. r. 2( ( 1 Л 2sin2

S "(t) = V1 - a Icos T11---------— +1|------------r-L I,

^ ^ cos t1 J cos t1 J

S "(0) = 2>/1 - a2 > 0.

Из леммы 1 имеем

7зи(t, —

ui(t)-s. -‘S<Ii) ( i ^

— e e je e hi(Ti,^2(Ti))I1----------------Id%i = °(s).

,0 ^ costi )

В окрестности точки перевала (0,-a) применяем метод стационарной фазы.

ui(t) 0 ( i ^

Уз12(,,е) — e e fe e hi(T,^2(T))I1--------------1 dT —

J V cost1 )

Пе h1(0)e-2 S "(0) 1

<1(')+

+ O (е).

^з2(t,е)=0(е), при Й1(0,-а)=0; ^з2(t,е)=O(Vе), при й1(0,-а)ф0.

Объединяя оценки 7311^е), ]312^,е), получим оценку для интеграла ]31^,е):

[0(е),при А1(0,-а) = 0, у31 (г, е) = < _

[0(л/е), при А1(0,-а) ф 0.

Для интеграла ]32^,е) в окрестности точки перевала (0,-а) функцию и1(^(т2),т2) заменяем функцией и1(^(т2),т2)—к(т2+а)2, к=и"(^(-а),-а)/2, а функцию Л^2) разлагаем в ряд Тейлора в окрестности t2=-a. Получим:

Уз2(', е) =

-к(г2+а)2 к(т2+а)2 (А10 + (т2 + а)А11 +^1

ч+0((т2 + а)2)

= ce

í e е I 10 ' 2 ; 11 I dT2 =

-a l+O((T2 + a)2) 1 2

= с^еНю + сеНц + O(е ).

Отсюда

[0(е),при А1(0,-а) = 0,

^'32( , ) |^0^л/ё),при А(0,-а) ф 0.

Следовательно,

|к3(г, е)| = |Уз1(', е)| + 7з2(', е)| _

[0(е),при А1(0, -а) = 0,

[0(>/ё),при А1(0, -а) ф 0.

Лемма 4. Если tеИ00, то для интеграла (9) справедлива оценка (10).

Доказательство. Путь интегрирование состоит из двух частей: 11 - линии Стокса т2=^2(т1), ^<т<0,

. . . ( /1 - а (п тЛ^ ,

где ^2(т1) = 1п1+а1ё[4 - ; г2 - отрезок, со-

единяющий точки (0,-а) и (^,^), уравнение прямой имеет вид т1^1(т2+а)/^2+а), а = 1п.Г + а. Из

V1 - а

(9) имеем

J3 (', е)

urn0

-- /О е

i(^) u i(t) ' u iO

— e b j e £ A()TdT + e £ j e £ hi(r)dr.

г0 +i 0 0-iQ

Из леммы 3 для первого интеграла имеем оценку,

1(г)0-а и1(т)

е е [ е е А1(т)йт

г0 +г0

< се.

1 ^ _ (т2+ а) и11(г2 ) г2 (г2 т2 )и11 (г2 )

йт2 < с | е

< се е I е °2+а)2 е Отсюда

г И1(т)

е е | е е А1(т)йт

0-га

Следовательно,

(г 2 +а)е

йт

< се.

к3(', е)| <

<! (г )0-'а “тМ

г0 +'п

< се.

имеет вид т1^1(т2+а)/^2+а), а = 1п

1 + а 1 - а

Из (9) имеем

И|(') 0-'а “.(т)

к3(г,е) = е е | е е АТ(т)йт +

г0 +' 0

Ит(') г И1(т)

+е е [ е е АТ(т)йт.

Из леммы 3 для первого интеграла имеем оценку [0(е),при Ат(0,-а) = 0, [0(л/е),при Ат(0, -а) ф 0.

от 0-а и, (т)

е ‘ I е ‘ АТ(т)йт

^+' 0

{

0 +' 0 Пусть

Ит(') г И1(т)

733(г, е) = е е I е е А,(т)йт.

При т1=t1(т2+а)/(t2+а) справедливо неравенство:

ицт^т+аУщ^/^+аУ^иц^), где u11(т)=-еos (t1(т2+a)/(t2+a))(еhт2+ashт2)+еost0, так как функция 0>ип(т2)>ип(^) и 1/(т2+а)> >1/(^+а), то отсюда и следует неравенство ип( т2)>( т2+а)2ип^)/^2+а)2.

г) г и.рт

Рассмотрим функцию

u1(t)=—еost1(еht2+asht2)+гsint1(sht2+aеht2)+Vl—a2, в области tеИ21, -с<е-еost|(еht2+asht2)+Vl—a2<0 т. е. -еost1(еht2+asht2)+VІ-a2=O(е).

Тогда

'ц12(' ) г2

¿Ж 0(1)е " 1е " А1(т2)йт2 =

.«12 (г) -а+8 .м,2 (тз)

= 0(1)е е | е е А1(т2)йт2 +

+е

А1(т2)йт2.

Для первого интеграла применяем метод стационарной фазы, а второй интеграл интегрируем по частям. Получим оценку:

|7зз(',£)| = 0 (л/ёХА10 + л/ёАП + 0 (е» +0 (е).

Следовательно,

[0^), при АД0, -а) ф 0,

|0(е), при Ат(0,-а) = 0.

Из лемм 1-6 вытекает доказательство теоремы 2. Теорема 3. Для интеграла

и2(г) г и2(т) и2) и 2(т)

•/3(г,е) = е е |е е А2(т)йт = е е |е

|к3(г ,е)| =

А2(0'

Лемма 5. Если tеИ11, то для интеграла (9) справедлива оценка (11).

Доказательство вытекает из леммы 4, при

8=сег.

Лемма 6. Если tеИ21, то для интеграла (9) справедлива оценка (12).

Доказательство. Путь интегрирование состоит из двух частей: 11 - линии Стокса т2=^2(т1), ^<т<0,

. . . ( 11 - а (п тЛ^ ,

где ^2 (т1) = 1п 1+а'я [4 - ); 12 - отрезок, сое-

диняющий точки (0,-а) и (^,^), уравнение прямой

в области Б справедлива оценка

|к3 (г, е)| < с0 131 (г, е),

где ul(t)= -costl(cht2-asht2)+¿sintl(sht2-acht2)+cost0,

0 131(г, е) _

еost0=Vi—а2, если й2(0,а)ф0, то

е, при г е Я0, е17, при г е Ят, уе ,при г ея2.

Если й2(0,а)=0, то 0131(^е)=е, 0<7<1/2,

а = 1п.Г + а, Я0, Д, Й2 симметричны относитель-1-а

но действительной оси областям Н0, Н1, Н2 соответственно. Б=Н0иН1иН2.

При доказательстве теоремы 2 путь интегрирования Ь берется симметрично Ь относительно действительной оси. Вычисляются точно такие же интегралы, которые были вычислены при доказательствах лемм 1-6.

Следовательно, при й1(0,-а)ф0, й2(0,а)ф0 имеем:

V (V V V А(т) ^

Iй'аяI )А1 (5)й5, |Аз(5)й5 И а (т)'

г0 1 г0 г0 ' 2

где

< сО,32 (е, г),

0,32 (е, 0

е, при г е Н0 п НН0,

е1-7, при г ея, и ят, гт < -г0 + (1/2 - у)е1п е, те , при г е Я2 и я2, 0 <7< 1/2

а при ftj(0,-a)=0 и ft2(0,a)=0,

t (t t ^ (h (т)Л

Jdag I jX(s)ds, Ja2(s)ds I |^ , ) '

t0 110 t0 j 2

< cs.

Отсюда, учитывая теорему 1, для решения систем интегрального уравнения (7) имеем:

||Ж е)|| < сОш(є, ґ),

при выполнении условий

(

Ui, h 10,—in

1 + 1 -

л (

-j ф 0, h210, in

1 + . 1 -,

ф 0;

и ||z(t,s)||<cs при выполнении условий

U1, h10,-lnJ^V 0, h,(0,l^/1+ai = 0.

1 -

-j=0, a ! с

1 -,

Отсюда мы получаем справедливость следующих теорем.

Теорема 4. Пусть выполняются условия

„(_ . 11 + а ^ „(„ , 11 + а ^

U1, /I 0, - in

1 -

-j ф 0, /10,ln

1 -,

ф 0.

где

Тогда задача (1), (2) имеет единственное решение и для него справедлива оценка

||х(г,е)| < сОш(', е),

°133(г,е)

1, при г е я0 п я0,

е~7, при г е я, и ят, г, < -г0 + (1/2 - у)е1п е, е~1/2,при г еЯ2 иЯ2, 0 < 7 < 1/2.

Теорема 5. Пусть выполняются условия у (л 1 /1 + а ^ ( /1+а"^

°1,/ [°,- “чт-а Г0,/ (^“чт-а Г°.

Тогда задача (1), (2) имеет единственное решение и для него справедлива оценка

||х(', е)|| < с.

Заключение

Из теорем 4, 5 следует, что асимптотическое поведение решения задачи (1), (2) существенно зависит от неоднородной части уравнения (1), т. е. от /^). Построен главный член асимптотики решения сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с четырьмя периодическими точками поворота при нарушении условия асимптотической устойчивости. Полученная асимптотическая оценка для решения рассмотренной задачи является неулучшаемой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Erneux T., Mandel P. Stationary, harmonic and pulsed operations of an optically bistable laser with saturable absorber. II // Phys. Rev. A. - 1984. - V. 30. - № 4. - P. 1902-1909.

2. Tsotsis T.T., Sane R.C. Lindstrom T.H. The bifurcation behavior of a catalytic reaction system due to a slowly-varying control parameter. I // AIChE. - 1987. - V. 34. - P. 383-388.

3. Семенов М.Е., Колупаева С.Н., Рожнов А.И. Математическое моделирование процессов пластической деформации ГЦК материалов в условиях изменяющейся скорости деформирования // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2011. - № 3. -C. 100-117.

4. Baer S.M., Erneux T., Rinzel J. The slow passage through a Hopf bifurcation: delay, memory effects and resonance // SIAM J. Appl. Math. - 1989. - V. 49. - № 1. - P. 55-71.

5. Su J. On delayed oscillation in nonspatially uniform Fitz Hugh Nagumo equation // J. deff. Equations. - 1994. - V. 110. -№1.- P. 38-52.

6. Neishtadt A.I., Sidorenko V.V. Stability loss delay in a Ziegler system // J. App. MathsMechs. - 1997. - V. 61. - № 1. - P. 15-25.

7. Гришин А.М., Зеленский Е.Е. Апериодическая неустойчивость фронта верхового лесного пожара // Физика горения и взрывов. - 1998. - Т. 34. - № 5. - С. 23-28.

8. Щепакина Е.А. Сингулярные возмущения в задаче моделирования безопасных режимов горения // Математическое моделирование. - 2003. - Т. 15. - № 8. - С. 113-117.

9. Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 248 с.

Поступила 16.10.2013 г.

UDC 517.928

ASYMPTOTICS OF SOLUTION OF SINGULARLY PERTURBED PROBLEM WITH PERIODIC TURNING POINTS IN COMPLEX PLANE

Dilmurat A. Tursunov,

Cand. Sc., Osh State University, Kyrgyz Republic, 723500, Osh, Lenin street, 331. E-mail: [email protected]

When studying any dynamical system the critical values of its parameters are of special interest. Properties of stationary or quasi-sta-tionary regimes change fundamentally, i.e. the bifurcation is observed. One type of bifurcation, when asymptotic stability condition is disturbed and limiting process is carried out, appears in the systems occurring in laser physics, chemical kinetics, plastic deformation, biophysics, in the modified Ziegler system, and when modeling the crown forest fire and safe combustion with maximum temperature. Using the stationary phase method the author has constructed the asymptotic for solving singularly perturbed ordinary differential equations with periodic turning points in the complex plane when the condition of asymptotic stability is disturbed. The obtained asymptotic estimation for solving the problem is not the improved one.

Key words:

Solution asymptotic, turning point, singularly perturbation, asymptotic stability, Stokes line, ordinary differential equation.

REFERENCES

1. Erneux T., Mandel P. Stationary, harmonic and pulsed operations of an optically bistable laser with saturable absorber. II. Phys. Rev. A., 1984, vol. 30, no. 4, pp. 1902-1909.

2. Tsotsis T.T., Sane R.C. Lindstrom T.H. The bifurcation behavior of a catalytic reaction system due to a slowly-varying control parameter. I. AlChE, 1987, vol. 34, pp. 383-388.

3. Semenov M.E., Kolupaeva S.N., Rozhnov A.I. Matematicheskoe modelirovanie protsessov plasticheskoy deformatsii GCK materi-alov v usloviyakh izmenyayushcheysya skorosti deformirovaniya [Mathematical modeling of plastic deformation of GCK materials under varying strain rate]. Bulletin of the Perm National Research Polytechnic University. Mechanics, 2011, no. 3, pp. 100-117.

4. Baer S.M., Erneux T., Rinzel J. The slow passage through a Hopf bifurcation: delay, memory effects and resonance. SIAM JAppl. Math., 1989, vol. 49, no. 1, pp. 55-71.

5. Su J. On delayed oscillation in nonspatially uniform Fitz Hugh Nagumo equation. J. deff. Equations, 1994, vol. 110, no. 1, pp. 38-52.

6. Neishtadt A.I., Sidorenko V.V. Stability loss delay in a Ziegler system. J. App. MathsMechs., 1997, vol. 61, no. 1, pp. 15-25.

7. Grishin A.M., Zelenskiy E.E. Aperiodicheskaya neustoychivost fronta verkhovogo lesnogo pozhara [Aperiodic instability in front crown forest fire]. Physics of combustion and explosions, 1998, vol. 34, no. 5, pp. 23-28.

8. Shchepakina E.A. Singulyarnye vozmushheniya v zadache mode-lirovaniya bezopasnykh rezhimov goreniya [Singular perturbations in the problem of safe combustion regimes]. Mathematical modeling, 2003, vol. 15, no. 8, pp. 113-117.

9. Ilin A.M., Danilin A.R. Asimptoticheskie metody v analize [Asymptotic methods in analysis]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009. 248 p.