CC BY
76
УДК 917.928
Нургабыл Д.Н. ©
Профессор, д.ф.м.н., кафедра математики,
Жетысуский государственный университет им. И. Жансугурова,
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ
Аннотация
В работе описан алгоритм построения асимптотического разложения решения краевой задачи для дифференциальных уравнений высшего порядка с малым параметром при производных. Найдено аналитическое представление решения вырожденной краевой задачи. Построено равномерное асимптотическое приближение решения сингулярно возмущенной краевой задачи с точностью до произвольного порядка при стремлении малого параметра к нулю. Установлен рост производных решения возмущенной краевой задачи при . Описано явление граничных скачков.
Ключевые слова: асимптотика, краевая задача, дополнительное характеристическое уравнение, возмущенные и невозмущенные задачи, явление начального скачка.
Keywords: asymptotic, boundary value problem, additional characteristic equation, perturbed and no perturbed problems, initial jump phenomenon.
1. Постановка задачи. Для широкого класса сингулярно возмущенных начальных краевых задач для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений выбор надлежащего метода для построения решений или их асимптотических приближений без предварительного исследования оказывается весьма затруднительным. Анализ показывает, что к таким задачам, можно отнести и краевые задачи, для которых характерно наличие явления начального скачка. Наибольшие общие результаты в этом направлении получены в [1-3].
Однако в указанных работах рассматривается случай, когда малый параметр содержится только при старшей производной. Естественно возникает вопрос о рассмотрении краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных, обладающих явлением начального скачка.
В [4] выделен класс краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. При этом были установлены оценки, выражающие связь между решением вырожденной краевой задачи и решением исходной сингулярно возмущенной задачи. Из этих оценок видно, что производные в точке отличаются от на конечные величины , а в точке отличаются от на величины , производные () в точке , () в точке
имеют полюсы по параметру .
В связи с этим () в некоторой малой окрестности точки не может служить равномерным асимптотическим приближением для функции (), а функция () в окрестности точки не может служить равномерным асимптотическим приближением для ().
Следовательно, естественно поставить вопрос о построении равномерного асимптотического приближения решения краевой задачи для дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных, обладающих явлением начального скачка с точностью до произвольного порядка.
Итак, рассмотрим линейное дифференциальное уравнение высшего порядка с малым параметром при производных
©© Нургабыл Д.Н., 2014 г.
2
, (1)
с краевыми условиями
, , (2)
где - малый параметр, - постоянные, ,
Потребуем выполнения следующих условий.
10. Функции ; .
20. Функция удовлетворяет неравенству .
30. Дополнительное характеристическое уравнение имеет корней, различных между собой на отрезке . Пусть среди этих корней имеется корней
с отрицательными вещественными частями, и корней с положительными вещественными
частями, причем . Пусть:
40. Справедливо , где элементы и составлены на основе фундаментальной системы решений уравнения
Пусть - вронскиан фундаментальной системы решений уравнения (3), тогда
(3)
(4)
2. Построение асимптотического разложения. Из выше сказанного заключаем, что асимптотическое разложение решения краевой задачи (1), (2) следует искать в виде:
, (5)
где
, (6)
, . (7)
Подставим (5) - (7) в (1). Приравнивая далее коэффициенты при одинаковых степенях , причем приравнивая выражения, зависящие от , и по-отдельности, получаем уравнения для
определения членов разложений (6) и (7):
(8)
(9)
(10)
(12)
(11)
(13)
где функции рекуррентно выражаются через - через а - через
Чтобы из полученных уравнений определить члены разложений (6), (7), нужно задать условия. Для этого подставим (5), (6), (7) в исходные краевые условия (2) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях . Тогда получим:
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
Рассмотрим задачу (8), (14). Решение задачи (8), (14) согласно результатом работы [8] существует на отрезке [0,1], единственно и выражается формулой:
(23)
где -граничные функции, -начальные функции, определяемые формулами:
(24)
где определители , введены в 40, -определитель, полученный из заменой -ой строки строкой -
определитель порядка, который получается из заменой строки строкой , - определитель получаемый из заменой строки строкой .
Рассмотрим уравнение (10). Составим характеристическое уравнение
4
(24)
Тогда, опираясь на 30 получим, что общее решение уравнения (10) представимо в виде
Так как функция должна стремиться к нулю при , то постоянные нужно положить равными нулю, т.е. . Тогда имеем
(25)
Подставляя (25) в (15), получим
(26)
Система (26) является линейной алгебраической системой из уравнений относительно неизвестных , причем главный определитель этой системы отличен от нуля:
, (27)
где определитель Вандермонда элементов . Следовательно,
система (26) имеет единственное решение. Подставляя это решение в (25), получаем
, (28)
где - определитель -го порядка, полученный из определителя заменой первой строки на строку . Очевидно, что Таким образом, полностью определено. Из (28) следует,
что существуют, очевидно, такие постоянные и , что
(29)
Точно так же из задач (12), (16) можно определить в виде
(30)
где - определитель -го порядка, полученный из определителя заменой первой строки на строку . Очевидно, что
Из (30) следует, что существуют, очевидно, такие постоянные и , что
(31)
Таким образом, нулевое приближение полностью определено.
Совершенно аналогично определяются , из уравнений (9), (11), (13) с помощью
условий (17), (18), (19), (20), (21), (22):
(32)
(33)
(34)
где начальные значения определяются из (17) и (18),определяются из (19), (20), - определяются из (21), (22). Здесь частное решение неоднородного уравнения (10), которое представимо в виде где многочлены относительно переменной , частное решение неоднородного уравнения
(13), многочлены относительно переменной .
Из (33), (34) следует, что существуют постоянные , и такие, что
(35)
Итак, описанный алгоритм позволяет определить члены рядов (6) и (7) до любого номера включительно, причем все , имеют экспоненциальные оценки.
3. Обоснование асимптотики. Определим члены разложений (5), (6), (7) до номера включительно и образуем частичную сумму разложения (5)- (7) в виде:
(36)
Лемма 1. Пусть выполняются условия 10-40. Тогда функция , выражаемая формулой (36), является приближенным решением сингулярной возмущенной задачи (1), (2) с точностью порядка.
Доказательство леммы непосредственно следует из самого построения функций ,.
Пусть , где решение задачи (1), (2). Подставляя в (1), (2), в силу леммы 1, получим для задачу:
(37)
(38)
где . Применяя теперь к задаче (37), (38) теорему 3 из [8], заключаем, что решение задачи (1), (2) существует на сегменте , единственно и удовлетворяет неравенству
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполнены 10-40. . Тогда при достаточно малых на сегменте
решение задачи (1), (2) существует, единственно и удовлетворяет оценке
, (39)
где - независящая от
и постоянная.
6
В частности из (36),(39) в силу экспоненциальных оценок (29), (31), (35), следует, что производные , в точке , а , в точке имеют полюсы по :
(40)
Заметим, что в общем случае начальные значения и соответственно отличаются от и :
50. Пусть:
(41)
Исходя из (40), (41), заключаем, что сингулярно возмущенная краевая задача (1), (2) в окрестности точки обладает явлением скачка -го порядка кратностью , а в окрестности точки обладает явлением скачка -го порядка кратностью , что является одним из особенностей изучаемой задачи.
Литература
1. Kasymov K.A., Nurgabyl D.N. Asymptotic estimates of the solution of a singularly perturbed boundary value problem with initial jump for linear differential equations, Differential equations, Vol. 40 No. 4 (2004) pp.597-607.
2. Дауылбаев М.К. Асимптотические оценки решений интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром. // Математический журнал. Институт математики МОН РК. №4(30), т.8, 2008 г.
3. Duisebek Nurgabyl. Asymptotic estimates for the Solution of a Restoration Problem with Initial Jump // Journal of Applied Mathematics. Vol. 2014, Article ID 956402, 11 pages
4. Нургабыл Д.Н. Предельный переход в сингулярно возмущенной краевой задаче в условно устойчивом случае // Вестник КазНПУ им. Абая, серия физико-математических наук, -2014, №2.-С.171-179.
