Асимптотические разложения вероятности разорения для обобщенного процесса Пуассона Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Математика и механика № 3(4)

УДК 519.21

А.Т. Семенов АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ РАЗОРЕНИЯ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО ПРОЦЕССА ПУАССОНА

В работе рассматривается момент первого перескока t(x) = inf {t: £(i) > x} через уровень x > 0 обобщенным процессом Пуассона £(t), t > 0. Получены полные асимптотические разложения распределения t(x) при x ^ да, когда величины скачков процесса удовлетворяют условию типа Крамера.

Ключевые слова: обобщенный процесс Пуассона, вероятность разорения, преобразование Лапласа - Стилтьеса, факторизационный метод, асимптотическое разложение.

Пусть £(t), t > 0, ^(0) = 0, - случайный процесс Леви, т.е. однородный процесс с независимыми приращениями. Определим момент т(х) первого достижения или пересечения уровня х > 0 и значение у(х) процесса в момент перескока через этот уровень с помощью соотношений

т(х) = inf {t: £(t) > x} и у(х) = £(т(х)),

полагая по определению inf 0 = да. Величину у(х) будем считать неопределенной, если т(х) = да.

Если случайный процесс S(t) = х - £(t), t > 0, описывает капитал некоторой компании в момент времени t, то т(х) есть момент разорения, а у(х) - величина капитала этой компании в момент разорения при начальном значении S(0) = х.

Изучение распределения граничных функционалов т(х) и у(х) представляет большой интерес как в финансово-актуарной математике, так и в задачах хранения запасов, математической статистики и др. Нахождение искомых распределений в явном виде возможно только для очень частных процессов £(t). Результаты для процессов общего вида имеют, как правило, асимптотический характер.

Данная статья тесно примыкает к работам автора [1, 2], в которых (при определенных условиях на процесс £(t)) получены полные асимптотические разложения при х ^ да вероятности разорения на конечном промежутке времени

Ж(х, t) = P{т(х) < t}. (0.1)

Вне рассмотрения в этих работах остался случай «арифметических» процессов Леви, которыми являются обобщенные процессы Пуассона.

Обобщенный процесс Пуассона - это случайный процесс вида

N (t)

) = Sn(t) = I , t * 0, $(0) = 0 , (0.2)

i=1

где N(t) - простой пуассоновский процесс с параметром а > 0, { £г-, i > 1} - независящая от процесса N(t) последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (с.в.). Процесс £(t) является однородным процессом с

независимыми приращениями со скачкообразными траекториями, величины интервалов {тI > 1} между соседними скачками которого независимы и распределены по экспоненциальному закону с параметром а. Заметим, что в силу тождества Вальда

Е^) = Е^гЕЩ0 = а El¡yL (0.3)

Предельное распределение граничных функционалов т(х) и у(х) для обобщенных пуассоновских процессов со сносом изучено в работах [3, 4], а асимптотические разложения для полунепрерывных процессов - в [5].

Как и в работах [1, 2], в настоящей статье используется факторизационная техника А.А. Боровкова [6, 7] и методика асимптотического анализа В.И. Лотова [9, 10]. Данный подход состоит из ряда этапов. На первом из них двойное преобразование Лапласа - Стилтьеса (по пространству и времени) над совместным распределением функционалов т(х) и у(х):

Р{и, X; х) = Е {е-“т(х)у(х); т(х) < да} =

ГО ГО

= | е-ш |е уР{ т(х) € &, у(х) € u > 0, Re X < 0, (0.4)

0 х

выражается через положительную компоненту факторизации функции 1 - zф(X)(1 - zp(X)), где ф(Х) (р(Х)) - преобразование Лапласа - Стилтьеса (производящая функция) величин скачков процесса £(/). Затем, используя особенности положительной компоненты факторизации, выделяется главный член асимптотики этого преобразования при x ^ да и оценивается возникающий при этом остаточный член. Получается так называемое асимптотическое представление преобразования Лапласа - Стилтьеса. Для нахождения вероятности разорения W(x, () необходимо обратить полученное представление по временной переменной, например, с помощью контурного интегрирования и модификации метода перевала. Эта часть асимптотического анализа (третий этап) является наиболее сложной. Получаемые в итоге полные асимптотические разложения вероятности разорения будут содержать коэффициенты, определяемые с помощью цепочки формул, что является достаточно громоздкой в техническом отношении процедурой и, как следствие, результаты не будут наглядными.

В данной работе метод перевала не применяется. Вместо этого проводится анализ главной части асимптотики преобразования Лапласа - Стилтьеса

Р{ы, 0; х) = Е | е-“т(х{; т(х) < да} вокрестности точки и = 0, что приводит к асимптотическим разложениям с коэффициентами, являющимися функциями переменных u и x. Как функции u они являются преобразованиями Лапласа - Стилтье-са от соответствующих прообразов, которые могут быть найдены из таблиц обратных преобразований Лапласа - Стилтьеса.

Заметим, что в работах [1, 2], в отличие от настоящей, для асимптотического анализа распределения граничных функционалов использовались компоненты факторизации более сложной функции и/(и - у(Х)), где у(X) = 1п Е ехр(Х£(1)). Кроме того, коэффициенты асимптотических разложений имеют вероятностный смысл.

1. Представления для преобразования Лапласа - Стилтьеса

Рассмотрим случайное блуждание Sn = £1 + ... + n > 1, порожденное последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин (с.в.) £1, £2, ■ ■■, являющихся величинами скачков обобщенного пуассоновского процесса (0.2). Положим цk = , к > 1. Если ф(Х) = E(e), Re Х = 0, - преобразова-

ние Лапласа - Стилтьеса величин скачков процесса £(t), то из представления (0.2) нетрудно получить преобразование Лапласа - Стилтьеса для процесса £(t):

E (e U(t}) = exp {at (ф(Х) -1)}, Re X= 0 . (1.1)

В работе всюду будет предполагаться выполненным следующее условие кра-меровского типа на распределение величин скачков процесса £(t).

С) 1. Распределение £1 содержит абсолютно непрерывную компоненту.

2. | ф(Х) | < да при m _ < Re X < m + , m _ < 0, m + > 0. Если p1 < 0, то дополнительно предполагаем, что ф( m +) > 1; при р1 > 0 предполагаем ф( m _) > 1.

Для случайного блуждания {Sn, n > 1} и любого xeR определим лестничные моменты

П + (x) = inf {п > 1: Sn > x}, n - (x) = inf { n > 1: Sn < x}

(полагая по определению inf 0 = да) и лестничные высоты х ± (x) = ± (х). На со-

бытиях {n ± (х) = да} величины % ± (х) будем считать неопределенными. Положим П ± (0) = п ±и X ± = ± .

Хорошо известно [6, 7], что функция 1 - гф(Х) допускает следующую факторизацию на прямой Re X = 0:

1 - zф(X) - r + (X)r_ (X), |z| < 1, (1.2)

где функции r1;1 (X) аналитичны в области Re X < 0 и непрерывны вплоть до границы, а r11 (X) аналитичны в области Re X > 0 и непрерывны на границе. Компоненты факторизации (1.2) выражаются через преобразования лестничных моментов и высот:

rz±(X) = 1 -E{zn± eХх±;п± <да}, Re} = 0, \z\ < 1. (1.3)

При выполнении условия С) факторизация (1.2) справедлива в полосе m_ < Re X < m+.

На множестве преобразований Лапласа - Стилтьеса, т.е. функций g(X), представимых в виде

ГО ГО

g(X) = | y dG(y), Л dG(y)| < да,

— ГО —ГО

определим оператор проектирования на множество А:

Г -|A

го

I exydG(y) = | exydG(y).

-го A

Теорема 1.1. При Re и > 0 и Re X < 0 для двойного преобразования Лапласа -Стилтьеса (0.3) имеет место представление

Р{и,X; х) = г + (X)[г-1 (X)] [х’да), (1.4)

а а

где г =-------.

а + и

Доказательство. По теореме сложения математических ожиданий для полной группы несовместных событий имеем

hu, X; x) = E { e-u T(x)+x Y(x); T(x) < да} =

= J e-ut dt E {(x); t(x) < t }= J e- ut dt 2 E {(x); t(x) < t, N (t) = n}. (1.5)

0 0 n=0

Событие {N(t) = n} означает, что за время t процесс £(t) совершил n скачков в

моменты ti = Ti, t2 = Ti + T2, ..., tn = Ti + ... + Tn. Поэтому

{т(x) < t, N(t) = n} = j £ Ti < tj . (1.6)

Если происходит перескок через уровень x > 0 скачкообразным процессом £(t), то он происходит в некоторый момент скачка, т.е.

т(х) = min {n: £(tn) > x}. (1.7)

Но по определению обобщенного пуассоновского процесса величина £(tn) есть сумма n независимых с.в. Е,[ = ^ ,..., ^П = ^, имеющих то же самое распределение, что и с.в. ..., £„. Поэтому, в силу (1.7),

т(х) = n+(x) = min {n: Sn > х}, (1.8)

где первое равенство понимается по распределению.

С учетом соотношений (1.6) и (1.8) равенство (1.5) можно переписать следующим образом:

Л ГО Г . S n ^

F(u, X; x) = X J e-utdt E (x); n+ (x) = n, I x; < t\. (1.9)

n=0 0 l i=1 j

Изменение порядка интегрирования и суммирования в предыдущей формуле законно в силу равномерной сходимости ряда в указанной области изменения переменной X. Поскольку с.в. {у и {т;} в (1.9) независимы, то

Л w ( 1 S Г n ^

F(m, X; x) = 2 E\e (x); n+ (x) = n ¡{ e-utdP\ 2. (1.10)

n=0 ^ 0 L J

С.в. {t;} распределены по экспоненциальному закону с параметром а, поэтому

а

f e-utdP{х,- < г}=-^-, i > 1.

0 а + u

Так как с.в. {т;} независимы, то

1 e-dP\ £ Ti < t} = (—!" . (1.11)

0 l i=1 J V a + u)

Подставляя правую часть равенства (1.11) в формулу (1.10), получаем Р(и, X; х) = 2 Г——1 Е\гх^+ (х); п+ (х) = п} =

п=о \а + и) >■ >

-V({zn+(x); n+ (x) <œ } , (1.12)

где ъ =----.

а + и

Доказательство теоремы 1.1 завершает тот факт, что в работе Кемпермана [8] показано, что при Re X < 0 и | г | < 1 (что в нашем случае, очевидно, выполнено)

Е{ еХ^(х) гп+(х); п+ (х) < * } = г + (X) [г} (X)] [х’ю).

Для исследования двойного преобразования Р(и, X; х) нам понадобятся некоторые свойства о положительной компоненте факторизации г + (X), известные из

[7]. Внутри полосы т _ < Re X < т + функция ф(Х) аналитична и является выпуклой функцией от X. Из второй части условия С) следует, что при некотором е > 0 функция 1 - гф(Х) имеет два вещественных нуля Х±(г), г е [1 - е, 1], Х_(г) < Х+(г). Функции X ± (х) могут быть аналитически продолжены в некоторую окрестность

отрезка [1 - е, 1] при Ф 0 и в ту же окрестность, но с разрезом по лучу г > 1 в случае р,1 = 0. При этом X ± (х) по-прежнему остаются нулями функции 1 - гф(Х).

Положим X± = Х ± (1). Тогда, очевидно, Х± = 0 при р1 = 0; Х_ = 0, Х+ > 0 при

р1 < 0 и Х_ < 0, Х+ = 0 при р1 > 0. Известно также [7], что для любого е > 0 найдется такое число 8 > 0, что положительная компонента факторизации г + (X) аналитична в области Re Х < Х+ + 8, непрерывна на границе и единственным ее нулем в области Re Х < Х+ + 8 для г, близких к единице, является Х+ (г). Функция

г + (X)

V* (X) = - '

Х-Х+ ( z)

аналититична в области Re X < Х+ + 8 и непрерывна на границе, | z - 1 | < 1. Определим множества

UE = {и : 0 < Re и < є, | Im u | < є }

и KE = {u :0 < Re u < є ,|lm u |>s }.

Теорема 1.2. Предположим, что выполнено условие С). Тогда существуют такие числа є > 0 и 8 > 0, что при Re X < Х+, ul UE и x ^ œ имеет место представление

F (u, X; x) = fz (X) e(x-x+ (z)) x [ 1 + O (e-(X+ +S) x )] + J ex y dфz(.y), (1.13)

X

\ a

где z =-----,

a + u

a

V (X) г + (X)

^ (X) = X 7^ = 0 х А , п ( Л ,, (1.14)

^ (х+(г)) (х - х+(г)) г2+ (х+(г))

| (у)| < Се-(х+ +8)у, у > х, С > 0 ,равномерно по и1 Це . (1.15)

При Re Х < Х+, м1 КЕ и х ^ да имеет место представление

ГО

^(и,X;х) = { еху 1 уа(у), (1.16)

X

где

с

| уИ(у) | <-----те-(Х+ +8)^’ У - х’ С > 0,равномерно по и1 КЕ . (1.17)

| и + а |

Доказательство. Для случайного блуждания ^„, п > 1} представление (1.13) и оценка (1.15) получены в работе [9, теорема 1.1] для функции

Е (г, X; х) = Е { г п+(х) еК ^п+ (х); п+ (х) < « | ,когда г е = { г :| г \ < 1, | г -11 <б}. Поскольку исследуемое нами преобразование Р(и, X; х) и функция Е(г, Х; х) связаны

равенством Р(и, X; х) = Р I—, X; х I, а отображение г =—а— переводит мно-

уа+и ) а +и

^ а

жество ив в Ьё с £ =-------, то (1.13) и (1.15) следуют из указанной теоремы в [9].

а + £

Отметим, что с помощью следствия 3.1 из работы [9] при и1 КЕ легко получить оценку

\Уи 0)1 ^ СеГ (к +5)У > У ^ х >

однако этого в нашем случае недостаточно.

Пусть при Re Х < Х+, и1 и

)+ + « - I** у<(>■).

0

го

)•« ■ 'С м -1 е1' ". (>■)

0

(1.18)

а

При любом е >0 образ множества КЕ при отображении г =--- принадлежит

а + и

множеству |г -1| > £ , |г| < 1 при некотором ё . Поскольку для таких г разложения (1.18) имеют место при Re Х < 81 = Х+ + 8, по формуле обращения преобразований Лапласа - Стилтьеса имеем

ъ(у)I I

2п * КеХ=б! Х 2п * КеХ=б! Х К - (Х)

I ¿х—а-----^ I е->-Ул, = ,1 -

2п г' КеХ=8! Х \ - (Х) а + « 2п г' КеХ=8! Х \ - (Х)

Интеграл 11 = 0, так как подынтегральная функция аналитична для ReX > 0. Поскольку подынтегральная функция в 12 аналитична при 0 < Re Х < 81 и непрерывна на границе Re Х = 81, то

Далее,

(,) __L 1 £«dx-J- i *•- M(a/(a+u)>ф(Х)^,dy

2n 1 ReX=Sj X 2п *' ReX=Sj X ( - (/(a + u)ЖХ))

1 f h - (X) e-Xy : J --------dX = I3 - I4 ,

2n * ReX=Sj X

c

где I4 = 0 И I I3 I < -—-—- e- J81 .

I a + u I

В силу представлений (1.4) и (1.18) имеем

го у—x ГО

F(и, X; х) = J еху dy J Fu (y - v)dGu (v) = f exy d(y),

x 0 x

откуда с помощью полученных выше оценок получаем

ГО ГО

К0)1 <1 F(у)\ Ц düu(у)\ + | Gu001 ЦdFu(у)|, 5! = Х+ + 5.

0 0 I a + u I

2. Асимптотические разложения вероятности разорения

В силу формулы обращения для преобразований Лапласа - Стилтьеса имеем

W(x, t) = P{т(х) < t}=— f F(u 0; x) etu du = I(x; t), (2.1)

2ni c-iw U

где c > 0. Подынтегральная функция в (2.1) аналитична в полуплоскости Re и > 0, непрерывна и ограничена вплоть до границы Re и = 0, за исключением некоторой малой окрестности точки и = 0. Так как по лемме Жордана

lim ±'j+ С F(u 0; x) etu du = lim J F(Z ±iA 0; X) et(z±iA) dz = 0 ,

A^-ro ±iA u A^-ro о z ±iA

то контур интегрирования в (2.1) можно заменить на мнимую ось. При этом лежащую на ней точку и = 0 обойдем справа по окружности радиуса s (s > 0 -произвольное достаточно малое число). Обозначим этот контур K, и пусть K = K X UE, K2 = K X КЕ.

Запишем интеграл I(x; г) в следующем виде:

I(x; t) = — f F(u 0; x) du +— f F(u 0; x) du = Д (x; t) +I2 (x; t). (2.2)

2ni u 2ni u

В силу оценки (1.17) нетрудно видеть, что для некоторого 5 > 0 при x ^ Ж

12 (x; t) = O (e- (x++s) x). (2.3)

Из представления (1.13) при X = 0 следует, что для некоторого 5 > 0 и х ^ ж

F(и, 0; x) = E{e-uT(x) ; t(x) <«} = f (и) e-X+(u)x + O( e- (X ++S)x ), (2.4)

где

va/(a+u)(0) 1 - E {a /(a + u) )П + ; П + <œ)

f (u) = ( a)-------=----------,------Ц---------------------------------r-. (2.5)

va/(a+u)(X(u)) X + (u)E|x+ (a/(a + u))n + exp(X + (u)x + ); П + <œ}

Соотношение (2.4) выполняется равномерно по ul UE при некотором s > 0 (значе-

ние правой части (2.4) в точке u = 0 можно доопределить по непрерывности).

Асимптотический анализ интеграла Zi(x; t) проводится с учетом представления (2.4) по схеме, изложенной в [1, 2] и состоящей из двух этапов. На первом этапе

подынтегральная функция F(u, 0; x) заменяется асимптотическим разложением в

окрестности точки u = 0. При этом следует отметить, что в случае р1 = 0 точка u = 0 является точкой ветвления второго порядка подынтегральной функции, а в случае р1 Ф 0 подынтегральная функция аналитична в окрестности точки u = 0. Поэтому в зависимости от значения р1 функция F (u, 0; x) будет иметь разное

асимптотическое представление. Так при р1 = 0 для ul UE имеют место разложения

Х+ (u) = a]л/й + a2u + a3u3/2 + ... ; (2.6)

exp {- x X + (и)} = e-“1Æ <| 1 + j£ ç j ((U) j ; (2.7)

f (u) = 1 + PjVU + P2u + ..., (2.8)

где корень квадратный понимается в смысле главного значения.

Здесь

I 2 P-3 a E X +

ai —’ a2 =~’ Pi =-ai^— ;

VH 2 h2 E x +

- полиномы относительно -n/m степени не выше 2j ,

ç1 ((U) =-a2u, Ç2 ((u ) = 2a2 u2 -a3 u3/2 .

При исследовании асимптотики вероятности разорения W(x; t) в случаях p = 0 и p1 Ф 0 используется разная нормировка с.в. т(х). Так, при p1 = 0 рассматривается нормированная с.в. т(х)/х2, что равносильно замене переменной u в (2.4) на u / х2. Подстановка асимптотических разложений (2.7) и (2.8) в (2.4) приводит к следующему разложению при x ^ œ, справедливому для любых u и х, таких, что u / х I UE :

F(u / x2,0; x) = E {e u t(xx ; t(x) < œ}:

= e-“‘Æ jl + £ e j «j/2 x- j jj 1 + £ ç j (VU ) x- j j + O ( e-5 x ) =

= Е /](«)х-+ 0( 8х) (2-9)

]=0

где /0(и) = е-“1 , /х(и) = е-“1 ^ -а2и.

Напомним, что Х+ = 0 при ^ = 0.

Коэффициенты полученных разложений функции Р(и, 0; х), при соответствующей нормировке, являются функциями и и х, как при = 0 (см. (2.9)), так и при р1 Ф 0. Как функции и они представляют собой преобразования Лапласа -Стилтьеса соответствующих прообразов, которые могут быть найдены из таблиц обратных преобразований Лапласа - Стилтьеса (например, [11]). Следующий этап состоит в обосновании законности почленного обращения разложения функции

Р(и, 0; х), который проводится аналогично проделанному в [2] и не приводится здесь. Приведем окончательные результаты.

Теорема 2.1. Предположим, что выполнено условие крамеровского типа С). Пусть р1 = Е^1 = 0 и х ^ да. Тогда для любых ? > 0 и т > 0

>{{ < t}= } Fj(t)x-j + O(x-m-1) ,

\ X ! j=0

где

c-iж U

- прообразы членов разложения (2.9),

2 Ш 2 F (t) = -;= } e-y /2 dy .

V2n aj/,/27

Теорема 2.2. Предположим, что выполнено условие крамеровского типа С). Пусть pi = E^i Ф 0 Дj = ф'(Х +) и x ^ ж. Тогда для любых t > 0 и m > 0

-1

__________^1

VX

T(x) x^’ <t UP{ t(x) <да }+ 2 Fj(t)x-j + O(x-m-1),

где

P { t(x) < « } = 1 при pi > 0

P { т(х) < « } = Ce X +x (1 + O(e (X ++ S)x)) при pi < 0,

1 - P{ п + < да}

C =-------- / +---------i—г и 5 > 0.

X + E{e + x +; п + < да}

Здесь Р^ (), у > 0, - прообразы членов разложения функции Р окрестности точки и = 0.

л/Х

и

3. Заключительные замечания

1. Результаты данной работы без каких-либо осложнений переносятся на случай обобщенных процессов Пуассона с решетчатыми скачками, подчиняющимися условию С) Крамера. Изменения в доказательствах сведутся к замене интегралов суммами. Необходимые сведения о свойствах факторизационных компонент для этого случая содержатся в [12].

2. Во втором пункте условия С) предполагается, что при p,j Ф 0 должно выполняться неравенство ф(т ±) > 1. Если ф(т ±) = 1, то результаты данной работы остаются справедливыми при дополнительном ограничении ф'(Х±) < <» (см. [6, гл.4,

теорема 11]).

3. Если ф(т ±) < 1, то экспоненциальный характер асимптотики вероятности разорения не сохраняется. В этой ситуации вероятность разорения является над-степенной (см. [6, гл.4, теорема 12]).

4. Случай ф(т ±) = 1, | ф'(А, ± )| = ж, оказывается «переходным» между двумя

типами асимптотик: экспоненциальной и надстепенной. При этом характер «перехода» является достаточно сложным (см. [6, гл.4, п.5]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Семенов А.Т. Асимптотические разложения вероятности разорения для процессов Леви. I // Вестник ТГУ. Приложение. 2006. № 19. С. 191 - 198.

2. Семенов А.Т. Асимптотические разложения вероятности разорения для процессов Леви. II // Там же. С. 198 - 202.

3. Королюк В.С. Граничные задачи для сложных пуассоновских процессов. Киев: Наукова думка, 1975.

4. Фохт А.И. О распределении величины первого перескока для обобщенного пуассонов-ского процесса // Теория вероятностей и ее применения. 1974. Т. 19. № 1. С. 159 - 163.

5. Королюк В.С., Боровских Ю.В. Аналитические проблемы асимптотики вероятностных распределений. Киев: Наукова думка, 1981.

6. Боровков АА. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972.

7. Боровков А.А. Новые предельные теоремы в граничных задачах для сумм независимых слагаемых // Сибирский математический журнал. 1962. Т. 3. № 5. С. 645 - 694.

8. Kemperman J.H.B. A Wiener-Hopf type method for a general random walk with a two-sided boundary // Ann. Math. Stat. 1963. V. 34. No. 4. Р. 1168 - 1193.

9. Лотов В.И. Предельные теоремы в одной граничной задаче для случайных блужданий // Сибирский математический журнал. 1999. Т. 40. № 5. С. 1095 - 1108.

10. Лотов В.И. Асимптотический анализ распределений в двуграничных задачах. I. II // Теория вероятностей и ее применения. 1979. Т. 24. № 3. С. 475 - 485; 1979. Т. 24. № 4. С. 873 - 879.

11. Бейтмен Г., Эрдейн А. Таблицы интегральных преобразований. Т.1. М.: Наука, 1969.

12. Боровков АА, Рогозин Б.А. Граничные задачи для некоторых двумерных случайных блужданий // Теория вероятностей и ее применения. 1964. Т. 9. № 3. С. 401 - 430.

Статья принята в печать 16.10.2008 г.