CC BY
29
УДК 629.027, 621.313, 629.069, 629.3.014
А.Н. Сергиенко, Б.Г. Любарский, Н.Е. Сергиенко
АППРОКСИМАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОАМОРТИЗАТОРА
В роботі представлена структура визначення апроксимуючого полінома, що дозволяє ідентифікувати потокозчеплення та електромагнітну силу математичноїмоделі електроамортізатора
В работе представлена структура определения аппроксимирующего полинома, позволяющего идентифицировать потокосцепление и электромагнитную силу математической модели электроамортизатора.
АНАЛИЗ ПОСЛЕДНИХ ДОСТИЖЕНИИ И ПУБЛИКАЦИЙ
Современные электромеханические преобразователи энергии стремятся создавать с максимальным использованием активных материалов. Это стремление приводит к созданию высокоиспользуемых устройств, в которых электромагнитные параметры характеризуются значительными нелинейностями системы. К таким типам электромеханических преобразователей относится электроамортизатор, конструкция которого приведена в работе [1].
Для моделирования режимов работы электроамортизатора была предложена математическая модель, созданная на основе уравнений Лагранжа для электромеханической системы. Модель, приведенная в работе [2], позволяет учесть нелинейность участков магнитной цепи электроамортизатора. Для идентификации параметров линейного электромеханического преобразователя (ЭМП) - электроамортизатора
транспортного средства предлагается использовать метод конечных элементов, который позволяет, задав конструктивные, электрические и магнитные параметры, получить показатели потокосцепления и электромеханической силы [3]. Определение расчетных показателей модели для принятого варианта исходных данных, с учетом основных факторов, может составлять 5-7 дней с использованием современных компьютеров. Выполненные расчеты с использованием МКЭ позволяют получить цифровую модель магнитного поля линейного ЭМП-амортизатора. Однако результаты данной модели дискретны. Для получения непрерывных зависимостей, идентифицирующих параметры математической модели, необходимо аппроксимировать дискретные зависимости непрерывными функциями.
_ £—. л р
йЇ2_ _ р— .
л р ’
л з _ рС. л р ’
(1)
Г7 Г7 Л
^-ОУ - 1^с = —;
л
Лх
л,
где
р = дУ— '&¥^'&¥Ь_+&Га &¥'в &¥'с
дії &2 5г'з Эг'2 Эг'з ^г'з ^ Эг'2
Ра =
дУ—
дЧ— е1 —;— У - т
ох
^'е
е2 —;— У - Г2І2 ох
д^А дТв
дІ2 Зі 2 5І1
дУА дУв е^С
& 2 дІ3 е3 дх
-■ V — Г3І3
д^Л №'в
ді2 дІ3 ді2
Г дУ— д^'в ЗУ— Г Ж'е . 1
е дх У - Г1І1 дІ3 дІ2 дІ2 е2 7 У - г212 дх
5ТС
е3 —;— У - г3і3 ох
8І3
Ре
д%—_ Г 64— 1 5ГЬ + дУ— д^'в
дН е2 Т— •У - Г2І2 дх дІ3 е1- дх У - Г1І1 ді 3 ді 1
Ж— №Тв
8І3 8І1
д^С
е3 —т— У - Г3І3 ох
№'е
е2---------Т----------У- г2і2
ох
дЧ'г
Р,
дІ1 дЇ3
ЗЧ'в дІ1 дІ2
е3 —т— У - Г3І3 дх
д¥—
е1 —— •У - ГІ1
сх
8Тв_ .
&1 ді 3
" дЧС 84'а . '
Є3 ~ V - Г3І3 + —— ді 2 е2 —1 У - Г2І2 дх
діл
ЦЕЛЬ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Определение непрерывных зависимостей пото-косцеплений и электромагнитной силы электроамортизатора линейного типа транспортного средства с использованием полиномов Чебышева.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ Математическая модель электроамортизатора, состоящая из уравнений электрического и механического равновесия представленная в работе [2], имеет следующий вид:
Г 8Ч>— д^в д^с ат— . 1
е1 — _ дх У - Г1І1 дІ1 ді 2 е1 —;—У - ГЛ . дх _
9ТЕ
е2------7е •У - Г2І2
сх
д^А _ д^А
д^с №— д^'в
ді 2 ді 2 &1
2
{^Е^Ь i2, i3, х)л2
д
ЗУ'в дУ'с дІ2 дІ1
е3 —г— У - Г3І3
ах
{^ЇЇ (i1, i2, i3, х)л3
дц
дъ
д\
52і1
V
3
3
2
© А.Н. Сергиенко, Б.Г. Любарский, Н.Е. Сергиенко
д¥’А _ Э^а ('ь0, гз. х) , д¥в ^в (°. г2. гз. х)
К ('Ь г2. г3.х)Л3
ді Ы 2 Ы 2 Й'і дії діі& 2
а д^А 5^а( 'ї,' 2,0, х) д^с дЧс (0,і 2,'з, х) ' 2 ( 'і, '2, 'з, х)^ '2 0
д І3 д і" а 'з а 'і а 'і а 'і а 'з
<К"В д С^А С^А ('і,0, '3, х) , с№в с№в (0,'2, 'з, х) ^ * 3 К (М2,i3, х)Л3 0
дії Ы 2 й 2 дг’і 0?! ^1^' 2
г'і 2 г' 3
ЗП д д^Б , ^ (і1 , '2, '3, х)^і 0 Э 1 * 0 " (і! , '2, '3, х)<*'3
&2 &2 д2І2 д2І2
с№в 0 &¥в &¥В ('і, '2,0, х) ^ 0^с с№с (іі ,0, '3, х) ^ 'і (і 1,г' ", х)лі 0
д'з д'з ді3 д'2 д'2 ді 2^' 3
э^. а а^А а^А( 'і,і 2,0,х) атс атс(0,і 2,'з,х) 12 1 ( 'і, '2, '3, хУ '2 0
д 'і а 'з а/з а і а 'і а 'і а 'з
д¥'с а 1№в с№в (і і,і 2,0, х) ±?РС с^с(і і,0,і ", х) ^ 'і J^4(il,i2,i3, х)Лі 0
ді 2 ді" ді3 ді 2 ді 2 ді 2^' 3
г і 2
5 JTЛ(il,i2,i3, х)^і 0 Э (і1,І 2,i3, х)Ж2; 0
ді з й з д2і3 д2і3
Ж'а д Є^А , '2 (і1,І 2,i3, х)^ 2 0 т2 С 'з |^С (і1 ,' 2,'", х)^3 0
дх Эх ді і^х ді і Эх
2
ЗП 5 |^Л( 'і^ 2,i3, х)^і 0 а |^с а, х)^^ 0
дх Эх ді 2^х ді 2дх
'і 2
д^ Э {^4( il,i2,i3, х)&і 0 а І * 0 В (il,i2,i3, х)^'2
дх дх ді "Эх Э/"Эх
^АОь ^'3 х) =
I=1
п п п
ЕЕ Е аа ук ■ '! ■ '2 ■ '3
/=0 у=0к=0
п п п
п п п
< со»(®&)+| 2 аЬук ' і1 ■ '2 ■ '3 ««&) + ж £ асук ■і[■і{ ■ і";
^ і=0у = 0к=0 ) і=0у = 0к=0
^ ('і,І2,Із, х) = и£ 1=1
£ £ ■ 'і 4 ■ 'к
і=0у=0к=0
(2)
п п п
п п п
< І '^'Е'ЕЩк ■ 'і ■ '2' 'з І яп(®ьо + ^Щьс,)к ■ '! ■ '2 ■ '3;
п п п
ЕЕ Есаук■ '■
і= 0 у = 0 к=0
і 'у 'к і ' '2 ' '3
п п п
і=0 у=0к=0 ^ і=0 у=0к=0
т
ЧС ( '1>'2>'з>х) = »Е
I=і
X с08(®Іх)+ |]Г ]Г ]Г сЬ'ук ■ і[ ■ '2 ■ 'зк IєЬ^х) + Ж X Ё Ё ССі]к ■ '! ■ '2 ■ 'з >
^і=0 у = 0 к = 0 ) і=0 у = 0 к = 0
где аарк, аЬі]к, асрк, Ьарк, ЬЬі]к, Ьоі]к, саук, сЬі]к, ооі]к - коэффициенты полиномов для фаз А, В и С соответственно, определенные с использованием полиномов Чебышева на множестве равноудаленных точек; м> - количество витков обмотки одной фазы; ю - угловая частота первой гармоники потока; I - номер гармоники.
Полином, описывающий электромагнитный силу ЭМП-амортизатора, имеет вид:
т ( п п п
Ре ( ' 1,і2,' 3, х) = Е I Е Е Е таук ■'! ■ '2 ' 'з
/=1 ^/=0 у = 0 к = 0
(3)
п п п
п п п
- Е Е Е тсі]к ■'і ■'2■'з,
і= 0 у=0 к=0
х соб(^іх)+ і ^ ^ ^ тЬук ■ 'і ■ і2 ■ 'з івіп(^Іх)
1^/=0 у=0 к=0 J
где таук, тЬі]к, тсук - коэффициенты полинома, определенные по методу Чебышева.
Стандартные алгоритмы аппроксимации полиномами Чебышева используют нормализованную шкалу ординат, поэтому для приведения реальных токов к нормализованным, введены масштабные коэффициенты и смещения Ми 2. В результате получим для фазы А (записи уравнений для фаз В и С аналогичны):
^А(il,i2,i3, х) = »Е і=і
п п п
Е Е Е ааЦк('М + 2)'('2М + 2)1 (ізМ + 2)к
і=0 у = 0 к =0
п п п
<соє(®&) + 1 2Е ЕаЬук(іМ + 2)'(І2М + 2)1 (ізМ + 2)
^/=0 у=0 к=0
(4)
п п п
При выборе типа аппроксимирующих функции преследовались следующие задачи:
- функция должна иметь вид, позволяющий аналитически определять первые и вторые частные производные по всем координатам;
- функция и ее производные по перемещению ротора в начале и конце интервала, на котором производится аппроксимация (полюсное деление ВИМ), должны быть одинаковыми;
- зависимость предлагаемой функции должна учитывать изменения токов не только собственной, но и соседних фаз.
Учитывая вышесказанное, предложено: общий вид полиномов, которые описывают функции потокосцеп-лений фаз А, В и С, используем следующего вида:
(5)
х вт(®&) + ^ ^ ^ аСук ОМ + 2) (^М + 2)1 (/3М + 2) ;
1=0у=0к=0
т I п п п
¥е( /ь;2,/з,х) =£ I £Е £таук(цМ + 2)\1гМ + 2)1 (13М + 2)к I =1 ^/= о 1 = 0 к=0
хсов(^/х) + | ]Т ^тЬук(/1-М + 2)г(/'2М + 2)1 (ЪМ + 2)к
^•= 0 у=0 к=0
п п п
хв1п(«/х) + ^ ^ ^тСук(11М + 2)/(/2М + 2)(/3М + 2)к.
/=0 у=0 к=0
Для определения коэффициентов аппроксимирующего полинома предлагается использовать метод на основе полиномов Чебышева на множестве равноудаленных точек [4, 6].
В уравнениях системы (1) необходимо интегрировать и дифференцировать функции потокосцепления (полином (4)) по токам фаз и перемещению ротора. Используемая для аппроксимации регрессионная модель позволяет проводить аналитические дифференцирования и интегрирования потокосцеплений как по токам, так и по перемещению. При этом все производные и значения аппроксимирующей функции в начале и конце периода одинаковы. Для всех возможных вариантов частных производных, входящих в математическую модель (1), получаем следующие выражения:
2
2
2
2
2
лОъ '2,'з, х)^/1 0 .
З/2З/3
£ I £ £ £М ■ ааику^к(/1М + 2)/+1(/2М + 2)у-1(/сМ + 2)м )со5((А) +
/=1 [^/=0у=1к=1 ‘+1
£ £ £ М ■ ааф1- (/1М + 2)/+1 + (/2М + 2) ’-\,М + 2)к~1 ^(а*))
П/1 11 ,-1/П 11 1—1/1 ГП , + 1
=0(1,1) у=1(0,1) к=1(1,0)
*^^М • аа- (,1М + 2)/+1 (/2М + 2 ) ^ (/3М + 2 )-
/=0у=1к=1 / +1
г- п2
•1
д (/'1, /'2, ,3, х)*1
(7)
т I п п п у( • _ 1) \
= *Е |ЕЕЕм • ааук—--------------------- (/'М + 2),+1 (/2 М + 2)1 1 (/3М + 2 )к ]сов(®/х) 4
/=1 ^/=0 у=2-=0 / + 1
п п п у( у _ 1) \ \
ШМ • аау* (1м + 2)/+1 + (' 2М + 2)-^М + 2)к]вт(®/х)]
/=0 у=2к=0 * + 1
п п п у( у _ 1)
ь м^^М ■ ааук^—1-/М + 2)1+1(/2М + 2)^(/зМ + 2)к;
/=0у=2к=0 / + 1
Л ( i1,i2,i3, х)*1
(8)
т ( п п п к(к — 1) \
£ |ШМ • ааук ^ (/1М + 2)/+1(/2М + 2)1 (/3М + 2)к“2 )сов(®/х;
/=1 I/=0 /=0к=2 /+ 1
£ £ £М ■ ааук + 2/^М + 2)1 (/М + 2)--2)шм>/х))
/=0 у=0к=2 / +1
п п п к(к — 1)
«’Т.Т.Т.М ■ ааук -Цр 01М + 2)‘+1 агМ + 2)1 (^М + 2 )-~2;
/=0 у=0к=2 1 + 1
д¥А
т п п п / \
- = ^ ЕЕЕМ ' ааук/(/1-М + 2 )1 1 (/2 М + 2)1 (/3М + 2)к ]со$(да/х) 4
Л1 /=1 /=1 1=0к=0
(9)
ппп
■ ааук / (/1-М + 2/ _1 (г^М + 2)1 (/ 3М + 2 )к ]$т(да/х)
/=11=0к=0
Ь 2 2 М ' ааук/(/1М + 2У 1( / 2М + 2)1 (/зМ + 2)к)
/=11=0к=0
д^А
п п п / \
V ХХХм ■ ааукК+ 2) ( г'2М + 2) 1_1(/3М + 2) ]$1п(®/х)
/=0у=1к=0
М ■ ааукЛцМ + 2) ( /2М + 2)1 -1 ( + 2)к )
/=0 у'=1к=0
аш т п п п / Ч
■ ааукк(\М + 2)'( 12М + 2)1 ( /зМ + 2)к-1 ]со8(Ш/х)4
° '3 /=11> 01=0к=1
ппп
• ааукк( + 2) ( г2-М + 2 )у ( г'зМ + 2)к 1 ]в1п(ю/х)
/=0 у'= 0к=1
п п п / \
ь ■ ааукк( 1М + 2/ ( + 2)1 ( /3М + 2)к-1 ]
1=0 у'=0к=1
| ( /'1, /'2, /'з, х)*1
д12дх
- -«/ .ш| ааук— (1М + 2)2+1 (/2М + 2)1 1( /3М + 2)к Iэ1п(®/х)
/=1 /=0 у=1к=0^ / +1 ^
п п п ( ■ _ л
ь ©/ авук^1— (^М + 2)/+1( /2М + 2)у_1(/3М + 2 )к 1со$(®/х)) ;
/=0 у=1к=0^ /+ 1 )
/(/'1, /'2, /'з, х)*1
а^А
дх
т п п п / \
= - ю/ ■ (аа/ук ( \М + 2)1 (2М + 2)1 (г'зМ + 2) ]$т(&>/х) + (14)
/=1 1=01=1к=0
ппп
+ да/ ■ (аа/ук (?1-М + 2) ^ (/ 2М + 2)1 (/ з-М + 2) ^^о$(да/х})
/=0 у=1к=0
Г. п2
^(В,С)
0 |^,4 (г1,г' 2, У з, х)Л1
ТМ ■ ааук ^01М + 2)'" !=01=1 к=1 1 + 1
(15)
){ п п п у Ш к
соя(а/х) +1 ХЕЕМ ■ ааук О1М + 2 )н
^=0 у=1к=1 / + 1
< (^М
)\1 п п п у • к
8т(да/х)]]+ 2ЁЁМ ■ аа/ук^— >
/=01=1к=1
01М + г у+1 (^м + г)1-1 (^м + г )к
А = £ I £££М ■ ааук ■/■■ (/1М + 2) -‘х М + 2) у-0(/зМ + 2) к-0 )со8(®/Г) + (16)
!1 /=1 ^ =1 у=0к=0
Т.М ■ аак ■'■ (1М + Г)'-1 х(/2 М + 2) J_0('зM + 2) к_0 )81п(ет/х))] +
:1 _у=0—=0
£ 1^М ■ ааук ■>х(4М + 2) М + 2) ^(/зМ + 2)к-0;
/=1 _у=0—=0
^(гс)
А (/1, /-2, Н, х)^1
0
-®/|£££ ааук Т^Г ( кМ + 2 У+1 х
у=0-=0 / +1 (17)
X X X М ' ааук Л 'lM + 2)/ ( ^М + 2)1 1( ^М + 2)к )сов(а/х) +
/=0 у=1к=0 (10)
(11)
(12)
(1з)
х (/^М + 2)у 1(/зМ + 2)к ^81п(ю/х) + ю/1 £££М ■ ааук—— (/1М + 2)/+1 х
^=1 >04=0 / + 1
х (/^М + 2)л_1('зM + 2 )к~° )со8(ю/х)Ц
Для определения порядка регрессионной модели, описывающей цифровой эксперимент, предлагается оценить результаты аппроксимации и сравнить их с результатами эксперимента по критерию минимума максимального отклонения. На рис. 1, 2 приведены результаты расчета максимального отклонения аппроксимирующих полиномов для потокосцеплений фаз и электромагнитной силы ЭМП.
Для определения рационального значения степени аппроксимирующих полиномов проведен комплекс цифровых экспериментов, в ходе которых были установлены величины максимального отклонения полученных полиномиальных зависимостей.
Анализ результатов расчета показал следующее, что для обеспечения максимального отклонения в пределах з-4 % достаточно использовать полиномы з степени по току соответствующей фазы (п = з), при числе гармоник т = з. Результаты сопоставления расчетных значений по модели и вычисленных с помощью полинома Чебышева представлены на рис. 1.
Зависимость изменения ¥ представлена от перемещения х ротора, при токах в фазах (-560А, -420 А, -420А) и при токах в фазах (560А, 420 А, 420А).
Величина среднеквадратического отклонения не превышает 2 % (1,61 %).
Описание полиномом изменения силы Ег ЭМП-амортизатора при принятых параметрах [2] показало, что для обеспечения минимума максимального отклонения менее 4-5 % необходимо степени полинома п = з, а число гармоник т = 27. Фрагмент сопоставляемых результатов приведен на рис. 2.
п п п г г
-2111 ааук— (/1М + 2 У+1 (/• 2М + 2)1 ( /зМ + 2 )-
/=1 /=0 у=0-=1^ 1 + 1
$1п(®/х) 4
п п п / - _ ,
ь (°/ ааук--( /1-М + 2 )+1( /' 2М + 2)1 (/' зМ + 2)-_1 |сов(®/х))
/=0 у=0-=1^ / + 1
2 /=1
ппп
0
— расчетные участок 1
участка 1 —расчеше участок 2
//
//
1 0 2 0 /А / 0 4 Э 5 0 6 D 7 D Y ) 9 0 1(
Рис. 1. Результаты расчета и аппроксимации потокосцепле-ния в зависимости от перемещения ротора: нижние кривые (при токах -560А, -420 А, -420А); верхние кривые (при токах 560 А, 420А, 420 А)
Рис. 2. Результаты расчета и аппроксимации силы Ре ЭМП в зависимости от перемещения ротора: нижние кривые в начальный момент (при токах -560А, -420 А, -420А); верхние кривые в начальный момент (при токах 560 А, 420А, 420 А)
ВЫВОДЫ
Предложена структура аппроксимирующего полинома, позволяющего получить непрерывные зависимости для идентификации параметров математической модели электроамортизатора.
Определены параметры аналитических зависимостей потокосцеплений и электромагнитной силы математической модели электроамортизатора, приведенной в работе [2].
Выбраны рациональные значения степеней и число гармоник аппроксимирующих полиномов по критерию минимального отклонения, полученных по результатам цифрового моделирования ЭМП-амортизатора. Установлено, что степень полинома как для потокосцеплений, так и для электромагнитной силы достаточно п = 3, а число гармоник для потокосцеплений фаз достаточно т = 3, для электромагнитной силы т = 27.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сергиенко АН. Анализ конструкций электромеханических преобразователей и выбор схемы электроамортизатора неподрессоренных масс транспортного средства / АН. Сергиенко, Б.Г. Любарский, Н.Е. Сергиенко и др. // Автомо-
бильный транспорт. - Харьков: Изд-во ХНАДУ / Сб. науч. тр. - 2G12. - Вып. зі.
2. Сергиенко АН. Математическая модель электромеханического преобразователя для элекгроамортизатора транспортного средства / АН. Сергиенко, Б.Г. Любарский, Н.Е. Сергиенко // Електротехніка і електромеханіка. - 2G12. - № б. - С. б1-б5.
3. Режим доступа: http://femm.berlios.de.
4. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1985. - ЗД4 с.
5. Сергиенко А Н. Оценка показателей электро-амортизатора неподрессоренных масс транспортного средства / Вісник НТУ "ХПІ". 36. наук. праць. Серія: Автомобіле- та тракторобудування. - №6G (9бб). - 2G12. - С. Ш-1!б.
6. Данилов Ю.А. Многочлены Чебышева. - Мн.: Выш. шк., 1984. - 157 с.
Bibliography (transliterated): 1. Sergienko A.N. Analiz konstrukcij 'elektromehanicheskih preobrazovatelej i vybor shemy ' elektroamortizatora nepodressorennyh mass transportnogo sredstva / A.N. Sergienko, B.G. Lyubarskij, N.E. Sergienko i dr. // Avtomobil'nyj transport. - Har'kov: Izd-vo HNADU / Sb. nauch. tr. - 2G12. - Vyp. зі. 2. Sergienko A.N. Matematicheskaya model' ' elektromehanicheskogo preobrazovatelya dlya 'elektroamortizatora transportnogo sredstva / A.N. Sergienko, B.G. Lyubarskij, N.E. Sergienko // Elektrotehnika і elektromehanika. - 2G12. - № 6. - S. 61-65. 3. Rezhim dostupa: http://femm.berlios.de. 4. De Bor K. Prakticheskoe rukovodstvo po splajnam: Per. s angl. - M.: Radio i svyaz', 1985. - ЗД4 s. 5. Sergienko A. N. Ocenka pokazatelej ' elektro-amortizatora nepodressorennyh mass transportnogo sredstva / Visnik NTU "HPI". Zb. nauk. prac'. Seriya: Avto-mobile- ta traktorobuduvannya. - №5G (966). - 2G12. - S. 12G-126. 6. Danilov Yu.A. Mnogochleny Chebysheva. - Mn.: Vysh. shk., 1984. -157 s.
Поступила 09.02.2013
Сергиенко Антон Николаевич
кафедра "Теория и системы автоматизированного
проектирования механизмов и машин"
Национальный технический университет "Харьковский политехнический институт"
61002, Харьков, ул. Фрунзе, 21
тел. (G57) 707б901, e-mail: antonsergienkomax@rambler.ru
Любарский БорисГригоръевт, к.т.н., доц. кафедра "Электрического транспорта и тепловозостроения" Национальный технический университет "Харьковский политехнический институт"
61002, Харьков, ул. Фрунзе, 21
тел. (G57) 707бiб7, e-mail: lboris19111972@mail.ru
Сергиенко НиколайЕгорович, кт.н., доц. кафедра "Автомобиле- и тракторостроения"
Национальный технический университет "Харьковский политехнический институт"
61002, Харьков, ул. Фрунзе, 21
тел. (G57) 707б0бб, e-mail: ne_sergienko@rambler.ru
Sergienko A.N., LJuharskiyi B.G., Sergienko N.E. Approximation of an electric shock absorber mathematical model parameters.
The paper introduces a procedure of approximating polynomial calculation to allow identifying magnetic linkage and electromagnetic force of an electric shock absorber mathematical model.
Key words - electric shock absorber, mathematical model, approximation, Chebyshev polynomials, power, magnetic linkage.
