CC BY
0APPROXIMATE SOLUTION TO THE MASS TRANSFER PROBLEM USING THE FINITE DIFFERENCE METHOD
Allamuratov Sharapatdin Ziuatdinovich
Nukus branch of Tashkent University of Information Technology named after Muhammad al-Khorezmi Ph.D., Associate Professor Allamuratova Elmira Sharapatdinovna Karakalpak State University named after Berdakh 1 st year master of the Faculty of
Mathematics
Annotation: This article examines some problems of mass transfer when the medium is incompressible. An approximate solution to the convective diffusion problem was obtained using the finite difference method.
Key words: convective diffusion, concentration, mass transfer, node, order accuracy, filtration rate, hard mode.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАССОПЕРЕНОСА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Алламуратов Шарапатдин Зиуатдинович
Нукусский филиал Ташкентского университета информационных технологии
имени Мухаммада аль-Хорезми к.ф.-м.н., доцент (sharapatdin@mail. ru) Алламуратова Элмира Шарапатдиновна Каракалпакский государственный университет имени Бердаха Магистр 1-курса математического факультета
Аннотация: В данной статье исследованы некоторые задачи массопереноса, когда среда несжимаема. Было получено приближенное решения задачи конвективной диффузии с помощью метода конечных разностей.
Ключевые слова: конвективная диффузия, концентрация, массоперенос, узел, точность порядка, скорость фильтрации, жесткий режим.
В данной статье рассматривается задача массопереноса заданной с помощью дифференциального уравнения в частных производных параболического типа. Для определения концентрации солей ^z,t) в растворе как функции времени и координат используем следующие граничные условие.
d 2c
~ dc D —— — v — = m+ — dz
dc
dz2 dz r dt c( z,0) = c0 = const,
c(0, t) = s0 = const, dc
(1)
(2) (3)
dz
= 0.
z=l
где V - скорость фильтрации определяется формулой ниже П(и) = Бм +1\и( х, I )|
v( x, t) = к
(4)
S2 — S1 < z)
здесь б1 и б2 соответственно верхний и нижний уровень подземных грунтовых вод. °м - молекулярный коэффициент диффузии пористый среды, в связи с бесконечно малости °м не учитывается. [2,5]. X* - коэффициент
дисперсии и оно направлено по направлении оси 7, Э эффективный пористость, а ось 7 направлено вниз от поверхности земли.
Здесь рассматривается изменения концентрации раствора при промывке засоленного почвогрунта, [1], в начальный момент времени концентрация солей равно со, а Бо - концентрация стока. Когда 2 =1 происходит свободный вынос солей на хорошо проходимую среду.
Решения граничных задач (1)-(4) в [3], задано в виде сложных аналитических зависимостей имеющих слабо сходящихся рядов. Поэтому приближенное решение получено численно с помощью методом конечных разностей. После нескольких преобразовании уравнение конвективной диффузии приводятся к следующему виду. дм Щиср) д2 м
д1 шэ дг2
Оно подчинено к следующим условиям Цг,0) = с0в,
w(0, t) = s0e
—at
dw
где
+ /3w
= 0.
z=l
(5)
(6)
(7)
(8)
v
3= cp
v
2d(v ) .
a = —
4D(vp )m3
В рассмотренной времени X осреднив значение скорости:
2
ТаЦт уа tadqiqotlar 11ш1у-и81иЫу jurnali Тшраег Factor: 8.2 | 2181-3035 | № 19(56)
°ср =
м ■'
I
I& - 8х)йт; (I > 0)
Скорость для жесткого режима фильтрации
иср =
<*> ■ '
г г
8ЬЯ2{Ух -У0)_^_ Я,2 (Л)
яоЯ1
Л=1
(2Л-1)
А(Л,О>
-Д1(Л,0)т
Ц(Л,0)е
-Д2(Л,0)т
шо)
X БШ
Л — \п 2
X Б1П
Л— \п 2
& -&о)
. п(2Л- ЩИ - А)
• -+-1-- X
по
1
Ё 2Л-1
1-
(Я -а)Я 1(Л)в
а
- +-X
[ Д (Л,0) -а][ Д2(Л,0) -а] Я8(Л,0)
[Д (Л,о) - я2 (Л)]е-ДЛ0)* [д (Л,о) - я2 (Л)]е-ЩЛ-0)Т
а- Д (Л,0)
а- Д (Л,0)
. (2Л- 1)пЕ
■X -+
+
32Я2 ^^ 1 [Д (Л,п)е~Д(лп* - Д(Л,п)е-°2(Л'")т
п Я12 Л=1 П=12Л-1
X Б1П
(
(2 Л- 1)п 4
ад
Яг аз ё
1
пя;(Л, п)я (Л, п) . (2Л- 1)п& ттЬу
---СОБ-
2 о
-1 >■ б1П
2
(2 Л- 1)п 4
V
Л=1 я5
Д2(Л0)
Я 2(Л)(2Л-1)
(е - е
-Д1(Л,0)*
д (л,0)
д (л,0) - я 4 7 д (л,0) - Я1
(е - е
-Д2(Л,0)*
)-1 (1 - е -
x ф (л)Б!П^ + ^ё [_1 (1 - е-)
я2(Л)
[Дг(Л,0) -а][Д2(Л,0) -а]
X (е-ат - е-Я1Т)
я* |+.
а
я8(л,0)
д (л,о) - я2 (Л)
(а- Д2(Л,0))(Д2(Л,0) - ях)
(е-Яг* - е-Д2(Л,0)т'
Д2(Л,0) - Я2(Л)
+
(а- д (л,0))(д (л,0) - Я)
Ф2(Л,п) | 1
(е-Я* - е -Д2(Л,0)т'
. я(2Л-
■эт—-— +
я! а5 ЁЁ
л=1 п=1 2Л-1 i пя^(Л,п)я8(Л,п)
Д2(Л,о) д (Л,о) - я
(е -Я1* - е -Д1(Л,0)Т
д (Л,0)
'ДЛ-Я1
(е
- я, *
x(e 1 - е
Д2(Л,0)*) | - у Ш-&) -Ч&-&0 )][Ч(У -у,) - 1(у - У 0 - е Я1*
к
о
X
0
2
2
2
а*
X
X
X
X
X
X
X
2
X
по [4,5] первые и вторые производные аппроксимируется в следующем
виде
я У+1 ] я2 У+1 п У+1 I У+1
_ _ I_I , _ _ 1 + 1_I_1 — 1
д* = т ' д£? = ь2 '
143
ТаЦт уа XadqiqoXlar 11ш1у-и81иЫу jurnali 1шрасХ БасХог: 8.2 | 2181-3035 | № 19(56)
В результате данный уравнение примет вид
¡+1 ] „ ¡+1 „ ¡+1 , ¡+1
г тэ12 Н2
После нескольких несложных алгебраических операции (1о) имеем
разностную уравнению второго порядка [4, 5].
Б ,- + ! 2Б ] + 1 . Б ; + ± 1 ; + ± 1 ;
-„--+--, „ = — ^--,
тЛ2К2 1-1 тЛ2К2 1 + тЛ2К2 '+1 т1 Г1'
С.Э1
или
Б У+1 Л , 2Р ^ +1 Б +1 1 ;
тэ12к2 1 1 \т тэ12к2/ 1 тэ12к2 1+1 т
или
т 1 + 1 (тэ12Н2 \ 1 + 1 1 + 1 Шэ12Н2 1 / ч
Это трех диагональное система линейных алгебраических уравнении, оно решается методом прогонки. Уравнение (10) подчинено следующим условиям.
у^1 = 5ое-а ; у* = сое-ш;
, }+1 ] у; — w/ 1
^-л-^+пу!
= 0; ^ = — уШу]и
5=1
При j=0 граничное условие пишется ниже
1 (тэ12П2 \ 1 1 _ тэ12П2 о.
г
1 — аЬ 0 1
< = 5ое а ; < = Сое г1П; < = ——'
1 + рОг — уы
где
г = I/N. тогда
тэ12Н2 , тэ12Н2 0
а; = 1; С; = —--+2; Ь; = 1; ----уо
1 ' 1 Бг 1 1 Бг 1
Прямой ход прогонки вычисляется следующей формулой
Ь1
ат
а^+1 =--—Л = 1,2,... .N — 1. а1 = 0,
с — а1а1
а1в1 + F1
^+1 = —-= 1,2.....N — 1. в1 = $ое
С1 — а1а1
Обратный ход прогонки вычисляется следующей формулой
= а1+1ш1+1 + р1+1, i = N — 1, N — 2,... .1. (11)
где условия сходимости выполняется |С11 > 1а^ + = 1,2,.... N — 1, Если в неравенстве | С11 > 1а^ + |Ь1|, хоть в одном i выполняется условия 1с11 > Ы += 1,2.....N — 11
или матрица А обладает диагональную преимуществу и выполняется неравенство
k+J =
bl
<1,i = 1,2,. ...N-l.
то метод устойчив [5].
Чтобы оценить решению справедливы следующие теоремы. Теорема 1. Пусть выполнены условия >0, Ь >0, ё^с^-Ь^ для всех 1=1,2... п-1 и ^^ есть решение задачи (10) а, \/угрешение задачи Ф^], 1=1,2,... п-
1, w0 = [j^, wn = ц2 причем
m3l2h
2u2
w
Dt i
<Fbi = 1,2,... n-l,
|цл|< |^2|< Ц2. Тогда справедлива оценка |wl|<wi [2]. Теорема 2. Пуст выполняется следующая условия
|а1|>0, |Ь1|>0, di=|с1|-|а1|-|Ь1|>0,1=1,2,.п-1.
Тогда для решения задачи Ф^]=-Б1, 1=1,2. п-1, wo=0, Wn=0
справедлив оценка ||wi||<
[4].
Численное решения задачи (3.63) методом прогонки приведен ниже в следующих параметрах.
Cq = 4 -; ^ = 0,1 -; ; l = 1,5 м; тэ = 0,3; D(ucp) = 0,1 2 —;
л л сут
"р = 0,01
м
сут
t 0 1 2 3 4 5
c2(t) 4 3,58089064 2,73211888 1,92541427 1,31157747 0,87579105
6 7 8 9 10 11 12
0,5793689 9 0,3859787 1 0,2649205 7 0,1918516 5 0,1491200 6 0,1248306 4 0,1113797 1
13 14 15 16 17 18 19
0,1041078 5 0,1002629 6 0,0982717 7 0,0972605 9 0,0967566 7 0,0965101 6 0,0963918 7
Использованная литература:
1. Аверьянов С.Ф.,Дзя. Да-лин. К теории промывки засоленных почв.// Докл. ТСХА,1960. № 56,-C.15-20.
2. Баклушин М.Б.,Алламуратов.Ш.З. Приближенно-аналитическое решение одномерной нестационарной задачи водосолевого режима// Журн. "Вестник". ККО АН РУз. 2008.-№4.-С.6-9.
3. Веригин Н.Н. и др. Методы прогноза солевого режима грунтов и грунтовых вод. -М.: Колос, 1979.-336 с.
4. Самарский А.А. Теория разностных схем. -М.:Наука,1977.-656 с.
5. Самарский А.А.,Николаев Е.С. Методы решений сеточных уравнений. М.: Наука,1978.-590 с.
