Асимптотическое решение задачи об обтекании волнистой поверхности плоским потоком вязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м III 197 2

№ 2

УДК 532.526.533.644.71/72.532.526-3

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ВОЛНИСТОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКИМ ПОТОКОМ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

А. В. Зубцов, В. И. Пономарев

Исследуется обтекание профиля, имеющего волнистый контур, потоком вязкой несжимаемой жидкости при 1?е > 1. Рассматривается случай, когда Ь0 > X > 8 > Л (Ь0—длина хорды профиля, 2лА. — длина волны, Л — амплитуда волны, В — толщина пограничного слоя). Возмущения, вызванные волнистостью поверхности, определяются из решения линеаризованных уравнений Навье — Стокса. Решение этих уравнений найдено приближенно, методом внешних и внутренних асимптотических разложений по малым параметрам, зависящих от величины X = А/&0 и числа Рейнольдса. Найденное решение используется для оценки влияния, которое оказывает волнистость поверхности на устойчивость плоского пограничного слоя.

При обтекании крыла потоком вязкой жидкости при Яе > 1 течение в пограничном слое, как правило, является турбулентным. Одним из способов искусственной ламинаризации потока является отсос воздуха из пограничного слоя. При технологическом изготовлении проницаемой поверхности крыла на ней может образоваться волнистость большой частоты, поэтому представляет практический интерес исследование влияния волнистости поверхности на течение жидкости в пограничном слое.

Будем полагать, что решение задачи о плоском обтекании тела потоком вязкой несжимаемой жидкости при Ие > 1 известно

^°'^° , У0 — скорость потока на бесконечности, Ь0 — характерный размер тела) и решение это таково, что течение в пристеночной зоне с толщиной —\lVRe приближенно описывается уравнениями Прандтля, а в остальной области — уравнениями Эйлера. Введем криволинейную систему координат, связанную с контуром тела. Проведем в точках контура С нормали к С; пусть нормаль, проходящая через произвольную точку М, лежащую вблизи контура С, пересекает этот контур в точке N. Выбрав

на контуре С определенную точку О за начало отсчета дуг, будем определять положение точки М координатами х — slb0, у = ti/b0, где s и п есть длины дуг кривой ON и отрезка нормали NM. Далее положим, что на заданный контур тела j/ = 0 наложены возмущения по закону

•y=yW=Flism“- (l)

Найдем решение задачи об обтекании жидкостью нового контура (I) в предположении, что параметры e, X, Re подчиняются следующим условиям:

• «I, КО, ®2 тттёг"« I•

X У Re

Через величины V0u и V0v обозначим составляющие полной скорости по осям х и у, а через $Vlp — давление. Решение поставленной задачи будем искать в виде степенных рядов по малому параметру е

СО ОО СО

и e*Mft (х, t, к, е2); V = Ya &k vk (х, t, х, s2); p =£ tkpk (x, t, X, e2) (2)

* = 0 A=0 ft-0

при следующих граничных условиях:

u3 = 0, un—v0(x, Re) при ^ = 0; (3)

—►

u -* V0/V0 при t -> oo, (4)

где t—y—y(x)\ us, uN—составляющие полной скорости, направленные соответственно по касательной и по нормали к контуру

~ V<>(x)

у—у(х); величина v0(x, Re) = —7^=---------скорость отсоса.

V Re

Очевидно, функции и0, v0, ра определяют невозмущенное течение и, следовательно, их можно считать известными. Подставляя выражения (2) в уравнения Навье — Стокса и собирая члены при е, получим неоднородные линейные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции «„ vu pv Из соотношений (3), (4) следуют граничные условия для функций иь vx\

г/, = 0, «1 = — е2 v0 cos ~—0(е|Х) при ^ = 0; (5)

Ui 0, vx -* 0 при t-* оо. (6)

Уравнения для функций щ, vlt рь записанные в координатах (л:, t), имеют достаточно громоздкий вид, однако их можно существенно упростить при условии, что Х<^1, е2<1. Прежде чем проделать необходимые упрощения, отметим, что в рассматриваемой задаче в направлении s имеются два различных масштаба длин—длина хорды и длина волны. Следуя методу многих масштабов [1], введем в направлении s две независимых переменных

5 S X

х — -г—, и будем далее считать, что решение для uu

6 о к X

рг зависит от трех координат л:, £. Рассмотрим течение в пристеночной зоне, толщина которой —5 (0<

В этой области, которую назовем областью 2, решение для ии ъи рг будем искать в виде

II, = и>1 (.£, £, У2, £2)) ^1 “ £2 [^1 У21 °2^ ""Ь" «О (*^> У%) соэ £],

Р\—Р\(Х1 У2» Ч)>

где

Линеаризованные уравнения Навье — Стокса в переменных (х, Е, у2) примут вид

н0 (х, у2) и'к + ъх «о (х, у2) = - р[ 6 + О (Х^) + О (Хв2); (7)

Р\уа — О (з1 И1) + О (Хе2 их) О (Хе2); (8)

+ = о (ХЙ1). (9)

Решение в зоне 3, лежащей вне пограничного слоя, предста-

вим в виде

»!•=«!(*, 5, л, X, е2), vl — v^^xt I, у,, X, 8|), р1=рх(х, 5, у„ X, е2), где _у3=*/Х.

Можно показать, что в области 3 линеаризованные уравнения Навье — Стокса в переменных (л:, $, у3) принимают вид:

«о«+ о (Хи,) + о (Хе2), и0 , г»;е = — р[ Уз + 0(Х«1) —1~0(Хе2); (10)

+ «« = 0 (^1) + ° (Ю- С11)

где и0е(х) — значение скорости в невозмущенном пограничном слое при у2 -* оо.

Из уравнений (7) — (11) следует, что как вне, так и внутри пограничного слоя функции ии рх удовлетворяют с точностью до членов —0(Хй!) + 0{в\их) + 0(Хз2) невязким уравнениям движения. Порядок этих уравнений ниже порядка исходных линеаризованных уравнений Навье — Стокса, и следует ожидать, что их общее решение не может удовлетворить граничным условиям задачи. Поэтому необходимо ввести в рассмотрение узкую пристеночную зону — зону 1, где старшие производные в линеаризованных уравнениях Навье —Стокса сохраняются, т. е. где вязкие члены сравнимы с инерционными. Однако чтобы сделать более простым построение решения в зоне 1, найдем вначале решение в зонах 2 и 3.

Решение уравнений (7)— (11) представим в виде суперпозиции 8т£ и соэ£ с коэффициентами, являющимися функциями от координат £, х и параметров X и е2. Нетрудно проверить, что решения систем уравнений (7) — (11), удовлетворяющие условиям асимптотического сращивания [1] при г2 0 и условию затухания возмущений при t -» оо, можно представить в следующем виде:

1>г, з = ®2 {[соб| + г2 (авт^ + Ьсоз I)] и0е (л:) е~У> + О (е|) -{-О (X)}; И1. з = е2 {[з1п £ + е2 {Ь вШ \ — а соэ £)] н0 е (л:) е~У• + О (г|) + О (X)};

1,2 = е2 |(й э!!! 1 + 6 СОБI) к0 (л:, ^2) +

VI,

+ м0 (*» л)

I

Уз

«о

С05£+-0(г2)Н-0(Х) ; (12)

«1,2 == г2 (—Ь БШ $ + а СОБ $) и' (х, _у2)

о*. л) (|

2

«о<

.У*

2

Н0

1 йу-уг) —

2 П

Цр<

Щ 1

Ц, (13)

где второй индекс при функциях и, V означает номер области, в которой справедливо решение; коэффициенты а и Ь являются величинами, зависящими от параметра X.

Интеграл, входящий в формулы (12), (13), определяет особенность в поведении решения в зоне 2 при _у2 -*• 0. После интегрирования по частям этот интеграл можно представить в виде

СО

I

Уа

^_1 )йу=-* + Ф1{у2), Мо

где

^(-ф—1 Но

1п у йу;

ф1=——ф2 (У2) 1пу2 + у2(1пу2 — 1) ф2 (у2)

У 2

У2

У*

1пу2 — ^ Фз (у2) + 1(1п-У —§-) ф2У <у;

Ф,=|-^

Но

11У2.

При малых значениях у2 величина Ф, (у2) имеет следующее асимптотическое разложение:

2

Ф

1

1 *5

1 . СС2 , СС«

л + «Г

Т7-5г—^л + осА

, (И)

^(0 «о.

где аЛ (*)=- и°е

и предполагается, что а! (л;) > 0.

у з=0

Из разложения (14) и формулы (13) следует, что иг, 2 -» со при

_у2->0( Н1,2~ — е2-^§- 1пу2) • Наличие особенности в величине и\,2 \ «1 /

при у2 —> 0 является дополнительным указанием на то, что вблизи

поверхности вязкие члены, входящие в линеаризованные уравнения Навье — Стокса, становятся существенными. Приравнивая порядки вязких и инерционных членов, найдем, что толщина зоны 1 имеет величину —X1/3 (Не)~1,2£0. Решение в зоне 1 будем искать в виде

«1

, 1 = е21 (— Ь эШ £ + а соэ %) и'о(х, у2) + А' (У], $0 эш I + В' (уи е,) соэ £

_®2_ ио е

2 г ^ е1

VI, 1 =е2 |(а вШ £ + £ соз &) м0 (х, _у2) + + %М#(У 1. е1) вШ? — Л(уь ех) сое 5]1 ;

где

е1

(Х^ V СС| £

Р1, и = £2 (Уи е1) эш 6 + О (уи СОЭ Е] «О«(х)9

X. X1/3 — — а

; ^1,1 — е2 (^1,1+ м0соз£); Ь = Ь->г-~ 1п

а!

(15)

(16) (17)

yl = tУ'R<i,

-1/3

^2_ ^ а, ех

а функции Л, Д й, И подлежат определению. Из граничных условий (5) следует, что

Л (0, 8,) = В (0, 8,) = О, Ь =

й1 е1

&■' (0» е0 4" О (е2 е1)>

а =

3 р Ях 81

В' (0, е,)+0(8,8?).

Подставляя выражения (15)—(17) в линеаризованные уравнения Навье — Стокса, получим, что комплексные функции ср = А-\-Ш и С = (1~{-10 удовлетворяют следующим уравнениям:

<?'" — I (У\ ?' ~ ?) = С + 01 е, <р" +

+ 1

где а

1У1

1

2 31 „2 ( 1

У1?' —?] + £1 -%-У\ (-3- УI?'-?

С1 = 0(8? 822)+ 0 (е1 е2),

а,. а

1 из

«1

+ О (е?) + О (г? е2); (18) (19)

2

а2

, штрихом обозначена операция дифференци-

рования по координате ул.

Решение уравнений (18), (19) будем искать с точностью до величин порядка О (г?) + О (ег), представляя его в виде ряда по малому параметру е1. Чтобы выяснить вид этого ряда и граничные условия для функции ср при ух оо, выпишем внутреннее представление особой части внешнего решения — решения в зоне 2:

Асимптотическое разложение (20) указывает на то, что решение уравнений (18), (19) следует искать в следующем виде:

<Р = — X, (?» + Т«1п Ы) £1 . С = - И (с«+ Сп 1п |ех|)6" .

(21)

п = 0

где <р0==С0 = 0. Подставляя выражение (21) в уравнение (18), получим уравнения для определения функции <р0, <р„, («> 1). Решение

этих уравнений, а также определение величин Сп, Сп приводятся в приложении.

В окончательном виде возмущения скорости и и давления р с относительной точностью ~ О (е2) -|- О (г?) представляются формулами

«1, 3 = е2 «0 е (Х) е

э1п

л:

X

(22)

И — “2

«1, 2— — — 1~2 51 I а!

Л' (0, г4) эШ -у- -{- 5' (0, 65) соэ

Моу, (•*, у2)

+ £1

«ол (л, л) Ф,—,у2-------------з

а!

1п

а2

„ е2 «2 «1. 1 = — — “Г Е1 <*1

л:

А' (0, гх) эш -у- -(- 5' (0, соэ

«о (-«.Л).

л:

л:

81п -у |; (23) иоу,(х,у2)

■и0е(х)

А' (Уи в!) БШ ~ + В' (уи в!) СОЭ

Р\, Чх = Р\Лх-

г2 2 , ч а:

-Г- и0е(х) СОЭ -т-

(24)

(25)

Используя метод аддитивного составления [1], можно выписать обобщенное решение, являющееся раномерно пригодным для всех трех выделенных зон. В первом приближении, с относительной точностью ~ О (а2) + О (е! 1п |е1|) составное разложение для щ имеет вид:

Но у2 (X, у2)

Но уа (х, 0)

/?0 г (0) — Шг(У\)

Н-0 у 2 (•%, У 2) Но уа (х, 0)

^0|(0)-/?0(Ы

(26)

Рассматриваемая задача решена в линейной постановке относительно возмущений, вызванных волнистостью поверхности. Однако, как видно из полученного решения (22)—(25), для фиксированных значений е, е2 и при достаточно малых е4 величина отброшенных нелинейных членов может стать равной или больше линейных инерционных членов, ибо порядок линейных членов

г 56о „

определяется величинои ер 1*~—3-, а нелинейных членов — вели-

чиной г" ихЧ\ х' 44

Поэтому в поставленной задаче линеариза-

дия уравнений Навье—Стокса имеет смысл, если выполняется следующее условие:

^ ^ 5

ИЛИ, ЧТО ТО же,

2

£1

«1

, XS/3

где к — амплитуда волнистости.

Для численного примера была рассмотрена задача о продольном обтекании волнистой пластины с однородным отсосом. В этом случае профиль невозмущенной скорости и0 (у2) задается в виде [2]

и0{у2)=\-еу°У\ 1/°<0.

На фигуре показаны профили возмущений продольной скорости иъ посчитанной по формуле (26).

-щ

х/Х=0

\

V

\ к

2

-с 'Ч

OS \е,\

“t I ё?

х/х-зт

1-£г-0.2 2-£, = -0,1 З-S г~0Д

х/Х.= її

/

/

Zj /

2І

о ол

Представляет практический интерес использовать полученное решение для оценки влияния волнистости поверхности на устойчивость плоского пограничного слоя к бесконечно малым возмущениям. Теоретически течение в пограничном слое является устойчивым, если Кєкр^/ЯЄмєст^- 1- Для определения критического числа Рейнольдса воспользуемся приближенной формулой, которая хорошо согласуется с результатами численных расчетов уравнения Орра — Зоммерфельда [3]:

7,6-106 Ъ***(~.)£еЛ \ (27)

дуі )у,=0

Re

Крит ■

где ие — скорость на внешней границе пограничного слоя,

§*.i

о

Величина местного числа Рейнольдса определяется по толщине потери импульса:

Кемест = 8** ив УЙё.

Из полученного решения (22)—(24) следует, что величины 8** д2 и \

представляются в виде

I у,=О

:«о* + Т2- 0(6?), 8**=С+ 1

ду

и„

X2

к

О (е?);

(28)

д2 и \ ' 2 НО е к

ду\ = Мо /У 1=0 у9—0 V

„ 2 #0 е к

^ио уа=0 Ь0

С08 -г-----(- О (г^

соэ

(29)

Из формул (28), (29) очевидно, что влияние волнистости на устойчивость течения сказывается в основном через изменение критического числа Рейнольдса возмущенного профиля. Из формул (27), (29) следует, что малое относительное изменение критического числа Рейнольдса определяется соотношением

А = шах

^ К^крит = шах Р^крит (Р^крит)о 318 8о*2 и0е 1 к

(РеКрИТ)о (Р^крит)о ~ (Ивкрит%'3 X2

В теоретических расчетах по искусственной ламинаризации течения в пограничном слое режим отсоса воздуха при отсутствии волнистости поверхности выбирается из условия

(РбКрИТ)о

= 1.

(30)

(Ие

мест^О

При наличии волнистости условие, эквивалентное условию (30), будет иметь вид

(Р^крит)о__ II/,

(1*емест)о“ ‘

Тогда при заданном значении величины 6, которую можно назвать запасом устойчивости невозмущенного течения, поток в пограничном слое теоретически будет оставаться ламинарным, если

(Рекрит)о/3 ь ^ено,

_к_

Ьп

<

318 С2 и,

О е

318 (Ие

Крит,

Г

к.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Подставляя выражения (21) в уравнение (18), получим уравнения для определения функций <р„, <р„:

— т — / — — п

?3 -*СУ1?8—<Рз) = сз+°1?2+г

1 -/ - V . а, У1 / 1 -- -/

Л у-У^г — ?2 Ы—^ |-з-.У1<?1—?1

Общее решение уравнения для функции ср0 имеет вид То = «17.1 (У1) + «2 /2 ОМ + а3 У! — г'С0,

где XI. 2 VУ\Hiti

(2)

тз/2

йуи с1ух\ М’з(2)— функции Ганкеля,

причем Х\ а Хг 00 по экспоненциальному закону при ух -» оо.

Из условия асимптотического сращивания внутреннего решения (21) с внутренним представлением внешнего решения (20) следует, что а2 = а3 = О, С0 — 1. Из граничного условия <р(0, г,)=0 следует, что а, = — 1/хх (0). Аналогичным образом можно получить, что

ф, =.

?2

и 2

1_

2

+ [/?о — /?о (0) /?„];

1 2 .Уь

_0! —;/2 2 п /г, г

"?2 2* "" -^1 Я2 |Яз--------------2"

Яо — /?0 "Ь /?1 — Яо (0) /? {

+

у- + ^о(0)] — г/?о2 (0) /?о

?8 — 0 .Уь С1 — Сх — С2 — С2 — С3 — 0,

где /?„ = Х1 (УО/Х1 (0), - а функции Я„ ОМ удовлетворяют следующим уравнениям и граничным условиям:

Я

Я

I (У1 Я1 - /?1) — У>1 + У>1 (^уЯо-Яо )> /?!-*>— 3^11п>-1;

Я^Я,) - Я2 - -^1 1 );

1(У\И.ъ — Я3) = *’-у-^^т^-Яо—До], Я3-»0;

У)

при у^оо

/?4 — г (_у, /?4—Я4)“ г^1 «0 — ^оу > Я* -» 0;

я 1 (0) = Я, (0) = я4 (0) = о, Яз (0) = ~ (Яо (0) + & (0)).

Значения функций /?„(« = 0,..., 4) и их производных приведены в табл. 1—5. Расчет этих функций проводился следующим образом: по известной асимптотике функций Ганкеля определялась с необходимой точностью асимптотика функций и их производных при ух -* оо, далее по найденным асимптотическим выражениям определялись значения (я = 0, 1, ... , 4; & = 0, 1, 2)

в точке У\ = 10, таким образом, краевая задача сводилась к задаче Коши, которая решалась численным методом Рунге —Кутта.

У1 Ло г ^0 г *0 г Ко 1 Кх *0 1

0,0 1,00000 —1,11536 0,68586 0,000000 —0,64395 1,18795

0,5 0,52779 —0,77500 0,66627 -0,19413 —0,17320 0,70214

1,0 0,22038 -0,46286 0,56747 -0,21102 0,07187 0,29759

1,5 0,05334 -0,21952 0,39842 -0,15059 0,14759 0,03050

2,0 -0,01436 —0,06641 0,21733 -0,07944 0,12685 —0,09133

2,5 —0,02678 0,00510 0,07872 —0,02890 0,07422 —0,10606

3,0 —0,01819 0,02307 0,00348 —0,00383 0,02910 -0,07044

3,5 —0,00762 0,01728 -0,02001 0,00371 0,00445 —0,02990

4,0 —0,00150 0,00746 —0,01683 0,00342 —0,00353 —0,00511

4,5 0,00052 0,00141 —0,00748 0,00151 -0,00341 0,00348

5,0 0,00059 -0,00060 -0,00132 0,00029 —0,00148 0,00348

5,5 0,00024 —0,00062 0,00069 —0,00010 -0,00024 0,00146

6,0 0,00003 —0,00024 0,00065 —0,00010 0,00012 0,00019

6,5 -0,00002 —0,00002 0,00023 -0,00003 0,00010 —0,00016

7,0 -0,000015 0,00002 0,000005 -0,000002 0,000030 -0,00011

7,5 -0,000003 0,000014 —0,000028 0,000004 —0,000002 —0,00002

8,0 0,000001 0,000002 -0,000014 0,000001 -0,000004 0,000004

Таблица 2

У1 г *\г *1, Ни Х'и

0,0 0,00000 0,06563 -0,76412 0,00000 0,52360 —0,44117

0,5 —0,06273 -0,31689 —0,76787 0,20674 0,30384 -0,43388

—0,31777 -0,70458 —0,78438 0,30590 0,09674 —0,38494

1,5 -0,76874 — 1,10000 —0,79223 0,31024 —0,06980 -0,27016

2,0 —1,41663 — 1,48784 —0,74708 0,24808 -0,16521 -0,10770

2,5 -2,24969 — 1,83432 —0,62722 0,15876 —0,17937 0,04350

3,0 -3,23855 —2,10727 —0,46177 0,07881 —0,13359 0,12514

3,5 —4,34316 —2,29850 -0,31022 0,02837 —0,06842 0,12342

4,0 -5,52658 -2,42731 -0,21597 0,00773 —0,01844 0,07261

4,5 —6,76526 —2,52447 -0,18067 0,00524 0,00409 0,02039

5,0 —8,04975 —2,61323 —0.17689 0,00840 0,00632 -0,00674

5,5 —9,37853 —2,70193 -0,17710 0,01039 0,00134 —0,01033

6,0 — 10,75142 -2,78899 —0,16980 0,00998 —0,00246 -0,00438

6,5 -12,16665 -2,87081 -0,15701 0,00844 —0,00327 0,00053

7,0 -13,62111 —2,94598 —0,14393 0,00695 —0,00255 0,00186

7,5 -15,11161 ■ —3,01515 -0,13322 0,00590 —0,00173 0,00130

8,0 — 16,63548 -3,07956 -0,12473 0,00517 —0,00127 0,00061

Ух г ^2 г ^2 г Я2 1 ^2 1 ^2 1

0,0 0,00000 1,43337 —0,06939 0,00000 — 0,82756 0,52360

0,5 0,70800 1,39866 — 0,06939 -0,34836 —0,56610 0,52077

1,0 1,39867 1,36400 -0,06926 -0,56688 -0,30962 0,50082

1,5 2,07200 1,32921 -0,07070 -0,66094 —0,07130 0,44468

2,0 2,72736 1,29087 -0,08754 -0,64502 0,12566 0,33257

2,5 3,35977 1,23318 —0,15561 -0,54724 0,25115 0,16116

3,0 3.95134 1,11980 -0,31506 -0,40964 0,28304 —0,03147

3,5 4,46217 0,90249 —0,56596 -0,27880 0,22852 —0,17163

4,0 4,83086 0,54878 —0,84631 -0,18853 и,13002 -0,20275

4,5 4,98917 0,06565 -1,07144 -0,14682 0,04245 -0,13599

5,0 4,88171 -0,50620 -1,20029 —0,13852 -0,00114 -0,04005

5,5 4,47568 —1,12268 —1,25840 —0,14105 -0,00391 0,02000

6,0 3,75536 — 1,76200 — 1,30009 -0,13967 0,01002 0,02850

6,5 2,70963 -2,42585 — 1,35898 —0,13174 0,02018 0,01061

7,0 1,32379 -3,12385 — 1,43459 -0,12109 0,02113 -0,00506

7,5 —0,42072 -3,86064 — 1,51174 -0,11144 0,01718 —0,00892

8,0 -2,54299 —4,63415 — 1,58071 —0,10387 0,01333 —0,00602

Таблица 4

Ух Яг г Язг Я'зг Яз / *3 1

0,0 0,54256 -1,34361 1,65042 -0,93974 0,77574 0,000003

0,5 0,05748 -0,63589 1,18057 -0,56299 0,70967 —0,25718

1,0 —0,13235 -0,16202 0,71804 —0,24879 0,53255 -0,43113

1,5 -0,14175 0,08955 0,30096 -0,03934 0,30269 -0,46231

2,0 -0,07359 0,15757 -0,00485 0,05760 0,09443 -0,35090

2,5 —0,00321 0,11183 —0,15021 0,06839 -0,03562 —0,16504

3,0 0,03277 0,03249 —0,14702 0,03741 -0,07461 -0,00190

3,5 0,03361 —0,02231 -0,06690 0,00408 -0,05233 0,07482

4,0 0,01758 —0,03548 0,00833 -0,01234 —0,01397 0,06800

4,5 0,00262 -0,02203 0,03720 -0,01249 0,00977 0,02563

5,0 -0,00389 -0,00483 0,02743 -0,00600 0,01348 —0,00690

5,5 —0,00373 0,00378 0,00743 -0,00069 0,00710 —0,01499

6,0 —0,00150 0,00415 —0,00385 0,00117 0,00093 —0,00852

6,5 —0,00002 0,00169 —0,00482 0,00092 -0,00134 —0,00117

7,0 0,00033 —0,00003 —0,00141 0,00026 -0,00103 0,00160

7,5 0,00018 -0,00040 0,00012 -0,00005 —0,00026 0,00119

8,0 0,00002 —0,00020 0,00049 —0,00007 0,00008 0,00025

4—Ученые записки № 2

49

Уг Ri г /?4 г R\r Ru R'it R"u

0,0 0,00000 —0,28998 0,35123 0,00000 0,000001 0,20278

0,5 -0,10128 -0,11645 0,33475 0,02312 0,08428 0,10825

1,0 -0,12059 0,03161 0,24250 0,07184 0,09643 —0,05832

1,5 -0,08077 0,11417 0,08181 0,10751 0,03798 -0,15640

2,0 -0,02024 0,11541 -0,06715 0,10670 —0,03931 —0,13407

2,5 0,02537 0,06181 —0,12990 0,07397 —0,08332 —0,03655

3,0 0,04052 0,00137 -0,09977 0,03187 -0,07768 0,05143

3,5 0,03156 —0,03134 —0,03007 0,00130 -0,04238 0,07872

4,0 0,01464 —0,03203 0.02114 -0,01073 —0,00788 0,05362

4,5 0,00214 —0,01697 0,03303 —0,00961 0,00909 0,01518

5,0 -0,00262 -0,00320 0,01997 -0,00435 0,01008 -0,00759

5,5 —0,00243 0,00265 0,00437 -0,00056 0,00482 -0,01094

6,0 -0,00096 0,00265 -0,00282 0,00068 0,00059 —0,00544

6,5 -0,00005 0,00101 —0,00298 0,00052 -0,00078 -0,00060

7,0 0,00017 -0,000006 -0,00107 0,00015 —0,00058 0,00095

7,5 0,00010 -0,00020 0,00007 -0,00002 -0,00015 0,00064

8,0 0,00001 -0,00009 0,00024 -0,00003 0,00003 0,00012

ЛИТЕРАТУРА

1. В а н-Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкости. М., „Мир-, 1967.

2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., Изд. иностр. лит., 1956.

3. N е n n i J. P., G 1 и у a s О. L. Aerodynamic design and analysis of an LFC surface. .Astronautics and Aeronautics", 1966, v. 4, No 7.

Рукопись поступила 9/ VI 1971 г.