CC BY
2
Владикавказский математический журнал 2023, Том 25, Выпуск 4, С. 50-57
УДК 517.518.234+517.548.3 DOI 10.46698/q1367-9905-0509-t
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ИЛИ МНИМОЙ ЧАСТИ ОБОБЩЕННОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
С. Б. Климентов1'2
1 Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53; 2 Южный федеральный университет, Россия, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: [email protected]
Аннотация. Обозначим D = Dz = {z : |z| < 1} единичный круг комплексной z-плоскости, Г = 3D. Хорошо известно следующее свойство гармонических функций. Если вещественная функция U(z) £ C(D) гармонична в D, U(z)\zer К = const > 0, то U(z) К для любого z £ D. Предмет настоящей работы — обобщение этого свойства на вещественную (мнимую) часть решения эллиптической в D системы dzW — qi(z)dzw — q2(z)dzW + A(z)w + B(z)w = 0, где w = w(z) = u(z) + iv(z) — искомая комплексная функция, dz = § + i-щ), dz = | — гщ)— производные в смысле Соболева, qi(z) и q2 (z) — заданные измеримые комплексные функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности системы |gi(z)| + \q2(z)\ < go = const < 1, z £ D, A(z), B(z) £ LP(D), p > 2, — также заданные комплексные функции.
Ключевые слова: эллиптическая система первого порядка, обобщенная аналитическая функция. AMS Subject Classification: 30G30.
Образец цитирования: Климентов С. Б. Априорные оценки положительной вещественной или мнимой части обобщенной аналитической функции // Владикавк. матем. журн.—2023.—Т. 25, вып. 4.—С. 50-57. DOI: 10.46698/q1367-9905-0509-t.
1. Введение. Формулировка результатов
Обозначим Д = Дг = {г : \г\ < 1} единичный круг комплексной ¿-плоскости Е, х = х + и/, г2 = —1; Г = сШ — граница круга Б = Б и Г.
В статье используются следующие функциональные пространства со стандартными нормами в них: Ьр(0) — пространство суммируемых с показателем р ^ 1 в И функций; С (О) — пространство функций, непрерывных в И] (£>), к = 0,1,... , р ^ 1, — класс функций, имеющих в И обобщенные в смысле Соболева производные до к-го порядка, суммируемые с показателем р, ]¥р(0) = ЬР(В); С^(-О), А; = 0,1,..., 0 < ск < 1, — пространство функций, имеющих непрерывные в И частные производные до порядка к, удовлетворяющие условию Гёльдера с показателем а, = Са(0).
Как известно, по теореме вложения Соболева — Кондрашева при р > 2, к ^ 1, \¥р (И) С а = так что в этом случае функции из \¥р (-О) будем считать
непрерывными в И.
2023 Климентов С. Б.
Рассмотрим в D общую эллиптическую систему первого порядка в комплексной записи
дzW — q\(z)dzw — q2(z)dzW + A(z)w + B(z)w = 0, (1)
где w = w(z) = u(z) + iv(z) — искомая комплексная функция, = + ^щ),
= ~ производные в смысле Соболева, qi(z) и q2{z) — заданные изме-
римые комплексные функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности системы (1)
\qi(z)\ + \q2(z)\ < = const < 1, z eD, (2)
A(z), B(z) € Lp(D), p > 2, — также заданные комплексные функции.
Хорошо известно следующее свойство гармонических функций. Если вещественная функция U(z) € C(D) гармонична в D, U(z)\zег ^ К = const > 0, то U(z) ^ К для любого z £ D.
Если в (1) A(z) = B(z) = 0 (случай обобщенного уравнения Бельтрами), то это свойство дословно переносится на вещественную u(z) либо мнимую v(z) часть решения w(z) = u(z) + iv(z) уравнения (1), поскольку в этом случае имеет место представление w(z) = Ф(((,г)), где ( = ((z) — некоторый гомеоморфизм круга D на себя, а Ф — некоторая непрерывная в D голоморфная функция [1].
Предмет настоящей работы — обобщение этого свойства на вещественную (мнимую) часть решения системы (1) в случае |A(z)|2 + |B(z)|2 = 0. Чтобы не загромождать обозначения, там, где это не может вызвать недоразумений, различные константы иногда обозначаются одними и теми же буквами.
В качестве базового рассматривается частный случай qi(z) = q2(z) = 0 и доказывается следующая
Теорема 1. Пусть w(z) = u(z) + iv(z) € Wp(D), p > 2, —решение канонической эллиптической системы в комплексной записи
d-zw + A(z)w + B{z)w = 0 (3)
(обобщенная аналитическая функция в смысле И. Н. Векуа [2]),
|||A(z)| + №)|||M^C = const, (4)
u(z)\zer ^ Сг > 0, \w(z)\^C2 (Уz € 13). (5)
Тогда найдется константа Сз > 0, зависящая только от С, Сi, С2, такая, что
u(z)^C3 (Vz€D). (6)
Замечание 1. В формулировке теоремы 1 вещественную часть u(z) можно заменить мнимой частью v(z). Доказательство состоит в переходе к функции W(z) = -iw(z).
Замечание 2. Как показывает нижеследующий пример, в неголоморфном случае (т. е., если в (3) либо A(z), либо B(z) отличны от тождественного нуля) невозможно избавиться от ограничений на w(z).
Пример. Рассмотрим в D функцию w(z) = \z\2 + ^ + in(\z\2 + 1), n € N. Она удовлетворяет уравнению c^w + A(z)w = 0, где
A(z) =--У1+т)-, |А(г)|<2>/2.
В обозначениях теоремы 1 С = 2тг^2, С\ = 1, С2 = С2(п), Сз = Сз(п), причем при п — то С2(п) — то, С3(п) — 0.
Замечание 3. В статье автора [3] в результате борьбы за сокращение объема статьи неравенство (2.40) приведено без должного обоснования (предыдущее неравенство, «обосновывающее» (2.40), очевидно ошибочно). Теорема 1 дает обоснование неравенству (2.40) из [3].
Некоторое усиление ограничений на -ю(г) позволяет получить соответствующее утверждение для решений общего уравнения (1).
Теорема 2. Пусть ы{г) = и(х) + гь(г) € Шр{Б), р > 2, — решение эллиптической системы в комплексной записи (1), коэффициенты которой удовлетворяют условиям (2), (4), решение -ю(г) удовлетворяет условиям
Ф)\2& > > °> И^Н^ОЭ) < (7)
Тогда найдется константа С3 > 0, зависящая только от д0, С, С\, С4, такая, что выполнено неравенство (6).
Можно не усиливать ограничения на 'ы(г), но ввести дополнительные требования на 01(2), 42^).
Теорема 3. Пусть из {г) = и(х) + гь(г) € Шр{Б), р > 2, — решение эллиптической системы в комплексной записи (1), коэффициенты которой удовлетворяют условиям (2), (4) и
+ < С6, 1шд2(г) = 0. (8)
Пусть также решение -ю(г) удовлетворяет условиям (5).
Тогда найдется константа С3 > 0, зависящая только от д0, С, С\, С2, С6, такая, что выполнено неравенство (6).
Замечание 4. Можно ли в теореме 3 избавиться хотя бы от условия 1т д2(г) = 0 — вопрос открытый.
2. Доказательство теоремы 1
Предположим, что утверждение теоремы неверно. Тогда для любого п € N такого, что ^ < С\, найдется точка г^ € И, коэффициенты и решение урав-
нения (3) и>(п\г) £ \¥р(0), при А = В = В(п\г), удовлетворяющие условиям
теоремы, для которых
Кеи)^^) =(9)
В дальнейшем считаем, что
п^по>^С\. (10)
Лемма 1. Последовательность {г^ }«=по не может иметь точки сгущения г* € Г,
т. е. существует г, 0 < г < 1, такое, что {г^}^=По С Ог = {г : \г\ ^ г}.
< Предположим противное, т. е., что г* € Г — точка сгущения последовательности !
0
{г0п)}^=по. Без ограничения общности можем считать, что
Ит г0п) = г*. 0
Рассмотрим интегральный оператор
в
/(*) + */(*)
£ — г 1 — £г
^ж^у, £ = х + гу.
Отметим, что при /(г) € [2, гл. 1, § 6; гл. 4, § 7]
€ -О, о; =
р-2
V
где константа К от / не зависит.
Для функции -ш(га)(г) при любом п имеем представление [2, гл. 4, §7]:
>(га)(г) + Т0 (А(га)ад(га) + В(га)«;(га)) = Ф(п)(г),
ад4
где ф(га)(,г) = и^п\х) + — голоморфная в Б функция класса \¥р(0),
Иеад(га)(г) = Ие Ф(п)(г) (Vг € Г). Таким образом, подставив в (12) г = г0п), будем иметь:
Но в силу (11)
ИеТо + В(п)«;(п)) (г0п))
Ие То (А(га)ад(га) + В(га)«;(га)) (г0га)) - Ие То (А(га)ад(га) + В(га)«;(га)) (г*)
< К1 ■ С ■ С2 ■ |г* - г0п) |а.
Из (13) и (14) получаем, что если п такое, что
(11)
(12)
(13)
(14)
0п
то и(п) (г0п)) < Сь
В силу гармоничности функции
и (п) (г) найдется точка г(п) € Г такая, что и(п)(г(п)) < Сь Но из (10), (12), (11) и (5) следует, что и(п)(г(п)) ^ С1. Противоречие.
Лемма 1 доказана. >
Введем в рассмотрение интегральный оператор
т20,21№ =$ №
в
£ — г
- Р(г,£, г0,г1)
^ж^у, £ = ж + гу,
где / € ¿р(£>),
т-,/ , ч -г — 1 -г — -го 1 -рт /
Р(г,г,г0,г 1) =-----1-----, ,г0,21 € Д ,г0 / 21.
г0 — г1 £ — г0 г1 — г0 £ — г1
а
1
В дальнейшем также будем обозначать Tf(z) =--JJ
Отметим, что
f (t)
П JJ t — z
D
dx dy.
(15)
f (г, )=0, 3 =0, 1.
Вернемся к определенной в (9) последовательности точек {г0п)}, которая, согласно лемме 1, содержится в Ог.
Положим в определении оператора Тг0;г1 г0 = г0по), а г1 = г(по) € Г выберем произвольно.
Для -ш(по)(г) имеет место представление [2, гл.3, §5]:
w
(по)(z) + т (n0) (n0) (A(no)w(no) + B(no)w(no)) = $(no)(z), z0 >z1 V '
(16)
где Ф(по)(г) = и(по)(г) + гУ(по)(г) — вполне определенная голоморфная в Д функция класса В силу (9), (15) и гармоничности функции существует zt{l0+l"> €
Г • и(-п^(г{по+1)) = —
^ 1 ' по'
Запишем теперь представление (16) для w(no+1)(z) при zo = z0no+1), zi = z(no+1):
;(no+1)(z) + T
' -/(zi + Tz(no + 1) z(no + 1)
A(no+1) w(no+1) + B (no+1)ty(no+1^ = $(no+1)(z),
где ф(гао+1)(г) = и^по+1\г) + гУ^по+1Цг) - голоморфная в £> функция класса И^Д). Аналогично предыдущему существует <= Г : [/(гао+1)^(гао+2)^ _ _!_• и т> д>
Получим последовательность точек {г(п) }^=по С Г такую, что
n=no
w(n)(z) + T („) („) (A(n)w(n) + B(n)w(n)) = $(n)(z), (17)
zo >zi V /
где = U^n\z) + iV^n\z) — голоморфная в D функция класса Wp(D) и
1
U (n)(z(n+1)) =
n + 1
(18)
(19)
Без ограничения общности можем считать эту последовательность сходящейся:
lim z(n) = zi € Г.
n—^^о
Подставим в (17) z = z(n+ 1 ) и оценим получившийся интеграл:
w(n) (z(n+ 1 )) + Tz(n),z(n) (A(n)w(n) + B(n)wö(n)) (z Sn+ 1 )) = Ф(п) (z(n+1)) . (20)
Далее для сокращения записей будем обозначать Т (п) (п) = Тп.
го >г1
Из определения Тп имеем:
(n+1) (n)
T,f(«Г') -Tf (4"+1))-'S) Т1 (Л
zo z1
z
(n+1) (n)
1
z
0
(n) (n)
z1 - z,
o
-Tf (z
(n) 1
откуда
Tnf (zän+1^|^|Tf (z^) - Tf (zän))
(n+1) (n)
+
z
| z(n) _ z(n) | zz
Tf zo(n)
+
1
z
(n+1) (n)
1
z
o
(n) (n)
zz
Tf z
(n) 1
(21)
l
Далее воспользуемся следующими свойствами оператора T [2, гл. 1, §6]:
\Tf{Zl) - Tf{z2) | < COnst ll/ll LP(D) " *2Г,
— v - 2 (22)
|T/(z)| < const ||/||ip(S), Vz,zi, z2eD, a =
где const от f не зависит. z0
Так как {-го™"*} С Dri из (21) и (22) получаем:
Tnf (zSn+1))
< \\J\\LP(D) ■ Sconst
z(n+1) z(n) zz
I (n+1) (n) I
« |z1 — z1 I
+ const J-1
1 — r
где const от f не зависят. Отсюда
Tn (Aw(n)) + Bw(n) (z^) 1 < const ■ С ■ C2 ■ |z(n+1) — z(n) Г , (23)
где const от n не зависит.
Из (19), (20), (18) и (23) получаем, что при достаточно больших n
Re w(n) (z^) <C1,
что противоречит (5). Теорема 1 доказана.
3. Доказательство теоремы 2
Доказательство теоремы 2 почти дословно повторяет доказательство теоремы 1, только вместо представления (12) следует использовать представление [4]
w(n)(z) + To (q(n)dzw(n) + q2n)d,w(n) + A(n)w(n) + B(n)w(n)) = $(n)(z),
и везде далее (в (16) и т. д.) сделать аналогичную замену представления.
4. Доказательство теоремы 3
Используя наши предположения о коэффициентах уравнения (1), приведем его к каноническому виду (подробности можно найти в [5])
+ Ао(()и + В0(()т = 0,
где ( € D^ = {|£| ^ 1}, w = ш + aoJ,
. cif+A-i+B-ia \ А° = 1-|аР ч
> € LJDA, = -1^2- J
„ _ 7 _ <72(1 - И2)
и —--—
a |1 -qi ■ ¡i\2 - \q2 • /х|2 '
= (1 — gi • fi)A + q2- fi- В
1 (z[\l - qi-Jl\2 - \q2- ц\2]'
(l-ql-fx)B + q2-fx-A ±>i = =-,
2qi
fx
1 + - |g2|2 + VA где A = (1 + |qi|2 - |q2|2)2 - 4|qi|2 ^ (1 - q0)2 > 0. Очевидно, что из (2) следует
\/jl(z)\ ^ /jlo = const < 1, fi(z) € Wp(Dz)]
KOI ^ ao = const < 1, в связи с чем а(() € Wp(D^), Bi(() € LP(D^).
Теперь достаточно сослаться на теорему 1.
Литература
1. Боярский Б. В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами // Мат. сб.—1957.—Т. 43, № 4.—С. 451-503.
2. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции.—М.: Физматгиз.—1959.—628 с.
3. Климентов С. Б. Об априорных оценках производных радиуса-вектора поверхности положительной кривизны // Итоги науки и техники. Сер. Проблемы геометрии.—М.: Винити, 1987.—Т. 19.— С. 187-213.
4. Климентов С. Б. Об одном способе построения решений краевых задач теории изгибаний поверхностей положительной кривизны // Украинский геом. сб.—Харьков: Изд-во «Вища школа», 1986.—Вып. 29.—С. 56-82.
5. Климентов С.Б. Задача Римана — Гильберта в классах Харди для общих эллиптических систем первого порядка // Изв. вузов. Математика.—2016.—№ 6.—С. 36-47.
Статья поступила 8 ноября 2022 г. Климентов Сергей Борисович
Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, ведущий научный сотрудник отдела математического анализа, РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53; Южный федеральный университет,
профессор кафедры математического анализа и геометрии, РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 a E-mail: [email protected]
Vladikavkaz Mathematical Journal 2023, Volume 25, Issue 4, P. 50-57
A PRIORI ESTIMATES OF THE POSITIVE REAL OR IMAGINARY PART OF A GENERALIZED ANALYTIC FUNCTION
Klimentov, S. B.1'2
1 Southern Mathematical Institute VSC RAS, 53 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia;
2 South Federal University, 8 a Milchakova St., Rostov-on-Don 344090, Russia E-mail: [email protected]
Abstract. We denote by D = Dz = {z : |z| < 1} the unit disk in the complex z-plane, r = 3D. The following property of harmonic functions is well-known. If a real valued function U(z) £ C(D) is harmonic in D, U(z)\zer ^ K = const > 0, then U(z) ^ K for all z £ D. The subject of this work is the generalization of this property to the real (imaginary) part of the solution to the elliptic system on D: 3zw — q1(z)dzw — q2{z)dzw-\-A{z)w-\-B{z)w = 0, where w = w(z) = u(z)-\-iv(z) is a desired complex function, dz = ■§ (¿f; >
dz = — ^Wy)' are derivatives in Sobolev sense; qi(z) and <72(2) are given measurable complex functions
satisfying the uniform ellipticity condition of the system |qi(z)| + |q2(z)| < go = const < 1, z € D; A(z), B[z) £ LP(D), p > 2, also are given complex functions.
Keywords: first-order elliptic system, generalized analytic function.
AMS Subject Classification: 30G30.
For citation: Klimentov, S. B. A Priori Estimates of the Positive Real or Imaginary Part of a Generalized Analytic Function, Vladikavkaz Math. J., 2023, vol. 25, no. 4, pp. 50-57. (in Russian). DOI: 10.46698/q1367-9905-0509-t.
References
1. Bojarsky, B. V. Weak Solutions to a System of First-Order Didderential Equations of Elliptic Type with Discontinuous Coefficients, Matematichesky Sbornik, 1957, vol. 43, no. 1, pp. 451-503 (in Russian).
2. Vekua, I. N. Generalized Analytic Functions, Oxford-London-New York-Paris, Pergamon Press: XXIX, 1962, 668 p.
3. Klimentov, S. B. On a Priori Estimates of the Derivatives of the Radius-Vector of a Surface of Positive Curvature, Journal of Soviet Mathematics, 1989, vol. 44, no. 2, pp. 215-235. DOI: 10.1007/BF01098655.
4. Klimentov, S. B. On a Method of Constructing the Solutions of Boundary-Value Problems of the Theory of Bendings of Surfaces of Positive Curvature, Journal of Mathematical Sciences, 1990, vol. 51, no. 2, pp. 2230-2248.
5. Klimentov, S. B. The Riemann-Hilbert Problem in Hardy Classes for General First-Order Elliptic Systems, Russian Mathematics, 2016, vol. 60, no. 6, pp. 29-39. DOI: 10.3103/S1066369X16060049.
Received November 8, 2022
Sergey B. Klimentov Southern Mathematical Institute VSC RAS, 53 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia, Leading Researcher; South Federal University,
8 a Milchakova St., Rostov-on-Don 344090, Russia, Professor
E-mail: [email protected]
