Априорная ограниченность решений функциональнодифференциального включения с импульсными воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

АПРИОРНАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

© А. И. Булгаков, А. И. Коробко, О. В. Филиппова

Здесь рассматриваются функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями с вольтерровым по А.Н.Тихонову многозначным отображением. Формулируются теоремы о продолжаемости решений и устанавливается связь априорной ограниченности решений с глобальной разрешимостью такой системы. Отметим, что дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями исследованы в монографиях [1-3].

Пусть и Е [а, Ь] - измеримое по Лебегу множество. Обозначим Ьп(и) пространство

суммируемых по Лебегу функций х : и — Кп с нормой ||х||£п(и) = / |х(з)|^з.

и

Пусть Ф С Ьп[а,Ь]. Будем говорить, что множество Ф выпукло по переключению (разложимо), если для любых х,у Е Ф и любого измеримого множества е С [а,Ь] выполняется включение Х(е)х + Х([а,ь]\е)У Е Ф, где Х(-) - характеристическая функция соответствующих множеств. Множество всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ьп[а,Ь] обозначим через Б(Ьп[а,Ь]). Через П(5(Ьп[а, Ь])) обозначим множество всех выпуклых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ьп[а,Ь].

Пусть Ьк Е [а,Ь] (а < Ь1 < ... < Ьт < Ь) - конечный набор точек.

Обозначим через Сп[а,Ь] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [а,^1], (Ь1,Ь2], •••, (Ът,Ь] ограниченных функций х : [а,Ь] — Кп, имеющих пределы справа в точках Ьк, к = 1, 2,...,т, с нормой 11 х | ь] = вир{| х (Ь) | :

Ь Е [а, Ь]}, С+ [а, Ь] - множество неотрицательных функций пространства С1[а, Ь]. Если т Е (а, Ь], то Сп[а, т] - это пространство функций х : [а, т] — Кп, являющихся сужениями на отрезок [а,т] элементов из Сп[а,Ь] с нормой ЦхЦ^^т] = вир{|х(Ь)| : Ь Е [а,т]}.

Рассмотрим задачу

х Е Ф(х), (1)

Ах(Ьк) = 1к(х(гк)), к = 1,... ,т, (2)

х(а) = х0, (3)

где полунепрерывное снизу отображение Ф : Сп[а,Ь] — Б(Ьп[а,Ь]) удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества и С Сп[а,Ь] образ Ф(и) ограничен суммируемой функцией. Отображения 1к : Мп — Мп, к = 1,2,...т непрерывны, Ах(Ьк) = х(Ьк + 0) — х(Ьк), к = 1, 2,...т.

Определение 1. Под решением задачи (1) - (3) будем понимать функцию х Е Сп[а,Ь], для которой существует такое д Е Ф(х), что функция

х : [а, Ь] ^ К™ представима в виде

х(і) = хо + I q(s)ds + Е Х(гк,ь](і)Ах(ік),

к=1

где Ах(Ьк), к = 1,...,т удовлетворяют равенствам (2).

Определение 2. Будем говорить, что оператор Ф : Сп[а,Ь] — Б (Ьп[а,Ь]) вольтерров по А.Н.Тихонову (или просто вольтерров)(см. [4]), если из условия х^ = У^, т Е (а,Ь], следует равенство (Ф(х))|т = (Ф(у))|т, где - сужение функции

г Е Сп[а,Ь] на отрезок [а,т], (Ф(г))|т - множество сужений всех функций из Ф(г) на

отрезок [а, т].

Далее предположим, что оператор Ф : Сп[а,Ь] — Б(Ьп[а,Ь]) (правая часть включения (1)) вольтерров.

Пусть т Е (а,Ь]. Далее, определим непрерывное отображение

Ут : Сп[а,т] — Сп[а,Ь] равенствами

V(х))(Ь) = ( Х(т\ еСЛИ Ь (4)

[ х(т), если Ь Е (т,Ь].

Определение 3. Будем говорить, что функция х Е Сп[а,т] является решением задачи (1) — (3) на отрезке [а,т] , т Е (а,Ь], если существует такое д Е (Ф(У-(х)))|т, что функция х : [а, т] — Кп представима в виде

£

х(Ь) = хо + д(в)<Лв + Е Х(£к ,ь](Ь)Ах(Ьк),

а £к е[а,т ]

г

где непрерывное отображение Ут : Сп[а,т] ^ Сп[а,Ь] определено равенством (4).

Далее, будем говорить, что функция х : [а, с) ^ Кп является решением задачи (1) — (3) на [а, с), если для любого т Є (а, с) сужение х\т Є Сп[а, т] и найдется такая функция q : [а, с) ^ Кп, что для любого т Є (а, с), q\т Є (Ф(К-(х)))\т и для любого і Є [а, с) имеет место представление

г

Решение х : [а, с) ^ Кп задачи (1) - (3) на [а, с) будем называть непродолжаемым, если не существует такого решения у задачи (1) - (3) на [а,т] (здесь т Є (с,Ь], если с < Ь и т = Ь, если с = Ь), что для любого і Є [а, с) выполняется равенство х(і) = у (і). Решение задачи (1) - (3) считается непродолжаемым.

Теорема 1. Найдется такое т Є (а,Ь], что решение задачи (1) - (3) существует на отрезке [а,т].

Теорема 2. Для того чтобы решение х : [а, с) ^ Кп задачи (1) -

(3) было продолжаемым на [а,т], (т Є (с,Ь]), необходимо и достаточно, чтобы

Ііт \х(і)\ < то. г^е-о

Теорема 3. Если у - решение задачи (1) - (3) на [а,т], т Е (а,Ь), то существует непродолжаемое решение задачи (1) - (3) либо на [а, с) (с Е (т,Ь]), либо на [а,Ь] такое, что при любом Ь Е [а,т] выполнено равенство х(Ь) = у(Ь).

Пусть Н(х0,т) - множество всех решений задачи (1) - (3) на отрезке [а,т], т Е (а, Ь].

Определение4. Будем говорить, что множество всех локальных решений задачи (1) - (3) априорно ограниченно, если найдется такое число г > 0, что для всякого т Е (а,Ь] не существует решения у Е Н(х0,т), для которого выполняется неравенство ||у||<5п[а,т] > г.

Теорема 4. Пусть множество всех локальных решений задачи (1) - (3) априорно ограниченно. Тогда для любого т Е (а,Ь] множество Н(х0,т) = 0 и существует такое г > 0, что для каждых т Е (а,Ь] и у Е Н(х0, т) выполняется неравенство М^п^т] < Г.

Определение5. Будем говорить, что отображения Ф : Сп[а,Ь] — Б(Ьп[а,Ь]) и 1к, к = 1, 2,...,т обладают свойством А, если найдется изотонный непрерывный вольтерров оператор Г : С+ [а,Ь] — Ь+[а,Ь] и неубывающие функции 1к : , к = 1, 2,... ,т, для которых справедливы условия: для любой функ-

ции х Е Сп[а, Ь] и произвольного измеримого множества Ы С [а,Ь] выполняется неравенство

\\Ф(х)\\ьп(и) < \\Г(гх)\\Ь1 (и); для любого к = 1, 2,... ,т и произвольного х Е Кп имеет место оценка

^к(х) < 4(|х|);

множество всех локальных решений задачи

y = Г(У), Ау(Ьк ) = Ск (у(Ьк)), к =1, 2,•••,m, у(а) = |х0|

априорно ограничено. Здесь непрерывное отображение Z : Сп[а,Ь] — С+ [а,Ь] определено равенством (Zx)(t) = ^(Ь)^

Теорема 5. Пусть отображения Ф : Сп[а,Ь] — Б (Ьп[а,Ь]) и 1к : Мп — Мп, к = 1, 2, . . . , т обладают свойством А. Тогда для любого т Е (а, Ь] множество Н(х0,т) = 0 и существует такое г > 0, что для любых т Е (а,Ь] и у Е Н(х0,т) выполняется неравенство ||у||сП[ат] ^ г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк., 1987.

2. Завалищин С. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

3. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.

4. Тихонов А. Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюллетень московского университета. Секция А. 1938. Т. 1. № 8. С. 1-25.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 07-01-00305), темплана 1.6.07, Норвежской Национальной Программы Научных Исследований FUGE при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского Комитета по развитию университетской науки и образования (NUFU), грант PRO 06/02.

Поступила в редакцию 15 января 2008 г.

НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ ВЕЛИЧИНЫ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

© Е.О. Бурлаков, Е.С. Жуковский

Так как физические и другие параметры процессов могут быть найдены лишь приближенно, с некоторой погрешностью, то важнейшей характеристикой математической модели должна быть устойчивость решений моделирующих уравнений к малым колебаниям параметров. Это свойство моделей можно трактовать как непрерывную зависимость от параметров решений соответствующих уравнений. К параметрам, значения которых находятся приближенно, может быть отнесено запаздывание аргумента, возникающее из-за инерции объектов, конечности скорости распространения сигналов и т.п....В работе получены условия, гарантирующие непрерывную

зависимость решений функционально-дифференциальных уравнений от величины запаздывания.

Введем следующие обозначения: Rn - пространство векторов, имеющих n

действительных компонент, с нормой | • |; ц - мера Лебега на отрезке [a,b];

L([a,b], ц, Rn) - пространство измеримых суммируемых функций у : [a,b] ^ Rn

b

с нормой \\у\\ь = J ly(s)lds; L^([a,b], ц, Rn) - пространство измеримых ограничен-

a

ных в существенном функций у : [a,b] ^ Rn с нормой ||у||ь^, = vrai sup ly(t)l;

t€\a, b]

AC ([a,b],i,Rn) - пространство таких абсолютно непрерывных функций

x : [a,b] ^ Rn, что x Е L([a, b], i, Rn), с нормой ||x|Uc = |x(a)| + ||X||L.

Рассмотрим задачи Коши

X(t) = f (t,x(t),x(t — т(t))),t Е [a, b],

x(0 = °,если С Е [a,b], (1)

x(a) = a;