Арифметические свойства некоторых полиадических рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Преобразуем тождество (7) следующим образом: выберем букву, встречающуюся хотя бы в одном из длинных коммутаторов первой суммы, но не во всех, — пусть это будет Xi — и переместим ее в конец длинных коммутаторов, в которых она встречается, с помощью (3). На место Xi произведем подстановку элемента Xi 0 Xn+3. В следствии получаем сумму элементов с коммутаторами максимальной длины k + 3, причем число таких элементов в этой сумме будет меньше, чем было перед преобразованием в сумме с самыми длинными коммутаторами (длины k + 2). Будем повторять это преобразование до тех пор, пока не получим только одно слагаемое в сумме с самыми длинными коммутаторами. В результате будем иметь следствие вида

[X2,Xn+1,Xn+2,Xi1, . . . ,Xit ] Xit+1 . . .Xim = aj [X2,Xn+1,Xn+2,Xj1, . . . , Xj ] Xjl+1 . . . Xjm , где l < t. (S)

j

Оценим сверху последовательность коразмерностей cn (W). Элементы базиса (2), у которых длины коммутаторов больше или равны t и длины "хвостов" больше или равны m - t, могут быть выражены с помощью (В) через базисные элементы с коммутаторами длины меньше t, из чего получаем следующую оценку:

t — 1 / ч n , ч

Cn (W) < 1 + £ (k - 1) ( k ) + Е (k - 1Н k ) = O (nmax(t—1'm—t—1)) .

k=2 ^ ' k=n—m+t+1 ^ '

Утверждения теоремы доказаны.

Работа частично поддержана грантом РФФИ № 10-01-00209а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Giambruno A., Zaicev M. V. Polynomial Identities and Asymptotic Methods // Mathematical Surveys and Monographs / Amer. Math. Soc. Vol. 122. Providence, RI, 2005.

2. Мищенко С.П., Попов А.В. Многообразие йордановых алгебр, определяемое тождеством (Xy) (zt) = 0, имеет почти полиномиальный рост // Матем. заметки. 2010. 87, вып. б. 877-884.

3. Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

4. Drensky V. On the identities of the three-dimensional simple Jordan algebra // Ann. de l'Univ. de Sofia, Fac. de Math. et Mecan. Livre 1: Math. 1984. 78. 53-67.

Поступила в редакцию 16.09.2011

УДК 511.36

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ПОЛИАДИЧЕСКИХ РЯДОВ

В. Г. Чирский1

Исследуются арифметические свойства полиадических рядов вида p(n) • n!,

p(x) G Z[x].

Ключевые слова: трансцендентность, полиадические числа.

Arithmetic properties of series of the form p(n) • n!, p(n) G Z[x] are studied.

Key words: transcendence, polyadic numbers.

Кольцо целых полиадических чисел представляет собой прямое произведение колец Zp целых p-адических чисел (определение полиадического числа и обзор основных свойств полиадических чисел приведены, например, в книге А. Г. Постникова [1]).

1 Чирский Владимир Григорьевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Каноническое представление полиадического числа имеет вид

У^ ап ■ те!, 0 ^ ап ^ п.

п=о

Еще Л. Эйлеру было известно формальное тождество

те

Е

п=0

п ■ п! = -1. (1)

Равенство (1) справедливо в кольце полиадических чисел, поскольку оно выполняется в любом кольце Ър, р — простое число. Сходимость этого ряда в любом кольце Ър следует из того, что для стандартного р-адического нормирования имеет место равенство \п\\ = р , где Бп — сумма цифр р-ичного разложения числа п, и, следовательно,

|п ■ п!|р ^ 0 при п ^ то.

Далее,

тете тете

^ п ■ п! = ^((п + 1) - 1) ■ п! = ^(п + 1)! - ^ п! = -0! = -1.

п=0 п=0 п=0 п=0

Равенство (1) доказано.

Теорема 1. Для любого р(ж) € Ъ[ж] имеет место равенство

те

£р(п) ■ п! = А ■ ^п! + В, (2)

п=0 п=0

где А, В € Ъ (точные значения А и В приведены в тексте доказательства в формуле (4)). Доказательство. Пусть многочлен р(ж) имеет степень т. Представим его в виде

р(ж) = ат(ж + 1)(ж + 2)... (ж + т) + ат-1(ж + 1)(ж + 2)... (ж + т - 1) + ... ... + а2(ж + 1)(ж + 2) + а1(ж + 1) + ао,

где а € Ъ, г = 0,1,... , т. Тогда

р(п) ■ п! = ат(п + 1)... (п + т) ■ п! + ... + а1(п + 1) ■ п! + а0 ■ п! =

= ат(п + т)! + ат-1(п + т - 1)! + ... + а1(п + 1)! + ао ■ п!. (3)

Сходимость рядов в обеих частях равенства (2) устанавливается аналогично сходимости ряда ^^=0 п ■ п!. Из равенства (3) следует

£>(п) ■ п! = (ат ■ (п + т)! + ... + а1(п + 1)! + аоп!) = ат ^п! - ^ п! +

п=0 п=0 п=0 п=0

те те те т- 1

... + а1 ^^ п! - 1 + ао ^ п! = (ао + ... + йт^ п! - ат ^ п! + ... + а2 ■ 1! + аП = А ^ п! + В,

те те те т- 1 те

1 п! - 1 | + ао У^ п! = (ао + ... + ат) ^ п! - ат У^ п! + ... + а2 ■ 1! + ан =

\п=о / п=о п=о \ п=о / п=о

где

т- 1

' € Ъ. (4)

(т— 1 \

п! + ... + аН € Ъ.

п=о

Теорема 1 доказана.

Заметим, что равенство (1) следует из этой теоремы при р(ж) = ж = (ж + 1) - 1, что, согласно (4), дает А = 0, В = -1.

Теорема 2 описывает арифметические свойства рассматриваемого множества чисел. Теорема 2. Степень трансцендентности над Q множества полиадических чисел вида ^p(n)-n! равна 1.

Доказательство. Пусть Л G Q, Л = —1, -2, —3,..., £ = 0, £ — алгебраическое число. Обозначим 7(Л, £) = Л + ^(Л + 1)... (Л + n) £n. В работе [2] доказано, что для любого многочлена P(x) G Z[x], P(x) ^ 0, существует простое число p, такое, что в поле Qp имеет место неравенство P (7(Л, £)) = 0. (В работе [3] доказана общая теорема, из которой следует, что таких простых чисел p бесконечное множество. Кроме того, указана бесконечная совокупность интервалов, в которых лежат эти числа p.)

Поскольку ^~=о n! = а = 1 + 7(1, 0), из приведенного утверждения следует трансцендентность над Q полиадического числа а, что и утверждалось.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971.

2. Чирский В.Г. О глобальных соотношениях // Матем. заметки. 1990. 48, № 2. 123-127.

3. Bertrand D., Chirskii V., Yebbou Y. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse. 2004. XIII, N 2. 241-260.

Поступила в редакцию 22.12.2012

УДК 519.633+539.374

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВИСКОЗИМЕТРИЧЕСКИЕ КРУГОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ В КОЛЬЦЕВОМ ЗАЗОРЕ

Л. В. Муравлева1, Е. А. Муравлева2

Для кругового течения вязкопластической среды в кольцевом зазоре предложены аналитические оценки времени установления и остановки, проведена их численная верификация.

Ключевые слова: вязкопластичность, нестационарные вискозиметрические течения, вариационные неравенства, течение Куэтта.

The analytical estimates for the start-up and cessation of a circular flow of a viscoplastic medium in an annular gap are proposed and are numerically verified.

Key words: viscoplasticity, unsteady viscometric flows, variational inequalities, Couette

flow.

Вязкопластические [1] и вязкоупругопластические [2] среды сочетают в себе свойства вязкости и пластичности одновременно. В случае, когда интенсивность напряжений ниже некоторого порогового значения, среда ведет себя как жесткое тело, в противном случае — как несжимаемая вязкая жидкость. Установочные эксперименты реализуются на вискозиметрических течениях, т.е. течениях, допускающих восстановление определяющих соотношений по экспериментальным данным. В ротационных вискозиметрах вязкопластическая среда находится между двумя коаксильными цилиндрами, между которыми реализуется течение Куэтта-Тэйлора [3]. Представляют большой интерес время установления и время затухания стационарного режима.

Рассмотрим нестационарное круговое движение несжимаемой вязкопластической среды между двумя соосными цилиндрами бесконечной длины с радиусами Ri (внутренний) и R2 (внешний). В цилиндрической системе координат поле скорости имеет одну ненулевую компоненту Уф(r) = rw, где w — угловая скорость. В задачах о движении вязкопластической среды характерной особенностью является необходимость строить решения в областях с неизвестной границей, которая разделяет жесткие зоны и зоны

1 Муравлева Лариса Викторовна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Муравлева Екатерина Анатольевна — e-mail: [email protected].