CC BY
30
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛЮСТЕРНИКА
А.В. Кочнее
Рассмотрена связь функций Люстерника и специального случайного процесса на локально-компактной группе. Получена предельная теорема для этого процесса. Получен главный член асимптотического разложения функций Люстерника.
Ключевые слова: асимптотические разложения, специальные функции, преобразование Фурье
I. Обозначения и определения. Нам будет удобно в дальнейшем для сокращения записи использовать следующие обозначения:
х =
V '4'
Пусть к = л, ,А =
,кі, А] & Ъ. Определим функции Ок(г) следующим образом:
_к+тА
г Г
_к\ +тЛ[
г,.є(
£ж(к + тА)\ £2(к1+тА])\-...-(к„ + тАпу: " (1)
Функции (1), впервые определенные в [1], называются функциями Люстерника и являются широким обобщением классических специальных функций математической физики -цилиндрических функций, в частности функций Бесселя, функций параболического цилиндра и
ДР- Пусть {е,}пы - базис в аддитивной группе Ж”. Рассмотрим случайное блуждание, задаваемое однородной переходной функцией Р(х,у):
\р,, у-Х = е. п
\/х,уе К": Р(*, .у) = ДО, у-*) = -! , %Р;=1
[0,у-х.*Є] р
(2)
и рандомизованное пуассоновским процессом с параметром Я - количество ЫТ переходов за время т дается соотношением
Р{Кт=8} = е-Хт(^~, * = 0,1,.... я!
(3)
Е" - абелева группа относительно операции сложения. Пусть А е К" - элемент с целыми координатами, НА={1Л |?б Ж} - подгруппа, Шп /НА - факторгруппа. Элементами Шп / НА являются
«прямые» НкА = {/•: г = к + Ы,к е К", * е .
Случайное блуждание (2) - (3) индуцирует рандомизованное случайное блуждание на факторгруппе Кп/НА с переходной функцией:
Г р}, Зт &Ъ\к-г- тА = е]
РЧЩ,н'л)=\'‘п \ 5>,=1.
0, в противном случае }=х
(4)
Пусть РТ(Нк) вероятность для индуцированного случайного блуждания за время г попасть
из начала координат в НА. Известно [3], что
(5)
т€1
II. Преобразование Фурье распределений. Далее везде предполагается, что, по крайней мере, одна из компонент целочисленного вектора А равна 1.
Если -Р(#) - распределение на группе О, то его характеристическая функция, как известно (например, [5]), дается соотношением
<р(в) = М(е'8в)= \ещ0Р(сЛё).
в
Распределение на фактор группе Ж"/НА, порожденное рандомизованным случайным блужданием, является распределением случайной суммы1 Ыт независимых слагаемых
¥ = Х1+Х2+... + Х„т,
каждое из которых имеет одно и то же распределение (4).
Характеристическая функция распределения рандомизированного блуждания на фактор
группе К" IНА дается соотношением ([6], с. 576)
т=р(.Фт,
где Р(з) - производящая функция рандомизирующей величины ИТ. Так как в нашем случае это распределение Пуассона, то
к=0
<р(в) = ^ е~ЛтУ£- \/>к(в) = е~Ят -еХт«в) =ехр[Яг(^)-1)]. (9)
А!
Найдем характеристическую функцию ф(в) распределения (4).
Для упрощения дальнейших выкладок сделаем линейное преобразование, переводящее А в последний базисный вектор еп. Распределение одного слагаемого в соответствии с переходной функцией (2) будет иметь вид:
Р{^Я} = Рп,Р{^ = ^}=:Р1,1 = ^-,п-1,р1+... + рп =1, (6)
где д = (-Ах,-А2,...,1).
В новых координатах подгруппа НА - ось еп. В качестве представителей смежных классов можно выбрать элементы, у которых 0 < хп < 1, а точки (х15х2,...,0) и (лг1,лг2,-..,1) склеены. Таким образом, факторгруппа Жп / НА эквивалентна Е"_1х[0;1].
Распределение слагаемого Хк примет вид
Р{£ = Нс1} = рп,Р{£ = Не1} = р1,1 = \,...,п-1,р1+... + рп=\. (7)
Преобразование Фурье распределения (7) есть:
ф(в)= | еш‘Р(Л) = е'0'рх +... + е,вп-]рп_х +еК-А'в'--~Ап-'в”-'\в} е= 1,и-1, (8)
Ки_1х[0;1]
Ш. Теорема обращения. Заметим, что (р(9) раскладывается в ряд Тейлора:
7=1 „-1 и-1 (10) =Ел +&рА +(~аА ---Ап-А-\)Рп)-\&р$ +(~АА-■■■-Ап-А-\)1рп)+-
^ 7=1 / У=1
Введем обозначения р = (рх - Ахрп,...,рп_х - Ап_хрп) . Рассмотрим преобразование Фурье век-
-Хтр:
тора т]т
I#.
Ч'=1 У
щ(в) = е~Хтрв =<жр[Лт{(р{в)-ірЄ-\)1 (11)
Отсюда
00 -5 И-1
т-ірв-1=Ц-хТрії+рма+.~+0„_іА-і л. (12)
1 Т.е. суммы случайного - в рассматриваемом случае пуассоновского - числа слагаемых.________
Вестник ЮУрГУ, № 10, 2009
Кочнев А.В.
Асимптотические разложения _________функций Люстерника
с ЫТ
I#.
Для характеристической функции случайного вектора = —----------------
-Ятр
у[Ят
= ехр
Я т
\л[Ят J
При Ят ->00 имеем со(0)~ехр
00 *5
Xі-
получаем:
2>,
7=1
Чл/Яг у
л/Яг
/
(13)
V," Ч'
Ги-1 ^
-- ХЛ/^7 + Лі(#і4 +- + ^п-іЛ-і)2 . и=1
Справедливо утверждение ([2]).
Теорема. Пусть случайная величина % - дискретное распределение на решетке с шагом по осям Ь,х,...,Ьп и одним из узлов Ь0 = (Ьх,...,Ьп). Тогда вероятности рк = ркик2,...,к„ того> что вектор % примет значение Ь0 = (Ьх + кхИх,...,Ьп +кпИп), могут быть получены из соотношения:
щ..кп'*ж,ъ *,Нп
а=ії^ і ! ■■■ і «■«***м-
\^Ч -л-/*, -Л-/Й2 -гг//*,
(14)
где (р{в) преобразование Фурье для £,.
(іяТ Л
16
у=1 /
Рассмотрим теперь вектор С,Т =
■Ятр
^Лт
. Он имеет решетчатое распределение с узлом
-р\[Лт и шагами вдоль каждой оси. В соответствии с последней теоремой заключаем:
У да, л
I#.
-і
-Ятр
у[Ят
■Ьк =
к-Ятр
\[Ят
- я7й2
(2ху[Ат)я ^ ^ I Ю{в)е 'Ькв(Ів'
V V у —Я-//ь —Я*//і2 -ПІК.
где со(в) - преобразование Фурье случайного вектора . Заменим подынтегральную функцию асимптотикой, получим:
«"(2^Г_,и -• і Є
п—1 ОіЙ
£ р// +Рп + '+^чЛ-1 )^Щ('Хтр^к)
(Ів.
х1\-х1к2 -я1Ип
Теперь сделаем линейную замену переменных в = ОТ, такую что:
л-1
и-1
1\Рр) +РМА+-+0„-іА-і)2=!>;.
7=1 7=1
Обозначим <2[у ] ~ У -й столбец матрицы 2.
9 ЇЙ И
^{Ятр-к) = -^*ГШЩЯтр-к).
Отсюда:
£ Р$ + Р„(ЄХАХ +... + вп_хАп_х)1 -™(Ятр-к) -1=1 у]Лт
(15)
(16)
(17)
лЧ
7=1
т______:_
[ 7 -ІЯІ
ОиНЯтр-к)
%ЧШ№р-к)У
+ 2.-----:----
У=1 Яг
(18)
Тогда интеграл (15) равен:
detg
(2я-л/Іг)"
1 n-l
2 7=1
T------—
1 у[Лт
ажлтр-к)
Vs ^ \ ґ
dT хехр
S J ) \
_іч=} шры 2 j=\ Яг
. (19)
Интеграл стоящий в скобках, есть интеграл Пуассона по области Ат, которая является образом (и — 1) -мерного куба со стороной 2ж\[Лт , при линейном невырожденном преобразовании в = ОТ. Но Ит Д. = К", откуда аналогично Нт Дг = М”. Поэтому интеграл в скобках при
Лг-»оо Яг-» оо
Яг -» оо стремиться к (42л )п. Отсюда:
(л/2яЯг)”
ехр
(20)
у
Теперь осталось вычислить матрицу 0. До замены переменных в интеграле, в показателе степени в экспоненте стояла квадратичная форма:
л-1
z p.e'j + рп{вхАх +... + в„_хАп_х)2 = 6»(S + рпс‘с)в‘,
(21)
где <9 = (6\,...,6>„_j), B = diag(pl,...,pn_l), С -diag{A[,...,An_x) - выражены в исходных условиях
л-1 л-1
задачи. Условие + PrSfixA + — + ^n-i4i-i)2 = налагает на матрицу Q условие:
7=1 7=1
0(В + рпс1с)01=Е. (22)
Литература
1. Люстерник, Л.А. Об одной задаче теории массового обслуживания и связанном с ней обобщении цилиндрических функций / Л.А. Люстерник // ДАН СССР. - 1967. - Т. 177, № 5.
2. Григорьев, С.М. Асимптотические разложения функций Люстерника / С.М. Григорьев // Вестник ЮУрГУ, Серия «Математика, физика, химия». - 2002. - Вып. 2. - № 3(12).
3. Заляпин, В.И. О системе функций пуассоновского блуждания / В.И. Заляпин, В .А. Люстерник// ДАН СССР. - 1972. - Т. 207. - Вып. 1.
4. Виленкин, Н.Я. Специальные функции и теория представления групп / Н.Я. Виленкин // М.: Наука, 1965.
5. Хейер, X. Вероятностные меры на локально компактных группах / X. Хейер. // М.: Мир -1981.
6. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / В. Феллер. - М.: Мир, 1984.-Т. II.-С. 738.
Поступила в редакцию 15 января 2008 г.
ASYMPTOTIC EXPANSION OF LUSTERNIK’S FUNCTIONS
The relation between Lustemik's functions and special kind of random walk on local-compact group was considering in article. Limit theorem for this random walk was proofed. Basic term of asymptotic decomposition of Lustemik's functions was found.
Keywords: Asymptotic decomposition, special functions, Fourier transformation.
Kochnev Anton Valentinovich - Graduate Student, Mathematical Analysis Department, South Ural State University.
Кочиев Антон Валентинович - аспирант, кафедра математического анализа, Южно-Уральский государственный университет.
e-mail: [email protected]
18
Вестник ЮУрГУ, № 10, 2009
