CC BY
7
АПРОБАЦИЯ УНИВЕРСАЛЬНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЙТИНГА НА ПРИМЕРЕ ФУТБОЛА
В.Н. ЮШКИН, С.С. МАРЧЕНКО, Р.И. ПЕНЬКОВА, ВГАУ, г. Волгоград, Россия
Аннотация
Актуальной необходимостью является обоснование теоретических основ рейтинговых систем по расчету и формированию рейтинговых классификаций в командных видах спорта с применением математического моделирования и численных методов. При формировании рейтинга должны учитываться результаты предыдущих выступлений и фактор влияния своего поля. Адекватность математической модели, предложенной для расчета рейтинга, оценивается показателем сходимости текущего рейтинга команд, участвующих в матче, с фактически полученным результатом матча. В работе представлен анализ результатов выступления сборных команд по футболу в Чемпионате Европы-2020. Цель исследования: описать результаты апробации разработанной универсальной модели
расчета рейтинга на примере футбола.
Ключевые слова: рейтинг, система, модель, коэффициент, свое поле.
APPROBATION OF A UNIVERSAL MATHEMATICAL MODEL FOR DETERMINING THE RATING ON THE EXAMPLE OF FOOTBALL
V.N. YUSHKIN, S.S. MARCHENKO, R.I. PENKOVA, VSAU, Volgograd city, Russia
Abstract
An urgent relevant need is to substantiate the theoretical foundations of rating systems for the calculation and formation of rating classifications in team sports using mathematical modeling and numerical methods. When forming the rating, the following should be taken into account: the results of previous performances, the influence factor of their field. The adequacy of the mathematical model proposed for rating calculation is assessed by the indicator of convergence of the current rating of the teams participating in the match with the actual result of the match. The paper presents an analysis of the results of the performance of national football teams in the European Championship 2020. The purpose of the study: to describe the results of the approbation of the developed universal rating calculation model on the example of football.
Keywords: rating, system, model, coefficient, home advantage.
Введение
Рейтинг - это система определения коэффициентов, основанная на данных результатов сыгранных матчей в игровых видах спорта. Рейтинг - величина неабсолютная, она оценивается относительно только по результатам проведенных игр.
Проблемой рейтингов занимаются многие отечественные ученые, в частности, А.А. Полозов, А.М. Карминский [1, 2, 3]. Большой вклад в развитие систем определения рейтингов в спорте внес А.А. Полозов. На основе системного анализа данных этой проблемой также занимаются А.К. Крутиков, В.Ю. Мельцов, В.Д. Подковырин [4]. Однако на сегодняшний день проблема рейтинга в игровых видах спорта остается изученной фрагментарно.
Некоторые исследователи разрабатывают и апробируют системы рейтинговых расчетов с опорой на распределение Пуассона [5, 6]. На сегодняшний день в научном
сообществе нет единства в отношении выработки универсальной рейтинговой системы, критериев, индикаторов, которые должны учитываться в процессе ранжирования отдельных участников и команд в различных соревнованиях.
В последние годы актуальность разработки универсальной рейтинговой системы усиливается по причине роста числа и популярности новых видов спорта. В результате этого привычные критерии (состав команды, игровой опыт, дозирование нагрузок, режим замен), влияющие традиционно на формирование рейтинга, не позволяют формировать полную систему представлений об успешности или неуспешности тех или иных спортивных событий, процессов. Формируются противоречия между: необходимостью теоретико-методологического обоснования универсальной рейтинговой системы и отсутст-
С*)
вием фундаментальных научных исследований, освещающих заявленную проблематику; необходимостью многоаспектного мониторинга спортивной подготовленности и сложностью его практической реализации по причине отсутствия единой, универсальной рейтинговой системы.
Разрешение указанных противоречий обуславливает актуальность выбранной темы исследования.
Цель исследования: описать результаты апробации разработанной универсальной модели расчета рейтинга на примере футбола.
В процессе достижения поставленной цели требуется последовательное решение следующих задач: описать систему уравнений, которые лежат в основе программы расчета рейтинга без учета фактора своего поля, рассчитать коэффициент фактора своего поля, описать результаты апробации разработанной математической модели.
Методика исследования
В концепции разработанной модели лежат основные положения общей теории измерений. Эта теория лежит в концепции любого рейтинга, а также исчисления статистической теории вероятности. Учет положений теории вероятности позволяет вывести связь между вероятностью того, что команда превзойдет соперника в матче, и разницей их рейтингов, более того, это отношение занимает центральную позицию в рейтинговой системе.
Система уравнений была положена в основу разработанной авторами программы, что позволяет автоматизировать процессы расчетов.
В качестве отличительных характеристик разработанной системы следует назвать, прежде всего, ее универсальность, которая находит свое отражение в следующем: математическая модель может применяться при составлении рейтингов для командных видов спорта; исследуемая модель представляет собой совокупность взаимосвязанных линейных уравнений, расчет которых обеспечивает повышение точности прогнозирования спортивных событий, мероприятий. Важно подчеркнуть, что, как будет показано ниже, в систему расчетов могут быть включены самые различные критерии (игра на своем/чужом поле; категория матча). Универсальность модели заключается в отсутствии необходимости учета количества игр: «применение рейтинговой оценки дает возможность смоделировать силу команд вне зависимости от количества игр, проведенных друг против друга»[7]. В рейтинге могут быть представлены позиции конкурентов, которые никогда не встречались в прямых соревнованиях; отсутствие временных ограничений, модель не ограничивается расчетом рейтинга одного турнира, сезона, т.е. не основывается на одном событии, что позволяет получать более надежные результаты.
В рамках данного исследования особый интерес представляет влияние фактора своего поля.
В процессе составления рейтинга ряда игр огромное значение имеет фактор домашнего преимущества, домашнего поля - «тенденция спортивных команд лучше выступать на своей домашней площадке, чем вдали от дома, существование которого было выявлено в широком спектре командных видов спорта» [7]. Ряд проведенных ис-
следований [8, 9] отражает тот факт, что в случае игры на своем поле выигрыш команды составляет более 50%. Это позволяет сделать вывод о том, что указанный фактор действительно влияет на исход игры.
Рейтинг команд определяется с учетом весовых коэффициентов, которые зависят от силы соперников по формуле [10, 11]:
R = Fi/Ai , (1)
где i - рассчитываемое количество команд в системе; Ri - рейтинг i-й команды; Fi, Ai - суммарное приведенное количество забитых и пропущенных голов i-й команды соответственно.
Суммарное приведенное количество забитых и пропущенных голов определяется по формулам:
(2)
j=i j=i где n - количество матчей, проведенных i-й командой; G{ - количество забитых и пропущенных голов i-й команды в j-й игре соответственно; Rj - рейтинг команды соперника в j-й игре.
Для решения системы уравнений примем за основу условие, что рейтинг средней команды равен единице:
(3)
i=i / ¡=1
где n - количество рассчитываемых команд в системе.
Значение коэффициента фактора своего поля находим как средневзвешенное значение по всем рассчитываемым матчам в системе по приведенной формуле:
где п - количество матчей с преимуществом фактора своего поля одной из команд; Си, С2{ - количество голов в г-й игре, забитых хозяевами поля и гостями соответственно; Я1г, Я2г - рейтинг в г-й игре хозяев поля и гостей соответственно.
При игре команды в гостях кГ) принимает обратную величину, при игре на нейтральном поле ^ = 1.
Все представленные формулы были положены в основу разработанной программы, все расчеты осуществляются автоматически, статья направлена исключительно на отражение результатов, выводов, полученных в процессе использования программы.
Результаты исследования и их обсуждение
На следующем этапе исследования представляется целесообразным обратиться к демонстрации применения разработанной модели в процессе расчета рейтинга.
В качестве материала для исследования были выбраны результаты соревнования сборных команд по футболу на ЧЕ-2020 с периодом проведения выступлений с 21 марта 2019 г. по 11 июля 2021 г., включая отборочный цикл и финальную стадию соревнований.
Вариант расчета предполагал решение единой системы линейных уравнений с вычислением коэффициента влияния фактора своего поля, имеющих единственное решение при условии, что в течение всего турнира каждая
команда забила или пропустила хотя бы один гол. Для данного турнира условие решения системы линейных уравнений выполняется.
Результаты, приведенные в работе [12], были получены в варианте, предполагающем, что каждая группа является изолированным турниром, не имеющим связующих матчей, на основании которых можно было произвести расчет единого макротурнира. После проведения финаль-
ной стадии ЧЕ стало возможным получение рейтинга по всему турниру.
Итоги расчета системы уравнений и полученные результаты сведены в табл. 1. В ней используются следующие обозначения: ПМ - количество исходов, сошедшихся с результатом рейтинговой оценки соперников, РМ - количество матчей с выявленным победителем.
Таблица 1
Результаты выступления команд
№ п/п Команда F¡ А; ПМ РМ %
1 Бельгия 12,119 45,999 3,796 14 15 93,33
2 Англия 10,927 58,451 5,349 12 13 92,31
3 Италия 10,151 55,629 5,480 14 15 93,33
4 Дания 5,551 41,225 7,427 9 10 90,00
5 Россия 3,794 22,696 5,982 13 13 100,00
6 Испания 3,740 37,202 9,948 10 10 100,00
7 Чехия 3,082 23,894 7,752 10 12 83,33
8 Ирландия 2,982 7,755 2,600 4 4 100,00
9 Швейцария 2,728 27,547 10,098 8 8 100,00
10 Финляндия 2,406 17,099 7,107 10 13 76,92
11 Польша 2,380 20,651 8,676 8 11 72,73
12 Косово 2,218 23,753 10,710 6 7 85,71
13 Нидерланды 2,180 23,081 10,586 9 11 81,82
14 Швеция 2,135 20,703 9,699 8 10 80,00
15 Германия 2,090 23,730 11,356 8 11 72,73
16 Хорватия 2,065 26,309 12,740 8 9 88,89
17 Украина 1,921 19,463 10,132 9 11 81,82
18 Португалия 1,872 21,787 11,641 9 9 100,00
19 Австрия 1,666 21,877 13,131 9 13 69,23
20 Уэльс 1,641 13,403 8,165 8 9 88,89
21 Турция 1,616 11,603 7,179 10 11 90,91
22 Франция 1,543 22,425 14,536 9 10 90,00
23 Словения 1,420 13,993 9,856 5 8 62,50
24 Босния и Герцеговина 1,316 18,706 14,211 7 9 77,78
25 Словакия 1,139 16,056 14,096 9 11 81,82
26 Норвегия 1,029 15,284 14,858 5 6 83,33
27 Армения 1,009 16,155 16,011 7 9 77,78
28 Венгрия 0,976 15,934 16,327 7 11 63,64
29 Греция 0,867 11,146 12,857 4 8 50,00
30 Израиль 0,864 13,972 16,175 7 8 87,50
31 Северная Македония 0,813 15,721 19,339 11 13 84,62
32 Болгария 0,750 9,273 12,362 4 6 66,67
33 Румыния 0,743 11,068 14,887 9 9 100,00
34 Сербия 0,631 14,553 23,049 6 7 85,71
35 Исландия 0,596 9,403 15,779 9 11 81,82
36 Черногория 0,509 5,066 9,948 5 5 100,00
37 Грузия 0,498 5,202 10,436 8 8 100,00
Окончание табл. 1
№ п/п Команда к! р! а! ПМ РМ %
38 Кипр 0,451 7,553 16,750 8 9 88,89
39 Северная Ирландия 0,427 7,530 17,648 8 8 100,00
40 Шотландия 0,399 8,457 21,182 10 12 83,33
41 Албания 0,372 7,564 20,333 8 9 88,89
42 Азербайджан 0,368 6,169 16,767 7 7 100,00
43 Люксембург 0,259 4,850 18,742 7 7 100,00
44 Казахстан 0,186 4,290 23,117 8 9 88,89
45 Литва 0,154 3,797 24,692 7 7 100,00
46 Беларусь 0,136 2,452 18,068 8 8 100,00
47 Латвия 0,130 3,261 24,993 9 10 90,00
48 Гибралтар 0,118 2,580 21,809 8 8 100,00
49 Молдавия 0,107 3,393 31,659 9 10 90,00
50 Фарерские острова 0,104 3,122 30,155 9 10 90,00
51 Лихтенштейн 0,095 1,952 20,537 8 8 100,00
52 Андорра 0,069 1,724 24,822 8 9 88,89
53 Мальта 0,054 1,396 26,052 9 10 90,00
54 Эстония 0,033 0,860 25,855 7 7 100,00
55 Сан-Марино 0,007 0,363 51,667 10 10 100,00
Итого 1,000 849,127 849,129 228 261 87,36
Был выполнен вариант расчета, который предполагает расчет единой системы уравнений с вычислением единого показателя - коэффициента влияния фактора своего поля.
Анализ таблиц показывает, что количество матчей с сошедшимся результатом составил ЕПМ = 228, а количество матчей с выявленным победителем ЕРМ = 261. Процент матчей, когда фактический результат совпал с рейтинговой оценкой на матч, составил: 100% х Е ПМ / Е РМ = 87,36%. Полученный показатель выше точности других, разработанных ранее моделей, точность которых колеблется от 54,43 до 57,00% [13].
При этом полученный показатель ниже показателя, представленного в работе [12], который равен 90,187% и был определен для отборочного этапа, в котором группы рассматривались как изолированные турниры. Отборочный этап проводился в течение одного года с учетом финального этапа более двух лет. Создается ситуация, при которой в коротком турнире можно получить более высокие показатели сходимости результатов, чем в более продолжительном турнире. Результаты вычислений свидетельствуют о высокой степени соответствия предложенной математической модели.
Анализ вычисления коэффициента влияния своего поля на результат показал следующее. В варианте расчета, представленном в работе [12], кГ) = 1,484, где использовались только результаты отборочного цикла. В варианте, учитывающем и финальную стадию, произошло уточнение коэффициента влияния фактора своего поля, в данной работе он получился равным: ^ = 350,04/248,22 = 1,410.
Анализ выступления команд в отборочном цикле и в финальном турнире представлен в табл. 2 и 3.
Таблица 2
Уровень групп и раундов на предварительном этапе
№ п/п Группа К! ЕР! еа
1 А 2,427 92,190 37,982
2 В 0,589 44,383 75,393
3 С 0,559 39,876 71,329
4 в 1,169 49,960 42,721
5 Е 1,055 50,721 48,091
6 Р 0,654 61,449 93,912
7 О 0,892 69,890 78,334
8 н 0,404 41,526 102,776
9 I 0,559 63,976 114,449
10 ] 1,309 93,490 71,416
11 Полуфинал плей-офф 0,826 15,166 18,367
12 Финал плей-офф 0,657 7,238 11,014
Итого 0,823 629,864 765,782
Таблица 3
Уровень групп и раундов в финальном этапе
№ п/п Группа Ер! Еа!
1 А 2,650 20,007 7,549
2 В 5,358 31,969 5,966
Информационное обеспечение физической культуры и спорта
Окончание табл. 3
№ п/п Группа r Zfi
3 C 1,532 20,458 13,357
4 D 1,606 10,992 6,846
5 E 2,098 21,703 10,347
6 F 1,608 25,865 16,088
7 1/8 финала 2,715 43,624 16,069
8 Четвертьфинал 5,389 25,145 4,666
9 Полуфинал 7,055 13,013 1,845
10 Финал 10,532 6,492 0,616
Итого 2,631 219,267 83,348
Как видно из полученных результатов, рейтинги групп на финальной стадии выше, чем на этапе отборочного цикла, в: 2,631/0,823 = 3,2 раза. Динамика изменения рейтинга участвующих команд в зависимости от стадии проведения турнира представлена на рис. 1.
График показывает, что на более поздних стадиях турнира рейтинг команд увеличивается.
На основе полученных данных можно увидеть, что в отборочном цикле самой сильной была группа «А», в которой играли Англия (финалист ЧЕ-2020), Чехия, Косово, Болгария, Черногория. В финальной стадии самой сильной была группа «В», в которой играли Италия (победитель ЧЕ-2020), Уэльс, Швейцария, Турция.
Предварительный этап
Групповая стадия финального этапа
Рис. 1. Динамика изменения рейтинга команд в зависимости от стадии проведения турнира
Результаты исследования позволяют сделать вывод о необходимости учета фактора уровня игры в процессе повышения точности прогнозирования возможных результатов спортивных мероприятий, игр.
Выводы
Процент матчей, когда фактический результат совпал с рейтинговой оценкой на матч, составил: 100% х Е ПМ / Е РМ = 87,36%, что является высоким показателем для одного турнира продолжительностью более двух лет. Так как отборочный этап проводился в течение одного года, а с учетом финального этапа - более двух лет, то можно сделать вывод, что в коротком турнире можно получить более высокие показатели сходимости результатов, чем
в продолжительном турнире. Анализируя полученные результаты, делаем заключение, что уровень матчей финальной стадии выше уровня матчей отборочного цикла в 2,631 / 0,823 = 3,2 раза. Приведенные данные свидетельствуют об адекватности предложенной математической модели и возможности применения рейтинга для оценки итоговых результатов выступлений команд.
В то же время полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что на результаты игры оказывает влияние фактор уровня игры, соответственно, разработанная модель должна быть дополнена уравнениями, которые позволят учитывать указанный фактор в процессе расчета рейтинга, прогнозирования возможных результатов игры.
Литература
1. Карминский, А.М. Энциклопедия рейтингов. Экономика, общество, спорт / А.М. Карминский, А.А. Полозов. - М.: Изд-во «Форум». - 2016. - 448 с.
2. Полозов, А.А. Информационная модель футбола на примере участия сборной России на ЧМ-2018 / А.А. Полозов, С.В. Михряков, Е.С. Набойченко, Е.М. Божко // Теория и практика физической культуры. - 2018. - № 1. -С. 75-77.
3. Полозов, А.А. Прогнозирование результатов ЧМ-2018 на основе нового алгоритма консолидации данных / А.А. Полозов, Е.А. Суворова, А.В. Мельникова, А.В. Коре-
лина, С.В. Михряков // Ученые записки университета им. П.Ф. Лесгафта. - 2018. - № 4. - С. 263-269.
4. Крутиков, А.К. Разработка и модификация модульной структуры системы прогнозирования спортивных результатов / А.К. Крутиков, В.Ю. Мельцов, В.Д. Подковы-рин // Современные наукоемкие технологии. - 2019. -№ 11 (1). - С. 72-76.
5. Bastos, L.S. Predicting probabilities for the 2010 FIFA world cup games using a Poisson-Gamma model / L.S. Bastos, J.M.C. da Rosa // Journal of Applied Statistics. - 2013. -No. 40. - Pp. 1533-1544.
6. Saraiva, E.F. Predicting football scores via Poisson regression model: applications to the National Football League / E.F. Saraiva, A.K. Suzuki, C.A.O. Filho, F. Louzada // Communications for Statistical Applications and Methods. -2016. - No. 23. - Pp. 297-319.
7. Goumas, Ch. Modelling home advantage for individual teams in UEFA Champions League football / Ch. Goumas // Journal of Sport and Health Science. - 2017. - Vol. 6. -Iss. 3. - Pp. 321-326.
8. Pollard, R. Components of home advantage in 157 national soccer leagues worldwide / R. Pollard, M.A. Gomez // International Journal of Sport and Exercise Psychology. -2014. - No. 12 (3). - Pp. 218-233.
9. Boudreaux, CJ. Natural Experiment to Determine the Crowd Effect Upon Home Court Advantage / C.J. Boudreaux, S.D. Sanders, B.A. Walia // Journal of Sports Economics. - 2015. - No. 18 (7). - Pp. 737-749.
10. Юшкин, В.Н. Система определения рейтинга /
B.Н. Юшкин // Современная наука: актуальные проблемы теории и практики. Серия: Гуманитарные науки. -2020. - № 1. - С. 122-126.
11. Юшкин, В.Н. Оценка результатов выступления команд с применением математической модели / В.Н. Юшкин // Ученые записки университета им. П.Ф. Лесгафта. -2020. - № 11 (189). - С. 601-607.
12. Юшкин, В.Н. Математическая модель определения рейтинга в линейной постановке / В.Н. Юшкин // Теория и практика физической культуры. - 2022. - № 3. -
C. 14-16.
13. Talattinis, K. Forecasting Soccer Outcome Using Cost-Sensitive Models Oriented to Investment Opportunities / K. Talattinis, G. Kyriakides, E. Kapantai, G. Stephanides // International Journal of Computer Science in Sport. -2019. -Vol. 18. - Iss. 1. - Pp. 93-114.
References
1. Karminskiy, A.M. and Polozov, A.A. (2016), Encyclo-pediya of ratings. Economy, society, sports, M.: Izdatel'stvo "Forum", 448 p.
2. Polozov, A.A., Mikhryakov, S.V., Naboychenko, E.S. and Bozhko, E.M. (2018), Football data processing model in context of Russian national team participation in 2018 World Cup, Teoriya i praktika fizicheskoy kul'tury, no 1, pp. 75-77.
3. Polozov, A.A., Suvorova, E.A., Melnikova, A.V., Korelina, A.V. and Mikhryakov, S.V. (2018), Forecasting of results of the 2018 World Cup on the basis of a new algorithm of consolidation of data, Uchyonye zapiski universiteta imeni P.F. Lesgafta, no 4, pp. 263-269.
4. Krutikov, A.K., Meltsov, V.Yu. and Podkovyrin, V.D. (2019), Development and modification of the modular structure of the system for predicting sports results, Sovremennye naukoyomkie tehnologii, vol. 11 (1), pp. 72-76.
5. Bastos, L.S. and da Rosa, J.M.C. (2013), Predicting probabilities for the 2010 FIFA world cup games using a Poisson-Gamma model, Journal of Applied Statistics, no. 40, pp. 1533-1544.
6. Saraiva, E.F., Suzuki, A.K., Filho, C.A.O. and Louza-da, F. (2016), Predicting football scores via Poisson regression model: applications to the National Football League, Communications for Statistical Applications and Methods, no 23, pp. 297-319.
7. Goumas, Ch. (2017), Modelling home advantage for individual teams in UEFA Champions League football, Journal of Sport and Health Science, vol. 6, iss. 3, pp. 321-326.
8. Pollard, R. and Gómez, M.A. (2014), Components of home advantage in 157 national soccer leagues worldwide, International Journal of Sport and Exercise Psychology, no. 12 (3), pp. 218-233.
9. Boudreaux, C.J., Sanders, S.D. and Walia, B.A (2015), Natural Experiment to Determine the Crowd Effect Upon Home Court Advantage, Journal of Sports Economics, no. 18 (7), pp. 737-749.
10. Yushkin, V.N. (2020), The Ranking System, Sovre-mennaya nauka: aktual'nye problemy teorii i praktiki. Seriya: Gumanitarnye nauki, vol. 1, pp. 122-126.
11. Yushkin, V.N. (2020), Evaluation of the results of the performance of teams using a mathematical model, Uchyonye zapiski universiteta imeni P.F. Lesgafta, vol. 11 (189), pp. 601-607.
12. Yushkin, V.N. (2022), Mathematical model for determining the rating in a linear formulation, Teoriya i praktika fizicheskoy kul'tury, no. 3, pp. 14-16.
13. Talattinis, K., Kyriakides, G., Kapantai, E. and Stephanides, G. (2019), Forecasting Soccer Outcome Using Cost-Sensitive Models Oriented to Investment Opportunities, International Journal of Computer Science in Sport, vol. 18, iss. 1, pp. 93-114.
С*)
