Асимптотические разложения функций Люстерника Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.942:519.2

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛЮСТЕРНИКА

СМ- Григорьев

Изучается предельное поведение пуассоновского случайного блуждания в Яп, порождающего широкий класс специальных функций. Для данного случайного блуждания получена предельная теорема и построен главный член асимптотического разложения функций Люстерника.

1. Обозначения

Нам будет удобно в дальнейшем для сокращения записи использовать следующие обозначения: х,у,7?/,х =

\xi J

х*=П*,\ S(x) = 5>,, Г(х) = ПА*,)-/ /

Здесь Г(х) - гамма-функция Эйлера.

2. Пуассоновское блуждание в Rn+l

Рассмотрим {в,}"^1 - базис в Rn+l. Зададим случайное блуждание в Rn+] с помощью однородной переходной функции Р(х,у):

fjj у — X — g п+1

0,у-х*е, ^ '

Предполагается, что количество NT переходов за время г, прошедшее с некоторого момента времени т ~ О, регулируется пуассоновским процессом с параметром Я;

p{Nt=s}=e~*№. (2)

s\

Будем обозначать вх - положение данного случайного блуждания в момент времени т.

3. Орбиты в R"+l

Векторы х, у е Rn+l назовем эквивалентными (и обозначим х = у ), если у-х- (т9 т9...9м)9 где m^Z . Отношение х = у, очевидно, является отношением эквивалентности и разбивает Rn+X на непересекающиеся классы : = и#л , где Нх = е Rn+l\у = . Для Ух,у е Rn+1 таких, что хфу ,выполнено Нх ПН = 0 .

Обозначим Qn+} - целочисленную сеть в Rn+l, т.е. множество векторов с целочисленными в Rn+l координатами:

Пи+1 = {x\x = (xl9xl9...9x„+l)9xl eZ,z = l,2,...,/7 + l|. Очевидно, что если jteQn+I и х = у9 то уе£2п+1. Таким образом, сеть QB+J распадается в прямую сумму целочисленных классов эквивалентности: QB+1 - , где классы

к

Нк eQn+1|r-& + (/w,m,...,m),/72eZ}, fc - целочисленный вектор. Далее всякий класс ЯЛ будем называть орбитой целочисленного вектора к е .

4. Функции Люстерника

Случайное блуждание (1)-{2) индуцирует случайное блуждание по орбитам сети , задаваемое однородной функцией перехода Р*(Нк9Нг):

р^гг „ л |°> 3тег\к-г-(т,т,...9т) = е1

Р (Нк9Нг) = \ _ _ , , , (3)

[рг,3т е ^ : к-г -(т9т9.,.9т) -е1

Известно [2], что вероятность РТ(Нк) для этого случайного блуждания за время т попасть из начала координат на орбиту Нк точки к равна:

Рт{Нк) = Р{вт &Нк) = е "Сч(Хрг), (4)

где р ~(рХ9р29...,рп+1), а функции <%(?), называемые в дальнейшем функциями Люстерника, даются соотношением

■—к+тА

= -—,А = (1, 1,..., 1). (5)

{к + тА)\

(см. обозначения), в котором суммирование ведется по всем целым значениям параметра т е 2 . Функции Ск (I), впервые определенные в [1], являются широким обобщением классических специальных функций математической физики - цилиндрических функций, в частности функций Бесселя, функций параболического цилиндра и др.

Целью настоящей заметки является получение главного члена асимптотического разложения функций (5).

Каждой орбите Нк поставим в соответствие вектор в Яп, координаты которого

к = —кп+и...9кп -£„+1} ■

При этом случайное блуждание (1)~{2) порождает случайное блуждание в 7?", где

" независимые в совокупности, одинаково распределенные в Я" случайные векторы, ряд распределения которых

рг х = ег у = 1,2,...,я

О, ХФе}-> 7 = + 1

п п+[

Здесь вероятности р! - такие же, как и в п. 2, ] - базис в Яп, - пуассоновская

,=1

величина с параметром Л, не зависящая от £ . Очевидно, имеет место Лемма 1

Для случайного блуждания (3) по орбитам сети 0,п+х справедливо:

РТ(Нк) = р[сг =*=(*, ~кп+х,к2 -кп+1,...,к„ -кп+})}9 \/к = (к19к29...9к„х)еС1„+х. Доказательство

Рассмотрим события Ст ={вТ ~к + (т9т9...9т)}. Событие Ст происходит, если за время т произошло к^тп переходов в направлении е{. Пусть С — событие [вт&Нк]. Тогда, если

*о = min к19то С- £ Ст.

т=~к0

Рассмотрим теперь события Dm, происходящие тогда, когда за время г вектор ¿Гг образо-вался как сумма ^ 5 где сРеди слагаемых - по к} -£л+1 +т штук в направлении е}

(j = 1 п -f 1), и событие Z>--¿j. Тогда, если к'0 = тах(кп+х -к,)- кп+х -к09 то

Григорьев С.М.

' где т - т кп+{. Из описания случайного блуждания (1-2) и вектора

т-к{у т'=~ ко

Сг очевидным образом вытекает, что Р(Ст)^ Р(Ок +т). Отсюда:

Р(С)= X Р{Ст)= X P(Dm+inJ=P(D)

m~~KQ

что и требовалось доказать.

5. Некоторые предельные теоремы

Заметим, что описанный выше процесс удовлетворяет закону больших чисел и для него справедливы аналоги классических предельных теорем, важнейшими из которых для дальнейшего являются следующие.

Лемма 2 (предельная теорема для случайной суммы одинаково распределенных векторов)

Пусть случайные векторы ¿;} еЯ" ( / = 1,2,...) независимы и одинаково распределены с рядом

п+1

распределения Р{^ — ег} = = + e,(z = l,...,w) - орты в R", Nt -

i i=i

пуассоновская случайная величина с параметром Ят, не зависящая от . Обозначим

NT _

п+Х _

р - ^ р1е1 - ^Г (p¡ - рп+] )e,¡. Тогда при Ят со распределение вектора —-==—- стре-

/=i л! Яг

мится к нормальному распределению с характеристической функцией

со

) - ехр

| п +1

-л! м

21:

(6)

Доказательство

Nr

Пусть ^^ — характеристическая функция вектора .

/=1

п-ь! _ п+\ п

Из условия: = > г*е '«+1 = -]>/ ■

/=1 1=1 /=1

МТ _

Далее, характеристическая функция вектора ^Г^, :

/=1

v=0

■Ят

я!

S

<р'! (7) - <Г1г • = ехр[Дг(ср(7)-1)].

Отсюда характеристическая функция вектора r¡t

= ■y/(t)^QXV[Xz((p{t)-ípt -l)]

П П +1

ínt ^

Sé

Ч'=1 У

Ятр такова:

Здесь, очевидно, рг = = *

1=1

Заметим, что раскладывается в ряд Тейлора:

и +1

i=i

1 + it, —i- + • 2

П+\ п +1 | П +1 J /7 + 1

=X р>+'S - о X +■■ ■=1+iPj - о X м2

/=1 *•=!

Отсюда

^ со И+1

Но тогда для характеристической функции случайного вектора ¿¡т -

(ъ Л

у

Хтр

Лг

л/Хг л/Яг

полу-

чаем:

со

г ^ /

1 К\[Лт ) - ехр Яг V

00 .Л п+1

ЕМл -ТГ

V л/Яг.

/ 00

-ехр -I

' ) 'Ч

И + 1

+ (Лт)

>/2

При Яг —» оо имеем а?) - ехр

, что и требовалось.

Следующая лемма есть многомерный аналог известной леммы о выражении вероятностей дискретного распределения через характеристические функции (например, [3], с. 573). Лемма 3 (формула обращения)

Пусть % - случайный п-мерный вектор> имеющий решетчатое дискретное распределение с шагами по осям Их, ,..., Ип и одним из узлов Ь0 = (Ьх, Ьг,..., Ъп ). Тогда вероятности рк - рк ^ ^

того, что вектор примет значение Ьк ~{ЪХ + кх1\,Ь2 -\-к2Н2^..,Ьп -\-кпкп), могут быть получены из соотношения

тг/И[ л7/%2 п1Нп

р ^ЪЪ-Пп

(2 тс) -п^-фг -фп где ) —характеристическая функция вектора % . Доказательство

Характеристическую функцию вектора £ можно записать в виде ср{( ) = р^е

| | ... |

(7)

Отсюда:

тг/И] к1И2 тг/Ип

1ш и и л'"1 п 2 п - - и и и 11 11 п

У^.-Л

р7е

'{Ьг-Ч)*

Л =

где

(2т)

Я-/Л1 лг//г2 _ я/А1 я/Аг я/А„

Ст"^)'^-- Г Г ... г ¿Ьп{кп-гп)гп^ _

/(*,?). / I... I = ;.

-я-//»! ~Я//72 ~Я/Аи

Заметим, что

| г

| в

-я/Ип

я/А,

1

-я/И,

что влечет за собой

/(л,г)

О, £

,к - г

Поэтому

что и требовалось.

Григорьев С.М.

Теорема 1 (вариант предельной теоремы для случайной суммы в Яп)

Пусть случайные векторы е Кп (/ = 1,2,...) независимы и одинаково распределены с рядом

/7 + 1 п+\

распределения; =е,|= р}, / = 1,2 + = 1, е, (/ = базис в 7?", А^ -

/=1 1=1 пуассоновская величина с параметром Лт, не зависящая от £ . Обозначим:

а

11 ¿ = <1 (1^1 +рп+

(8)

,=1 Р,

N.

Тогда при Лт

00

для вероятности РТ(к) = ^ ~ к ~-(кХ9к2,..., кп )| справедливо соотношение

РАк')>

\2яАт)" рхр2...рп+х

1 1 1

— + — + ... +-

Р\ Рг Рп+х

хехр

1 "

г /=1

з/- ч ъ. ХГЯ(Р,-Рп+0Т~к,

2 Л

/ = 1

Л

(9)

Доказательство

-

Пусть Рп+1 К = Р}е, • Рассмотрим вектор = ——==-. Из условия теоре-

/-1 /=1 чАт

мы очевидным образом вытекает, что вектор 7]т имеет решетчатое распределение с узлом (0,0,...,0) и периодами по каждой оси кг =1, поэтому Сх имеет решетчатое распределение с узлом Ь0 = —р\[Ат и периодами по каждой оси /г, = . В соответствии с леммой 3 заключаем:

N.

/=1

У]£,~Лрт — __ £ _= ^к-Арт

4Лт к у[Лт

Л 7Гу[Хт Л-Лй _ _

= -.-1 - / а{Т)е**т

12^л/Лт) -к Лт -кЛг

где со (7) - характеристическая функция случайного вектора ¿Гг. Тогда из леммы 2 следует:

| Яу[Лт ТТаДГ

Рг^Ут——^ 1 - 1 «ф

2x4 Лт

Я-1 ехр

фРГ, , и

/=1 2 ^Лт

[2 Я"л/Дг |

Ог

( л+1

2/7

|Лрт-к^ {Лрт -к)

(10)

где

Д. - (ц<х, <яглД/г|. /=1

Для вычисления интеграла (10) перейдем к новым переменным:

Т пг гл II Г а I =дг, где Q = \qЛ , чц --Т=.

Р,у1Р,

Таким образом, переменные г^,...,/,, выражаются через переменные Тх,Т2,...,Тп в следующем виде:

Т. аВ

у17, Р,

где для краткости обозначено:

JL Т.

S = S(T) = , *в+1 = -]►>,= -S( 1 - ad).

<=1 y]P, '=1

(11)

Отсюда:

"Ti n \ 2 " aS

ZM2=ZUva) + /W«+1 = S ^ 7= »=1 i^v VP*)

Л2

a2S2

+ (1 - ad)1 = j - 2aS"s + 'J + A>+Л -

Jfl Л

= ( X + S2 [a2 ¿(1 + pn+ld)-2a{\ +pn^d) +рп+ху\^Т,

f n A .2

/=1 У V

т.к. выражение в квадратных скобках в силу (8) равно 0. Далее:

2it /„_ -ч 2i ^

-~L{Хрх-к) = -£i, (А(р, - р„+,)т - к,) = -H-JXr

-Ил[Ят

" "1 I

/=1 1=1 лт ,

л 71

п Т

mJ^P,

Яр:г -к - апХх - Я p„+if(l - ad) + aV —

,=,/>, j

и ч t V^-^i)7"^;

7=1

Отсюда:

и+1

Z/i I

yLP,t2,--rr(XPT-k)=Y. ТГ~П==

1 "V^-T / = д/Лр/Г^ /=1

- a-*--

/=i P,

+

n

\2

7=1

Тогда интеграл (10) равен:

/ =

detg

2 ж4Хт

Я-J ехр

z

1

т

4лР,

Ярт

2^

/=1

Л

dT

хе

2/= 1

а/ л ъ- " ¿(Pj-Ph^-k, Y .__¿М__¿_

Я/7.Г

Гоигорьев СЖ

Интеграл, стоящий в скобках, есть интеграл Пуассона по области Дг, которая является образом области DT при линейном невырожденном (detg^O, см. ниже) преобразовании t = QT . Но lim DT-Rn, откуда аналогично lim Дг = R". Поэтому интеграл в скобках при

Яг—>оО

Лт->сс

Лт ~> со

стремится к . Отсюда

det Q I — ехр

1 "

)=1

^ \ t 42

/=i

Л

(12)

Осталось найти det :

det g = det

а

л/а А

a

(m-A+i)

3/2

а

а-1 — a

3/2

det

det

М/

VAft-A+i

-1

det

а

а

^--

Pi

det

3/2

M, Pn

a a

SA\-Sm)-Sh

a a ,=1 p,

a

„ PiP2---P„-x

a

.П-1

a ,=i Pi

I-ad

{Р\Рг---Рп) 1

3/2

4P\P2---Pn 4PlPl---Pn sjP\P2---PnQ + Pn+\d) I /

P\Pl---Pn+\

1 1 1

-+-+ ...+-

vA Pi Pn+\

откуда автоматически следует (9).

Полученное соотношение может служить источником для получения главного члена асимптотического разложения функций Люстерника. Точнее, имеет место Следствие (асимптотическая формула для функций Люстерника).

Для функций Люстерника (%(3с) (5) при -> оо справедливо соотношение:

1

[(2/г)" ххх2...хп

+1

1 1 1

— +— + ... + —

^ Xj х2

'п+1 J

хехр

Z7=i

■,-дси+1 -^-aix)^—

—X, Х„ , i k,

2 Л

ff-f-J #v/

/ = 1

/ /

(9')

где обозначено kf} = k}~kn+x\ 7=1,2,...,/?; а(х)-™

х-

/=1

1-

W+1

*И+1

i=l х/ J

(8')

Доказательство

Формула (9') немедленно вытекает из (9) и из леммы 1, если учесть, что S(Apz) = Лт и подставить в формулу (4) х вместо Лрт , тогда р! = xJS(x) .

6. Пример

1. Функции Люстерника одного переменного. Пусть 5с = (х, х,..., х) . Тогда

S(k+mA)

для U-г(х) имеем:

UАх) - функция Люстерника одного переменного, А = [1,1,...,1]. Из (9')

х1=х2=...х , = х ; S(x) = (и + \)х; а(х)

п

1-

1 у « x^x^-k) S(k').

yjn + lj / =■ 1

X

где к' -(к[,к'2,...,к'п) . Отсюда:

I

/=1

Х/ Хп+1

х, Хм, 1 к,

/ n+l v/

/ У

7,

= гХ

п

W2

\jn + 1

/у

1 л

А:'2-2

ад*') г—_ 1ч

\yjn + l

пл(п +1)

х /=1 х /=1

2 Л

2-2л/йП (л/л+Т-1) -- +-1—-

W« + l « (w + l)

I*'

+

2л/й+Т - 2w -2 +1 —2\ln +1 +1

+1)

\\

/у

- \2 Л

- ¡2 (ад)

Итак:

UAx)

л[(2ях)"(п + \)

ехр

{п + 1)х

2х

п +1

W + 1

(х —>► со)

(13)

уу

2. Модифицированные функции Бесселя. Для модифицированных функций Бесселя

ш= I

\к+2т

- и.

¿Zk(k + т)\т\

Ik (Х) = U[k,0]

vij

из (13) имеем: п~ 1; \к' = А: - £(&'). Отсюда:

V^y

'о

ехр

-2

Г 7 2 Л

2 2- —

£2

>/2

ехр

пх

{

2х V LX J

(х —> оо). (14)

V V zy

Аналогичным образом из формулы (9') можно получить асимптотики для многих других функций.

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору В.И. Заляпину за постановку задачи, многочисленные обсуждения возникавших вопросов и результатов, а также за предоставленное техническое и информационное обеспечение.

Литература

1. Люстерник Л.А. Об одной задаче теории массового обслуживания и связанном с ней обобщении цилиндрических функций Н ДАН СССР. - 1967. - Т. 177, № 5.

2. Заляпин В.И., Люстерник Л.А, О системе функций пуассоновского блуждания// ДАН СССР. - 1972. - Т. 207. - Вып. 1.

3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - М.: Мир, 1984. - Т. II. ~ С. 738.