CC BY
68
Диго Г.Б., Диго Н.Б. АППРОКСИМАЦИЯ ОБЛАСТИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ ОПИСАННЫМИ ЭЛЛИПСОИДАМИ
Одной из важных задач, возникающих при проектировании технических устройств и систем с учетом возможных вариаций параметров их элементов, является построение области работоспособности. Решение этой задачи позволяет оценить способность системы сохранять работоспособность при отклонениях параметров ее элементов от расчетных значений, выявить влияние отдельных из них на работоспособность (оценить чувствительность), назначить допуски и выбрать наилучшие в том или ином смысле номинальные значения параметров схемных компонентов [1-3]. Основные трудности при этом связаны с большой размерностью пространства варьируемых параметров и отсутствием априорной информации о форме и ориентации области в пространстве параметров [4], а получение аналитических решений практически невозможно. В общем виде для произвольного числа параметров и произвольной конфигурации задача построения области работоспособности не решена. Для ее приближенного построения используются различные численные методы. К наиболее известным из них относятся метод матричных испытаний, метод контурного обхода, метод секущих, основные достоинства и недостатки которых достаточно подробно изложены в [4]. Область работоспособности Вх может быть построена, исходя из математической модели исследуемой системы, системы неравенств, характеризующих выходные показатели, и ограничений на внутренние параметры.
Во многих ситуациях оказываются эффективными методы аппроксимации Вх некоторыми геометрическими фигурами, например, вписанными или описанными гиперпараллелепипедами (брусами) с гранями, параллельными координатным плоскостям [4]. Такой подход сокращает пространство поиска и снижает трудоемкость вычислений путем их распараллеливания.
Аппроксимация области работоспособности выпуклым многогранником [4] предполагает, что область работоспособности строится, исходя из математической модели исследуемой системы, условий работоспособности, заданных полиномами не выше второго порядка, и ограничений на внутренние параметры. Алгоритм сводится к анализу ограничивающих Вх неравенств на выпуклость, замене невыпуклых неравенств опорными гиперплоскостями (линейными неравенствами), наилучшим образом их приближающими, кусочно-линейному приближению каждого выпуклого неравенства несколькими линейными, решению полученной системы линейных неравенств, задающей искомый выпуклый многогранник, однозначно определяемый координатами своих вершин. Ускорение процесса вычислений достигается путем их распараллеливания. К сожалению, этот алгоритм требует достаточно много априорной информации.
Кроме того, при построении и анализе области работоспособности представляют интерес подходы, основанные на выполнении определенных требований, предъявляемых к целевой функции, функциям, описывающим выходные показатели, и характеристикам Вх (неравномерное покрытие ее л-мерными параллелепипедами (кубами), вписанными в шары, эллипсоидами, метод описанных эллипсоидов) [5-8].
Пусть отсутствует априорная информация о форме и ориентации области Вх в пространстве внутренних параметров х е Вп , X = (х(1),...,х(п)) , и заданы условия работоспособности в виде системы в общем случае нелинейных неравенств
а] - У] (х) - Ъj, ] = 1,...,т , (!)
где у = {ут - вектор выходных параметров устройства,
*!пт ^х{,) / = 1,2,...,п , (2)
у, = ^(х(1),...,х(п)) , (3)
^ (•) - известный оператор, зависящий от топологии исследуемого устройства.
Одним из способов аппроксимации области Вх является приближение ее удачно подобранным классом областей некоторой фиксированной канонической формы. Среди них - класс эллипсоидов, обладающий следующими свойствами [9]:
1. Обеспечивается существование и единственность описанного эллипсоида минимального объема, аппроксимирующего любое ограниченное множество.
2. Обладает инвариантностью относительно аффинных (линейных) преобразований.
3. Определяется в В сравнительно небольшим числом параметров, равным п(п +1)/2 +п .
4. Существует тесная связь с положительно определенными квадратичными формами.
В л-мерном евклидовом пространстве векторов х е В эллипсоид задается неравенством
^-1(х - а),(х - а)) -1,
где а - л-мерный вектор центра эллипсоида, Q - симметричная положительно-определенная матрица размера п х п , (•,•) - скалярное произведение векторов.
Пусть В - замкнутое ограниченное множество в пространстве Яп, содержащее внутреннюю точку. Требуется найти минимальный (в смысле заданного критерия) эллипсоид, содержащий В .
Задача построения описанного эллипсоида наименьшего объема для данного множества В формулируется как экстремальная задача отыскания такого вектора а и такой симметричной положительноопределенной матрицы Q, для которых
В с Е(а, Q) = Е, ёе! Q ^ шт , (4)
В (4) эллипсоид
Е(а,® = {х: ^-1(х - а),(х - а)) -1}
имеет п(п +1)/2 + п параметров, матрица Q - симметричная положительно-определенная, с числом элементов п(п +1)/2 , вектор а - с числом компонентов, равным л.
За счет поворота системы координат ее оси удается совместить с главными осями эллипсоида, что, в свою очередь, приводит матрицу (2 к диагональному виду (2 = сИс$г(0ц,,..^п) . В этом случае
^ -1, \2 ^ (х,- - а, )2
Ъ аи (х - а) = Ъ—2— -1,
1=1 ,'=1 С1
где с. - полуоси эллипсоида, и 0,н = с?, / = 1,...,/? .
При аппроксимации множества В описанным эллипсоидом используется следующее утверждение [9]:
для любого ограниченного множества О в Вп существует единственный эллипсоид Е наименьшего объема, его содержащий.
При выборе описанного эллипсоида наименьшего объема используется тот факт, что объем эллипсои-
^п / 2 0)1/2
да пропорционален (йе1 Q)1/2 и равен УЕ =-------------, где Г(г) - гамма-функция Эйлера.
Г (п/2 +1)
Задача
ёе! Q ^ шт
эквивалентна отысканию элементов диагональной матрицы
п
Q: ПЪ ^шт , (5)
]=1
где Ъ - собственные числа матрицы Q . После нахождения решения (5) аффинными преобразованиями
осуществляется возврат к исходной системе координат.
В общем случае (5) не имеет аналитического решения, и используются численные методы из класса нелинейных оптимизационных задач большой размерности.
Для аппроксимации области работоспособности Вх , заданной условиями (1) - (3), описанным эллипсоидом перепишем (1) - (2) в виде системы неравенств с односторонними ограничениями
^(х) -0, ] = 1,2,...,2т,2т + 1,...,2т + 2п , (6)
среди которых могут быть невыпуклые неравенства. Преобразованием координат трансформируем (6) в эквивалентную систему выпуклых неравенств, заданных в невыпуклой области 5 - п -мерной сфере в
Вп+1 [6],
Н] (ъ) - 0, ] = 1,2,...,2т,2т + 1,...,2т + 2п, ъе Ъ , (7)
где множество 2 - пересечение сферы 5 с п -мерным гиперпараллелепипедом П(хтп, х^ ) , 2=5ПП(хт1П,хтах) . (8)
Аппроксимация Вх описанным эллипсоидом наименьшего объема будет получена, если будет найден
эллипсоид наименьшего объема, содержащий множество 2 из (7), (8). Задача об оптимальном эллипсо-
иде, аппроксимирующем пересечение эллипсоидов, аналогична задачам об аппроксимации суммы эллипсоидов, но значительно сложнее. Это связано с тем, что сумма двух эллипсоидов является областью, форма которой не зависит от положения центров исходных эллипсоидов. Поэтому центр результирующего эллипсоида легко находится по центрам слагаемых эллипсоидов, а его матрица зависит только от матриц исходных эллипсоидов. В случае пересечения эллипсоидов центр и матрица результирующего эллипсоида зависят от всех параметров исходных эллипсоидов. Кроме того, известные численные методы
аппроксимации пересечения эллипсоидов достаточно громоздки. После их сравнительного анализа был использован алгоритм, обеспечивающий включение пересечения (8) в сумму двух эллипсоидов и последующую ее оптимальную аппроксимацию описанным эллипсоидом [9].
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 05-08-01398 и гранта ДВО РАН 06-П15-056
по программе №15 ОЭММПУ РАН.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамов О.В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности. -М.: Наука, 1992. - 239с.
2. Абрамов О.В., Здор В.В., Супоня А.А. Допуски и номиналы систем управления. - М.: Наука,
1976. - 160с.
3. Васильев Б.В., Козлов Б.А., Ткаченко Л.Г. Надежность и эффективность радиоэлектронных устройств. - М.: Советское радио, 1964. - 368с.
4. Абрамов О.В., Диго Г.Б., Диго Н.Б., Катуева Я.В. Параллельные алгоритмы построения области работоспособности // Информатика и системы управления, №2(8), 2004. С. 121-133.
5. Жиглявский А.А., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. -М.: Наука, 1991.
248с.
6. Гусев С.В., Шишкин С.Л. Алгоритм делящихся эллипсоидов - метод решения систем невыпуклых неравенств // Автоматика и телемеханика, №7, 1999. С. 25-33.
7. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. - М.: Эдиториал УРСС,
2000. - 176с.
8. Диго Г.Б., Диго Н.Б. Анализ области работоспособности методом неравномерных покрытий // Информатика и системы управления, №2(10), 2005. С. 113-118.
9. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.- 320с.
