Аппроксимация характеристики намагничивания индуктивного элемента в задаче расчета электрической цепи Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.3.011.7:621.3.011.21

Ю.З. КОВАЛЕВ А. А. ТАТЕВОСЯН

Омский государственный технический университет

АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАМАГНИЧИВАНИЯ ИНДУКТИВНОГО ЭЛЕМЕНТА В ЗАДАЧЕ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

В статье рассмотрены особенности расчета нелинейных электрических цепей с индуктивными элементами при представлении их характеристик намагничивания степенными полиномами. Результаты исследования сопоставлены с другим способом аппроксимации характеристик намагничивания индуктивных элементов, а именно при помощи гиперболических функций.

Среди большого многообразия экспериментальных характеристик в различных областях науки наибольшее распространение получили характеристики, внешний вид которых показан на рис. 1.

При решении ряда задач связанных с учетом данных характеристик в расчетах возникает задача аппроксимации. Вид характеристик, представленных на рис. 1, может быть описан гиперболической функцией (1), (2). Проведем решение данной задачи с использованием кубического сглаживающего сплайна.

(1)

а + Ьх . а'У

(2)

1-Ь-у

Вид характеристики (1) показан на рис. 2.

Точность аппроксимации данной функции зависит от числа выбранных точек по которым строится кубический сплайн. Решение данной задачи проведено в МаИ.аЬ 6.0.

При расчетах нелинейных электрических цепей с индуктивными элементами зачастую исходная информация о характеристике намагничивания индуктивного элемента задается в графической или табличной форме, представляющей совокупность экспериментально снятых точек. В этом случае общеизвестным подходом к расчету нелинейной электрической цепи является аппроксимация характеристики намагничивания индуктивного элемента гладкой аналитической функцией, типы которых приведены в табл.1 [1,2]. Несмотря на кажущуюся простоту решения этой задачи на ПК с использованием соответствующего программного обеспечения (например, пакета математического моделирования МАТЬАВ), недостаточно изученными являются вопросы обеспечения требуемой точности расчета электрической цепи при заданной точности аппроксимации заданной функции. Кроме этого, в ряде расчетов используется обратная функция, что приводит к необходимости либо дополнительного аппроксимирования обратной функции, либо к ее расчету, причем второй путь определения возможен в том случае, когда выражение для прямой функции имеет невысокий порядок, что не всегда позволяет обеспечивать заданную точность аппроксимации. Исследованию вопросов представления

Рис. I. Вид экспериментальных характеристик.

•зч' с £ всЗ 01 й ех с: ох Г ее

Рис. 2. Исследуемые функции.

прямой и обратной характеристики намагничивания индуктивного элемента в расчетах электрических цепей посвящена данная статья.

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 3), содержащую нелинейный индуктивный элемент.

Широкое распространение получило применение кусочно-линейной аппроксимации, при которой исходная кривая делится на ряд участков на каждом участке аппроксимируется элементарной функцией.

1

~ С

(3)

Данную систему уравнений можно переписать, положив ;

Ч/ = В8У/ и ¡ =

Н1В)1С1 иг

Аппроксимирующее выражение Тип аналитической функции

В = Н/(а + ЬН) Гиперболическая функция

В = а„ + а,Н + а2И2 +... + а„Н" Степенной полином

в, = % + (",-> " % - ) + К, - Н,}1 7 = 1, ......п - номер участка Bj - значение аргумента на правой границе участка Сглаживающий сплайн невысокой степени (кубический сплайн)

получим

тг[и-и<<'>

сШс _ Н(В)1гр <и УУС

Н(впя

IV

1

(4)

Также систему уравнений (1) можно представить и в виде

<Ш <Н '

иш-исш-

Н/„й

IV

1

(¡в

сШ

(5)

<ШС = Н1 <Н УС

7- "<■

^—II-

где Н — напряженность магнитного поля; В - индукция магнитного потока; ¡^ — средняя длина силовой линии; IV — число витков обмотки; 5 — площадь сечения сердечника.

Из записи систем уравнений (4) и (5) следует, что для их решения необходимо использовать аппроксимацию основной кривой намагничивания.

В качестве примера, проведем исследование для прямой и обратной характеристики В=В(Н) представленных гиперболической функцией В = Н/(а + ЬН)

и степенным полиномом В = а0+а1Н + а2Н2 + ... + а„Н°. Преимуществом гиперболической функции является относительно простой вид записи и не составляет труда получить аналитическое выражение обратной зависимости Н=Н(В}. В этом случае результаты, полученные при решении системы уравнений (4) и (5) будут одинаковыми. Однако использование гиперболической функции в качестве аппроксимирующего выражения имеет существенный недостаток, который заключается в относительно низкой степени точности приближения к исходной характеристике. Это обусловлено тем, что регулирование осуществляется только двумя параметрами а и Ь. Кроме того, в отличие от основной кривой намагничивания, гиперболическая функция несимметрична относительно начала координат, что приводит к записи дополнительных аппроксимирующих выражений для описания кривой намагничивания лежащей в третьем квадранте системы координат. Полиномиальная регрессия с использованием степенного ряда обладает возможностью регулирования точности аппроксимации, которая достигается варьированием порядка выражения. Для достоверного получения результата расчета необходимо подобрать такое выражение для степенного полинома, чтобы среднеквадратичное отклонение от заданной основной кривой намагничивания было минимальным по всей характеристики. Для этого необходимо, чтобы коэффициенты степенного полинома

Рис. 3. Исследуемая схема.

были определены по методу наименьших квадратов. В этом случае узловые точки заданной кривой не ложатся точно на график полинома, поскольку их приближение к нему является наилучшим в среднеквадратичном отклонении.

Сравнительные характеристики для приведенных выше видов аппроксимирующих выражений представлены табл. 2.

Как видно из таблицы, увеличение порядка полинома не всегда приводит хорошему результату. Например, при порядке полинома больше 11 значительно ухудшается качество аппроксимации из-за того что в окрестности нуля, функция пересекает ось абсцисс несколько раз.

Анализируя результаты, приведенные в табл. 2 делаем вывод, что наиболее хорошо кривую В(Н) аппроксимирует полином 17 степени, а кривую Н(В), наилучшим образом полином 11 порядка, поэтому в решении задачи будем использовать в одном случае полином 11 степени, а в другом 17. Для полного исследования обозначенной в статье задачи, результаты расчета сравним с решением полученном при помощи гиперболической функции. Данное сравнение целесообразно, поскольку функция НВ) в виде полинома 11 степени не является точным выражением обратной функции полинома 17 степени В„ол пр(Н), а гиперболическая функция имеет точный аналитический в ид для прямой и обратной функции. Параметры гиперболической функции В = Н/(а + ЬН) а и Ь определялись по методу наименьших квадратов.

Вп ол.пр = Ро +

£р,н«-

ням.„в|, = д. +2>, н2'-

•"г.ф.лр = Н/(а + ЬН), Нг.ф.„„.=а/(а+ЬН).

(6)

(7)

(8) (9)

Графики, полученные с использованием аппроксимирующих выражений (6) - (9), показаны на рис. 4 На рис. 4 видно, что аппроксимирующее выражение

Порядок полинома Степенной полином Гиперболическая функция

Максимальная локальная оимбка Среднеквадратичное отклонение Максимальная локальная оилбка Срднеквадартичное отклонение

В(Н) Н(В) В(Н) Н(В) В(Н) Н(В) В(Н) Н(В)

7 0.4784 184.3038 1571.7364 166.2095 0.1951 868.6271 39.0942 385.1602

9 0.3917 143.9327 267.3169 100.5105

11 0.3178 140.9952 60.4508 13.4146

13 0.2547 136.5107 175.7470 35.1057

15 0.2013 116.8344 19.1463 368.8539

17 0.1574 95.0312 9.6026 263.4990

Вг ф пр = Н/(а + ЬН) достаточно хорошо описывает прямую зависимость В=В(Н), однако, аппроксимация зависимости Н=Н(В) обратной функция Нгфо>р = а /(а + ЬН) дает значительное расхождение по среднеквадратичному отклонению. Не адекватность аппроксимации (9) обратной зависимости Н=Н(В) не позволяет использовать это выражение для решения системы дифференциальных уравнений (4).

Для решения системы уравнений (4) и (5) используем степенной полином 11 порядка для аппроксимации обратной зависимости Н=Н(В) и гиперболическую функцию для описания прямой зависимости В=В(Н).

Расчет систем дифференциальных уравнений проводился в системе Ма11лЬ 6.0, в качестве метода решения использовался многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка. Это адаптивный метод, который может обеспечить высокую точность решения.

По полученным результатам для степенного полинома можно получить значения НрёсчммЦ} и Вр1с, пмМ. Результаты расчетов представлены на рис. 5.

Так как Нра„„0ЛШ и Нполо6рН) рассчитаны с помощью степенных полиномов не имеющих точного аналитического выражения для обратной функции, между этими зависимостями наблюдается сдвиг по фазе, хотя параметры аппроксимаций статических характеристик были выбраны так, чтобы расхождение между полученными функциями было минимально по отношению к прямой и обратной характеристики намагничивания.

Так как используемое в системе уравнений (4) выражение (9) является точной обратной записью прямой функции (8), то полученное решение совпадает с решением системы уравнений (5), где использовалась гиперболическая функция (8).

В ходе проведения исследования был выявлен существенный недостаток использования полиномиальной регрессии в качестве аппроксимирующего выражения основной кривой намагничивания: невозможность проведения расчетов в области глубокого насыщения. Это объясняется сильно выраженной нелинейностью характеристики намагничивания, на данном отрезки степенной полином неадекватен для описания данной характеристики. Этот недостаток налагает существенное ограничение на параметры электрической схемы, в том числе и на величину напряжения источника.

Степенной полином (7) не является обратным выражением для записи (6), поэтому на рис. 5 видно различие между решениями системы уравнений (4) и (5).

На рис. 4 приведена аппроксимация в статике, таким образом, выражение, для описания характеристики, можно подобрать таким образом, чтобы расхождение между заданной и интерполируемой зависимостью было меньше заданной ошибки погрешности (для этого коэффициенты аппроксимирующего выражения могут быть вычислены по методу наименьших квадратов). Однако в динамике это расхождение может намного превышать значение заданной ошибки приближения. Данное утверждение доказывают проведенные исследования, результаты которого

а)

б)

Рис. 4. Графики а) функция В(Н): 1 - характеристика приведенная в ГОСТе, 2 - степенной полином 11 порядка, 3 - гиперболическая аппроксимация;

б) функция Н(В),

4 - характеристика приведенная в ГОСТе, 5 - степенной полином 11 порядка, 6 - гиперболическая аппроксимация;

а б

Рис. 5. Динамические характеристики:

^г.ф.оир (t);

а) 1

б) 4 0,

^пал.обрМг 2-Нрасч.пал^) t

top'

м- .5-вр,„млт,в- вгфар(1)

приведены на рис. 6. Выделенная область характеризует отклонение динамических характеристик от , статических.

Анализируя рис.6 можно сделать вывод, о том, что даже при хорошей аппроксимации прямой В(Н) и обратной функции Н(В), в решении уравнений динамики наблюдается большое отклонение от заданной кривой намагничивания. Кроме того, при проведении численного эксперимента было выявлено, что при определенных параметрах электрической цепи происходит нарушение физики динамического процесса вследствие выхода рабочей точки за пределы заданной кривой намагничивания. Так как неизвестно, как ведет себя степенной полином в области экстраполяции, решение получается неадекватное. Данный факт свидетельствует о недостатке использования степенного полинома в том случае, когда рабочая точка находится в области глубокого насыщения. В отличие от степенного полинома гиперболическая функция применима на любом участке основной кривой намагничивания.

Перспективным методом представления кривых намагничивания является сплайн-аппроксимация, при которой исходная функция описывается набором полиномов 3-й степени, «сшитых» в узлах интерполяции. Отметим, что при предлагаемой аппроксимации сплайнами третьего порядка число участков намного меньше, чем при других аппроксимациях, обеспечивающих заданную точность. Такая аппроксимация не только гладкая (кривая имеет непрерывную первую и вторую производные), но и обеспечивает высокую

точность, так как минимизирует интеграл от квадрата вторых производных среди всех остальных интерполирующих функций.

С точки зрения рассмотренных выше задач, интерполяция кубическим сплайнам обладает значительными преимуществами, так как, относительно несложное выражение кубического сплайна, позволяет точно получить значение обратной функции, и в то же время такая аппроксимация удовлетворяеттребо-ваниям точности.

Основные достоинства сплайн-интерполяции:

1. график построенной функции проходит через каждую точку массива;

2. конструируемая функция сравнительно легко описывается (число подлежащих определению коэффициентов соответствующих многочленов для сетки равно ш (р+1);

3. аданным массивом построенная функция определена однозначно;

4. степень многочленов не зависит от числа узлов сетки и, следовательно, не изменяется при его увеличении;

5. построенная функция имеет непрерывные производные до порядка р-1 включительно.

Так как график построенной функции проходит через каждую точку массива, то среднеквадратичное отклонение между узлами определяется только количеством задаваемых точек. Это условие приводит к необходимости поиска стандартизованной документации с подробным представлением основной кривой намагничивания в табличной форме или в виде графика.

Рис. 6. Графики а) функция В(И): 1 - характеристика приведенная в ГОСТе; характеристики в статике: 2 - В

рлсч.п аол.о!

разброса в динамике: 4 - точки в которых, в которых определена функция В^^Н^^р

б) функция Н(В):

5 - характеристика приведенная в ГОСТе; характеристики в статике: 6

■Н

пол.овр ^"^расч.пол

J. з - B^JH^J- область в различные моменты времени;

)г?" область

и ЛарЦ|\1С|^П\, шпи — • " -—----1--- ■ ------г '----- ------------- ------г

разброса в динамике: 8 - точки в которых, в которых находится функция НтлМ,р(В„ш.„р/ в различные моменты времени.

Рис.7. Динамические характеристики: 3 _ ны<и < Во,,(Ч ~ результат решения системы уравнений (3) и (2) с использованием сплайн-интерполяции; 2, 4 -Игф<Лр(1), Вгф лрЦ) - решение системы (3) и (2) с использованием гиперболической функции.

Рис. в. Динамические характеристики: 1,3- Ншл(1). - результат решения системы уравнений (5) и (4) с использованием сплайн-интерполяции прямой

характеристики В=В(Н) и метода Виета - Кардано для Н=Н1В); 2, 4 ~Нг ф„вр(Ч. Вг ф пр(1) - решение системы (5) и (4) с использованием гиперболической функции.

ГОСТ 11036-75, регламентирует значения всего для пяти точек характеристики, что является недостаточным для точного описания основной кривой намагничивания.

Проведем расчет систем дифференциальных уравнений (4) и (5) применяя аппроксимационные зависимости полученные на основе сплайн-интерполяции. При этом в отличие от случая применения степенного полинома в качестве аппроксимирующего выражения имеется возможность увеличить напряжение источника питания. Графики динамических процессов показаны на рис. 7 и 8,

Так как порядок уравнения сплайна равен трем, то, используя метод Виета-Кардано по определению корней кубического уравнения, можно получить обратную функцию в аналитическом виде, так же как и для гиперболической функции. В этом состоит преимущество сплайн-интерполяции по сравнению с полиномиальной регрессией.

Применяя методВиета-Кардано, исчезает необходимость аппроксимировать обратную функцию отдельно. Иными словами, для решения системы уравнений (4) и (5) достаточно использовать аппроксимацию только прямой характеристики, а обратную можно получить точно в аналитическом виде, тем самым исключается погрешность, обусловленная дополнительной аппроксимацией.

На рис. 8 представлены результаты расчетов систем уравнений (4) и (5), причем аппроксимация проводилась один раз для прямой функции В=В(Н), которая использовалась в расчете системы уравнений (5), а для решения системы уравнений (4) использовалась обратная зависимость полученная в результате применения метода Виета — Кардано к прямой функции.

Проведем сравнение решений полученных при аппроксимации как прямой, так и обратной характеристики и аппроксимации только одной характеристики В=В(Н) с применением метода Виета-Кардано. Результаты сравнения показаны на рис. 9.

Расхождение между характеристиками 1 и 2 (рис.

9) объясняется тем, что производная в системе

он

уравнений (5), в первом случае определялась аналитически по аппроксимированной характеристики В=В(Н), а во втором случае она определялась численным способом, что вносит дополнительную погрешность вычислений. Именно этим обусловлено то, что график характеристики Нспл(0 выходит за область определения заданной характеристики В=В(Н). Кроме того, в случае, когда используется аппроксимация прямой и обратной характеристики вносится дополнительная погрешность, обусловленная тем, что два сплайна не являются взаимообратными функциями.

Таким образом, нужно отметить, что наибольшими преимуществами представления основной кривой намагничивания в расчетах электротехнических задач обладают сплайны, так как они позволяют не только точно получить выражения для прямой и обратной характеристики намагничивания, но и в принципе пригодны для описания любой нелинейной зависимости.

Выводы

• показана актуальность задачи аппроксимации прямой и обратной характеристик полученных экспериментально;

Рис. 9. Сравнение результатов решения систем уравнений (4) и (5) при различных способах аппроксимаций прямой и обратной характеристики: 1-3-На»(Ч, Втш.ж(0 - динамические характеристики, полученные сплайн-интерполяции и метода Виета-Карадно для Н=Н(В); 2, 4 - И^О, - результат решения системы уравнений (5) и (4) с использованием сплайн-интерполяции

как для прямой, так и для обратной характеристики.

• показана актуальность задачи определения прямой и обратной характеристики основной кривой намагничивания в задачах электротехники;

• проведено исследование различных видов аппроксимации основной кривой намагничивания на примере использования степенного полинома, гиперболической функции и интерполяции на основе сглаживающих кубических сплайнов;

• приведены результаты решения систем уравнений (4) и (5) в графическом виде для рассматриваемых аппроксимационных выражений;

• показаны преимущества сплайн-интерполяции для аппроксимации основной кривой намагничивания;

• определено, что для решения поставленной задачи целесообразным является использование метода Виета — Кардано, так как при этом исключается необходимость аппроксимации обратной характеристики;

• расхождение аппроксимации от заданной кривой намагничивания в динамике значительно превышает погрешность в статике применительно как к прямой В = Г(Н) так и к обратной функции Н = I(В);

• выявлена невозможность использования степенного полинома в области глубокого насыщения, так

как при решении возникает ситуация когда расчет производится за пределами заданной кривой намагничивания.

Литература

1. Л. А. Бессонов. Нелинейные электрические цепи. — М.: Высш. шк., 1964. — 429 с.

2. П.Н. Матханов. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи: Учеб. для вузов, — М.:Высш. шк., 1986. - 352с.

3. Математическая энциклопедия. Под ред. И.М. Виноградова. 1984.

4. Сталь сортовая электротехническая нелегированная. ГОСТ 11036-75.

5. Установившееся и переходные процессы в электрических цепях. — М.: Высш. шк.. 2001. — 406 с.

КОВАЛЕВ Юрий Захарович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой электротехники, заслуженный деятель науки и техники. ТАТЕВОСЯН Андрей Александрович, аспирант кафедры электротехники.

Книжная полка

Копылов И.П.

Математическое моделирование электрических машин: Учебник / И.П. Копылов. - 3-е изд., перераб. И доп. - М.: Высш.шк., 2001. - 327 е.: сил.

Современная теория электрического преобразования энергии, рассматривается в учебники, позволяет составить уравнения для любого случая, встречающегося в практики электромашиностроения. В третьем издании (2-е - 1002 г.) расширено представление об электромагнитном моменте в динамических режимах. Более подробно рассмотрено определение активной и реактивной мощности в переходных режимах для многофазных, многомерных электрических машин. Дано строгое определение динамического КПД и коэффициента мощности. Приводится классификация электрических машин по виду их математического описания. Учебник был удостоен Государственной премии СССР.

Для студентов электротехнических и энергетических специальностей, а также для аспирантов, инженеров и научных работников электрического профиля, связанных с разработкой, исследованием и эксплуатацией электрических машин и электрических систем.

Рекомендовано Минобразованием РФ.