CC BY
31
Бернацкий Ф.И. , Диго Г.Б., Диго Н.Б. АНАЛИЗ ОБЛАСТИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ, ОГРАНИЧЕННОЙ СИСТЕМОЙ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Одной из важных задач, возникающих при проектировании технических устройств и систем с учетом возможных вариаций параметров их элементов, является построение области работоспособности. Основные трудности при этом связаны с большой размерностью пространства варьируемых параметров, следствием которой являются вычислительная трудоемкость соответствующих алгоритмов и сложность интерпретации результатов.
В [1] исследованы некоторые пути преодоления возникающих трудностей, в основе которых лежат программные и технические средства параллельных вычислений. Проведенные исследования и сравнительный анализ различных методов показали, что наилучшим образом поддаются распараллеливанию методы аппроксимации области работоспособности описанным брусом и выпуклым многогранником, метод матричных испытаний. Аппроксимация области выпуклым многогранником включает в себя этап решения системы в общем случае нелинейных неравенств
B/u(1),u(2),...,u(m)) < 0, j = 1,2,...,2(r + m) , (1)
в которой последние 2m неравенств являются линейными ограничениями на внутренние параметры
D f«(1) «(2) ,.(m)\_ (j) i „( j)
B2r+j>u ,...,U ) = -u + umin’
B2r+m+J(u^,u^,...,u^) = u^-u^, (2)
В [2] изложен параллельный алгоритм, обеспечивающий переход от нелинейных систем неравенств к системам линейных неравенств, решаемым известными методами. При этом выпуклые неравенства из (1)
аппроксимировались с помощью кусочно-линейного приближения, а невыпуклые заменялись опорными гиперплоскостями (линейными неравенствами), наилучшим образом их приближающими.
Альтернативой такому алгоритму предлагается алгоритм решения нелинейной системы неравенств, не требующий перехода к системе линейных неравенств. Решение системы (1) заменяется поиском минимума многомерной функции [3]
2(r+m)
p(u(1),u(2),...,u(m)) = £ \Bj(u(1),u(2),...,u(m))| (3)
j=1
с ограничениями (1).
Пусть исследуемая функция p(u) = p(u(1),u(2),...,u(m)) задана на подмножестве U с Rm . Ищется ее minp(u) .
ueU
Согласно [4], при численных расчетах глобального минимума для упрощения вводится множество s -решений:
Us = {u eU : p(u)- р* < s} ,
где s> 0 - заданная точность, р = minp(u) . Требуется с заданной точностью s определить вели-
ueU
чину глобального минимума p(u) и найти хотя бы одну точку u* e Us , где это приближенное значение достигается.
Среди часто используемых численных методов решения этой задачи можно упомянуть метод сканирования (слепой поиск), случайный поиск, случайный поиск с использованием локальных процедур, направленный поиск [4]. Все эти методы не требуют каких-либо ограничений на функцию p(u). Чтобы использовать более эффективные методы, нужно иметь дополнительную информацию о ее свойствах.
Предположим относительно входящих в правую часть (3) функций, что в своей области определения они удовлетворяют условию Липшица. Тогда при нахождении минимума многомерной функции
p(u) = p(u(1),u(2),...,u(m)) , которая также должна удовлетворять условию Липшица ( p(u) eL ), можно использовать методы покрытий.
Пусть известны значения функции #?(и) в к точках u1?u2,.. .,u^ е U . Для любых и . е£/, #?(и-) определим множество Ui = {u е U : <р(и) > — <%} <^U и Fk = min(^)(u1),^(u2),.. .,(р(икУ) . Если точки u1?u2,.. .,ик вы-
к
браны так, что < p(uy ) - Fk + s и № покрывает множество U , то задача глобальной минимизации
7=1
решена с точностью до s по значению функции p(u) , поскольку в этом случае Fk <minp(u) + s .
Алгоритмы выбора точек u1,u2,...,u^ из указанного условия обычно называют методами покрытий [5] . Они делятся на пассивные (точки выбираются независимо от значений целевой функции) и последовательные (значения целевой функции в последующих точках зависят от информации, полученной в предыдущих точках). Простейшими методами покрытий являются методы сеток (пассивные методы). Сложнее строятся последовательные, или неравномерные, покрытия. Они более эффективны, так как для достижения той же точности требует меньше вычислений целевой функции. Идея методов неравномерных покрытий (послойное покрытие, метод ветвления, метод покрытия неравномерными параллелепипедами) заключается в использовании следующего принципа: методы глобальной оптимизации должны допускать
возможность использования вспомогательных методов локальной оптимизации для ускорения расчетов [6,7] .
Предположим, что функция ^(и) вычислена в к точках u1?u2,..-,uk е U . Число
Fk = min(^u1)5^u2)5...503(u;t)) назовем рекордом, a u = argmin^(иг) - рекордной точкой. Определим мно-
к eU
1<i< k
жество
Zk= {u eU: Fk-s< p(u)} . (4)
Поскольку ^ — 8< штф(и) , рекорд в множестве может быть улучшен не более, чем на 8 . Сле-
и^гк
довательно дальнейший поиск следует продолжать на множестве и \ %к . В частности, если и с Хк , то поставленная задача решена с точностью до 8 , так как в этом случае Рк — 8<ф •
Метод покрытий сводится к конструированию последовательности точек и^и^... и соответствующей последовательности множеств 2х,2г,... до тех пор, пока при некотором не будет выполнено условие и с ^ . Последовательность рекордов ад,- монотонно убывающая, последовательность множеств 2ъ2г,... монотонно возрастающая, т.е.
^к+\-^к ' ^к^^к+ъ к = 1,2,....
Чем меньше значение ^ , тем множество из (4) больше. Поэтому вновь полученное в ходе поис-
ка значение рк+1 требует уточнения алгоритмами локальной оптимизации.
Из выполнения условий Липшица для функции ф(и) следует
фик) — с||и — и|| < ф(и) < Сик) + с||и—и II •
Определим множества шаров
А j = [и е Кт : ^(и^ + сЦи-и^.Ц > £ + Рк} , А^. е II, у = \,2,...,к . (5)
к
Очевидно, что если и д. полностью покрывает множество и , то задача решена, а в качестве при-7=1
ближенного значения глобального минимума выбирается величина ¥к . При этом выполнение условия Рк —ф <8 гарантировано.
Среди возможных вариантов покрытия множества и был выбран метод неравномерного покрытия его т -мерными прямоугольными параллелепипедами, вписанными в шары Д , Д2,..., Д^ из (5). Введем в
рассмотрение т -мерный вектор . .,м^'т^) . Чтобы вписать т -мерный прямоугольный паралле-
лепипед
(') (') ^ (') ^ О) I (') • 1 л
ык — м < и < и\ + м , I = 1,2,...,т ,
в т -мерный шар Д^ радиуса гк с центром в щ , необходимо выполнение равенства
т
О'Ь 2 2
м )] = гк •
'=1
Введем обозначения:
м(/) = ПуЦт • шт(',г2,...,гк), У = 2,3,...,т,
т
(1) ( 2 (7)12*1/2
мк = {гк — ] } •
'=2
Тогда поиск глобального минимума сводится к следующему. Фиксируются т — 1 координат
(]) (]) , ■ Л -5
и = итш. + Р, У = 2,3,...,т , и строится последовательность
„(1) _ „(1) , „ „(1) _ Л1), „,(1) , „ ,.(1) _м0) . „/1) , „
и1 = иШп + Р, и2 = и1 + м1 + Р,...,ик = ик—1 + мк—1 + Р (6)
до наименьшего значения к = 5 , при котором выполнено условие и(1) >+ р . В (6) р = 8/(с/т) .
При этом, если , то полагается м(1) = . Фиксируются далее т — 1 координат вектора и :
(2) (2) . , (2) (3) (3) , (т) (т) .
/ -»л Л' 11х- 1 — •» / ' _1_ гл -и' 1 — -и' /
Формируется последовательность, аналогичная (6):
„(1) _„(1) , „ ,/1) _,/1) , .,,(1)
Ы5+1 = иШ1П + Р, и5+2 = и5+1 + М5+1
(7)
Координаты м +1 вычисляются по формулам
Г5+\'^ т, '5+2
] =lШп(w^■'), ] /л] ';+2/^/m,..., /^/=), = =2,3,...,
т
= к+2/ — Х[м^:+)/]2}1/2 •
]=2
Строим последовательность, аналогичную (6), (7) до тех пор, пока И((1) <и+ р . Вновь изменяем
вторую координату вектора и и т.д. до получения и(2) > + р . Переходим к новой ( И +1 ) -й точке,
фиксируя т — 1 координат и , и строим последовательность типа (6). При каждом новом значении м(3)
производим перебор в пространстве м(1) , и(2) по изложенной схеме. Окончание такое же, как для
(1) (2) (4) (5)
и , и . Далее изменяются и , и и т.д.
Построенная таким образом последовательность параллелепипедов покрывает множество и за конечное число шагов.
Очевидно, что процедура неравномерных покрытий требует больших временных затрат. Для ускорения счета предлагается использовать распараллеливание по данным. При этом последовательность точек и|,и2,* • -,и^- делится на подпоследовательности и15и2,.. .,и^ ,и^+1,.. .,и^ ,11^ +1,.. .,11£ , где 5 - число доступ-
ных процессоров. Процессоры осуществляют поиск минимума по своему исходному набору точек, затем
передают результаты одному из них, выбранному главным. Главный процессор осуществляет окончательный выбор.
Работа выполнена в рамках проектов, получивших грант конкурса «Конкурс проектов ДВО РАН 2005 г.» по программе №16 Отделения энергетики, машиностроения, механики, процессов управления РАН «Проблемы анализа синтеза интегрированных технических и социальных систем управления» и по программе №17 Президиума РАН «Параллельные вычисления и многопроцессорные вычислительные системы».
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамов О.В., Диго Г.Б., Диго Н.Б., Катуева Я.В. Параллельные алгоритмы построения области работоспособности // Информатика и системы управления, №2(8), 2004. С. 121-133.
2. Бернацкий Ф.И., Диго Г.Б., Диго Н.Б. Распараллеливание вычислений при построении областей
допустимых управлений // Труды Международного симпозиума «Надежность и качество», Пенза: ПГУ,
2003. С.24-26.
3. Александров В.В., Горский Н.Д., Поляков А.О. Рекурсивные алгоритмы обработки и представления данных // Алгоритмы и системы автоматизации исследований и проектирования. М.: Наука, 1980.
С. 40-78.
4. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432с.
5. Жиглявский А.А., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума.-М.: Наука, 1991.
248с.
6. Евтушенко Ю.Г. Численный метод поиска глобального экстремума функций (перебор на неравномерной сетке) // Журнал вычислительной математики и математической физики, т.11, №6, 1971.
С.1394-1403.
7. Евтушенко Ю.Г. Методы поиска глобального экстремума // Исследование операций (модели, системы, решения). Вып. 4. - М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1974. С.39-68.
