CC BY
11Й СП
18. Ефимов М.А. Линейные отображения матриц, монотонные относительно ^-порядков // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, №4. 53-66.
19. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986.
Поступила в редакцию 14.03.2011
УДК 512.572
МНОГООБРАЗИЕ ЙОРДАНОВЫХ АЛГЕБР var \UT2 (F)(+) ИМЕЕТ ПОЧТИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЙ РОСТ
А. В. Попов1
В работе доказано, что в случае нулевой характеристики основного поля многообразие йордановых алгебр var (1JT2 (Fимеет экспоненту роста 2, а его любое собственное подмногообразие имеет полиномиальный рост.
Ключевые слова: многообразие линейных алгебр, йорданова алгебра, полиномиальное тождество, почти полиномиальный рост.
It is proved that in the case of ground field of characteristic zero the variety of jordan algebras var (uT2 (Fhas the growth with exponent two and any its proper subvariety has a polynomial growth.
Key words: variety of linear algebras, jordan algebra, polynomial identity, almost polynomial growth.
Важной числовой характеристикой многообразий линейных алгебр в случае поля нулевой характеристики является последовательность размерностей полилинейной части многообразия. Данная последовательность определяется как cn = dim Pn, где Pn — подпространство полилинейных элементов степени n от n порождающих относительно свободной алгебры многообразия. В зависимости от асимптотического поведения этой последовательности выделяют многообразия полиномиального, экспоненциального, промежуточного между полиномиальным и экспоненциальным, сверхэкспоненциального роста. С данной точки зрения особый интерес представляют так называемые многообразия почти полиномиального роста, у которых рост выше полиномиального (как правило, экспоненциальный), а рост всякого собственного подмногообразия полиномиальный [1, 2].
Одним из традиционных примеров многообразий неассоциативных алгебр является многообразие йордановых алгебр. Напомним, что йордановы алгебры определяются как алгебры, удовлетворяющие тождествам коммутативности и "йордановости":
xy = yx, (yx2) x = (yx) x2.
Договоримся в дальнейшем опускать скобки при их левонормированной расстановке. Тогда, например, тождество "йордановости" может быть записано как yx2x = yxx2.
Широкий класс йордановых алгебр составляют специальные йордановы алгебры. Они определяются как подалгебры йордановых алгебр, получаемых из ассоциативных алгебр заменой "обычной" операции умножения на новую " 0", по правилу
ж 0 у = i {ху + ух) .
В дальнейшем будем именовать эту операцию "йордановым умножением", и если A — ассоциативная алгебра, то соответствующую йорданову алгебру с операцией умножения " 0" будем обозначать A(+).
1 Попов Александр Викторович — асп. каф. алгебро-геометрических вычислений ф-та математики и информационных технологий УлГУ, e-mail: [email protected].
Известно, что при изучении тождеств специальных йордановых алгебр вместо свободной йордановой алгебры J (X) достаточно рассматривать свободную специальную йорданову алгебру SJ (X), определяемую как подалгебра алгебры Ass (X)(+\ порожденная множеством X, где Ass (X) — свободная ассоциативная алгебра от множества свободных порождающих X. Элементы подпространства S J (X) называются йордановыми многочленами (коротко — j-многочлены), или, другими словами, j-многочлены — это элементы Ass (X), которые можно записать, используя только операции " 0" и " +" [3]. Примером j-многочленов являются длинные коммутаторы нечетной длины. Напомним, что длинные коммутаторы определяются индуктивно: [xi,...,Xk] = [[xi,...,,Xk].
Если A — специальная йорданова алгебра, т.е. A С B(+\ где B — ассоциативная алгебра, то T — идеал тождеств T (A) = SJ П T (A, B), где T (A, B) — идеал тождеств подпространства A алгебры B. В частности, если A = B(+), то T (A) = SJ П T (B).
Рассмотрим специальную йорданову алгебру верхнетреугольных матриц UT2 (F)(+). Из результатов Дренски [4] следует, что данное многообразие имеет экспоненту роста 2 и почти полиномиальный рост в категории унитарных алгебр. Мы докажем, что оно обладает указанным свойством и в случае алгебр без единицы. Заметим, что в случае ассоциативных алгебр многообразие var (UT2 (F)) также имеет почти полиномиальный рост [1].
Порождающим тождеством многообразия var(UT2 (F)) является тождество
[Xi,X2] [X3,X4] — 0. (1)
Полилинейная часть Pn данного многообразия в качестве стандартного базиса имеет элементы следующего вида:
[xil , Xi2 , • • • , Xik ] Xifc+i • • • Xi„ , (2)
где ii < ¿3 < ¿4 < • • • < ik, ik+i < • • • < in. При этом выполнены тождества, позволяющие упорядочивать произвольным образом переменные внутри коммутатора начиная с 3-й позиции и переменные, стоящие после коммутатора, или, как мы будем говорить далее, в "хвосте":
[x1 , x2, • • • , Xi, Xj, • • • , Xn] — [x1 , X2, • • • , Xj, • • • , Xn], (з)
[x1 , • • • , Xk] Xk+1 • • • XiXj • • • Xn — [x1 , • • • , Xk] Xk+1 • • • XjXi • • • Xn
Результаты данной работы выражены в следующей теореме.
Теорема. Пусть V — многообразие йордановых алгебр уаг , порожденное алгеброй верхне-
треугольных матриц, тогда:
1) базис полилинейной части Р7п (V) состоит из элементов вида [х^ ... ] 0 хгк+1 0 ••• 0 х^и, где к нечетно;
2) последовательность размерностей сп (V) = (п — 2) 2п-2 + 1;
3) всякое собственное подмногообразие многообразия V имеет полиномиально ограниченный рост. Доказательство. 1. Рассмотрим подпространство РП относительно свободной алгебры многообразия ассоциативных алгебр уаг (иТ2 (^)). Это подпространство имеет базис, состоящий из элементов (2). Построим новый базис из элементов следующего вида:
[х^1,..., хгк ] 0 хг^+1 ••• 0 хг„ , (4)
где ¿1 < ¿3 < ¿4 < ••• < %к, ¿к+1 < ••• < ¿п. То что эти элементы образуют базис, следует по индукции из равенства
[ХП ) • • • ) хгк ] ® Х^к+1 • • • 0 хгп = [хп ) • • • ) хгк ] хгк+1 0 хгк+2 • • • 0 хг„ ~ ^ [ХП > • • • > Хгк+1 ] ® Х^к+2 • • • 0 хгп ■ Теперь определим на относительно свободной алгебре многообразия уаг (иТ2 (^)) инволюцию ст:
/Т • /V» . /V» . Гр . I_V Гр . Гр . Гр .
и . О/110/12 ♦ ♦ ♦ ^^и ' ' ' 11'
При этом естественным образом определяются симметричные и кососимметричные относительно инволюции элементы свободной алгебры, а пространство РП распадается в прямую сумму подпространств:
Рп = Рп+ ® Рп ,
где и Рп — подпространства симметричных и кососимметричных элементов соответственно. Всякий ^'-многочлен в силу построения является симметричным, а значит, Р]п = Б.]ПРп С р+. С другой стороны, легко видеть, что а■ [хг1,..., Хгк] = ( — 1)к-1 [Хг1,..., Хгк] и, следовательно, базисом Р+ служат элементы (4) для нечетных к, но эти же элементы являются йордановыми. Получаем, что Р,+ С Р.]п, и окончательно Р + = Р ]
1 п — 1 ]п-
2. В силу утверждения первой части теоремы подсчет размерностей полилинейной части многообразия V сводится к вычислению комбинаторной суммы:
Сп (V) = ё1ш Р.]п = 1 + ^ (к - 1) Сп),
1. — 1 \ /
к=3
где суммирование ведется по нечетным к. Введем следующие обозначения:
/ (Х) = Е (к - 1) (к) Хк, д (х) = £ (к - 1) (к) (-Х)к, к—2 \ / к—2 \ /
тогда сп = 1 + | (/ (1) — д (1)). Вычислим / (ж):
/(х) = хг[ >;( = ж2 ((1 +хх)П _ 1 _ пу = «п -1) ж -1) (1 + жу*-1 +1.
Аналогично получаем д (х) = 1 — ((п — 1) Х + 1) (1 — х)п-1 и окончательно находим
сп(У) = 1+{П~2)2П~1 + 1~1 =(п-2)2п~2 + 1.
3. Пусть Ш — собственное подмногообразие многообразия V. Тогда в Ш выполнено тождество следующего вида:
^ ^ аг [хг1, Х%2 , ■ ■ ■ , Хц ] Хг;+1 • • • Хгп — 0 (5)
г
где ¿1 < ¿з < ¿4 < ... < ¿¿,¿¿+1 < ... < гп. Выделим в сумме члены, имеющие самые длинные коммутаторы (пусть длины к). Далее, среди них выделим те, в которых на первой позиции стоит наименьшая буква. Пусть это будет Хь И третьим шагом выделим те, у которых на втором месте стоит наименьшая буква (кроме Х1). Пусть это будет Х2. В результате получим выделенными элементы суммы (5) вида аг [Х1,Х2,... ,Хгк] Хгк+1 ... Хгп, которые будут отличаться друг от друга составом букв в коммутаторе начиная с 3-й позиции. Тождество (5) перепишем в соответствующем виде:
^^ аг [х1, Х2, Хгз, . . . , Х%к] Хгк+1 . . . Хгп + У ] а3 [хЛ , Х32 , . . . , Х31] Х31+1 . . . Х3п — 0, где 1 ^ к. (6)
г 3
Подставляя в (6) коммутатор [Х2, хп+1, хп+2] на место переменной Х2, получаем йорданово следствие тождества. При этом элементы первой суммы преобразуются в линейно независимые слагаемые вида [Х2, Хп+1,хп+2,Х1 ,Хг3,... Хгк ] Хгк+1 ... Хгп, имеющие коммутаторы длины к + 2. Для элементов второй суммы возможны три ситуации: Х2 стоит в коммутаторе начиная с 3-й позиции или в "хвосте", тогда по модулю тождества (1) элемент обращается в нуль; Х2 стоит в начале коммутатора длины меньше к, тогда получается элемент с коммутатором длины меньше к + 2, а значит, он линейно независим с элементами первой суммы нового тождества; Х2 стоит в начале коммутатора к, а Х1 — в "хвосте" элемента, тогда получается элемент с коммутатором длины к + 2, при этом он отличается по составу от всякого коммутатора, встречающегося в первой сумме, а значит, линейно независим с элементами первой суммы нового тождества. Полученное следствие имеет вид
[х2 , Хп+1, Хп+2 ,Х1, Хгз, . . . , Хгк] Хгк+1 . . . Хг
+ ^ а3 [х2
, Хп +1, Хп+2, Х32 , Х33 , . . . , Х31] Х31+1 . . . Х3п — 0, (7)
г3
где I ^ к. Дальнейшие следствия тождества (7) мы будем строить, используя очевидное тождество, выполненное в иТ2 (Р):
[х1 ,Х2 ,Х3 0 Х4] — [Х1, Х2, Х3] Х4 + [Х1, Х2, Х4 ] Х3 — [Х1, Х2, Х3, Х4] .
Преобразуем тождество (7) следующим образом: выберем букву, встречающуюся хотя бы в одном из длинных коммутаторов первой суммы, но не во всех, — пусть это будет xi — и переместим ее в конец длинных коммутаторов, в которых она встречается, с помощью (3). На место Xi произведем подстановку элемента Xi 0 xn+3. В следствии получаем сумму элементов с коммутаторами максимальной длины k + 3, причем число таких элементов в этой сумме будет меньше, чем было перед преобразованием в сумме с самыми длинными коммутаторами (длины k + 2). Будем повторять это преобразование до тех пор, пока не получим только одно слагаемое в сумме с самыми длинными коммутаторами. В результате будем иметь следствие вида
[x2,Xn+1,Xn+2,Xil,... ,Xit ] Xit+l .. .Xim = aj [x2,Xn+1,Xn+2,Xjl,.. .,Xjl ] Xj1+1 . .. xJm, где l < t. (S)
j
Оценим сверху последовательность коразмерностей cn (W). Элементы базиса (2), у которых длины коммутаторов больше или равны t и длины "хвостов" больше или равны m - t, могут быть выражены с помощью (В) через базисные элементы с коммутаторами длины меньше t, из чего получаем следующую оценку:
t—1 / N n z ч
Cn (W) < 1 + £ (k - 1) f k ) + Y, (k - 1) ( k ) = O (nmax(t—1'm—1—.
k=2 ^ ' k=n—m+t+1 ^ '
Утверждения теоремы доказаны.
Работа частично поддержана грантом РФФИ № 10-01-00209а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Giambruno A., Zaicev M. V. Polynomial Identities and Asymptotic Methods // Mathematical Surveys and Monographs / Amer. Math. Soc. Vol. 122. Providence, RI, 2005.
2. Мищенко С.П., Попов А.В. Многообразие йордановых алгебр, определяемое тождеством (xy) (zt) — 0, имеет почти полиномиальный рост // Матем. заметки. 2010. 87, вып. б. 877-884.
3. Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.
4. Drensky V. On the identities of the three-dimensional simple Jordan algebra // Ann. de l'Univ. de Sofia, Fac. de Math. et Mecan. Livre 1: Math. 1984. 78. 53-67.
Поступила в редакцию 16.09.2011
УДК 511.36
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ПОЛИАДИЧЕСКИХ РЯДОВ
В. Г. Чирский1
Исследуются арифметические свойства полиадических рядов вида p(n) • n!,
p(x) G Z[x].
Ключевые слова: трансцендентность, полиадические числа.
Arithmetic properties of series of the form p(n) • n!, p(n) G Z[x] are studied.
Key words: transcendence, polyadic numbers.
Кольцо целых полиадических чисел представляет собой прямое произведение колец Zp целых p-адических чисел (определение полиадического числа и обзор основных свойств полиадических чисел приведены, например, в книге А. Г. Постникова [1]).
1 Чирский Владимир Григорьевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
