CC BY
5
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С КОНЕЧНОМЕРНЫМ ПРЕОБЛАДАНИЕМ
Жээнтаева Жумагул Кенешовна
канд. физ.-мат. наук, доц. Кыргызско-Узбекского университета,
Кыргызская Республика, г. Ош E-mail: _ [email protected]
INVESTIGATION OF SYSTEMS OF MULTIDIMENSIONAL LINEAR OPERATOR-DIFFERENCE EQUATIONS WITH FINITE-DIMENSIONAL
PREDOMINANCE
Zhumagul Zheentaeva
candidate of Science, assistant professor Kyrgyz-Uzbek University,
Republic of Kyrgyzstan, Osh
АННОТАЦИЯ
В статье полученные ранее автором результаты по существованию специальных решений и асимптотической конечномерности пространства решений начальных задач для систем линейных операторно-разностных уравнений обобщены на системы векторно-матричных операторно-разностных уравнений.
ABSTRACT
In the paper, the results on existence of special solutions and asymptotical finite dimensionality of solutions of initial value problems for systems of linear operator-difference equations obtained by the author earlier are generalized for systems of vector-matrix operator-difference equations.
Ключевые слова: разностное уравнение; система уравнений; специальное решение; начальная задача; асимптотика.
Keywords: difference equation; system of equations; special solution; initial value problem; asymptotic.
Введение
Отметим, что для решений линейных автономных эволюционных уравнений (в широком смысле) вопрос о структуре пространства решений сводится к исследованию характеристических алгебраических уравнений. Поэтому мы далее рассматриваем существенно неавтономные уравнения.
Для решений начальной задачи для линейного дифференциального уравнения с ограниченным запаздыванием аргумента, в ряде работ (см. обзоры в книге [3] и статье [4]) были найдены условия, когда существует такое одномерное подпространство решений (названных «специальными»), что любое решение стремится при увеличении аргумента к одному из специальных решений. В статье [5] был построен пример, показывающий, что данное явление имеет место не всегда, поэтому возник вопрос о наиболее широких условиях, при которых оно имеет место.
Мы также поставили вопрос о том, для каких наиболее широких классов эволюционных уравнений возникают аналогичные явления. В [1] нами показано, что дифференциальные уравнения с ограниченным запаздыванием аргумента при помощи "расщепления пространства решений» можно привести к уравнениям более широкого класса -эволюционным системам операторно-разностных уравнений - с сохранением их специфики. В [2] -
найдены условия для систем операторно-разностных уравнений, соответствующие «малости запаздывания», обеспечивающие наличие аналогичных явлений.
В настоящей статье некоторые результаты [2] обобщены на системы векторно-матричных опера-торно-разностных уравнений, соответствующих системам дифференциальных уравнений с малым запаздыванием аргумента.
1. Условия наличия специальных решений систем векторно-матричных операторно-разностных уравнений
Применение метода расщепления пространства решений к системе т линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом приводит к системе 2т операторно-разностных уравнений
хп+1,1 ап11хп1+ап12хп2+ — +ап1тХпт +Ьп11Уп1+Ьп12Уп2+---+Ьп1тУ пт, хп+1,2 ап21хп1+ап22хп2+••• +ап2т£пт +Ьп21Уп1+Ьп22Уп2+---+Ьп2тУ пт,
1Уп1+Ь пт2Уп2
+ •••+bnmmynm, (1) Уп+1,1 сп11хп1+сп12хп2+--+сп1тхпт
пт,
Уп+1,2 сп211хп1+сп222хп2+.--+сп2тхпт
+$п21~Уп1+$п22Уп2+---+$п2тУпт>
уп+1,т спт1хп1 +спт2хп2+.--+спттхпт+$пт1уп1 +$пт2уп2 + ...+$пттупт>
п=0,1,2,3,...,
где искомые: {хп1:п=0,1,2,...}, {хп2:п=0,1,2,...}, ..., {хпт:п=0,1,2,...} - числовые последовательно-сти;{уп1:п=0,1,2,...}, {уп2:п=0,1,2,...}, ...,
{упт:п=0,1,2,...} -последовательности элементов некоторого банахова пространства О,
заданные:{ап11,ап12,.,аптт: п=0,1,2,...}- числовые последовательности;
{Ьп11, Ьп12,.,Ьптт: п=0,1,2,...} - последовательности линейных функционалов О—Я;{сп11, Сп12,.,Сптт: п=0,1,2,...} - последовательности элементов из О; {ёп11, йп12,.,йптт: п=0,1,2,...} - последовательности линейных операторов О—О
Как будет показано ниже, необходимо, чтобы числовые матрицы из последовательности
\,п = 0,1,2, 3, (2)
имели диагональное преобладание, и матрицы из последовательностей
К =
Í an11 an12
an: = ( an21 an22
®-nm2 Q-nmm
b-n.11 Ьп12 Ьп1т \
Ьп21 bn22 .■■ bn2m ), (3)
Pnm1 bnm2 ." ^nmm j
С™ =
сп11 Сп21
V^пт1 dnii dn21
Cn12 Cn1m
Cn22 Сn2m
Cnm2 Сnmm
dn12 . dn1m
dn22 . d-n2m
dnm2 d-nmm
\,dn =
(4)
nm1
n = 0,1,2,3,.
с элементами, описанными выше, были малы по норме.
Вводя еще
со1оп{хП1, ХП2, ...,хпт),
обозначения х„ =
% = С010П(уП1,уП2, .~,Упт),
записываем (1) в виде системы двух векторно-матричных операторно-разностных уравнений
•Х-П+1 : &П-Х-П + ^пУп,
Уп+1 := спхп + dnyn, п = 0,1,2,3 ... (5)
В качестве нормы в пространстве^ выберем
\\со1оп{х1, х2, ...,хт}\\о :=тах{\ х1\, \х2\, ...,\хт\}. Аналогичную норму||-\\о,о введем в простран-ствеО т. Операторную нормуО—ОиО—Я будем обозначать ||-\\ет.
Предположим, что существуют такие положительные константыа<а+, b, c, d, чтоа„це [ü-,a+],i=1..m; \а„р\<а, i¿j;\\b„j\\a<b, \\cnij\\n<c, \\dnij\\a< d,i,j=1..m, n=0,1,2,3,...
Т е о р е м а 1. Если существует положительное число w, удовлетворяющее условиям 1) q-: = a--a(m-l) -bmw>0; 2) m(c+ dw)<q-w,
то решение системы (1) с начальными условиями
X01=1, X02=0,..., Xom = 0, Yoi = 0, YO2=0,..., Yom=0 (6)
удовлетворяет неравенствам
\\Хп\\о>Ч-Шп,о<™\\Хп\\0,п = 1,2,3,... (1)
Доказательство. В силу (6), неравенства (7) выполняются в начальный момент времени. Докажем, что из их выполнения при "„ "следует их выполнение при "„+1". Имеем (при i=0 слагаемые «до него» и при i=n слагаемые «после него» опускаются):
\X„+1,i\ = \a„i1 X„1 + a„i2X„2 +... +a„imX„m+ b„n Y„1 + b„i2
Y„2 + ... +b„imYnm \ >
¿a„ii\X„i\ - \a„i1 X„1 + a„i2X„2 + ... + a„i2X„—1 + a„i2
Xn,i+1 + .■■ +animXnm\
-b(\\Yn1\\n+ \\Yn2 \ \Q+... +\\Ynm \\a) > >Ü-\X„Í\-Ü(\X„1 \+ \Xn2\+ ...+ Xn.t-1 + \Xn,i+1\ + ...
+ \Xnm \)
-bmmax{ \ \Ynj\\n: j=1..m} > >a-\X„i\ -a(m-1) max{\Xnj \: j=1..m} -bmmax{ \ \Ynj\\n: j=1..m},i=1..m.
Применив операцию max к обеим сторонам этого неравенства, получим
\\Í„+1\\0 > а_\рУ0 - a(m - 1)\\Xn\\-bm\\Yn\\Q0 > > а-\\^п\\0 - a(m - - bmw\\Ín\\o =
Ч-Ш\0. (8)
Также имеем:
\\Yn+1,i\\n=\\c0i1 X01 + c0i2 X02 +.■■ +C0imX0m + d0i1 Y01 +
d0i2 Y02 + .■■ +d0im Y0m \ \п< <c(\X01 \+ \X02\+ ... +\Xm\)+d(\\Y01Wn + \\Y02\\n +■■■ + \\Y0m \ \n) <
<c m max{\X0j\: j=1..m} + dm max{ \ \Y0j\\n: j=1..m}, i=1..m.
Применив операцию max к обеим сторонам этого неравенства и учитывая оценку (8), получим
\\Ü+1\U <cm\\Xn\\0 + dm\\Yn
< {cm + dmw)\\Xn\\o < ^\\Хи\\о;
\\Уп+Лао<™\\Хп+1\\о.
Теорема доказана.
2. Приложение к системам линейных дифференциальных уравнений с малым запаздыванием аргумента
Рассматривается система
22'(1)=Р21(1)21(1-Н)+ Р22®22р-Н) + ... +Р2т(^т^-к), (9)
2т!(г)=Рт1(г)21(г-к)+ Рт2ф22р-Щ + ... +Рттф2т(^к), teR+=[0, о), к=сот>0,
с начальными условиями
г() = ((), 12(0= <Р2(0,-, 2т(У= (Ртф, te[-h,0], (10)
где заданы функциир/?), р2(0,..., рт(0еС[-И,0]иРпф, Рп(0,..., Ртт(0 еС^+), при этом р-< Руф<р+, ¡,) =1..т;р-< р+ - заданные числа.
В качестве пространства £ выбирается^^ еС(1>[-к,0]: у(0)=0}, с нормой
\\у\\п: =.?ир{ \уф/\ -к<<0}, тогда\у() <\\у\\п\ t \.
Компонент пространства решений гфна каждом отрезке [кк-к, кк],
Список литературы:
1. Жээнтаева Ж.К. Исследование асимптотики решений линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием с помощью расщепления пространства // Инновации в науке / Сборник статей по материалам ЦУП междунар. научно-практ. конф. № 5 (54). Часть I. Новосибирск: Изд. АНС СибАК , 2016. 190 с. -С. 149-154.
2. Жээнтаева Ж.К. Численные условия наличия асимптотики решений систем линейных разностных уравнений с переменными коэффициентами // Естественные и математические науки в современном мире / Сборник статей по материалам ХЬ междунар. научно-практ. конф. № 3 (38). - Новосибирск: Изд. АНС "СибАК", 2016. - С.76-80.
3. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. - Москва: Наука, 1972. - 351 с.
4. Панков П.С. Асимптотическая конечномерность пространства решений одного класса систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения, 1977, том 13, № 4. - С. 455-462.
5. Панков П.С. Пример линейного однородного дифференциального уравнения с запаздыванием, не имеющего конечномерного экспоненциально устойчивого при пространства решений // Исследования по инте-гро-дифференциальным уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1977. - С. 117-125.
k=1,2,3,... представляется в виде суммы функции-константы хи функции, удов-летворяющей условию у(кк)=0:С(11 [-к,0]=Rx££ Соответственно, компонент оператора сдвига по траекториям
Б(х + у(-))(Ь) = х+ I Р(б)(х + у(б)) йБ =
о г
= х + I Р(б) (х + у(Б))й5 + I Р(б)(х + у(б)) ds
'-и 'о
г0 г0
= (1+1 P(s)ds) х + I P(s)y(s)ds
+ I P(s)ds■x+ I РфуфйБ.
00
Из Теоремы 1 следует
Теорема 2. При достаточно малом к система (9)-(10) имеет ненулевые решения, удовлетворяющие неравенству
\\г&)\\о = \\со1оп{21(1),22(1).....2т(1)}\\о
> сопБ1^ехр(—Л1), Я > 0.
