CC BY
2ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)
УДК 517.929
DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 15
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ РЕШЕНИЙ В ТЕОРИИ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Жээнтаева Жумагул Кенешовна, к.ф.-м.н., доцент
jjk_kuu@mail. ru КУМУ имени Б. Сыдыкова, Ош, Кыргызстан
Аннотация. В статье предложены следующие отношения эквивалентности в пространстве решений начальных задач для динамических систем. Отношение асимптотической эквивалентности: расстояние между двумя решениями стремится к нулю при увеличении времени, соответствующее фактор-пространство названо асимптотическим фактор-пространством; отношение асимптотической экспоненциальной эквивалентности: расстояние между двумя решениями убывает экспоненциально при увеличении времени, соответствующее фактор-пространство названо асимптотическим экспоненциальным фактор-пространством. Отношение хаусдорфовой асимптотической эквивалентности: неограниченное сближение решений с обратимым преобразованием аргумента с увеличением времени, соответствующее фактор-пространство названо хаусдорфовым асимптотическим фактор-пространством. Показано, что понятие хаусдорфова асимптотического фактор-пространства создает новые математические объекты.
Ключевые слова: отношение эквивалентности, фактор-пространство, асимптотическая эквивалентность, дифференциальное уравнение, начальная задача.
ДИНАМИКАЛЫК СИСТЕМАЛАРДЫН ТЕ ОРИЯСЫНДА
ЧЫГАРЫЛЫШТАРДЫН АСИМПТОТИКАЛЫК ЭКВИВАЛЕНТТИГИ
Жээнтаева Жумагул Кенешовна, ф.-м.и.к., доцент
jjk_kuu@mail. ru Б. Сыдыков атындагы КОЭА У, Ош, Кыргызстан
Аннотация. Макалада динамикалык системалар YЧYн баштапкы маселелердин чыгарылыштарынын мейкиндигинде эквиваленттYYЛYктYH твмвжудвй катыштары сунушталды. Асимптотикалык эквиваленттик катышы: убакыт всквндв эки чыгарылыштын арасындагы аралык нвлгв умтулат, дал келген фактор-мейкиндик асимптотикалык фактор-мейкиндик деп аталды. Асимптотикалык экспоненциалдык эквиваленттик катышы: убакыт всквндв эки чыгарылыштын арасындагы аралык нвлгв экспоненциалдуу тYрдв умтулат, дал келген фактор-мейкиндик асимптотикалык экспоненциалдык фактор-мейкиндик деп аталды. Хаусдорфтук асимптотикалык эквиваленттYYЛYк катышы: убакыттын вCYШY менен чечимдердин чексиз жакындашуусунда аргументтин кайра вз калыбына взгврYYCYHв дал келген фактор-мейкиндик хаусдорфтук асимптотикалык фактор-мейкиндик деп аталды. Хаусдорфтук асимптотикалык фактор-мейкиндик тYШYHYгY жацы математикалык объекттерди жаратаары кврсвтYлдY.
Ачкыч свздвр: эквиваленттYYЛYктун катышы, фактор-мейкиндик, асимптотикалык эквиваленттYYЛYк, дифференциалдык тецдеме, баштапкы маселе.
ASYMPTOTICAL EQUIVALENCE OF SOLUTIONS IN THE THEORY OF
DYMAMICAL SYSTEMS
Zheentaeva Zhumagul Keneshovna, Cand. Sci.,
jjk_kuu@mail. ru KUIU named after B. Sydykov,
Osh, Kyrgyzstan
Abstract: In the paper, the following equivalence relations in spaces of solutions of initial value problems for dynamical systems are proposed. The asymptotical equivalence relation: distance between two solutions tends to zero while time increases, the corresponding quotient space was called "asymptotical quotient space". The asymptotical exponential equivalence relation: distance between two solutions decreases exponentially while time increases, the corresponding quotient space was called "asymptotical exponential quotient space ". The Hausdorff asymptotical equivalence relation: distance between two solutions with invertible transformation of argument tends to zero while time increases; the corresponding quotient space is called "Hausdorff asymptotical quotient space ". It is demonstrated that the notion of the Hausdorff asymptotical quotient spaces generate new mathematical objects.
Keywords: equivalence relation, quotient space, asymptotical equivalence, differential equation, initial value problem.
1. Введение
Цель данной статьи -показать, что понятия эквивалентности и фактор-пространства могут быть использованы для получения новых результатов и представления в более общей форме известных результатов в различных разделах теории динамических систем.
Во втором разделе рассматриваются следующие отношения эквивалентности в пространстве решений начальных задач для динамических систем: отношение асимптотической эквивалентности: расстояние между двумя решениями стремится к нулю при увеличении времени; отношение асимптотической экспоненциальной эквивалентности: расстояние между двумя решениями убывает экспоненциально при увеличении времени; отношение хаусдорфовой асимптотической эквивалентности: неограниченное сближение решений с обратимым преобразованием аргумента с увеличением времени.
В третьем разделе - обзор по дифференциальным уравнениям с запаздыванием.
В четвертом разделе - построение новых математических объектов.
2. Определения и обозначения
Обозначим N0 = {0,1,2,3,...}, N= {1,2,3,...}, R =(- ао,х>), R+ =[0,х>), R++ =(0,х>), En -nxn-единичная матрица, n е N; Cm(kD -пространство функций u: D— Rm, непрерывных вместе с производными до k порядка, D -область в R, 0е D, т е N, k е N0; C*m(kD -подпространство функций, удовлетворяющих условию u(0)=0e Rm. Значения m=1 и k=0 будем опускать.
Пусть аргумент искомых функций t принадлежит вполне упорядоченному множеству Л, имеющему наименьший элемент 0, но не имеющему наибольшего элемента. Обычно используется Л=R+ или Л=N0.
В данной статье мы рассматриваем только начальные задачи. Если предположить, что начальная задача всегда имеет решение, оно является единственным и глобальным, то есть продолжается на все множество Л, то пространство решений некоторой динамической системы с начальным условием р можно представить в виде оператора W(t,q)^x0—Z, Ф -топологическое пространство начальных условий, Z -топологическое пространство значений решений. В случае Л=R+ будем предполагать, что W(t,p) непрерывен по t.
Будем рассматривать следующие виды пространств Ф и Z: линейные одномерные (R); -линейные многомерные (Rd); линейные нормированные; равномерные.
О п р е д е л е н и е 1. Следующее отношение эквивалентности в пространстве Ф названо отношением асимптотической эквивалентности: если Z -линейное нормированное пространство, то
()! ~ )2) lim{ 11 W(t, )i)-W(t, )2)Hz: t—}= 0). (1)
79
Если Z -метрическое пространство, то
(pi ~ <р2) <(lim{pz(W(t, (pi), W(t, (P2)): t^co}= 0). (2)
Если Z -равномерное пространство с множеством rz окружений диагонали, то
(pi ~ <2) < (Werz)ßti еЛ) (Vt >ti)((W(t, pi), W(t, p2)) eV). (3)
Соответствующее фактор-пространство называется асимптотическим фактор-пространством. Явление «размерность асимптотического фактор-пространства меньше, чем размерность исходного пространства» называется «асимптотическое уменьшение размерности пространства решений».
О п р е д е л е н и е 3. Следующее отношение эквивалентности в пространстве Ф будем называть отношением Я-экспоненциальной асимптотической эквивалентности (ÄeR++):
Если z -линейное нормированное пространство, то
(pi ~я p2) < ( sup{ \1 W(t, pi)-W(t, <2)\\z exp(Ät): teЛ}< с). (4)
Если z -метрическое пространство, то
(pi ~я p>2 ) < (sup{pz(W(t, pi), W(t, p) exp(Ät): teЛ}< с). (5)
Соответствующее фактор-пространство названо асимптотическим Я-экспоненциальным фактор-пространством.
О п р е деление 4. При Л=R+ следующее отношение эквивалентности в пространстве Ф будем называть отношением хаусдорфовой асимптотической эквивалентности:
Если z -метрическое пространство, то (pi = p2) определяется следующим образом: для любого se R++ можно найти такое s е R+ и такую строго возрастающую до бесконечности непрерывную функцию 3:[s,<x)^ R+, что (Vte[s,x))(pz(W(t,pi), W(3(t),p2))<s).
Если z -равномерное пространство с множеством rz окружений диагонали, то (pi = p2) определяется следующим образом: для любого se rz можно найти такое s е R+ и такую строго возрастающую до бесконечности непрерывную функцию 3(t):[s,x)^ R+ , что
(Vte[s, сс))((W(t,pi), W(3(t),p2)) es). (6)
Хаусдорфово асимптотическое фактор-пространство будем обозначать Ф*=.
3. Обзор результатов по асимптотике решений дифференциальных уравнений с
запаздывающим аргументом
Для случая, когда Л=R+, W(t,p()) - решение начальной задачи с начальным условием peФ:=С[- h,0] для линейного дифференциального уравнения с ограниченным запаздыванием аргумента, в ряде работ (см. обзор в [1], [2]) были найдены условия, когда существует такое конечномерное подпространство Ф0 ^Ф, что
(VpeФ)(ЗpoeФo)( lim { \\ W(t,p)-W(t,po)\\t^ с} )=0, (8)
то есть пространство решений «асимптотически конечномерно». Решения W(t,p0) (p0eФ0) были названы специальными.
В связи с этими результатами мы выдвинули гипотезу [3] о том, что аналогичные результаты должны иметь место для более фундаментального типа динамических систем - разностных уравнений, и что такие результаты могут улучшить известные результаты для уравнений с запаздыванием.
Пусть Q -некоторое нормированное пространство. Рассмотрены четыре последовательности операторов (первая - числа, вторая - «функционалы»): an: R^R; Ъ„:П
—R; cn: R—Q; dn:Q—Q n=0,1,2,... с ограничениями an£Ä=[a-,a+]; \\bn\\<b>0, \\cn\\<c>0, \\dn\\<d>0, и система разностных уравнений в RxQ
xn+1 an xn + bn yn
yn+i= Cn Xn + dn yn,n=0,1,2,... (8)
Были доказаны
Т е о р е м а 1. Если существует такое v>0, что 1) : = a_ - vb>0; 2) c+ vd <vq-, то существует такое решение {X, Y}, что
(Vn eN)( Xn > q-n; \ \ Yn\ \< vXn). (9)
Такие решения также названы специальными.
Т е о р е ма 2. Если 1) d<a_; 2) (a_ - d)2 >4bc, то выполняются условия 1), 2) Теоремы 1.
Т е о р е м а 3. Если a>:=(a+ d + bc) qS2 < 1 , то для любого решения {x, y} и специального «аппроксимирующиего» решения {X, Y}, определенного в Теореме 1, существует предел y{x, y}:=lim {xn/Xn: n—<x>}.
Такие специальные решения названы.
Т е о р е м а 4. Если выполняются условия Теорем 2 и 3 и co(a++bv)<1, то для любого решения {x, y} и специального «асимптотически аппроксимирующего» решения {X, Y}, определенного в Теореме 1,
lim{ \xn-y{x, y}Xn\: n—x>}= 0.
Данные результаты были применены к дифференциальным уравнениям c запаздыванием:
z '(t) =P(t)z(t-h), t £ R+, h=const > 0, P(t) e[p-,p+]. (10)
Результаты, обзор которых произведен в [1]-[2], применительно к (14) дают оценку для наличия асимптотически аппроксимирующих специальных решений: sup {\P(t)h\: t £ R+}< 1/e = 0.367...
Представлением пространства C[-h,0] в виде декартова произведения пространства функций-констант и пространства Q функций, таких, что Z(0)=0,
и расчетами на компьютере получены следующие условия наличия асимптотически аппроксимирующего свойства для уравнения (14):
-0.12<P(t)h <0.39; -0.10 <P(t)h <0.40; -0.08 <P(t)h <0.41;
-0.06<P(t)h <0.42; -0.04 <P(t)h <0.43; -0.02 <P(t)h <0.44.
Эти полученные результаты дополняют результаты, упомянутые в [1], [2]. Уже после наших публикаций были опубликованы статьи [4], [5], [6], где получены аналогичные результаты для более узких классов дифференциальных уравнений с запаздыванием.
4. Построение объектов при помощи хаусдорфовой асимптотической
эквивалентности
Хаусдорфово асимптотическое фактор-пространство Ф*= может содержать и ранее неизвестные математические объекты.
В одномерном случае, Л= R+; Ф = Z= R. Фактор-пространство Ф*= включает в себя: классы функций, имеющих конечный предел при t—x> (эквивалентные константам); класс функций, возрастающих при t>t0 для некоторого t0 и неограниченных сверху; класс функций, убывающих при t>t0 для некоторого t0 и неограниченных снизу; классы функций, эквивалентных периодическим и изменяющимся в диапазонах вида [a,b]^R при t>to для некоторого t0 функциям; различные классы функций, для которых различаются (конечные или бесконечные) значения lim sup{u(t): t—<x} и lim inf {u(t): t—<x} и т.д.
Пусть Ф = Z=R . Странный аттрактор, притягивающее множество которого состоит из двух касающихся циклов.
Здесь Ф*= состоит из трех элементов: класс эквивалентности, представляемый чередованием обхода циклов; класс эквивалентности, представляемый приближением к первому циклу; класс эквивалентности, представляемый приближением ко второму циклу.
5. Заключение
В настоящей статье показано, что новые понятия могут возникать в различных разделах теории динамических систем.
Литература
1. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. - Москва: Наука, 1972. - 351 с.
2. Панков П.С. Асимптотическая конечномерность пространства решений одного класса систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. - 1977. - том 13, № 4. - С. 455-462.
3. Жээнтаева Ж.К. Асимптотика решений систем линейных операторно-разностных уравнений с переменными коэффициентами // Вестник Кыргызско-Российского Славянского университета. Серия естественные и технические науки. - 2016, № 5. - C. 34-37.
4. Mallet-Paret J., Nussbaum R. D. Asymptotic homogenization for delay-differential equations and a question of analyticity // Discrete and Continuous Dynamical Systems . - 2020, vol. 40, issue 6. - P. 3789-3812.
5. Feher A., Marton L., Pituk M. Approximation of a Linear Autonomous Differential Equation with Small Delay // Symmetry-Basel, 2019, vol. 11, issue 10. - 10 p.
6. Ye Yu., Liang H. Asymptotic dichotomy in a class of higher order nonlinear delay differential equations // Journal of Inequalities and Applications. - 2019, vol. 2. - 17 p.
