АППРОКСИМАЦИЯ МНОЖЕСТВА ДОПУСТИМЫХ УПРАВЛЕНИЙ В ЗАДАЧЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ЛИНЕЙНОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.mai.ru/science/trudy/

Труды МАИ. Выпуск № 87

УДК 62-40

Аппроксимация множества допустимых управлений в задаче быстродействия линейной дискретной системой

Ибрагимов Д. Н.

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия

пкк. dan@gmail. сот

Аннотация

В статье рассматривается алгоритм сведения задачи быстродействия линейной дискретной системой с выпуклым множеством допустимых управлений к случаю, когда ограничения на управление являются линейными. Метод базируется на построение последовательности вложенных многогранников, сходящейся к исходному множеству допустимых управлений. Тем самым, заменяя исходное выпуклое множество многогранником, удается получить допустимое для исходной системы гарантирующее в смысле быстродействия управление.

Ключевые слова: линейная дискретная система, задача быстродействия, многогранник, метрика Хаусдорфа.

1. Введение

Задача быстродействия является классической задачей теории оптимального управления. В монографиях [1,2,3,4,5] опубликованы основные результаты. На

сегодняшний день существует несколько общепринятых принципиально различных методов решения задач оптимального управления: принцип максимума Понтрягина [1,3], метод множителей Лагранжа [2] и динамическое программирование [4]. Также существует подход, основанный на построении множеств управляемости [6,7].

В частности на основе семейства множеств 0-управляемости в [6] описана процедура построения оптимального по быстродействию управления для случая, когда управление является скалярным. Продолжение методов, заложенных в [6], на случай, когда множество допустимых управлений представляет собой произвольный многогранник, приведено в [7]. При этом оптимальное управление имеет аналитический вид.

Основной проблемой дальнейшего обобщения данных методов является необходимость построения множеств 0-управляемости, которые в случае общего вида множества допустимых управлений не являются многогранниками. Данный факт приводит к необходимости решения задач выпуклого программирования, вместо задач линейного программирования, как было предложено в [6,7].

2. Постановка задачи

Изучается дискретная линейная система управления с выпуклым компактным множеством допустимых управлений

х(1 +1) = Ах(г) + ы(г), I = 0,1,2,...

х(0) = х0, и(1) е и, С2-1)

где х(1) е Я" - вектор состояния системы, и с Я" - множество допустимых

управлений, удовлетворяющее условиям: 0 е int U, U - выпуклый компакт, A е Rnxn - невырожденная матрица системы.

Для системы (2.1) решается задача быстродействия: для некоторого заданного x(0) = x0 требуется построить набор допустимых управлений, переводящих систему из

начального состояния в начало координат за минимальное число шагов Nmin. В [7]

приведено решение поставленной задачи на основе множеств 0-управляемости для

частного случая системы (2.1), в котором U является многогранником.

Таким образом, если будет построен алгоритм аппроксимации произвольного выпуклого компакта многогранником, то исходную задачу быстродействия системой вида (2.1) можно считать решенной путем сведения к случаю, описанному в [7].

Алгоритм аппроксимации основывается на конструировании последовательности

многогранников {Uk }keN, сходящейся к выпуклому множеству допустимых управлений U. Каждый элемент последовательности является множеством вложенным в U, то есть состоит только из допустимых управлений. А следовательно, для каждого номера k е N управление, которое является оптимальным по быстродействию для системы

x(i +1) = Ax(i) + u(i), i = 0,1,2,...

/V

x(0) = x0, u(i) е Uk,

также является допустимым для системы (2.1), переводящим её в начало координат.

Для исследования вопросов сходимости будем считать исследуемые множества точками метрического пространства (Kn, pH), где

Кп ={Х с Я" : X - д},

рн (X,У) = шах^ирМ || X - у ||; БирМ || х - у ||}. (22)

хеХ уеУ уеУ х^_Х ^ ' '

Метрическое пространство (2.2), как показано в [9], является полным.

3. Вычисления расстояния Хаусдорфа между многогранниками

Поскольку аппроксимация выпуклого компакта X производится в пространстве (2.2), то в качестве критерия качества аппроксимации Хк выступает расстояние

Хаусдорфа рн (X, Хк) . Однако в общем случае вычислить расстояние между многогранником и произвольным выпуклым компактом невозможно. По этой причине в качестве критерия качества аппроксимации можно рассматривать расстояние Хаусдорфа между двумя последовательными приближениями множества X , то есть между двумя многогранниками рн (Xк, Xк+1).

Далее продемострируем способ в явном виде вычислить расстояние между двумя произвольными многогранниками X, У , удовлетворяющими условию X с У . Для этого докажем ряд вспомогательных лемм.

Поскольку X, У - многогранники, то они допускают предстваление

X = сопу{у\..., Vм }, ExtX ={у\..., Vм }, У = сопу{п\..., }, ExtУ = {п\..., пм }.

Лемма 3.1.

Пусть X, У е Кп - многогранники, причем X с У. Тогда

рн(X, Y) = supinf || X - y ||= sup inf || x- y |

yeY xeX yeY \X xeX

Доказательство. Поскольку для каждого x е X с Y верно

inf || x - y ||<|| x - x ||= 0,

yeY

то

supinf || x - y ||= 0.

xeX yeY

Таким образом,

pH (X, Y) = supinf || x - y ||= sup inf || x - y |

yeY xeX yeY\X xeX

Лемма 3.2.

Пусть X e Kn. Тогда для любого y e X

inf || x - y ||= inf || x - y ||.

xeX xedX

Доказательство. Предположим, что существуют такие y e X и ~ e int X, что

inf || x - y ||=|| ~ - y ||.

xeX

Но тогда найдется s e (0;1) такое, что ~ - s(~ - y) e X.

|| ~-s(~ - y) - y 1=1(1 -s)(~ - y)||=(1 -s)|| ~ - y И ~ - y||. Пришли к противоречию. Следовательно, для каждого y e X

inf || x - y ||= inf || x- y ||.

xeX xedX

Будем считать, что y e X. Обозначим через

x*(y) = arg minxedX || x - y ||= arg mm^ || x - y||.

Лемма 3.3.

Пусть X е Кп - выпуклое множество. Тогда для любого у ее X

х*(у) = х*(х*(у)+а( у - х*(у))).

Доказательство. Предположим, что существуют а >1 и у е X такие, что хХ (хХ (у) + а(у - х* (у))) = ~ ф XX (у). Без ограничения общности будем полагать, что х*(у) = 0.

Найдем ортогональную проекцию у на Ьгп{х} = АЦ{~,х*(у)} и обозначим ее

/V

у :

- ( у,~ )~ .у 1 ^ х. (х ,х )

Предположим, что (у, ~ ) < 0. В этом случае

|| х - х*(у) + а( у - х*(у)) ||2=||х - ау|| 2 =| | (-у) - (а -1) у|| 2=

=| | ~ - у 112 +(а -1)211 у 112 -2(~ - у, у)(а -1) = =| | х - у | |2 +(а-1)21 | у | |2 -2(а-1)(х, у) + 2(а-1)| | у | | 2>| | х - у | |2. Пришли к противоречию. Тогда (х, у) > 0.

(х, у) 1

Предположим, что__>1. В этом случае

| |х - у | |2=| |х| |2 -2(х, у)+| | у | |2=((х ,х ) - (х, у)) - (х, у)+| | у | |2<| | у | |2=| | у - х*( у)| |2.

(х, у) ^ 1

Пришли к противоречию. То есть < 1

Таким образом,

(~)

Следовательно y e conv{0,~} = conv{x* (y), с X. Причем

H y - У ||= min | y - x |M| y - x\y) ||= min || y - x |< y - у |.

xeAff {~, x*( y )} xeX

Пришли к противоречию. Тогда ~ = x*(y).

1 1

Рассмотрим случай ae (0;1). Введем обозначение cy = z. Тогда y--z, — >1

а a

Согласно предыдущим рассуждениям

Г 1 Л

*

x

— z Уа J

= x (z) ^ x (y) = x (ay).

Лемма 3.4.

Пусть X, Y e Kn - многогранники, а также X с Y. Тогда supinf || x-y ||= supinf || x-y || .

yeY xeX yedY xedX

Доказательство. В силу леммы 3.1

supinf || x -y ||= sup inf || x-y ||= sup || x*(y) -y ||.

yeY xeX yeY\X xeX yeY\X

Обозначим

y* = arg maxyeY\X || x*(y) - у || .

* • TT

Предположим, что y e mt Y . Тогда найдется s >0 такое, что

у* + (-x\y) + y*)s e 7\ X. Согласно лемме 3.3

x (y + (y - x (yM = x (x (y ) + (y - x (y))(l + ^0 = x (y ).

Тогда

II у * + (у *- x *(y* № - x *(y* + (у * - x *(у * )Ю1 l=l I y* + (у * - x *(у *№ - x *(у * )ll=

= (1 + e)ll x* (y ) - y* ||>|| x* (у ) - у* II.

* 'Л T7"

Пришли к противоречию, то есть у edY . Тогда, учитывая, что согласно лемме 3.2

x* (у *) edX,

supinf II x - у ||= supinf II x - у ||= supinf II x - у II.

yeY xeX yedY xeX yedY xedX

Лемма 3.5.

Пусть X, Y e Kn - многогранники, а также X с Y. Тогда supinf II x - у ||= sup inf II x - у II.

yedY xedX yeExtY xedX

Доказательство. Обозначим

* 11 11 у = argmax dY inf II x - у ||.

xedX

Пусть так же У^...,УК - (п-1) -мерные грани множества У . Так как для многогранника У объединение всех его (п -1) -мерных граней является границей дУ ,

то найдется к = 1, K такой, что у e Yk. Покажем, что

/ (y)=!|x*( y) - y|| является выпуклым по y на множестве Yk функционалом. Выберем произвольные y1, y2 e Yk и Ае (0;1)

/(Ayi + (1 - А)y2) =|| x* (Ау + (1 - А)y2) - (Ayi + (1 - А)y2) ||= inf || x - (Ayi + (1 - А)y2) || <

xeX

< inf di Ах-Ау1 || +1| (1 -А)x-(1 -А)у2 ||) < inf А|| x-y || + inf (1 -А)|| x-y21|=

xeX xeX xeX

= Ц /CyJ-У1|| +(1 -Щ xt(y2)-y2 ||= АА(У1) + (1 -А)/(у2). Поскольку, /(у) выпуклая функция, то она достигает свое минимальное на Yk

значение на его границе, то есть на (n - 2) -мерной грани множества Y.

*

Продолжая рассуждения по индукции, получим, что У принадлежит 0-мерной грани множества Y , то есть

y* е ExtY.

Объединия воедино результаты лемм 3.1-5, получим основную теорему данного раздела.

Теорема 3.1.

Пусть X, Y е Kn - выпуклые многогранники, X с Y. Тогда рн(X, Y) = sup inf || x -y ||= max inf || W - x ||.

yeExtY xedX i=1JM xedX

То есть фактически задача вычисления расстояния между двумя вложенными многогранниками сводится к ортогональному проектированию точки на многогранник

- задаче квадратичного программирования с линейными ограничениями.

4. Алгоритм аппроксимация выпуклых компактов

В этом разделе приведен метод построения нижней оценки произвольного выпуклого компакта многогранником. Идея метода основывается на построении равномерной сетки на «-мерном кубе и продолжении её на выпуклое множество.

Обозначим через А = [-1;1]п с Яп «-мерный куб с центром в начале координат и длиной ребра равной 2. Очевидно, что справедливо также представление

А = {х е Яп :тах| хЛ |< 1}.

к=1,п

(4.1)

Построим на дА равномерную сетку

п 12 12 А„ = У{0;±-;±-;.;±1}'-1 х {-1;1} X {0;+ -;+ — ;...;±1}'

г=1

т т

т т

(4.2)

Лемма 4.1.

Пусть Ат определено соотношением (4.2). Тогда

п

оаЫА т = ^С'п (2т-1)п"г 2г

г =1

Доказательство. Разобьем представление (4.2) на объединение непересекающихся множеств Ат, где Ат - множество тех точек из Ат, у которых ровно I координат равны по модулю 1. Тогда очевидно, что размер множества Ат определяется через число сочетаний с к следующим образом:

оатс1&т = Сп (2т -1)п-г 2г.

Учитывая, что

А = I А , А пА7' = 0, i ф 7,

m m m ' J?

i—i

получим

n n

cardA m — ^^Am — tfn (2m -1)n-i 2'.

i—1 i—1

Исследуем теперь ассимптотические свойства сетки A m. Лемма 4.2.

Пусть семейство сеток {Am}meN рассматривается как последовательность метрического пространства (Kn, pH). Тогда

m^<x>

Am ^ ЗА.

m

Доказательство. Рассмотрим величину pH (Am, ЗА) . Поскольку Am с ЗА по построению, то

Рн — max{sup inf || x-y ||; sup inf || x-y ||} — sup inf || x-y ||.

xeAm уеЗА ye3A xeAm ye3A xeAm

В силу того, что множество рациональных чисел является плотным в R, для любого

у е ЗА найдутся m е N и m1,.,mn — - m,m такие, что

I m. s max I yk--< —¡=.

i—i,n m Vn

Обозначим через

л ,т1 тп Т у = (-^,...,-п-) еАт. тт

Тогда

1 1 / п Лт ( п „2 ^2

у - у\

Е1 Щ |2

|ук--L |2

V г=1 т у

<

Е-

V г=1 п

= -.

Тогда для любого у едА

М || у - х ||<|| у - у ||< -.

хеА

т

Поскольку это справелоиво для любой точки из границы куба, то аналогичное соотношение справедливо и для точной верхней границы

supinf || у - х ||<|| у - у ||<-

уедА хеАт

Таким образом,

V- > 0 Зт: Ут > т рн(А^,дА) < -,

то есть

К ^ дА.

т

Теперь продолжим сетку Ат на некоторый произвольный выпуклый компакт X.

Для этого построим непрерывное в метрическом пространстве (Кп, рн)

преобразование, которое переводит куб А в выпуклое множество X. Для этого докажем ряд вспомогательных утверждений. Лемма 4.3.

Пусть отображение Т: Яп ^ Яп - непрерывно во всем Яп. Тогда отображение Т: Кп ^ Кп также является непрерывным во всем Кп, где

Т(X) = {у еЯп :ЗхеX,у = Т(х)}.

Доказательство. Т.к. Т: Яп ^ Яп непрерывно, то

V- >0 33-) > 0 :|| х - у ||< 3 ^ || Т(х) - Т(у) ||< -.

Предположим, что рн (X, У) < 3, где X, У е Кп. Тогда

тах^ирМ || х - у ||^ирМ || х - у ||} < 3.

хеХ уеУ уеУ хеХ

Обозначим через

х\у) = а^ ттХех || х - у ||,

у*(х) = arg тШуеУ || х - у ||.

Тогда для любых ~ е X, у е У

|| у (у) - у ||= inf || у - у ||< 3,

уеУ

|| х*(у) - у ||= ^ ||у - х ||< 3.

xеX

Тогда

Т(у'(у))- Т(у)||< - inf ИТ(у) - Т(у)||<||Т(у (у)) - Т(у)||< -

Т(х'(у)) - Т(у) ||< -, ^ М || Т(х) - Т(у) ||<|| Т(х*(у)) - Т(у) ||< -

Поскольку эти соотношения верны для любых точек у е X , у е У , аналогичные соотношения будут верны и для тех точек, на которых достигается максимум этих

выражений, то есть

supinf || T(x) - T(y)||< s,

xeX yeY

supinf || T(x)-T(y)||< s.

yeY xeX

Т.о..

s > max{supinf || T(x)-T(y) ||; supmf || T(x)-T(y) ||} =

xeX yeY yeY xeX

= max{ sup inf || x -y ||; sup inf || x-y ||} = pH(X, Y).

xeT(X) yeT(Y) yeT(Y) xeT(X)

Определим вспомогательную функцию

a(x, X) = max a,

axeX a>0

где X e Kn - некоторый выпуклый компакт такой. что 0 e int X . Построим отображение TX : Rn ^ Rn следующим образом

a( x, X )

TX (x) =

x, x Ф 0, a( x, A) (4.3)

0, x = 0.

Сформулируем свойства отоборажения Тх в виде следующей леммы Лемма 4.4.

1) Отображение Тх - биекция;

2) х е СА тогда и только тогда, когда Тх (х) е ЭХ. Доказательство. Выберем произвольное положительное число у > 0.

<

а(ух, X) = тах а = - тах ау = - а(х, X).

а¡уxеX у (ау)xеX у

с>0 ' (ау)>0 '

Для проверки биективности построим отображение обратное к Т.

X

Тх (у)-1 =

а( у, А)

а( у, X) 0,

• У,

у * 0, у = 0.

Для точки 0 свойство биекции очевидно выполнено. Рассмотрим произвольную точку

у * 0.

Тх (Тх( у)) =

а

— V

а( у, А) а( у, X)

■у, X

а

а( у, А) а( у, X)

у, А

^^ •а( у, X) а(у, А) ___а(у, А)_ а(у, А)

-• у--•-• у — у

а(у, XУ а(У, X) ^уА) а(у, X) ' ' а( у, А) '

Рассмотрим произвольную точку х * 0.

Т~х(Тх (х)) =

с

а

_ V

а( х, X) а( х, А)

• х, А

а

а( х, X) а ( х, А)

х, X

а(х,А) а(х, А) а(х, X) _ а(х, X) а(х, X) _

'х = а( х,А) а х, X) '«^Д)'х=х'

а( х, X)

Таким образом, отображение Тх обратимо, то есть является биективным.

По построению верно, что а(х, X) = 1 тогда и только тогда, когда х едX Выберем произвольную точку х е дА. Тогда

Т- (х) = а( х, X) • х,

а(Тх (х), X) = а(а( х, X) • х, X) = = 1.

<

Откуда следует, что

(x) е dX.

Выберем произвольную точку y е дХ. Тогда

Tx\ y) = a( y, А) • y,

a(Txx (y), А) = a(a( y, А) • y, А) = ^^ = 1.

a( y, А)

Откуда следует, что

T~\x) едА.

Лемма 4.5.

Отображение Tx : Rn ^ Rn непрерывно в каждой точке Rn.

Доказательство. Сначала докажем, что отображение Tx непрерывно в точке 0.

Выберем произвольную последовательность {xk }keN ^ Rn такую, что

k

II xk || ^ 0.

Тогда в силу того, что 0 е int X, 0 е int А,

3m: Vk > m xk е int X n int А.

Обозначим через

yik = a( xk, x ) xk, y2k = a(xk, А)xk.

Из определения функции a(x, X) следует, что y1k е дХ , y2k е дА . Очевидно, что справедливо представление

a(x, = , a(x, А) = ■| y2k 11

II xk II

|| xk ||

Причем

Тогда

yik^ diam X < ^ | y2k ||>1.

I I Tx(xk)||=

a( xk, X) a( xk, А)

x

,_ || yik|| || xk|| II Y ||_ | | yik| | II Y ||<

" | k| гй-'|| xk| |S

. .-.

II xk II I I y2k I I

y2 k

diam X

^-J--| | xk | | ^ 0= | |Tx (0)| |.

k

Теперь покажем, что Tx непрерывна в любой точке x Ф 0. Пусть {xfe }k^N с Rn, xk ^ x. Обозначим через

yk = a(xk, x)xk е dx,

y = a( x, X) x е dX.

При этом в силу того, что X - выпуклый компакт, справедливо соотношение

k

yk ^ y.

Причем в силу того, что || x ||ф 0,

lim a( xk, X) = lim = lim = a( x, X).

kk|| xk || k^ || x ||

То есть функция a(x, X) непрерывна по первому аргументу во всех точках x Ф 0.

Тогда отображение TX является произведением трех непрерывных функций, то

есть также является непрерывным в любой точке x Ф 0.

Окончательно получаем, что Tх е С(Яп). Лемма 4.6.

Пусть отображение евпу: Кп ^ Кп определяется следующим образом:

т т

convX = {х е Яп: Зт е Ы, х,.■■,хт е X, е[0;1], Е = 1: = х}

тт

х=

г =1 г=1

Тогда отображение евпу непрерывно в (Кп, рн).

Доказательство. По теореме Каратеодори о выпуклой оболочке

convX = {х е Яп : Зх1,...,хи+1 е X, Ап+1 е [0;1], Е = 1: ЕЛх = х}

п+1 п+1

х=

г=1 г=1

Выберем два множества X, У е Кп так, чтобы рн (X, У) < 3, то есть

тах^ирМ || х - у ||^ирМ || х - у ||} < 3,

xеX уеУ уеУ xеX

Ух е X х - у ||< 3, Ух е X Зу е У :|| х - у ||< 3, Уу е У inf || х - у ||< 3, ^ Уу е У Зх е X :|| х - у ||< 3.

xеX

Выберем две точки х е convX, у е сошУ. Тогда по теореме Каратеодори

п+1 п+1

Зxl,..., хп+1 е X, А,.--А+1 е[0;1], ЕЛг =1: х = ЕЛгхг,

г=1 г=1

п+1 п+1

Зур . , уп+1 е У, Мп+1 е [0;1], ЕМ =1: у = ЕмУ.

е У, м.....е _ _

г =1 г=1

Тогда для любого г = 1, п +1 найдутся точки у е X , уг е У такие, что || х - У ||< 3 || уг - у ||< 3. Причем, верно включение

п+1 п+1

„ ~ е

I

г—1 г=1

ЕИ,х, е convX., УАу е сотУ.

n+1 n+1 n+1

Z^x - Z4 у- II- Z4 II x ~ У- i< s>

i=i i=i - =1

n+1 n+1 n+1

Zi-y- -Ziy11 - Za11 y- -yi и 8

i=1 i=1 i=1

То есть

Vx E convX3y e Y :|| x-y ||< 8, inf || x ||< 8,

Vy E convY3У E X :|| y-У ||< 8, ^ yEnfvY '

inf || x-y ||< 8.

xEconvX

Поскольку это справедливо для любых точек x e convX , y e Y , то аналогичные соотношения будут справедливы и для точной верхней грани

sup inf || x-y ||-8,

xEconvX yEconvY

sup inf || x-y ||-8.

yEconvY xEconvX

pH(convX, convY) = max{ sup inf || x-y ||; sup inf || x-y ||} - 8.

xEconvX yEconvY yEconvY xEconvX

Теперь на основе доказанных лемм сформулируем и докажем основную теорему. Теорема 4.1.

Пусть X e Kn - выпуклый компакт, 0 e int X. Тогда

Tx (Am ) ^ dX, convTx (Am) ^ X,

Доказательство. Согласно лемме 4.2 последовательность {Aт }mEN сходится в метрическом пространстве (Kn, pH) к границе куба

ÖA

. Поскольку отображение

Tх : Я ^ Яп согласно лемме 4.5 непрерывно, то по лемме 4.3 соответствующее ему отображние ^ : Кп ^ Кп также непрерывно в метрике Хаусдорфа.

Тогда

т^-да

Тх (Ат ) ^ Тх (А) = дX,

где последнее равенство справедливо в силу леммы 4.4.

Поскольку по лемме 4.6 процедура построеения выпуклой оболочки является непрерывным отображением в (Кп, рн), то

ют^ (Ат) ^ тт^) = X.

Заметим, что множество тт^ (Ат) является многогранником, причем, очевидно включение

EXtconvTх (Ат ) с Tх (Ат ).

То есть фактически теорема 4.1 гарантирует, что, выбирая номер т, можно с любой степенью точности (в смысле расстояния Хаусдорфа) аппроксимировать произвольный выпуклый компакт вложенным в него многогранником, число вершин которого оценивается с помощью леммы 4.1.

5. Пример

Рассмотрим предложенный метод аппроксимации выпуклого компакта на примере построения оценки множества допустимых управлений в системе управления угловым движением аэростата. Уравнения, описывающие движение движение модели аэростата в пространстве, представляют собой систему обычных дифференциальных

уравнении второго порядка

Зё + &о+оа = ±-ЯБр(У; - V2),

2 е

а = ё, V =| ёЯ |,

(5.1)

Подробный вывод уравнении (5.1) можно наИти в [11].

Здесь а и ё представляют собой угловое отклонение и угловую скорость исследуемого объекта соответственно; управление на практике осуществляется за счёт изменения скорости вращения лопастей вентиляторных двигателей - Уе. Б - площадь диска вентилятора, р - плотность воздуха, Я - расстояние от оси вращения до вентилятора, Утах - скорость воздуха после выхода из вентилятора в случае работы вентилятора на максимально допустимой мощности, З - момент инерции тела относительно оси вращения, 8 - коэффициент вязкого трения о воздух.

В результате линеаризации и дискретизации была получена следующая система управления:

х(г +1) = Ах (г) + и (0, х(г) = (а(Г), ё(г))7 и(г) е и = {и е Я2 : иТНи < 1} г е N,

А =

1.10 0.29 ч2.90 3.71,

Н =

6267.38 -329.50 -329.50 24.14

(5.2)

Параметры системы получены приближенно на основании модели, описанной в [11]. В силу удобства в качестве прямоугольника, на который накладывается сетка

выберем

А = тт

0.024

V 04 у

0.024 0.4

0.024

-0 4 V 0.4 у

0.024 -0.4

Поскольку по построению А т с А т+1, то аппроксимацию согласно теореме 4.1 будем проводить для т е {1,2,4,8,..}. Результаты расчетов проиллюстрируем графически.

7 0.0224^ (- 0.0064^ ( 0.0064 ^ (0.0224у

Ти (А1) =

ч- 0.3737у

ч 0.1076 у

ч- 0.1076у

ч0.3737у

0,3- /I 0,1"

-0,02 . / Л)',01 о 0,02

// х

/ -од -

^ у/ -0,3 -

Рис. 1. Множество допустимых управлений системы (5.2) и его аппроксимация

многогранником с вершинами Ти (А1). у-0.0224^ (- 0.0064^ ( 0.0064 ^ (0.0224Л

Ти (А2) = -

0.3737

0.1076

0.1076

0.3737

>

<

>

0.0126 0

- 0.2035

0.2035

0.0126

V 0 у

0,3- X 0,1-

-0,02 /! -о!о1 о 0,0/ 0,02

/ X

-0,1 -

-°>3 -

Рис. 2. Множество допустимых управлений системы (5.2) и его аппроксимация

многогранником с вершинами Ти (А2).

у 0.0224Л (- 0.0064Л ( 0.0064 Л (0.0224У-0.0126Л

Ти (А4) =

— I

ч- 0.3737Д 0.1076 Д- 0.1076Д0.3737\ 0 у

0

0.2035

0.2035

0.0126 0

- 0.0020 - 0.1682

- 0.0094 -0.3160

-0.0086 0.0718

^0.0020^ (0.0094Л ( 0.0086 Л (- 0.0042Л ( 0.0042 м

0.1682

0.3160

0.0718

0.1420

0.1420

>

<

>

0,3/ o,i -

-0,02 / -o|oi о о,о/ 0,02

/ х

-0,1 -

-0,2?

Рис. 3. Множество допустимых управлений системы (5.2) и его аппроксимация

многогранником с вершинами TU (А4).

Погрешность аппроксимации многогранником convTU (А4) в смысле метрики Хаусдорфа составляет

рн (U, convTj (А4 )) = 0.0048.

Библиографический список

1. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. - М.: Наука, 1972. - 576 с.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979. - 430 с.

3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Б.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1969. - 393 с.

4. Беллман Р. Динамическое программирование. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1960. - 400 с.

5. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. - М.: Наука, 1969. - 408 с.

6. Ибрагимов Д.Н., Сиротин А.Н. О задаче оптимального быстродействия для линейной дискретной системы с ограниченным скалярным управлением на основе множеств 0-управляемости // Автоматика и Телемеханика. 2015. №9. С.3-30.

7 Ибрагимов Д.Н. Оптимальное по быстродействию управление движением аэростата // Журнал «Труды МАИ», 2015, №83: http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=62313

8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. - 572 с.

9. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. - М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000. - 352 с.

10. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 416 с.

11. Иванов Д.С., Овчинников М.Ю., Ткачев С.С. Управление ориентацией твердого тела, подвешенного на струне с использованием вентиляторных двигателей // Известия РАН. Теория и системы управления. 2011. №1. С. 107-119.