CC BY
10
Прикладные задачи
нелинейной теории колебании и волн
УДК 517.9 https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-1-63-76
Асимптотическое исследование локальной динамики семейств уравнений Кана-Хилларда
С. П. Плышевская
Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского Россия, Республика Крым, 295007 Симферополь, проспект Академика Вернадского, 4
E-mail: [email protected] Поступила в редакцию 4.12.18, принята к публикации 20.12.2018
Тема исследования. Исследована динамика известного нелинейного уравнения Кана-Хилларда. Выделены критические случаи в задаче об устойчивости состояния равновесия и исследованы бифуркационные явления. Цель. Построение конечномерных и специальных бесконечномерных уравнений, которые играют роль нормальных форм. Методы исследования. Используются как стандартные методы изучения локальной динамики, основанные на построении нормальных форм на центральных многообразиях, так и специальные методы бесконечномерной нормализации. Предложен алгоритм сведения исходной краевой задачи к уравнениям для медленно меняющихся амплитуд. Результаты. Построены конечномерные и специальные бесконечномерные уравнения, которые играют роль нормальных форм. Их нелокальная динамика определяет поведение решений из малой окрестности исходной краевой задачи. Приведены асимптотические на промежутке [£о, формулы для решений. Обсуждение. Исследование кинетики расслоения в бинарных смесях с заданной концентрацией компонентов является одной из актуальных задач физики конденсированного состояния. Уравнение Кана-Хилларда - это одна из моделей, которая используется при изучении спонтанного разделения фаз (бинарного) вещества (сплава), где неизвестная функция является относительной концентрацией компонента вещества.
Ключевые слова: динамика, устойчивость, нормальные формы, уравнение Кана-Хилларда.
Образец цитирования: Плышевская С.П. Асимптотическое исследование локальной динамики семейств уравнений Кана-Хилларда//Изв. вузов. ПНД. 2019. Т. 27, № 1. С. 63-76. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-1-63-76
https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-1-63-76
Asymptotic research of local dynamics families of Cahn-Hilliard equations
S. P. Plyshevskaya
V.I. Vernadsky Crimean Federal University 4, prospekt Vernadskogo, 295007 Simferopol, Republic of Crimea, Russia E-mail: [email protected] Received 4.12.18, accepted for publication 20.12.2018
Topic. Dynamics of well-known Cahn-Hilliard nonlinear equation is researched. In a state of balance stability task, critical cases were highlighted and bifurcation phenomena were researched. Aim. To formulate finite-dimensional and special infinite-dimensional equations, which can be represented as normal forms. Method. You can use as standard local dynamics research methods, based on constructing of normal forms on central manifolds, and special infinite-dimensional normalization ones. There is an algorithm of reducing an assumed boundary value task to equations for slowly varying amplitudes. Results. There are formulated finite-dimensional and special infinite-dimensional equations, which can be represented as normal forms. Their non-local dynamics defines the behavior of solutions that come from an assumed boundary value task minor adjacency. Asymptotic in between formulas to solve are quoted as well. Discussion. An offered problem is divided into a continual family, which depends on a certain parameter of more specialized boundary value tasks. As a rule, considered critical cases possess 1 and 2 dimensions. You've got a situation that is inherent to advection index major values, when a critical case possesses an infinite advection: infinitely many roots of a characteristic equation of a linearized boundary value problem aim for an imaginary axis with this index increase.
Key words: dynamics, stability, normal forms, Cahn-Hilliard equation.
Reference: Plyshevskaya S.P. Asymptotic research of local dynamics families of Cahn-Hilliard equations. Izvestiya VUZ, Applied Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 27, no. 1, pp. 63-76. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-1-63-76
Введение
Исследование кинетики расслоения в бинарных смесях с заданной концентрацией компонентов является одной из актуальных задач физики конденсированного состояния [1].
Уравнение Кана-Хилларда [2] - это одна из моделей, которая используется при изучении спонтанного разделения фаз (бинарного) вещества (сплава), где неизвестная функция является относительной концентрацией компонента вещества.
В первом разделе рассматривается уравнение, которое является модификацией (расширением) широко известной модели Кана-Хилларда
ди dt
дх2
д и 2 3
a1—^ + a2u + a3u + a4u дх2
(1)
Как правило, вместе с (1) рассматривают либо краевые условия типа Неймана
Х=1 д3и Х=1
ди дх
либо периодические краевые условия
x=0
дх3
0,
x=0
(2)
u(t, х + 1) = u(t, х).
(3)
Для коэффициентов aj выполнены неравенства
ai < 0, a2 < 0, a4 > 0.
(4)
Такого вида краевые задачи изучались в [3].
Особо отметим то обстоятельство, что для произвольного значения вещественной постоянной с решение ио(Ь,х) = с является однородным состоянием равновесия рассматриваемых краевых задач.
Во втором разделе рассматривается более общее по сравнению с (1) уравнение
ди ~дЬ
дх2
д и .ди 2 3
а1тг^ + Л— + а2и + ази + а^и дх2 дх
которое отличается от (1) только наличием в правой части еще одного слагаемого \д3и/дх3
1. Динамика краевых задач (1), (2) и (1), (3)
В настоящем разделе исследуется вопрос о поведении всех решений краевых задач (1), (2) и (1), (3) с начальными условиями из некоторой достаточно малой окрестности каждого состояния равновесия и0(£, х) = с.
Отметим, что количество параметров в (1) можно уменьшить, произведя нормировку «времени» £ — (—а2)£ и нормировку функции и — (а4а-"1) 2и. В результате приходим к уравнению
ди д2
д£ дх2
д и , 2 3
—а—— и + Ьи + и дх2
_ 3 1
где а = —а1а-2 (а > 0), Ь = а3а2 2 а|.
Для изучения решений из малой окрестности состояния равновесия ио(£, х) произведём замену
и = с + и.
В итоге получим уравнение
с краевыми условиями либо
либо
В (7) приняты обозначения
ди д
дх2
д и дх
х=0,х=1
д2и 2 3
—а дх2 — + ^ + и
д 3 и дх3
х=0,х=1
х + 1) = х).
в = 1 — 2Ь — 3с2, у = Ь + 3с.
Ниже обозначаем через М(ф) среднее на отрезке х € [0,1] значение функции ф(х)
1
М(ф) = ^ ф(х)йх.
(5)
с в (5)
(6)
(7)
(8) (9)
Через Ш обозначим множество всех функций ф(х) (х € [0,1]), для которых ф(х) € Ш2([0,1]), и для ф(х) выполнены краевые условия (8) или (9) и М(ф) = 0. Важную роль играет следующее простое утверждение.
0
Теорема 1. Для каждого с € (—те, те) множество всех таких решений и(Ь,х) краевой задачи (5), (2) и краевой задачи (5), (3), определённых при Ь > Ь0, для которых выполнены условия и(Ь, х) = с + и(Ь, х), и
М (и) = 0 (10)
является инвариантным интегральным многообразием.
о
Это означает, что из условий и(Ь, х) € Ш и М(и(Ь0,х)) = 0 следует равенство М(и(Ь, х)) = 0 для Ь > Ь0.
Отсюда естественным образом возникает задача исследования локальной - в окрестности нулевого состояния равновесия - динамики краевых задач (7), (8) и (7), (9), зависящих от континуального параметра с € (—те, те).
Характеристическое уравнение для линеаризованных в нуле соответствующих краевых задач (7), (8), (10) и (7), (9), (10) имеет вид
I = п2к2 [—ал2 к2 + 1 — 2Ьс — 3с2], (11)
где к = 1, 2,... в случае условий (8), (10) и к = ±2, ±4,... в случае условий (9), (10). Базовыми являются следующие хорошо известные утверждения.
Утверждение 1. Пусть выполнено неравенство
п2а > 1 — 2Ьс — 3с2. (12)
Тогда нулевое решение краевой задачи (7), (8), (10) асимптотически устойчиво. Если выполнено неравенство
4п2а > 1 — 2Ьс — 3с2, (13)
то нулевое решение краевой задачи (7), (9), (10) тоже асимптотически устойчиво.
В этих случаях все решения из некоторой достаточно малой окрестности нулевого состояния равновесия рассматриваемых краевых задач соответственно стремятся к нулю при Ь -те. Тем самым решения и(Ь, х) краевых задач (5), (2) и (5), (3) с близкими к постоянной с и удовлетворяющими условию М(и(Ьо,х)) = с, стремятся к постоянной с при Ь -те.
Утверждение 2. Пусть при а > 0 выполнено неравенство
п2а < 1 — 2Ьс — 3с2. (14)
Тогда нулевое решение краевой задачи (7), (8), (10) неустойчиво. Если же выполнено неравенство
4п2а < 1 — 2Ьс — 3с2, (15)
то нулевое решение краевой задачи (7), (9), (10) тоже неустойчиво.
При условии (14) или (15) в достаточно малой окрестности нуля не может быть аттрактора у рассматриваемых задач, соответственно. Тем самым задача о динамике этих краевых задач становится нелокальной. Поэтому динамика краевых задач (5), (2) и (5), (3) в окрестности состояния равновесия ио(Ь, х) = с тоже является нелокальной.
При условии, когда для некоторого со в (12), (14) вместо неравенства стоит строгое равенство
3с2 + 2Ьсо — 1 + П2а = 0, (16)
в задаче об устойчивости краевой задачи (7), (8), (10) возникает критический случай. Этот критический случай имеет единичную размерность. Для краевой задачи (7), (9), (10) критический случай выделяется равенством
3с2 + 2Ьсо — 1 + 4п2а = 0.
(17)
Размерность этого критического случая равна двум (с двумя группами решений).
Эти два случая соответственно рассматриваются в разделах 2 и 3. В разделе 4 изучается вопрос о существовании неоднородных состояний равновесия в краевых задачах (5), (2) и (5), (3).
1.1. Критический случай в краевой задаче (7), (8), (10). Рассмотрим вопрос о локальной динамике краевой задачи (7), (8), (10) при условии
с = со + ес1,
(18)
где со является корнем уравнения (16), с1 = 0 - как-то фиксировано, а е - малый положительный параметр,
0 < е < 1. (19)
Из условий (16), (18), (19) вытекает [4], что в некоторой достаточно малой и независящей от е окрестности нулевого состояния равновесия рассматриваемой краевой задачи существует одномерное устойчивое локальное инвариантное интегральное многообразие, на котором эту краевую задачу можно записать в виде нормальной формы, то есть в виде скалярного нелинейного уравнения первого порядка [5]. Для определения элементов этого уравнения воспользуемся стандартной процедурой (см., например, [6]). Введём в рассмотрение формальный ряд
1 3
и(Ь, х, е) = е2^(т) еов(пх) + еи2(т, х) + е2и3(т, х) +
т = еЬ.
(20)
Подставим (20) в (7), (8), (10) и будем собирать коэффициенты при одинаковых степенях е. На первом шаге, собирая коэффициенты при е1/2, получаем верное тождество, а на втором - для определения и2(т, х) приходим к краевой задаче
дх2
д2и2 —а — ви2
д 2
= ох2 (ео*2
ди2 дх
д3и2
х=о,х=1
дх3
= 0, М (и2) = 0.
х=о,х=1
Отсюда получаем, что
и2(т, х) = А%2 еов 2пх, А = у(2|3 — 8ап2)
21
На следующем шаге для нахождения и3(т, х) получаем краевую задачу
дх2
д2у3 о —а^т^— ри3
дх2
2
= |еов(пх) — п (2Ь + 6со)с1 еов(пх) + (2
т (еов3 пх) — 2у^3А^т (еов(2пх) еов(пх)) (х2 (х2
дУ3
дх
д3и3
х=о,х=1
дх3
= 0, М (и3) = 0.
х=о,х=1
где
8 = 2п2(Ь + 3с0)с1, о = — ^ п2 — ул2Л
Таким образом, уравнение (21) с точностью до слагаемых порядка 0(е1/2) является нормальной формой для краевой задачи (7), (8), (10). Оно описывает, в главном, поведение всех решений (7), (8), (10) с начальными условиями из некоторой достаточно малой окрестности нулевого состояния равновесия. Уравнение (21) интегрируется в явном виде. При 8о < 0 у (21) имеется два ненулевых состояния равновесия = (—8/о)1/2. Согласно асимптотической формуле (20), им отвечают два ненулевых неоднородных состояния равновесия и±(х,е) = е1/2^± еов(лх) + +0(е).
Сформулируем итоговое утверждение.
Теорема 2. При условиях 8 = 0, о = 0 и при всех достаточно малых е поведение решений (7), (8), (10) из некоторой достаточно малой и независящей от е окрестности нулевого состояния равновесия определяется уравнением (21):
10. При 8 > 0, о > 0 в этой окрестности не существует аттрактора;
20. При 8 > 0, о < 0 нулевое решение неустойчиво и существует два устойчивых состояния равновесия и±(х,е);
30. При 8 < 0, о > 0 нулевое решение устойчиво, а и±(х, е) - неустойчивы;
40. При 8 < 0, о < 0 все решения из рассматриваемой окрестности стремятся к нулю при Ь — то.
1.2. Критический случай в краевой задаче (7), (9), (10). Здесь предполагаем, что выполнено условие (17). При этом два корня характеристического уравнения (11) при к = ±2 являются нулевыми, а все остальные отрицательные. Положим, как и выше,
с = с0 + ес1, где 0 < е ^ 1.
Тогда при всех достаточно малых е в некоторой достаточно малой и не зависящей от е окрестности нулевого состояния равновесия краевой задачи (7), (9), (10) имеется устойчивое двумерное локальное инвариантное интегральное многообразие [4]. На нём исходную краевую задачу можно записать в виде специального скалярного нелинейного комплексного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Именно это уравнение и определяет (при выполнении некоторых условий типа общности положения) локальное поведение решений задачи (7), (9), (10) в указанной малой окрестности. Для построения нужного уравнения воспользуемся стандартным алгоритмом (см., например, [6]).
Введём в рассмотрение формальный ряд
13
и(Ь, х, е) = е2 (^(т) ехр(2лгх) + 5^(т) ехр(—2лгх)) + еи2(т, х) + е2и3(т, х) + ..., (22)
где т = еЬ, а Vj (е, х) - 2п-периодичны по х. Подставим (22) в (7), (9), (10) и будем приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях е. На первом шаге приходим к верному тождеству, а на втором - получаем уравнение для и2(т, х). Интегрируя его, находим, что
и2(т,х) = —у0(12л2а)-1^2 ехр(4лгх) — у0(12л2а)-1!2 ехр(—4лгх).
На третьем шаге, собирая коэффициенты при е2, получим уравнение для и3(т, х). Из условия его разрешимости в указанном классе функций получаем равенство
(2п)-2 (Т = РхВ + ( В|В|2, (23)
в котором р1 = 2(Ь + 3со)с1, ( = — 3 + у2(6п2а)-1. Отметим, что при р1 ( < 0 уравнение (23) имеет множество состояний равновесия вида Во exp(iф) (ф € [0, 2п)), где Во = (—в1/()1/2.
Теорема 3. При условиях р1 = 0, ( = 0 и при всех достаточно малых е динамика уравнения (23) определяет поведение решений краевой задачи (7), (9), (10) в малой окрестности нулевого состояния равновесия.
Более подробно: при 13^ < 0 краевая задача (7), (9), (10) имеет неоднородное состояние равновесия ио(х,е) = е1/2Во exp(2пix) + О(е). Оно устойчиво при р1 > 0 и неустойчиво при Р1 < 0. При < 0, ( < 0 все решения из малой окрестности нуля стремятся к нулю при Ь — те. Если же р1 > 0, (> 0, то задача о динамике становится нелокальной.
1.3. О неоднородных состояниях равновесия краевой задачи (5), (3). Сначала отметим, что эти состояния равновесия являются 2п-периодическими решениями уравнения
а £ + / И = Ь (24)
где Ь € (—те, те), а /(ю) = ю + Ью2 — ю3. Функция /(ю) имеет локальный минимум /- и локальный максимум /+, причём
1 b f± = f (m±), m± = 3 ь ±у +
При h < f- и h > f+ уравнение (24) не может иметь неоднородных периодических решений. Ниже предполагаем, что
f- <h< f+.
При этих условиях через mi < < тз обозначим корни уравнения
f (m) = h.
Через mc(x) обозначим решение (24) с начальными условиями
mc(0) = c, m^0) = 0.
Это решение заведомо периодическое либо при c € (mi, m2), либо при c € (m2, m3). Его период обозначим через Th(c). Заметим, что
lim Th(c) = 2n(af' (т2))-2. (25)
C—
Если Th(c) определено при c € (m1, m2), то lim Th(c) = oc.
c—mi+0
Если Th(c) определено при c € (m2, m3), то lim Th(c) = oc.
c—m 3-0
Отметим ещё, что lim Th(c) = o, lim Th(c) = o.
h—fi+0 h—f2-0
Из приведённых соотношений уже легко сделать вывод о существовании 2п-периодического решения (24). Этот вывод связан с разрешимостью уравнения
Th(c) = 2nn-1 (n = 1,2,...). (26)
Учитывая (25), заключаем, что уравнение (26) разрешимо при
а/'(ю2) < л2.
Осталось заметить, что соответствующее состояние равновесия устойчиво при условии п = 1 в (26), а при п > 1 - неустойчиво.
Асимптотика при а — 0 периодических решений исследована в [7,8].
2. Бифуркации в обобщенном уравнении Кана-Хилларда
2.1. Постановка задачи. Исследуется обобщенное уравнение Кана-Хилларда, которое отличается от (1) наличием ещё одного слагаемого Лди/дх, стоящего в скобках:
ди д2 дЬ дх2
д2и .ди 1 2 3
а2 + Л— + и + Ьи — и
дх2 дх
(27)
Вместе с (27) будем рассматривать периодические краевые условия
и(Ь,х + 2п) = и(Ь,х). (28)
В отличие от (1), (2) у краевой задачи (27), (28) могут быть только однородные состояния равновесия и(Ь,х) = с (с € (—то, то)). В (27) произведем замену
и(Ь, х) = х) + с.
В результате получим краевую задачу
ди д2 дЬ дх2
д2и , ди 2 3
а^ + + ви + уи2 — и3
дх2 дх
(29)
и(Ь,х + 2п) = и(Ь,х), (30)
где в = 1 + 2Ь — 3с2, у = Ь — 3с. Важно отметить, что из условия
2п
М(и(Ь0,х)) = — I и(Ь0,х)(1х = 0 2п )
1
0
следует выполнение при всех Ь > ¿0 условия
М (и(Ь,х)) = 0. (31)
Таким образом, множество всех решений (27), (28), для которых М(и(Ь,х)) = с, является инвариантным интегральным многообразием. Отсюда вытекает корректность постановки следующей задачи: исследование локальной - в окрестности нулевого состояния равновесия -динамики всего семейства, зависящего от параметра с, краевых задач (29), (30) при дополнительном условии (31). Отметим, что краевые задачи (27) и (28) изучались в [3].
Вначале рассмотрена бифуркация Андронова-Хопфа. В разделе 3 исследован критический случай бесконечной размерности, который выделяется условием |Л| ^ 1.
2.2. Бифуркация Андронова-Хопфа. При исследовании локальной динамики краевой задачи (29)-(31) важную роль играет расположение корней Ли характеристического уравнения для линеаризованной в нуле краевой задачи:
Ли = —ак4 + гк3Л + вк2, к = ±1, ±2,... (32)
В случае, когда а > —в, все корни (32) имеют отрицательные вещественные части. Отсюда следует, что все решения (29)-(31) из некоторой достаточно малой окрестности нуля стремятся к нулю при Ь — то. Если же а < —в, то среди корней (32) есть корни с положительной вещественной частью, а значит, поставленная задача о динамике становится нелокальной.
Ниже предполагаем, что имеет место критический случай. Пусть значение с = с0 такое,
что
а = в = 1 — 2Ьс0 — 3с2. (33)
При этом, конечно, выполнено неравенство а > 0, то есть
1 — 2Ьс0 — 3с2 > 0.
Фиксируем произвольно значение с1 и положим в (29)
с = с0 + ес1, (34)
где е - малый положительный параметр, то есть
0 < е < 1. (35)
Исследуем поведение всех решений краевой задачи (29)-(31) из некоторой достаточно малой и независящей от е окрестности нулевого состояния равновесия при условиях (33)-(35).
В этом случае характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней Л±1 = ±гЛ + О(е), а все остальные его корни имеют отрицательные (и отделенные от мнимой оси) вещественные части. Тем самым выполнены условия бифуркации Андронова-Хопфа.
Воспользуемся известными результатами (см., например, [4,5]). В малой окрестности нулевого состояния равновесия (29)-(31) существует локальное устойчивое двумерное инвариантное интегральное многообразие, на котором эта краевая задача может быть записана в виде скалярного специального комплексного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Для того чтобы выписать это уравнение - его называют нормальной формой - применим следующий формализм.
Введём в рассмотрение формальный ряд
1 — 3
и = е2 [^(т) ехр(гх + гЛЬ) + ^(т) ехр(—гх — гЛЩ + еи2(Ь, т, х) + е2и3(Ь, т, х) + ... (36)
Здесь т = еЬ - медленное «время»; функции (Ь, т, х) - 2п/Л-периодичны по Ь и 2п-периодичны по х.
Подставим (36) в (29)-(31) и будем приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях е. На первом шаге, собирая коэффициенты при е 2, получим верное тождество, а на втором -уравнение для определения и2(Ь, т, х):
д2 = — £ (а+ Лдх + вЦ = —4У ехр(2гх + 2гЛЬ) + I2 ехр(—2гх — 2гЛЬ)], где в0 = 1 + 2Ьс0 — 3с0.
Отсюда приходим к выводу, что
и2 = АВ2 ехр^х + 2Ш) + АВ2 exp(—2ix — 2Ш),
где А = 2у[8а — 2во + 3И]-1.
На третьем шаге для нахождения и3(Ь, т, х) приходим к краевой задаче
ди3 д2 ( д2и3 Л ди3 дЬ дх2
( д2х>3 ди3 \
+ X—— + РоиИ =
х2 х
= (—(В + в (2Ь+6со) с1В + (2Ау+3)Щ2^ ехр^х+М) + (37)
+ (—(В + в (2Ь+6со) с1% + (2Ау+3)Щ2^ ехр(^х—М) +
+ 9 (2Ау+1) В3 ехр^х+3И) + 9 (2Ау+1) В3 exp(—3ix—3it),
и3(Ь, т,х + 2п) = и(Ь, т, х), М(и3) = 0. (38)
Условие разрешимости краевой задачи (37), (38) в указанном классе функций состоит в выполнении равенства
(В
(т = 8В + оВ|В|2, (39)
в котором
8 = 2усь о = 2Ау — 3.
Отсюда и из общих утверждений (см., например, [4]) вытекает следующий результат.
Теорема 4. Пусть 8 = 0 и И,е о = 0. Тогда при всех достаточно малых е динамика уравнения (39) определяет локальную динамику краевой задачи (29)—(31).
Поясним это утверждение. Пусть 8 > 0 и И,е о > 0. Тогда в окрестности нулевого состояния равновесия краевой задачи (29)-(31) не может существовать аттрактора, то есть задача о динамике становится локальной.
Пусть 8 > 0 и И,е о < 0. Тогда уравнение (39) имеет устойчивый цикл Во (т) = Во exp(im0т), где Во = (—8(И,ео)-1)1/2, юо = (1то)Во, а краевая задача (29)-(31) тоже имеет устойчивый цикл
ио(Ь, т, х) = е2 [Во ех^ix + i(\+ею0+o(е))t) + Во ех^—ix — ^Х+ею0+о(е))Ь)] + О(е). (40)
При условии 8 < 0 и И,е о > 0 уравнение (39) имеет устойчивое состояние равновесия и неустойчивый цикл. Краевая задача (29)-(31) тоже имеет при малых е устойчивое нулевое состояние равновесия и неустойчивый цикл (40).
При условии 8 < 0 и И,е о < 0 в (39) все решения стремятся к нулю при Ь — те, и в краевой задаче (29)-(31) тоже все решения из малой (не зависящей от е) окрестности нуля при всех достаточно малых е стремятся к нулю при Ь — те.
2.3. Исследование решений краевой задачи (29)-(31) при достаточно больших значениях параметра |Х|. Без потери общности можно считать, что параметр X отрицателен. В противном случае, это достигается заменой х — —х.
Основное предположение этого раздела состоит в том, что выполнено неравенство
-X» 1.
В (29) поделим левую и правую части на (—X). Произведём замену Ь — (—А) 1Ь и положим е = (—А)-1, то есть 0 < е ^ 1. В результате приходим к краевой задаче
ди д3и д2 ( д2и 2 Л
— е^ «ттю + ви + уи2 — и3 , (41)
дЬ дх3 дх2 \ дх2
и(Ь,х + 2п) = и(Ь,х), М (и) = 0. (42)
Исследуем поведение решений этой краевой задачи при малых е и при Ь — то. В случае е = 0 получаем краевую задачу
ди д3и
= дх3 ' и(Ь,х + 2п) = и(Ь,х), м(и) = 0. (43)
Все корни Ак характеристического уравнения для (43) являются чисто мнимыми: Ак =—гк3 (к = ±1, ±2,...). Тем самым в (41), (42) реализуется критический в задаче об устойчивости случай бесконечной размерности. Методика изучения такого типа критических случаев разработана в [3,6-8]. Применим её для рассматриваемой задачи. Положим в (41), (42)
и = и0(Ь, т, х) + еи1(Ь, т,х) + ..., т = еЬ, (44)
те
и0(Ь, т,х) = ^ "%к (т)ехр(гкх — гк3Ь). (45)
к=-те, к=0
Зависимость от Ь и х в (44) предполагается 2п-периодической и М(и0(Ь, т,х)) = 0. Подставим (44) в (41). Тогда для определения и1 (Ь, т, х) получаем краевую задачу
ди1 д3и дио д2 ( д2ио . й , 2 Л (46)
Из условия разрешимости (46) в указанном классе функций для определения элементов (т) формального ряда (45) приходим к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений
^ = —ак% + к2р^к — 3к2^к 12 ^ &12 — Цк |2 I , к = ±1, ±2,.... (47)
\ 3=-те, 3=0
Система (47) играет роль нормальной формы. Её нелокальная динамика определяет, на основе соотношения (45), поведение решений исходной краевой задачи (30), (31) в малой окрестности нулевого состояния равновесия.
Систему (47) можно записать в компактной форме. Для этого введём несколько обозначений. Во-первых, отметим, что
те
1Чз|2 = М(и2(Ь, т,х)). (48)
3=-те, 3=0
Через ю(т, х) обозначим функцию
те
ю(т,х) = ^ "%к (т)ехр(гкх), (49)
к=-те, к=0
где коэффициенты Фурье Вк те же, что и в формуле (45). Поэтому
те
£ \Вз |2 = М ([ю(т,х)]2). (50)
3 = -те, 3=0
Обозначим через N (ю) бесконечномерный вектор
N(ю) = (..., В-2 ехр(—2гкх), В— ехр(—гкх), В1 ехр(гкх), В2 ехр(2гкх), ...).
Тогда
^¡(ю) = (..., В2ехр(2гкх), В1 ехр(гкх), В— ехр(—гкх), В-2ехр(—2гкх), ...). Умножение векторов далее считаем покоординатным. Поэтому
N(ю)Ж(ю) = (..., \В2|2, \В1\2, Ы2, \В2\2, ...). Для скалярного произведения ^(ю)]Ч(ю), N(ю)) в итоге приходим к формуле
те
N (ю)N(ю), N (ю))= Вк\Вк\2 ехр(гкх).
к=-те, к=0
После этого систему (46) можно представить в виде
£ = —аШ — +3 (2М(ю2) — «ю^ф). (51)
Это уравнение следует дополнить периодическими краевыми условиями
ю(т, х + 2п) = ю(т, х). (52)
В том случае, если найдено какое-то решение краевой задачи (51), (52), то найдены для него, соответственно, и коэффициенты Фурье Вк(т) согласно (49). Затем с помощью соотношения (45) определяем функцию и0(£, т, х). Построенную так функцию и0(£,т,х) будем называть соответствующей решению ю(т, х). Тем самым находим главную часть аналитического представления для х, е) согласно (44).
Таким образом, приходим к обоснованию следующего утверждения.
Теорема 5. Пусть краевая задача (51), (52) имеет решение ю(т,х), которое ограничено при т — ж, х € [0,2п] вместе с д2ю(т,х)/дх2. Тогда краевая задача (30), (31) при всех достаточно малых е имеет асимптотическое по невязке с точностью до О(е) решение х, е) = = и0(£, т, х) + О(е), где и0(£, т, х) является соответствующей для ю(т, х).
Замечание 1. При £ = 2пт (т = 1, 2,...) значения функции ю(т,х) и соответствующей для нее функции и0(£, т,х) совпадают. Состояниям равновесия в (51), (52) соответствуют торы в (30), (31).
Замечание 2. Асимптотическое представление для х, е) можно уточнять.
Выводы
Исследовано поведение решений уравнения Кана-Хилларда в окрестностях всего континуального множества его состояний равновесия. Выделены критические случаи, приведён бифуркационный анализ. Построены асимптотики неоднородных состояний равновесия и изучена их устойчивость.
Для обобщенного уравнения Кана-Хилларда показано, что в некоторой области фазового пространства его локальная динамика описывается с помощью бифуркации Андронова-Хопфа. Приведена соответствующая нормальная форма, которая определяет поведение решений в этой области фазового пространства. Рассмотрена задача с большим коэффициентом адвекции, который приводит к бесконечномерному критическому случаю в задаче об устойчивости стационара. Показано, что локальная динамика исходной краевой задачи определяется нелокальным поведением решений специально построенной более простой нелинейной краевой задачи.
Исследование кинетики расслоения в бинарных смесях с заданной концентрацией компонентов является одной из актуальных задач физики конденсированного состояния. Уравнение Кана-Хилларда - это одна из моделей, которая используется при изучении спонтанного разделения фаз (бинарного) вещества (сплава), где неизвестная функция является относительной концентрацией компоненты вещества.
Библиографический список
1. Краснюк И.Б., Стефанович Л.И., Юрченко В.М. Колебания концентрации в ограниченных бинарных смесях с учётом поверхностных эффектов // Журнал технической физики. 2007. Т. 77, № 11. С. 55-62.
2. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of a nonuniform system. I. Interfacial free energy // J. Chem. Phis. 1958. Vol. 28. С. 258-267.
3. Кащенко С.А. Бифуркации в уравнении Курамото-Сивашинского // Теоретическая и математическая физика. 2017. Т. 192, № 1. С. 23-40. ISSN 0564-6162. DOI: 10.4213/tmf9195. URL: http://mi.mathnet.ru/tmf9195 (дата обр. 26.06.2017).
4. Марсден Д., Мак-Кракен М.Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Пер. с англ. Л.М. Лермана. М.: Мир, 1980. 368 с.
URL: http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0611154 (дата обр. 15.03.2017).
5. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 252 с.
URL: http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0542758 (дата обр. 14.03.2017).
6. Кащенко С.А., Преображенская М.М. Бифуркации в обобщенном уравнении Кортевега-де Фриза // Известия высших учебных заведений. Математика. 2018. № 2. С. 54-68. ISSN 0021-3446. URL: http://mi.mathnet.ru/ivm9330 (дата обр. 20.12.2017).
7. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов Н.Н. Асимптотическая теория контрастных структур (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. С. 4-32. ISSN 0005-2310. URL: http://mi.mathnet.ru/at2615 (дата обр. 24.04.2017).
8. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т. О системе типа реакция-диффузия-перенос в случае малой диффузии и быстрых реакций // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. Т. 43, № 7. С. 1005-1017. ISSN 0044-4669. URL: http://mi.mathnet.ru/zvmmf991 (дата обр. 24.04.2017).
9. Кащенко С.А. Нормальная форма для уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса // Доклады Академии наук. 2016. Т. 468, № 4. С. 383-386. ISSN 0869-5652.
DOI: 10.7868/S0869565216160052. URL: http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3559770 (дата обр. 09.06.2017).
References
1. Krasnyuk I.B., Stefanovic L.I., Yurchenko V.M. Analysis of oscillations of concentration in bounded binary mixtures taking into account surface effects. Technical Physics, 2007, vol. 52, no. 11, pp. 1445-1452.
2. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of a nonuniform system. I. Interfacial free energy. J. Chem. Phis., 1958, vol. 28, pp. 258-267.
3. Kashchenko S.A. Bifurcations in Kuramoto-Sivashinsky equations. Theoretical and Mathematical Physics, 2017, vol. 192, no. 1, pp. 958-973.
4. Marsden J.E., McCracken M. The Hopf Bifurcation and its Applications. Berlin: Springer, Applied Math. Series, no. 19, 1976, 408 p.
5. Bruno A.D. Local Method of Nonlinear Analysis of Differential Equations. Moscow: Nauka, 1979 (in Russian).
6. Kashchenko S.A., Preobrazhenskaya M.M. Bifurcations in the generalized Korteweg-de Vries equation. Russian Mathematics, 2018, vol. 62, no. 2, pp. 49-61.
7. Butuzov V.F., Vasil'yeva A.B., Nefodov N.N. Asymptotic theory of contrasting structures. A survey. Automation and Remote Control, 1997, vol. 58, no. 7, 1068-1091.
8. Butuzov V.F., Levashova N.T. On a system of reaction-diffusion-transfer type in the case of small diffusion and fast reactions. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2003, vol. 43, no. 7, pp. 962-974.
9. Kashchenko S.A. Normal form for the Korteweg-de Vries-Burgers equation. Doklady Akademii Nauk, 2016, vol. 468, no. 4, pp. 383-386.
Плышевская Светлана Петровна - родилась в Кокчетаве (1974), окончила Симферопольский государственный университет (1996). С 1996 года по 2010 год работала на кафедре геометрии математического факультета Таврического национального университета, с 2010 года - на кафедре дифференциальных уравнений и геометрии факультета математики и информатики (с 2015 года - факультета Таврической академии Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского). Опубликовала более 20 научных статей, связанных с теорией бифуркаций.
Россия, Республика Крым, 295007 Симферополь, проспект Академика Вернадского, 4 Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского E-mail: [email protected]
