CC BY
6
УДК 517.94
ОСОБЕННОСТИ АСИМПТОТИКИ И КОЛИЧЕСТВА
НЕЗАВИСИМЫХ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ВЫРОЖДЕНИЕМ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ
Жукова Г.С.
Финансовый университет при Правительстве РФ, г. Москва
Аннотация Ключевые слова:
Для сингулярно возмущенных дифференциальных систем обсужда- системы дифференциальных урав-
ется характер зависимости решений от малого параметра. Устанавли- нений, сингулярное возмущение,
ваются неоднозначность асимптотической последовательности раз- структура асимптотики реше-
ложения решений и особенности зависимости структуры решений от ний по малому параметру, асим-
свойств спектра предельного операторного пучка. Изучается случай, птотическая последовательность
когда предельный оператор при производной является вырожденным. разложения
История статьи:
Дата поступления в редакцию
10.10.18
Дата принятия к печати 12.10.18
При исследовании математических моделей самых разнообразных прикладных задач возникает необходимость решения дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной -сингулярно возмущенные задачи. В частности, такие уравнения распространены в теории электрнических цепей, химической и биологической кинетики, экономики, теории электронной оптики, оптимального управления, баллистики, гидродинамики, теории массового обслуживания и др.
Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений с параметром берет начало от исследований Фурье, Лиувилля, Штурма. Число работ, посвященных этой практикоориентированной тематике, огромно. Тем не менее, асимптотический анализ дифференциальных уравнений имеет развитую теорию в случая регулярной зависимости от параметра. Говоря о сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях - уравнениях с малым параметром при старшей производной -изучению подверглись только отдельные классы задач [1-17].
Цель работы - обратить внимание на особенности сингулярно возмущенных дифференциальных систем в случае вырожденной предельной матрицы при производной; показать, что в этом случае появляются решения с иным характером зависимостью от малого параметра, порядок сингулярности которых отрицателен и меньше взятого с минусом ранга уравнения; изучить, какие свойства коэффициентов уравнения вызывают появление решений нового типа.
Рассмотрим систему из Ш1 линейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, записанную в векторной форме:
(1)
Относительно коэффициентов уравнения (1) предполагаем следующее:
1° 1 CG [О,Г]; £ - вещественный параметр, 0 < £ < £0 ; число ¡1, называемое рангом уравнения (1), - натуральное;
2° 2° A(t, £), В (t, £) представлены матрицами Ii X fl (где П. > 2), коэффициенты которых вещественнозначны, непрерывны по t G [0, Т], £ £ [0, £0 ].
3° При Е —> +0 равномерно на [0,Т] справедливы разложения
(2)
где 3° /^(t), ßs(t) (S > 0) представлены матрицами fl X TL, коэффициенты которых вещественнозначны и дифференцируемы по t на [0, 7*] бесконечное число раз;
4° det B0(t) = 0, 1° t £ [0,Г].
Основная трудность при изучении сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений заключается в правильном описании зависимости решений от малого параметра £. У регулярно возмущенных систем (когда /i=0) с коэффицинтами, разлагающимися в ряды (2) по неотрицательным целым степеням параметра £, асимптотика решений копирует вид разложений коэффициентов. ß(t,£). Оказываается, что сингулярная возмущенность дифференциальной системы влечет сингулярность части или всех его решений - их асимптотические разложения по малому параметру содержат отрицательные степени, наименьшую из которых будем называть порядком сингулярностии решения. Более того, асимптотика решений сингулярных задач в общем случае содержит разложения по дробным степеням малого параметра.
Сингулярная зависимость решений от параметра определяется многими факторами. Если в (1) предельная для ß(t,£) матрица dßt ßo(t) = 0 не является вырожденной (что является наиболее изученным случаем), то все решения уравнения (1) имеют порядки сингулярности, не меньшие ранга h, взятого со знаком минус. Оказывается, если имеет место условие 4°, то у таких задач могут появиться решения нового типа, у которых порядок сингулярности меньше взятого с минусом ранга уравнения (1). В одних случаях, таких решений может не появиться, в других - только часть или все фундаментальные решения будет иметь такую особенность.
Многообразие возможных эффектов связано с различиями в качественных характеристиках соответствующих математических моделей: разрешима система дифференциальных уравнений (1) относительно производной или нет, простым или кратным является спектр у предельного оператора задачи и т.д. Все это определенным образом влияет на структуру асимптотических разложений решений, характер их зависимости от малого параметра, и в итоге формирует в решениях новые типы сингулярностей.
Продемонстрируем выявленные особенности асимптотики решений системы (1) с вырождением при производной на примерах линейных сингулярно возмущенных систем с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим систему (1) с постоянными по tt матричными коэффициентами, для которых имеем разложения:
да да
А(8) = £ *s As, B(s) = £ е s Bs, (3)
s=0 s=0
где
det B0 = 0. (4)
Нетрудно видеть, что при этих условиях в (1) количество и асимптотика линейно независимых решений определяются знанием корней Я = ä(s) алгебраического уравнения
det(A -X.EhB) = 0,
(5)
точнее, их суммарной кратностью, а также знанием для каждого из них элементов всех (*£ ^В) -жордановых цепочек из собственных и -присоединенных векторов матрицы
Подставив в (5) разложения (3) с учетом линейного свойства определителя, получим уравнение:
(6)
Это уравнение является по ЛЛ многочленом некоторой степени где < 71) и допускает представление в виде:
1*1
v-0 s-0
=0.
(7)
Здесь, в частности, при v=0 имеем:
Z
5=0
£s b0s = det > es А
z
s=0
Поэтому корни алгебраического уравнения (7) можно построить в виде
(8)
с помощью, например, метода диаграммы Ньютона [13]. Причем, если в (3) ряды сходятся в обычном смысле, то аналогичным свойством обладают (8).
Таким образом, число линейно независимых решений дифференциальной системы (1) совпадает с числом £0 - порядком алгебраического уравнения (7).
Число £0 не превосходит TL. Более того, равенство S0 = П выполняется тогда и только тогда, когда матрица ß(s) обратима. Значит, если
Z
det( ) £s Bs) = 0
s = 0
(то есть ß(s) не имеет обратной) и
со со
det(^V As -If^JVßJ
s=0
не зависит от Л, то S0 = 0. Тогда при условии
s=0
£ 0
я = 0
уравнение (6) или, что то же самое, уравнение (7), не имеет решений. Для сингулярно возмущенной системы (1) это означает наличие только тривиального решения.
В общем случае в зависимости от конкретных условий решаемой задачи порядок £>, уравнения (7) может быть любым числом от 0 до П. При этом справедливо неравенство:
s0 < rang В (б).
Продемонстрируем особенности зависимости решений задачи (1) от малого параметра на примере системы
для которой Т1 — 3, к - любое натуральное число, Пример 1. Рассмотрим систему (9), где
/О 1 0\ /0 1
в0 = о о о , в1= о о \0 0 0/ \0 1
Непосредственно проверяется, что
В0 = с1ег (£0 = 0, rallg(S□ + = 2, <1еГ А0 А0 =2
det(^í)-Я£',(Sí) + еВ^ = 2.
Из последнего равенства заключаем: = 0. Поэтому в рассматриваемом случае уравнение (6) не имеет решений. Значит, рассматриваемая задача (9), у которой матрица при производной является вырожденной, будет иметь только одно решение - тривиальное; нет ни регулярных, ни сингулярных решений.
det £0 = 0
\ f1 0
■ А0 = \0 1 0
! \о 0 2/
0 0 /1 0
0 0 0 , А0= 0 1
0 1 о/ \о 0
Пример 2. Пусть в уравнении (9) /0 1 0\ в0= о о о , В,= \0 0 1/
В этой задаче имеем:
det Ва = det (£0 + еВ^ = 0, га1^(й0 +ЕВ1) = 2, det А0 =2,
но
det(Л0 -А.еи(В0 + ЕВ1)) = 2-ЛЕ\
Поэтому в данном примере уравнение (6) принимает вид
2 -Л/г* = 0,
откуда заключаем: £0 = 1 и = 2 Е ^1.
Следовательно, рассматриваемая в примере 2 сингулярная задача (7) с вырожденной матрицей при производной имеет только одно линейно независимое решение. Его порядок сингулярности равен Н.
Пример 3. Рассмотрим систему (9), где
/0 1 0\ /0 0 0\ /1 о 0\
В0= О 0 0 , в± = О 1 0 , А0 = О 1 0 . \0 0 1/ \0 0 0/ \0 0 2/
Тогда, как и в предыдущих примерах, матрица при производной является вырожденной, причем
det В0 = det (В0 + ЕВ= 0, гап^Я0 + ЕВ^ = 2, = 2.
Уравнение (6) совпадает со следующим:
(2-А ЕН) (1 - А £Л+1) = 0.
Поэтому= = 2£ = ^ '-,1+1-'
Таким образом, система (7) в рассматриваемом случае имеет два линейно независимых решения, у которых порядками сингулярности равны —¡1 и — (Л + 1). Следовательно, наблюдается случай, который не возникает у систем с невырожденной предельной матрицей при производной: есть решение, у которого порядок сингулярности меньше Н.
Пример 4. Пусть в уравнении (9)
/О 1 0\ /2 0 0\ Л 0 0\
В0 = 0 0 0 , В±= о 2 0 , Л„ = о 1 0 .
\0 0 1/ \0 0 0/ \0 0 2/
Вычисляем: det В0 = 0, rang (В0 + бВ1) = 3, det А0 = 2 .
Уравнение (6) принимает вид:
(2 (1 - 2Хеь+1У = 0.
Поэтому£0 = 3,/.^ = = - + Следовательно, система (7) в рассматриваемом
случае имеет три линейно независимых решения:
Среди них одно решение с порядком сингулярности -/I, два остальных - нового типа, их порядки сингулярности равны — + 1), что меньше к.
Пример 5. Пусть в (9)
Г1 0 0 > Г 0 1 0 > Г 0 0 01
А о = 0 1 0 , B0 = 0 0 0 , Bi = 1 0 0
V 0 0 2 У V 0 0 0 У V 0 0 1У
Вычисляем: det B0 = 0, rang (B0 + sB1) = 3, det A0 = 2.
Из уравнения (6) ( - lSh+1 )(l - l2S2h+3 )= 0 находим: \ = 2s-h-1, X 2,3 = ±£h~3/2 , S0 = 3. Поэтому система (9) имеет три линейно независимых решения, которые имеют порядки
сингулярности меньшие числа il. Более того, в отличие от примеров 1-4, здесь два фундаментальных решения имеют дробный порядок сингулярности: — h — 3/2 . Их асимптотические разложения будут идти по дробной степени У.
Таким образом, в рассмотренных, мало отличающихся внешне примерах, сингулярно возмущенная дифференциальная система (1) с вырождением при производной продемонстрировала новые свойства, которых нет у такой системы в случае det £? (f ) Ф 0. Во-первых, появились решения, имеющие порядок сингулярности, меньший числа-Zi, где h - ранг задачи. Во-вторых, количество фундаментальных решений (число = 3) перестало быть инвариантом задачи, требует нахождения. В-третьих, асимптотика решений системы не повторяет структуру разложений ее коэффициентов (2) по целым степеням параметра, а может иметь любую другую асимптотическую последовательность разложения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. - М.: Высш. шк., 1990. - 208 с.
2. Ильин A.M., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. - М.: Физматлит, 2009. - 248 с.
3. Gracheva G.S. (Жукова Г.С.) Sufficietnt conditions for solvability of a linear differential equation with large parameter when the characteristic equation has a multiple root // Ukrainian Mathematical Journal. 1979. Т. 30. № 4. С. 395-399.
4. Zhukova G.S. Branching of eigenvalues of fredholm operators in the multidimensional case // Ukrainian Mathematical Journal. 1985. Т. 37. № 1. С. 16-20.
5. Zhukova G.S. А Differential equation with a small parameter at the highest derivative // Ukrainian Mathematical Journal. 1989. Т. 40. № 4. С. 356-362.
6. Zhukova G.S., Chernykh N.P. Asymptotic properties of formal solutions // Ukrainian Mathematical Journal. 1988. Т. 39. № 5. С. 448-454.
7. Zhukova G.S. Asymptotics of solutions of a system of linear inhomogeneous singularly perturbed differential equations // Ukrainian Mathematical Journal. 1990. Volume 42, Issue 10, pp 1262-1266.
8. Жукова Г.С. Асимптотика решений линейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений // Докл. АН УССР. Сер. А. 1987. № 12. С. 7-12.
9. Жукова Г.С. Минимальная гладкость коэффициентов при построении приближенных решений // Изв.вузов. Математика. 1988. № 12. - С.63--67.
10. Жукова Г.С. Аналог метода диаграммы Ньютона для одного класса сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. I // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 10. С.1670--1684.
11. Жукова Г.С. Аналог метода диаграммы Ньютона для одного класса сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. II // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 9. С. 1500-1509.
12. Жукова Г.С. Асимптотическое интегрирование обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. -Воронеж: Изд-во ВГУ, 1988. - 200 с.
13. Жукова Г.С. Асимптотическое решение сингулярно возмущенных дифференциальных систем с вырождением // Системные технологии. 2018. № 27. С. 81-85.
14. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. - М.: Наука, 1981. - 398 с.
15. Самойленко А.М., Шкть М.1., Яковець В.П. Лшшш системи диференщальних рiвнянь з виродженнями. - К.: Вища школа, 2000. - 294 с.
16. Canalis-Durand M., Mozo-Fernandez J., Schafke R. Monomial summability and doubly singular differential equations // J. Differential Equations. 2007. № 233. P. 485-511.
17. Чорненька О.В., Рудько I.А. Коротю кторичш ввдомосл про дослщження сингулярно збурених диференщальних рiвнянь з iррегулярною особливою точкою // Фiзико-математичнi записки: Збiрник наукових праць Шжинського державного ушверситета iменi Миколи Гоголя, 2016. С 33-39.
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Жукова Г.С. Особенности асимптотики и количества независимых решений сингулярных дифференциальных систем с вырождением при производной. — Системные технологии. — 2018. — № 29. — С. 82—87.
PECULIARITIES OF ASYMPTOTICS AND QUANTITY OF INDEPENDENT SOLUTIONS OF SINGULAR DIFFERENTIAL SYSTEMS WITH DERIVATION AT THE DERIVATIVE
Zhukova G.S.
Financial University under the Government of the Russian Federation
Abstract
For singularly perturbed differential systems, the structure of the solutions dependence with respect to a small parameter is discussed. The ambiguity of the asymptotic sequence of the solutions decomposition and features of the dependence of the solutions structure on the properties of the spectrum of the limit operator bundle are established. The case of a degenerate limit operator under the derivative is studied.
Keywords:
systems of differential equations, singular perturbation, the structure of the solutions dependence with respect to a small parameter, asymptotic decomposition sequence Date of receipt in edition: 1010.18 Date of acceptance for printing: 12.10.18
