Аппроксимация универсальной магнитной характеристики для моделирования тяговых электрических машин Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 1 (67)

УДК 629.423.62-83

А. Е. ДРУБЕЦКИЙ1*

1 Каф. «Электроподвижной состав железных дорог», Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, Днипро, Украина, 49010, тел. +38 (0562) 33 55 38, эл. почта drubetskiy@mail.ru, ОЯСГО 0000-0001-5691-0925

АППРОКСИМАЦИЯ УНИВЕРСАЛЬНОЙ МАГНИТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЯГОВЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН

Цель. В научной работе предполагается получить аналитическое выражение, описывающее универсальную магнитную характеристику и дающее возможность учитывать размагничивающее действие реакции якоря. А на базе универсальной магнитной характеристики необходимо получить универсальные выражения для индуктивных параметров тяговых электрических машин постоянного и пульсирующего токов. Методика. Универсальная магнитная характеристика (УМХ) представляет собой зависимость в относительных единицах магнитного потока от магнитодвижущей силы (МДС) обмотки возбуждения. Так как УМХ построена для машин, работающих под нагрузкой, следовательно, на самом деле она представляет собой зависимость и от МДС обмотки возбуждения, и от МДС реакции якоря. Для расчета электромеханических характеристик при неизменном возбуждении можно пользоваться одним из известных выражений, аппроксимирующих УМХ. Однако при моделировании работы тягового электродвигателя в широком диапазоне изменения возбуждения необходимо выражение, в котором присутствует вторая переменная в виде МДС реакции якоря. Такое выражение также необходимо для определения индуктивных параметров тягового электродвигателя, в большой степени зависящих от тока. Выражение для аппроксимации УМХ с двумя переменными можно получить путем анализа распределения магнитного поля в воздушном зазоре на расчетной полюсной дуге. Результаты. Автором получено выражение для аппроксимации УМХ, которое зависит от двух переменных: МДС возбуждения и МДС реакции якоря. Для конкретного режима ослабления возбуждения возможно преобразование данного выражения в функцию одной переменной, например, тока якоря. Также в качестве аргумента может выступать МДС обмотки возбуждения. Научная новизна. Для аппроксимации УМХ предложена методика, позволяющая ввести в аппроксимирующее выражение вторую переменную в виде МДС реакции якоря. Практическая значимость. Имея в наличии скоростную характеристику или коэффициент насыщения данного тягового электродвигателя, можно определить его индуктивные параметры в конкретном режиме работы или получить их зависимость от токов обмоток для любого режима работы.

Ключевые слова: универсальная магнитная характеристика; аппроксимация; тяговый электродвигатель; индуктивные параметры

Введение

В практике проектирования тяговых электродвигателей постоянного и пульсирующего тока широко используется так называемая универсальная магнитная характеристика (УМХ) [13]. Она представляет собой зависимость магнитного потока от магнитодвижущей силы (МДС) обмотки возбуждения в относительных единицах (о.е.) и используется для построения магнитной характеристики проектируемой машины в абсолютных единицах. Магнитная характеристика, в свою очередь, является базовой, определяющей все остальные электромеханические характеристики [15, 17-21]. Построение магнитной характеристики по УМХ

выполняют после определения коэффициента насыщения в номинальном режиме. Также, при известном коэффициенте насыщения существующих машин, можно построить их магнитную характеристику без использования скоростной характеристики.

В настоящее время, при широком использовании ЭВМ для проектирования и моделирования электрических машин, возникает задача в представлении УМХ в виде аналитического выражения [5, 6]. Во всех аналитических выражениях, представленных в [5], в качестве аргумента аппроксимирующей функции выступает только МДС обмотки возбуждения. Такой подход является очень удобным, если описываемая

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 1 (67)

такой функцией характеристика используется для расчетов или моделирования только при заданном коэффициенте ослабления возбуждения. Однако, для получения выражения, описывающего изменение магнитного потока во всем диапазоне изменения тока двигателя и степени ослабления возбуждения, необходимо аппроксимировать УМХ функцией, зависящей и от МДС обмотки возбуждения и от МДС реакции якоря.

Цель

Получить выражение для аппроксимации УМХ, которое учитывает влияние МДС реакции якоря для всего диапазона изменения степени ослабления возбуждения. Разработать методику применения данного выражения для определения индуктивных параметров существующих машин при известном коэффициенте насыщения.

Методика

Процесс разработки методики для определения индуктивных параметров машины по УМХ разделим на несколько этапов:

1. Вывод выражения для основного магнитного потока машины с учетом размагничивающего действия реакции якоря.

2. Вывод общих выражений для индуктивных параметров электродвигателя.

3. Определение индуктивных параметров электродвигателя с учетом реакции якоря.

4. Аппроксимация УМХ выражением для основного магнитного потока.

5. Определение на базе аппроксимирующего выражения для УМХ универсальных формул для индуктивных параметров машины (будет рассмотрено в следующих работах).

1. Вывод выражения для основного магнитного потока машины с учетом размагничивающего действия реакции якоря. Как известно, реакция якоря машины постоянного тока -это явление, представляющее собой наложение магнитного поля, создаваемого обмоткой якоря, на основное магнитное поле. При увеличении тока якоря (МДС реакции якоря) происходит искажение основного магнитного потока и, как следствие, его уменьшение. Для определе-

ния истинного магнитного потока под нагрузкой существует ряд методик [3, 4, 7, 9, 14].

В фундаментальных работах по теории электрических машин [4, 7, 9] описана графическая методика определения основного магнитного потока в машине под нагрузкой. В работе [15] описаны графические и графоаналитические методики, наиболее широко применяющиеся при проектировании тяговых электромашин. Несмотря на свою простоту, графические и графоаналитические методики не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к ним при моделировании электрических машин. Главное требование - это возможность определения согласно выбранной методике аналитического выражения, описывающего изменения основного магнитного потока во всем диапазоне изменения МДС обмотки возбуждения и реакции якоря. Наиболее полно этому требованию соответствует методика, описанная

в [3].

Задачей, решаемой в работе [3], было получение на основе известных функций, описывающих кривую намагничивания, выражения, в котором была бы вторая переменная, представляющая собой МДС реакции якоря. В конечном счете, такое выражение дает возможность определить значение магнитного потока при любой степени ослабления возбуждения.

В качестве базового выражения для данной методики можно использовать характеристику намагничивания машины Ф й (Бв) или переходную характеристику Б5 (¥52 ) . Характеристика

намагничивания машины представляет собой зависимость основного магнитного потока от МДС обмотки возбуждения Бв, определенная из

опыта холостого хода. Переходная характеристика представляет собой зависимость индукции в воздушном зазоре от суммы падений магнитного напряжения в зазоре и в зубцовом слое якоря машины . Заметим, что использование переходной характеристики весьма затруднительно, так как для получения ее аналитического выражения необходимо аппроксимировать:

- собственно переходную характеристику,

- кривую намагничивания зубцового слоя машины и ярма якоря,

- кривую намагничивания стального литья остова машины и главных полюсов, что, в свою

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету з^зничного транспорту, 2017, № 1 (67)

очередь, вносит дополнительную погрешность в расчеты.

Поэтому при моделировании предпочтительно использовать характеристику намагни-

чивания машины

Ф d (F) .

Для аппроксимации характеристики намагничивания можно воспользоваться одной из существующих математических моделей кривых намагничивания [1, 2, 11, 12]. В качестве аппроксимирующего выражения возьмем функцию арктангенса, как одну из функций, наиболее точно описывающую кривую намагничивания [11]. Данная функция известна в литературе как формула Дрейфуса. Для характеристики намагничивания она имеет вид

Согласно [3] для основного магнитного пот—

тока с учетом реакции якоря Ьщ имеем

Е +Е-*

, 'в^1 ад

ФЛд (Ев , Кд ) = ^ | * ФЛ (Е)ЛЕ . (5)

ад Ев -Рад

Подставляя выражение (1) в выражение (5),

обозначив через Е = Ев - Еа*д и Р2 = Ев + Еа*д ,

получаем выражение для основного магнитного потока в машине, работающей под нагрузкой

фл (f f*) -

dqy в' aq J

Jp_

2F*

•[F2arctg (P2F2 )-

Фd (Fe ) = P:arctg (P2Fe) + P3Fe, (1) -F1arctg (P2F )-

2 P2

-ln

■P22 F22 ^

1

где р1, р2, р3 - коэффициенты аппроксимации; р - МДС обмотки возбуждения.

При нагрузке, основной магнитный поток зависит также и от МДС реакции якоря, действующей в пределах расчетного полюсного деления

N

F* =1 b5-

aq 2 5 2aD

(3)

a

* 1 j w = — b.

N

2 2аБа

так как МДС представляет собой произведение числа витков катушки на ток, протекающий по ней. Введя данное обозначение, выражение (3) принимает вид

Е = . (4)

ад а а V /

P2 F12

+ P3 F. (6)

где 1а - ток якоря, А. Здесь и в дальнейшем предполагается, что ток якоря, в общем случае, зависит от времени, поэтому обозначается маленькой буквой; Ъ5 - расчетное полюсное деление; N - число проводников обмотки якоря; Ба - диаметр якоря, м; а - число пар параллельных ветвей обмотки якоря.

Члены в выражении (3), стоящие перед 1а, представляют собой конструктивные параметры электрической машины и являются константами. Поэтому, их удобно будет обозначить через м/*а - число витков обмотки якоря, приходящихся на одно расчетное полюсное деление

Выражение (6) дает возможность определить истинный магнитный поток в машине под нагрузкой, располагая только характеристикой намагничивания машины (характеристикой холостого хода).

2. Вывод общих выражений для индуктивных параметров электродвигателя. Имея выражение для основного магнитного потока при любой нагрузке, появляется возможность определения индуктивных параметров машины в динамическом режиме, например при работе ее в квазистационарном режиме при питании от импульсного источника напряжения. Для получения данных зависимостей необходимо записать уравнение электромагнитного состояния некомпенсированного тягового электродвигателя последовательного возбуждения без учета влияния вихревых токов

L„.

aß)

+ (+ Lda + Ld )) +

d^e d^a

+-"- + -

-u (t) Re

л л

+а (0 ( К + К ) + е (Ф Лд, ®) + ДЦщ = и (0, (7)

где 1а ^) - ток обмотки якоря; 1в ^) = 1а ^) Р -ток обмотки возбуждения, где Р - степень ослабления возбуждения. Для двигателей постоянного тока Р е [Рт1П ;1], для двигателей пульсирующего тока Р е [Рт1п ;(Ртах < 1)] ; Ртах все-

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету з^зничного транспорту, 2017, № 1 (67)

гда меньше единицы вследствие наличия постоянно включенного шунтирующего сопротивления. В частном случае, для двигателей постоянного тока, при Р = 1, ie (t) = ia (t); u(t) -напряжение источника питания. При питании двигателя постоянным током

u (t) = Uucm = const, а при питании источником импульсного напряжения с периодом T = 1/f и временем импульса tu :

u (t) = •

Uu

0 < t < tu; L < t < T.

e

(ф dq, ю) - ЭДС вращения (противо-ЭДС),

¥ =

aq 2F*2

aq F. -F*

где р - число пар полюсов; wв - число витков обмотки возбуждения; w 'а - число витков обмотки якоря, приходящиеся на один полюс (одно полюсное деление т)

w 'а = Ы/8ар .

В соответствии с [3] выражения ё¥ и ё¥в/& могут быть представлены в виде:

d ¥ aq 8¥

aq

aq

СШ aq d.

dt

8i„ dt 8i. dt

d ¥. 8¥.

dt 8ia

8¥. 8i. dt

(10)

(11)

Согласно определению индуктивности и взаимной индуктивности [8] частные производные по току в выражениях (10) и (11) можно обозначить

* = ^ ((, <); (12)

8ia

8¥

aq

зависящая от основного магнитного потока и угловой скорости вращения якоря,

*(Фф,й) = сФ^ (Бв,Б;)ш ;

Яа, Яд, Яв - активные сопротивления обмоток: якоря, дополнительных полюсов и обмотки возбуждения; Ьао, ЬдС!, ЬвС! - индуктивности рассеяния обмоток: якоря, дополнительных полюсов и обмотки возбуждения; Ьд - индуктивность дополнительного полюса (так как магнитная система дополнительного полюса выполнена ненасыщенной, то можно считать его индуктивность постоянной в рабочем диапазоне токов двигателя); ДЦщ - падение напряжения на щетках; ¥ад, ¥в - потокосцепления от

основного магнитного потока обмоток якоря и возбуждения для всех полюсов [3]

¥ в = 2 pwв Ф ф ((, Б* ); (8)

| (-Б)Фё , (9)

8л.

8¥. 8ia

= M„

= M.

(f F* ) •

aq j '

(f f*v

. aq

8¥. 8i.

L (F F* )

(13)

(14)

(15)

где 1ад (Бв , КЧ ) , 1в (Бв , КЧ ) - индуктивности

обмоток якоря и возбуждения; Ма-в ((, Б* ),

Мв-а (Бв, ) - взаимные индуктивности между якорем и обмоткой возбуждения и между обмоткой возбуждения и якорем.

Очевидно, что вследствие нелинейной зависимости основного магнитного потока от МДС обмотки возбуждения и реакции якоря

Фёд (Бв, ), индуктивные параметры машины,

определенные в выражениях (12-15), также являются нелинейно зависимыми от этих МДС.

3. Определение индуктивных параметров электродвигателя с учетом реакции якоря. По-токосцепление катушки с током можно определить не только как произведение тока на индуктивность, но и как произведение числа витков на магнитный поток, сцепленный с катушкой [8]. Такой подход используется при выводе выражений (8), (9). Так как в выражении (6) в качестве аргументов использованы МДС, то индуктивные параметры удобнее выразить через производную потокосцеплений по МДС якоря и обмотки возбуждения. Для этого выражения (12-15) помножим и разделим на число витков соответствующих обмоток, по МДС ко-

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 1 (67)

торых берется производная. Учитывая это, выражения для индуктивных параметров электродвигателя (12-15) примут вид

Laq (F., F*q ) = 2pw '2 X

8Ф , (F F* )

dqy в** aq J

4 ■ -1Щ

f (F-Fe)Фd(F)dF

8F.

Fa

*3

aq

; (16)

M (F F*) = M (F F* \

.-a \ .' aq j а-. \ .' aq)

= -2pw.w 'a

p: 2F:

aq

F. (arctg (p2F2 ) - arctg (p2F1 )) -

2 p2

-ln

-p2 F22 ^

-p2 F12

L. (Fe, F*q ) = 2 pw] x

(19)

M (f f*) -

a-. \ .' aq J

2pw 'a w.

2 f:

*2

( f F

. ■ -1Щ

f (F - F. )Фd (F)dF

8Fa

aq

(17)

M (F, F* ) = 2 pw' w

в -a в aq a в

8Ф dq ( F. , F*q ) ;

8F:

; (18)

aq

8ф (f F* )

L. ((,F*q) = 2pw] F ^ . (19)

8 F.

Подставляя выражение (6) в выражения (16-19) и учитывая, что

M (F F )= M (F F ) Г31

a-. \ .^aq) 1 ^.-яу.' aq /

получим окончательный вид выражений для индуктивных параметров электродвигателя

А, ((, б*, )=2 р».'2 х

1+£iFlz1 X

pi

p2 Fa

2 p2 Faq

( arctg ( F2 )--

arctg (2 Fi)

F

-ln

2 F *

V aq V

(1+p2 F22 ^ 1 + p2 F12

.pi 3

' /

(18)

pi

2F*

V aq

(arctg (p2F2 ) - arctg (p2F1 )) + p3

. (22)

Здесь необходимо обратить внимание на физическое обоснование такого индуктивного параметра, как взаимная индуктивность между обмоткой возбуждения и обмоткой якоря

Мв-а (Бв, ) . Для этого нужно определить

степень магнитной связи этих обмоток. Она выражается через коэффициент связи [10]

К

На рис. 1 построена зависимость коэффициента связи от тока для тягового двигателя РТ-51Д.

Как видно из рис. 1, значение коэффициента связи при малых токах относительно невелико, что согласовывается с физическими процессами при возникновении реакции якоря [4, 7, 9]. При таких токах слабо проявляется насыщение магнитопровода, и реакция якоря оказывает в основном только искажающее воздействие на магнитный поток. При токах, близких к часовому, коэффициент связи достигает максимума. Это связанно с тем, что край полюса, под которым происходит увеличение индукции, насыщается, а противоположный край все еще находится на ненасыщенном участке кривой намагничивания. Таким образом, увеличение магнитного потока под насыщенным краем полюса происходит не в такой же степени, как его уменьшение под противоположным краем. Это обуславливает наиболее сильное уменьшение магнитного потока относительно характеристи-

X

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 1 (67)

ки намагничивания холостого хода. При дальнейшем увеличении токов оба края полюса оказываются насыщенными, что вызывает уменьшение разности индукций, в связи с чем, реакция якоря оказывает меньшее размагничивающее влияние на основной магнитный поток. Следствием этого, является уменьшение коэффициента связи.

строить магнитную характеристику под нагруз-

кой

Рис. 1. Зависимость коэффициента связи от тока возбуждения и тока якоря

Fig.1. Dependence of coupling coefficient on excitation and armature current Также из рис. 1 видно, что коэффициент связи может достигать существенных значений. Поэтому, несмотря на относительно малую величину абсолютных значений Mg_a ^Fg, F*q ) , по

сравнению с Lg (Fe, F*q ) данным параметром не

следует пренебрегать, особенно в случае ослабления возбуждения, когда для источника питания величина Lg (Fe, F*q ) оказывается существенно снижена, а действие реакции якоря проявляется сильнее.

4. Аппроксимация УМХ выражением для основного магнитного потока. Как правило, в справочной литературе не приводится характеристика намагничивания машины Ф d ( Fg ) .

Наиболее распространенными данными являются скоростные характеристики тяговых двигателей V (Ia ) [14] и коэффициент насыщения в часовом режиме kH [16].

Для каждой конкретной машины, используя скоростную характеристику при конкретной степени ослабления возбуждения (ОВ), можно определить основной магнитный поток и по-

Ф ф (Е, Рщ ) . Такую же характеристику

можно построить, используя УМХ при известном коэффициенте насыщения [13, 15], воспользовавшись одной из аппроксимирующих функций [5].

Как уже было сказано, на основной магнитный поток оказывает влияние не только МДС обмотки возбуждения, а также и МДС реакции якоря, уменьшая его. Следовательно, выражение, аппроксимирующее магнитную характеристику машины при определенной степени ОВ (или УМХ), будет давать существенную погрешность при любых других степенях ОВ. Чтобы устранить эту погрешность, в аппроксимирующее выражение необходимо ввести еще одну переменную в виде МДС реакции якоря. Для этого можно использовать выражение (5).

Для формулы Дрейфуса аппроксимирующее выражение имеет вид формулы (6).

Чтобы проверить адекватность такого решения, необходимо оценить степень расхождения между УМХ, заданной таблично и аппроксимацией ее выражением (6), а также рассчитать характеристики реально существующих машин в соответствии с описанной методикой.

Так как УМХ, по сути, является функцией одной переменной, выполнять сравнение удобно, приведя (6) также к функции одной переменной, например, тока якоря. Выбор тока якоря в качестве аргумента обусловлен большей наглядностью полученных результатов. В случае выбора в качестве аргумента МДС обмотки возбуждения, результат будет такой же, однако процесс расчета характеристик требует некоторых пояснений.

В связи с этим, выполним преобразования в выражении (6). Так как МДС обмотки возбуждения и реакции якоря являются произведением токов, протекающих по этим обмоткам, на число их витков, а ток обмотки возбуждения может быть выражен, как произведение тока якоря на степень ослабления возбуждения. Таким образом, появляется возможность преобразовать выражение для основного магнитного потока из функции двух переменных в функцию одной переменной при заданной степени ослабления возбуждения.

Если Рв = 4Кв = ^в и Рщ = , тогда Е

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 1 (67)

и , присутствующие в (6), преобразуются к виду

Е = Ев - К = ^а^в - ^¿а = >а ((в - К ) ; (23) Е2 = Ев + Ед = 1аР К в + Ка/а = 1а (р К + к* ); (24)

Учитывая (23) и (24), при заданной степени ослабления возбуждения, выражение (6) в относительных единицах принимает вид

Ф dq (4 ) =

Pi

2w*ia

ia (ßWe + WI ) arCtg X

X (a (в + WI )) - L (ßWe - WI ) X

XarCtg (a (ßWe - wI ))-

P22 ( ( + w* ))

2 P2

-ln

+ P3i'aßw =

P1

2WI \

2 P2ia

-ln

P22 ((a ( - W* ))

(в + WI )arCtg X

X (a (в + wI )) - (в - wI ) X

XarCtg (a (в - WI )) - (25)

P22 ((a ( + W* )

P22 ((a (в - WI ))

1

-P3iaßWe

Средним числом о.я.в. для некомпенсированных машин является 0,316. Тогда выражение (25) принимает вид:

где ФЛд и 1а - основной магнитный поток и ток

якоря машины в относительных единицах.

Как показывает опыт тягового электромашиностроения, отношение числа витков обмотки якоря и обмотки возбуждения (о.я.в.) для различных машин представляет собой значения, довольно близко колеблющиеся относительного какого-то среднего числа. Причем, оно различно для компенсированных и некомпенсированных машин вследствие большего числа витков обмотки возбуждения у последних. В соответствии с этим выражение (25) можно упростить, избавившись от к* путем вынесения в выражениях (23) и (24) за скобки и заменой о.я.в. их средним числом.

Фdq (L ) =

P1

W,

(

w„

.,* Л

w

ß +—-

w

V в y

arctg X

\\

f f

w

P2iawe ß+ — V we yy

V

w

w

f

ß-

w

* \

w

a V в у ( (

P2iawe

arctg X

* \\

w

ß--2-

w

V в yy

1

2 P2iaw*

-ln

( f

1 + P22

1 + P22

2

w

ß + —a

w

V V в yy

(

* N \

w

ß -—a w

V V в y y y

+P3iaßwe =

P 2

1

0316 (ß + 0,316) arctg X X(P2iawe (ß + 0,316))^

1

-(ß- 0,316) arctg:

0,316

X(P2iawe (ß-0,316 ))-1

2 P2iawa (

-lnX

1 + P22 (( (ß + 0,316)) 1 + P22 (( (ß-0,316))2

-PзiaßWв

(26)

Видно, что в выражении (26) в слагаемом, содержащем логарифм, не удалось избавиться от к* . Однако, как показали расчеты выражения (26) для разных машин, значения слагаемого

1

2 P2iawa

ln

(1 + P22 (( (ß + 0,316)) 1+P22 ((в (ß-0,316 ))2

(27)

V ^ V U О V - //у

остаются одинаковыми во всем диапазоне зна-

X

X

X

X

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 1 (67)

чений тока. Следовательно, каждый раз при расчете характеристик по УМХ, учет w* в выражении (27) можно не производить. Для этого достаточно получить коэффициент аппроксимации р2 для любой существующей некомпенсированной машины и подставить его в (27) вместе с числом витков обмотки возбуждения этой машины. Например, для двигателя РТ-51Д р2 = -0,088 , wв = 68 , а произведение

2 р2 w; =-3,342.

Расчет характеристик ТЭД по выражению (26), а также, применение его для расчета характеристик компенсированных машин будет рассмотрено в последующих работах. Там же в последующих работах будут рассмотрены примеры расчета характеристик, в случае если аргументом в (25) является МДС обмотки возбуждения.

Результаты

Получено выражение для аппроксимации УМХ которое зависит от двух переменных: МДС возбуждения и МДС реакции якоря. Для конкретного режима ослабления возбуждения возможно преобразование данного выражения в функцию одной переменной, например, тока

якоря. Также, в качестве аргумента, может выступать МДС обмотки возбуждения.

Научная новизна и практическая значимость

Для аппроксимации УМХ предложена методика, позволяющая ввести в аппроксимирующее выражение вторую переменную в виде МДС реакции якоря. Таким образом, на базе одного аппроксимирующего выражения может быть получено семейство характеристик при любой степени ослабления возбуждения.

Выводы

Предложенная методика позволяет определять основной магнитный поток тягового электродвигателя (ТЭД) для любой степени ослабления возбуждения, располагая магнитной характеристикой холостого хода или, в случае использования УМХ, только коэффициентом насыщения машины. Также, появляется возможность определить индуктивные параметры машины в виде аналитических функций, что удобно для моделирования различных режимов работы ТЭД.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Афанасов, А. М. Аппроксимация магнитных характеристик тяговых двигателей электроподвижного состава / А. М. Афанасов // Електромагштна сумюнють та безпека на залiзн. транспорта - 2012. - № 4. - С. 25-29.

2. Белкина, Е. Н. Анализ способов аппроксимации кривой намагничивания электротехнической стали / Е. Н. Белкина, С. А. Жуков // Инновационная наука. - 2015. - № 5. - С. 22-27.

3. Бельман, М. Х. Переходные процессы в микродвигателях постоянного тока при импульсном питании / М. Х. Бельман. - Ленинград : Энергия, 1975. - 184 с.

4. Вольдек, А. И. Электрические машины : учеб. для студ. высш. техн. учеб. заведений / А. И. Вольдек. -3-е изд., перераб. - Ленинград : Энергия, 1978. - 832 с.

5. Гетьман, Г. К. Аналiз аналггичних функцш для апроксимаци ушверсально! магштно! характеристики тягових двигушв постшного та пульсуючого струму / Г. К. Гетьман, С. Л. Маршуца // Вюн. Дшпро-петр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. - Дншропетровськ, 2011. - Вип. 37. - С. 63-71.

6. Гетьман, Г. К. Об использовании универсальной магнитной характеристики для расчета электромеханических характеристик тяговых двигателей / Г. К. Гетьман, С. Н. Голик // Вюн. Дшпропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. - Дншропетровськ, 2007. - Вип. 16. - С. 21-25.

7. Иванов-Смоленский, А. В. Электрические машины : учеб. для вузов / А. В. Иванов-Смоленский. - Москва : Энергия, 1980. - 928 с.

8. Калантаров, П. Л. Расчет индуктивностей : справ. книга / П. Л. Калантаров, Л. А. Цейтлин. - 3-е изд., перераб. и доп. - Ленинград : Энергоатомиздат, 1986. - 488 с.

9. Костенко, М. П. Электрические машины : в 2 ч. : учеб. для студ. высш. техн. учеб. заведений / М. П. Костенко, Л. М. Пиотровский. - 3-е изд., перераб. - Ленинград : Энергия, 1972. - Ч. 1: Машины постоянного тока. Трансформаторы. - 544 с.

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 1 (67)

10. Костш, М. О. Теоретичн основи електротехшки : пвдручник в 3 т. / М. О. Костш, О. Г Шейшна. -Днiпропетровськ : Вид-во Дншропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. ím. акад. В. Лазаряна, 2006. - 336 с.

11. Матюк, В. Ф. Математические модели кривой намагничивания и петель магнитного гистерезиса. Ч. I : Анализ моделей / В. Ф. Матюк, А. А. Осипов // Неразрушающий контроль и диагностика. - 2011. -№ 2. - С. 3-35.

12. Моделирование тягового электропривода с двигателями постоянного тока последовательного возбуждения / А. А. Шавелкин, И. А. Костенко, В. А. Герасименко, А. Н. Мовчан // Восточно-Европ. журн. передовых технологий. - 2016. - № 1 (2). - С. 42-48. doi: 10.15587/1729-4061.2016.60322.

13. Находкин, М. Д. Универсальная магнитная характеристика / М. Д. Находкин, В. С. Хвостов // Вестн. электропромышленности. - 1958. - № 1. - С. 44-48.

14. Правила тяговых расчетов для поездной работы. - Москва : Транспорт, 1985. - 287 с.

15. Проектирование тяговых электрических машин : учеб. пособие для вузов ж.-д. трансп. / М. Д. Находкин, Г. В. Василенко, В. И. Бочаров, М. А. Козорезов. - Москва : Транспорт, 1976. - 624 с.

16. Справочник по электроподвижному составу тепловозам и дизель-поездам / под ред. А. И. Тищенко. -Москва : Транспорт, 1976. - 432 с.

17. Discrete-Time Neural Sliding-Mode Block Control for a DC Motor With Controlled Flux / C. E. Castañeda, A. G. Loukianov, E. N. Sanchez, C.-T. Bernardino // IEEE Transactions on Industrial Electronics. - 2012. -Vol. 59. - Iss. 2. - P. 1194-1207. doi: 10.1109/TIE.2011.2161246.

18. Castañeda, C. E. Direct current motor control based on high order neural networks using stochastic estimation / C. E. Castañeda, P. Esquivel // The 2010 Intern. Joint Conference on Neural Networks (IJCNNI) (18.0723.07.2010). - Barcelona, Spain, 2010. - P. 1515-1520. doi: 10.1109/IJCNN.2010.5596331.

19. Hayek, El. J. Experiences with a traction drive laboratory model / El. J. Hayek, T. J. Sobczyk, G. Skarpetowski // Electromotion. - 2010. - Vol. 17. - Iss. 1. - P. 30-36.

20. Design and Simulation of Heavy Haul Locomotives and Trains / M. Spiryagin, P. Wolfs, C. Cole, [et al.]. -Boca Raton ; London ; New York : Taylor & Francis Group, 2017. - 465 p.

21. Electromechanical Coupled Vibration between Traction Motor and Bogie of High-Speed Train / Z. Zhang, X. Zhao, X. Li [et al.] // Proc. of the 6th Intern. Conf. on Mechatronics, Materials, Biotechnology and Environment ICMMBE-2016 (13.08-14.08.2016). - Yinchuan, China, 2016. - P. 153-158. doi: 10.2991/icmmbe-16.2016.30.

А. Ю. ДРУБЕЦЬКИЙ1*

1 Каф. «Електрорухомий склад затзниць», Дтпропетровський нацюнальний ушверситет затзничного транспорту ÍMcm академжа В. Лазаряна, вул. Лазаряна, 2, Дтпро, Украша, 49010, тел. +38 (0562) 33 55 38, ел. пошта drubetskiy@mail.ru, ORCID 0000-0001-5691-0925

АПРОКСИМАЦ1Я УН1ВЕРСАЛЬНО1 МАГН1ТНО1 ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ ТЯГОВИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИН

Мета. У науковш робот передбачаеться отримати аналггичний вираз, що описуе ушверсальну магштну характеристику та дае можливють враховувати розмагнчуючу дш реакци якоря. А на базi ушверсально! магштно! характеристики необхвдно отримати ушверсальш вирази для шдуктивних параметрiв тягових еле-ктричних машин постшного та пульсуючого струмiв. Методика. Ушверсальна магштна характеристика (УМХ) являе собою залежшсть у вщносних одиницях магнитного потоку ввд магшторушшно! сили (МРС) обмотки збудження. Так як УМХ побудована для машин, що працюють шд навантаженням, отже, насправд вона являе собою залежшсть i вщ МРС обмотки збудження, i вщ МРС реакци якоря. Для розрахунку елект-ромеханчних характеристик при незмшному збудженш можна користуватися одним iз вщомих виразiв, ап-роксимуючих УМХ. Однак при моделюванш роботи тягового електродвигуна в широкому дiапазонi змши збудження необхвдний вираз, в якому присутня друга змшна у виглядi МРС реакци якоря. Такий вираз та-кож необхiдний для визначення iндуктивних параметрiв тягового електродвигуна, у великш мiрi залежних вщ струму. Вираз для апроксимацй' УМХ з двома змшними можна отримати шляхом аналiзу розподiлу маг-нггаого поля в повiтряному зазорi на розрахунковш полюснiй дузi. Результати. Автором отриманий вираз для апроксимацй' УМХ, який залежить вiд двох змшних: МРС порушення i МРС реакци якоря. Для конкрет-

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 1 (67)

ного режиму ослабления збудження можливо перетворення цього виразу в функщю одше! змшно!, напри-клад, струму якоря. Також в якосп аргументу може виступати МРС обмотки збудження. Наукова новизна. Для апроксимаци УМХ запропонована методика, що дозволяе ввести в апроксимуючий вираз другу змшну у вигляд1 МРС реакцп якоря. Практична значимкть. Маючи в наявносп швидк1сну характеристику або кое-фщент насичення даного тягового електродвигуна, можна визначити його 1ндуктивн1 параметри в конкретному режим1 роботи або отримати гх залежшсть ввд струм1в обмоток для будь-якого режиму роботи.

Ключовi слова: ушверсальна магнггаа характеристика; апроксимащя; тяговий електродвигун; 1ндуктивш параметри

A. YU. DRUBETSKYI1*

1 Dep. «Electric Rolling Stock of Railways», Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan, Lazaryan St., 2, Dnipro, Ukraine, 49010, tel. +38 (056) 373 15 31, e-mail drubetskiy@mail.ru, ORCID 0000-0001-5691-0925

APPROXIMATION OF UNIVERSAL MAGNETIC CHARACTERISTIC FOR MODELLING ELECTRIC TRACTION MACHINES

Purpose. The scientific work is aimed to obtain an analytic expression describing universal magnetic characteristic and enabling to take into account the demagnetizing effect of the armature. On the basis of the universal magnetic characteristics one need to obtain universal expressions for inductive parameters of electric traction machines of direct and pulsating currents. Methodology. A universal magnetic characteristic (UMC) is the dependence of the relative units of the magnetic flux on the magnetomotive force (MMF) of the excitation winding. Since MMF was built for machines operating under load, therefore, in fact it is a dependency on the MMF and on the MMF of the armature reaction. For the calculation of electromechanical characteristics at constant excitation one can use one of the well-known expressions approximating the UMC. However, during modeling the electric traction engine operation in wide ranges of excitation change it is necessary the expression, in which there is a second variable in the form of MMF of the anchor reaction. Such an expression is also necessary to determine the inductive parameters of electric traction engine, to a large extent dependent on the current. The expression for the approximation of the UMC with two variables can be obtained by analyzing the magnetic field distribution in the air gap at the calculated pole arc. Findings. The author obtained expression for approximation of the UMC, which depends on two variables: MMF of excitation and MMF of armature reaction. For a particular mode of excitation weakening it is possible to convert the expression into the function of one variable, for example, the anchor current. Also, the MMF of excitation winding can be the argument. Originality. For the UMC approximation it was proposed a methodology that makes it possible to record into approximating expression the second variable in the form of the anchor reaction MMF. Practical value. Due to the presence of speed characteristic or saturation ratio of this electric traction engine, one can determine its inductive parameters in a particular operation mode or to obtain their dependencies on the winding currents for all modes of operation.

Keywords: universal magnetic characteristics; approximation; electric traction engine; inductive parameters

REFERENCES

1. Afanasov, A. M. (2012). Approximation of the magnetic characteristics of the traction motors of electric rolling stock. Electromagnetic Compatibility and Safety on the Railway Transport, 4, 25-29.

2. Belkina, Y. N., & Zhukov, S. A. (2015). Analiz sposobov approksimatsii krivoy namagnichivaniya elektro-tekhnicheskoy stali. Innovatsionnaya nauka, 5-2, 22-27.

3. Belman, M. K. (1975). Perekhodnyye protsessy v mikrodvigatelyakh postoyannogo toka pri impulsnom pitanii. Leningrad: Energiya.

4. Voldek, A. I. (1978). Elektricheskiye mashiny (3rd ed.). Leningrad: Energiya.

5. Hetman, H. K., & Marikutsa, S. L. (2011). The analysis of analytical functions for approximative do-all magnetic characteristic of direct - current and undulated - current traction motors. Bulletin of Dnipropetrovsk National University of Railway Transport, 37, 63-71.

6. Hetman, H. K., & Golik, S. M. (2007). About the use of universal magnetic characteristics to calculate the electromechanical characteristics of traction motors. Bulletin of Dnipropetrovsk National University of Railway Transport, 16, 21-25.

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 1 (67)

7. Ivanov-Smolenskiy, A. V. (1980). Elektricheskiye mashiny. Moscow: Energiya.

8. Kalantarov, P. L., & Tseytlin, L. A. (1986). Raschet induktivnostey: spravochnaya kniga (3rd ed.). Leningrad: Energoatomizdat.

9. Kostenko, M. P., & Piotrovskiy, L. M. (1972). Mashiny postoyannogo toka. Transformatory: Elektricheskiye mashiny (3rd ed.). Leningrad: Energiya.

10. Kostin, M. O., & Sheikina, O. H. (2006). Teoretychni osnovy elektrotekhniky (Vol. 1-3). Dnipropetrovsk: Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan Press.

11. Matyuk, V. F., & Osipov, A. A. (2011). The mathematical models of the magnetization curve and the magnetic hysteresis loops, Part 1: Analysis of models. Nerazrushayushchiy kontrol i diagnostika, 2, 3-35.

12. Shavelkin, A., Gerasimenko, V., Kostenko, I., & Movchan, A. (2016). Modeling of traction electric drive with DC series motors. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies, 1, 2(79), 42-48. doi: 10.15587/17294061.2016.60322

13. Nakhodkin, M. D., & Khvostov, V. S. (1958). Universalnaya magnitnaya kharakteristika. Vestnik elektropromyshlennosti, 1, 44-48.

14. All-Soviet Union Research Institute of Railway Transport. (1985). Pravila tyagovykh raschetov dlya poyezdnoy raboty. Moscow: Transport.

15. Nakhodkin, M. D., Vasilenko, G. V., Bocharov, V. I., & Kozorezov, M. A. (1976). Proyektirovaniye tyagovykh elektricheskikh mashin. Moscow: Transport.

16. Tishchenko, A. I. (Ed.). (1976). Spravochnik po elektropodvizhnomu sostavu teplovozam i dizel-poyezdam. Moscow: Transport.

17. Castaneda, C. E., Loukianov, A. G., Sanchez, E. N., & Bernardino, C.-T. (2012). Discrete-Time Neural Sliding-Mode Block Control for a DC Motor With Controlled Flux. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 59(2), 1194-1207. doi: 10.1109/TIE.2011.2161246

18. Castañeda, C. E., & Esquivel, P. (2010). Direct current motor control based on high order neural networks using stochastic estimation. Proceedings of the 2010 International Joint Conference on Neural Networks IJCNNI, July 18-23, 2010, Barcelona, Spain, 1515-1520. doi: 10.1109/IJCNN.2010.5596331

19. Hayek, E. J., Sobczyk, T. J., & Skarpetowski, G. (2010). Experiences with a traction drive laboratory model. Electromotion, 17(1), 30-36.

20. Spiryagin, M., Wolfs P., Cole, C., Sun, Y. Q., McClanachan, M., Spiryagin, V., & McSweeney, T. (2017).

Design and Simulation of Heavy Haul Locomotives and Trains. Boca Raton, London, New York: Taylor & Francis Group.

21. Zhang, Z., Zhao, X., Li, X., Lin, F., & Yang, Z. (2016). Electromechanical Coupled Vibration between Traction Motor and Bogie of High-Speed Train. Proceedings of the 6th International Conference on Mechatronics, Materials, Biotechnology and Environment ICMMBE-2016, August 13-14, 2016, Yinchuan, China. 153-158. doi: 10.2991/icmmbe-16.2016.30

Статья рекомендована к публикации д.т.н., проф. Г. К. Гетьманом (Украина); д.т.н., проф.

Ф. П. Шкрабцом (Украина)

Поступила в редколлегию: 17.10.2016 Принята к печати: 11.01.2017