CC BY
38
УДК 519.65
АППРОКСИМАЦИЯ ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА НА
ГРАФЕ-ЗВЕЗДЕ
© О.А. Махинова
Ключевые слова: оператор Лапласа на графе; аппроксимация; конечно-разностные аналоги.
Для оператора Лапласа на графе-звезде рассматриваются разного вида аппроксимации конечномерными операторами, лежащими в основе построения разностных схем для краевых задач с распределенными параметрами на звезде. На полученные конечномерные операторы переносятся все свойства дифференциального оператора, устанавливается погрешность аппроксимаций.
Пусть задан граф-звезда Г с ребрам и (к = 1,т), примыкающими ко внутреннему
узлу С- Ребра 7к (к = 1,т — 1) ориентированы «к узлу £», ребро ^т — «от узла £ ». Ребра 7к (к = 1,т — 1) параметризуются отрезком [0, П], ребро ^т — [П,п]-Через £к (к = 1,т)
Г-
Рассматривается одномерный оператор Лапласа Ар = — , где р(х) принадлежит
множеству функций К С С!(Г)П С2[Г], удовлетворяющих условиям:
п \ ( п \
П1) -Л = П і) 'к = 1'т — 1
т— 1
^р’(х)х=п еік = <р\х)х=п е1т ,к = 1,т — 1. (2)
к=1
Областью определения О а оператора А является множество функций р(х) Є К, удовлетворяющих условиям Дирихле: р(х)х=оеук = 0, р(х)х=П^7т = 0,к = 1,т — 1. Условия (1), (2) являются условиями согласования (трансмиссии) во внутреннем узле ( звезды Г.
Теорема1[1]. Для любых функций р(х),ф(х) Є О а верны следующие утверждения: (Ар, ф) = (р, Аф), (Ар, р) ^ 0.
Замечание!.. Из теоремы 1 вытекает симметричность и положительная опреде-А.
А Г.
Обозначим через хк(і = 0,М) множество точек, принадлежащих ребру 7к С Г при к = 1,т — 1 : каждой точке хк соответствует число 27, началу и концу ребра 7к ,к = 1,т — 1 соответствуют числовые значения 0 = х° и П, = х7. Отдельно опишем обозначения для ребра ^т'- хгт(і = М, 2Ы) множества точек, принадлежащих ребру 7т С Г :
каждой точке хгт соответствует число П + , началу и концу ребра 7т соответствуют
П N 27
числовые значения 2 = хт и п = хт .
Множество точек хк (і = 0, 2Ы) ( к - индекс ребра графа) назовем сеткой графа Г и обозначим через Г^. Величина Н = — шаг сетки.
Каждой функции р, заданной на графе Г, сопоставим сеточную функцию (рн) : значение (рн)к в точке хк Є Г^ равно р(хк), і = 0, 2М, к = 1,т. Тогда конечномерный оператор
Аь‘ — конечно-разностный аналог оператора А — задается следующими соотношениями:
—(р%- + 2(р% — (р%+1
Н2
где индексы i, к принимают следующие значения: при к = 1,m — 1 индекс i = 1,N — 1, при к = m индекс i = N + 1, 2N — 1, и далее
(<ph) = (V) ,к = 1,m — 1, (4)
\ / k \ / т
т-1 uh)N — (ph)N-1 (ph)N+l — (ph)N ___________
V ,k ^ ,k— = ,т V ,т, к = 1,m — 1, (5)
k=1
, 0 _________ / ,\2N
(ph^ =0,к = 1,m — 1,(ph^ =0. (6)
V / k V / т
h
k
Замечание 2. Оператор Ah, задаваемый соотношениями (3) —(6), симметричен и положительно определен.
Ah
A h.
Доказательство представленных в замечаниях утверждений приведены в [1].
С целью повышения точности аппроксимации рассмотрим следующий способ построения конечно-разностного аналога оператора A. Дополним сетку Th «фиктивными точками» xN+1(h = 1,m — 1) и xт-1, этим точкам не соответствует никакое число из промежутка [о, 2] или [2,П . Наложим па них дополнительные условия:
и; = и>=1-^),иг=и: «
Тогда конечномерный оператор А — другой конечно-разностный аналог оператора
А
-(vh)i-1+2(vh)i-(vh)
1
1, N - 1,
h2
-W1+2(vh)'2-(vh)2+1 ,=
Y , h2---------------------,^ 1,N — 1,
Y2 s -i(vh)N-1-4(vh)N-1+2(vh)N-i(vh)N+‘ (8)
h2 ,
1( h\N-1 1( h\N-l.^f h\N 4/ h\N+‘
- 3 (<Ph)‘ - 3 (<Ph)2 +2(Vh)3 - 3 (<Ph)3
-(vh)i-1+2(vh)i2-(vhy+1
3-----------v ,2 y ,2 ,i = N + 1, 2N — 1,
~h2~
( + 1 Ґ -1 __________________________________
= KL ,к = 1,m — 1, (9)
т-1 (ph)N+1 — (ph)N-1 (ph)N+l — (ph)N-1 _________
^ )k— = )т ^ )т ,к = 1,m — 1, (10)
2h 2 h
k=1
(ph^\ =0,к = 1,m — 1,(ptl'\ =0. (11)
V / k V / т
Теорема 2. Для оператора, Ah, определяемого соотнош ениями (7)—(11), справедливы следующие утверждения
т-1 N 2N-1 т-1 N 2N-1
EE(AV“ъЕ (an/),(^)) = EE(^'‘:bA'“«''‘))+ £ ((¥h),Ah^h)),
k=1 г=1 i=N k=1 г=1 i=N
m—1 N 2N— 1
Y,Y.(Ah('fh), (¥'')) + E (л'чЛ (vk>)»о.
k=1 i=1 i=N
Замечание!. Из теоремы 2 вытекает симметричность и положительная определенность оператора .
Замечание 5. Оператор А' аппроксимирует исходный дифференциальный оператор A с точностью h2.
Доказательства теоремы 2 и замечаний повторяет рассуждения при доказательстве теоремы 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Махинова О.А. Задача теплопереноса на графе-звезде // Актуальные проблемы математики и информатики (труды математического факультета). № 3. 2009. С. 17-26.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
Makhinova О.A. Approximation of the one-dimensional Laplace operator on the arbitrary graph-star. Different types of approximation by finite-difference operators for Laplace operator on the graph-star are considered. The difference scheme carries the characteristic of differential operator on it finite-difference analog. The error of approximation is fixed.
Key words: the Laplace operator on the graph; finite-difference analogs.
Махинова Ольга Алексеевна, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, аспирант математического факультета кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей, e-mail: [email protected].
УДК 519.95:65
СПОСОБ СУММИРОВАНИЯ ДВУХ ЧИСЕЛ НЕЙРОННОЙ СЕТЬЮ В ТРОИЧНО-СИММЕТРИЧНОМ КОДЕ
© А.А. Маштак
Ключевые слова: архитектура нейронной сети; троично-симметричный код.
Обоснована возможность использования нейронной сети для выполнения точных арифметических операций в троичном симметричном коде для любых значений операндов. Представлена схема нейронной сети и виды нейронов, участвующих в выполнении операций сложения и вычитания.
Современный уровень развития теории нейронных сетей и практики реализации их архитектуры позволяют создавать различные по принципу построения нейро-ЭВМ:
- программное — все элементы НС реализуются программно на универсальных ЭВМ с архитектурой фон Неймана;
- аппаратно-программное — часть элементов реализуется аппаратно, а часть прог раммно;
- аппаратное — все элементы НС выполнены на аппаратном уровне, кроме специфических программ формирования синаптических коэффициентов.
