CC BY
301
УДК 621.313
Е.Н. Белкина
аспирантка кафедры электроники и наноэлектроники ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва»
С.А. Жуков
студент 4 курса факультета электронной техники ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва»
Г. Саранск, Российская Федерация
АНАЛИЗ СПОСОБОВ АППРОКСИМАЦИИ КРИВОЙ НАМАГНИЧИВАНИЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ СТАЛИ
Аннотация
В статье приведен обзор и результаты сравнительного анализа наиболее приемлемых способов аппроксимации кривой намагничивания.
Ключевые слова
Аппроксимация, кривая намагничивания, метод наименьших квадратов, коэффициенты
аппроксимации
В настоящее время существует проблема обеспечения энергоэффективных режимов работы базовых машин в регулируемом электроприводе. Реализация этих режимов связана с изменениями магнитного состояния двигателя, что предполагает использование адекватной математической модели объекта управления, учитывающей нелинейность характеристики намагничивания. Для решения поставленной задачи реальную кривую намагничивания (КН), обычно задаваемую в табличной или графической форме, необходимо представить в виде аппроксимирующей функции, приближенно изображающей исходную кривую.
Существует множество способов аппроксимации [1, 4, 6, 7]. В данной работе рассмотрены способы, которые позволяют получить в дальнейшем достаточно простые аналитические зависимости, с помощью которых можно реализовать энергооптимальные законы управления.
К аппроксимирующим функциям предъявляют следующие требования [1]:
1. Функция должна давать наиболее точное приближение кривой намагничивания во всем диапазоне.
2. Так как функция используется в операциях дифференцирования, ее производная так же должна быть более точным приближением.
3. Производная должна быть непрерывной на исследуемой области определения.
4. Функция не должна приводить к сложным расчетам.
5. Функция должна быть нечетной.
6. Функция не должна иметь точек перегиба на обеих полуосях.
7. Функция должна содержать наименьшее количество постоянных.
В любую аппроксимирующую формулу входят постоянные коэффициенты, величина которых существенно влияет на вид функции и на её значение. Определение коэффициентов аппроксимации в эмпирических формулах проводится чаще всего по методу выбранных точек, или по методу наименьших квадратов (МНК), который применяется в данной работе. Для выполнения всех математических действий используются программные пакеты MathCAD и МАТЬЛВ.
В нашем случае экспериментальная кривая намагничивания стали 2312 задана в табличном виде [2].
Таблица 1
Кривая намагничивания стали 2312
H, A/м 68 76 86 96 140 190 240 300 400 550
В, Тл 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3
H, A/м 1000 1600 3400 7700 13400 19400
В, Тл 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
В качестве первого способа рассмотрим кусочно-линейную аппроксимацию. Этот способ является самым простым и распространенным способом аналитического представления КН. В этом случае КН приближенно изображается двумя (или более) линейными участками. При этом коэффициент наклона первого участка равен величине главной взаимной индуктивности двигателя для номинального режима работы, а второй участок представляет собой участок постоянного магнитного потокосцепления. Количество аппроксимирующих участков зависит от требуемой точности расчета и диапазона изменения намагничивающего поля. На рисунке 1 показан пример аппроксимации КН вблизи области насыщения.
1000 2000 3000 4000 5000 6000
■ Кривая намагничивания -Аппроксимация
Рисунок 1 - Кусочно-линейная аппроксимация по двум точкам
Кусочно-линейная аппроксимация кривой ^ = f (у ) позволяет получить достаточно простые
аналитические зависимости для формирования задающих воздействий по потокосцеплению ротора ^ге и
моментообразующему току с постоянной фазой на нарастающем участке кривой намагничивания, т.е.
при абсолютных значениях электромагнитного момента, не превышающих порогового значения [6].
Аппроксимация по двум точкам обеспечивает низкую точность описания кривой. Увеличение числа точек аппроксимации до четырех позволяет значительно повысить точность описания КН (рисунок 2).
Рассматриваемый способ аппроксимации, несмотря на свою простоту, не может использоваться при решении задач энергоэффективности во всем диапазоне нагрузок.
• ♦ Кривая намагничивания --Кусочно-линейная аппроксимация
Рисунок 2 - Кусочно-линейная аппроксимация по четырем точкам
Это связано с неточным описанием реальных процессов в двигателе, что приводит к недоиспользованию его возможностей по максимальному моменту в области токов статора, характерных для токоограничения, т. к. отсутствует возможность создания магнитного потока больше номинального щг > . Кроме того, если нарастающий участок КН проведен через точку номинального режима, то при
23
оптимизации по минимуму тока статора намагничивающий и моментообразующий токи в указанной точке будут равны друг другу, что не соответствует номинальным значениям токов, рассчитанным по справочным данным [6].
К достоинствам данного способа можно отнести простоту аппроксимации и возможность приведения нелинейной характеристики к линейному виду.
Основным недостатком этого способа является скачкообразное изменение производной при переходе от одного участка к другому. Кроме того, кусочно-линейная аппроксимация не гарантирует выполнение 5 и 6 пунктов указанных выше требований.
Максимальная погрешность отклонения аппроксимирующей кривой от номинального значения зависит от количества участков аппроксимации и может составлять от 25 % и до 3 %.
В ряде литературных источников [5, 6] предлагается аппроксимация КН во всем диапазоне с помощью степенного полинома:
Н (В) = ±kJBJ (2)
j=1 1
Поскольку, используемая КН двигателя является нечетной функцией, аппроксимирующий ряд содержит члены только с нечетными степенями
(3)
2я-1
H(B) = £ kB •
1 =1,3..
При этом вектор коэффициентов к = [копределяется
путем полиномиальной регрессии по
методу наименьших квадратов.
Численными методами было установлено, что наименьший порядок степенного ряда, дающего приемлемую точность аппроксимации КН, равен семи [4, 6, 7]
H (B) = a ■ B + b ■ B3 + с • B5 + d ■ B \
(4)
Определения коэффициентов аппроксимации было осуществлено по методу наименьших квадратов с помощью программного пакета MathCAD. Тогда аналитическое выражение примет следующий вид:
H(B) = 482,093 ■ B -136,959 ■ B3 - 672,765 ■ B5 + 409,388 ■ B\
(5)
Аппроксимация кривой намагничивания с помощью степенного полинома представлена на рисунке 3. Этот способ позволяет с высокой точностью описать реальную кривую на всех характерных участках. Максимальная погрешность представления кривой намагничивания полиномом седьмой степени в узлах не превышает 4 % номинального значения.
Достоинством данного метода является возможность аналитически задать кривую непрерывной функцией, что позволит в дальнейшем избежать изломов и разрывов экстремальных зависимостей, получаемых в результате ее дифференцирования.
Рисунок 3 - Аппроксимация кривой намагничивания полиномом седьмой степени
Данный способ можно использовать в том случае, если в системе управления предусмотрены «глубокие» обратные связи (по производным).
Основным недостатком является большое количество коэффициентов и относительно высокий порядок аппроксимирующего полинома, который позволяет получить приемлемую точность аппроксимации КН. Следовательно, усложняются расчеты с применением аналитической формы записи кривой.
Уменьшение степени полинома снижает количество коэффициентов, но при этом уменьшается и точность описания КН. Результат аппроксимации полиномом пятого порядка представлен на рисунке 4.
Максимальная погрешность представления кривой намагничивания в узлах составляет 11 % от номинального значения.
Аппроксимация реальной кривой двигателя с помощью полинома седьмой степени является одним из наиболее универсальных методов аппроксимации, позволяющий описать кривую на всех характерных участках. Этот вид аппроксимации применяется в том случае, если необходимо добиться высоких показателей точности.
1-5
В
♦♦ 1
г
° 0 1ККЮ ^шм
♦ ♦ Кривая намагничивании —— Алпрокспманпа (полиномом 5)
Рисунок 4 - Аппроксимация кривой намагничивания полиномом пятого порядка
В качестве третьего способа аппроксимации рассмотрим аппроксимацию основной КН гиперболическим синусом (рисунок 5).
Рисунок 5 - Аппроксимация кривой намагничивания гиперболическим синусом
Его аналитическое выражение имеет вид:
Н = а ■ ¡к (Ь • В). (6)
Данный вид аппроксимации схож с аппроксимацией степенным полиномом, т. к. разложив гиперболический синус в ряд, получаем полином по степеням В.
Определения коэффициентов аппроксимации также было осуществлено по методу наименьших квадратов с помощью программного пакета MathCAD. Тогда аналитическое выражение примет следующий вид:
Н = 2,074 • sh (5,196 • В). (7)
Этот способ позволяет с достаточной точностью описать все характерные участки кривой намагничивания. Небольшие отклонения можно наблюдать лишь в области перегиба кривой намагничивания. Максимальное отклонение от номинального значения составляет 5 %.
В литературных источниках [3, 4, 7] предлагается эффективный метод описания кривых, заданных экспериментальными точками, состоящий в построении сплайн-функции.
Аппроксимирующий сплайн представляет собой кривую, "склеенную" из кусков, каждый из которых описывается стандартной функцией (как правило, полиномом), содержащей несколько коэффициентов. При этом коэффициенты необходимо определять таким образом, чтобы в узлах (точках склейки) были непрерывны как сама сплайн-функция, так и некоторое число ее производных [3]. Благодаря таким свойствам сплайнов они позволяют хорошо описывать кривые, представленные небольшим числом точек (благодаря плавности сплайн-кривых), и функции, представляемые очень большим числом узловых точек (поскольку порядок полиномов от этого числа не зависит).
Одной из проблем, возникающей при использовании сплайна, является стремление, с одной стороны, использовать как можно больше экспериментальных точек, а с другой - иметь не слишком много участков сплайна. В этом случае, число узлов сплайна значительно меньше экспериментальных точек. Чтобы учесть влияние всех точек нужно применить МНК в сочетании с «локальной схемой» определения коэффициентов, при которой они находятся не путем решения системы большого числа уравнений, а последовательно один за другим. Для решения данной проблемы были разработаны методы, описанные в [3].
Проектирование сплайна «вручную», т.е. определение функций для каждого из участков аппроксимирующей кривой, а так же определение коэффициентов представляет большие трудности, поэтому на данный момент в большинстве случае для построения аппроксимирующего сплайна используется ряд математических пакетов, имеющих в своем составе встроенный сплайн аппарат, подбирающий функции наилучшим образом. Для выполнения данной работы использовались программы MathCAD иМА^АВ.
Несмотря на то, что сплайн-функция может быть образована различными типами функций (дробно-рациональными, гиперболическими и т.д.), на практике все же принято подразделять сплайн на 4 группы, в зависимости от функций его образующих:
1. кубический сплайн (с5р//пе),
2. параболический сплайнрр/гпе),
3. Ь-сплайн (рирИпе),
4. линейный сплайн (\spline).
Для аппроксимации экспериментальной зависимости был использован кубический сплайн.
Для построения аппроксимирующей кривой воспользуемся встроенным сплайн-аппаратом программы MathCAD (так же возможно применение комплексаМАТЬАВ, поскольку используемые средства идентичны). При использовании данной программы аппроксимация КН сводится к выбору нужной функции сплайна (в нашем случае это функция с8рИпе) и указанию экспериментальных данный для аппроксимации (предварительно произведя функции интерполяции данных).
Как видно из рисунка 6, аппроксимация кривой намагничивания при помощи кубического сплайна позволяет с большой точностью описать всю кривую намагничивания на всех характерных участках.
Максимальное отклонение аппроксимирующей кривой от номинального значения составляет всего 2 % (в области перегиба кривой).
Кривая намагничивания -Алпроксимируюшая кривая
Рисунок 6 - Аппроксимация кривой намагничивания при помощи кубического сплайна
При этом среднее отклонение аппроксимирующей кривой на всем участке кривой не превышает 1 %. Используя большее количество участков аппроксимации и экспериментальных точек, возможно снижение погрешности отклонения до десятых долей процента. Помимо этого, сплайн-функция в результате своих свойств полностью удовлетворяет всем требованиям, предъявляемых к аппроксимирующим зависимостям.
Сравнивая аппроксимацию сплайн-функцией с описанными выше функциями, можно сделать вывод, что данный тип аппроксимации является наиболее точным, а так же наиболее сложным.
Одним из основных недостатков сплайн-аппроксимации является отсутствие общего выражения для всей кривой, так как используется набор сплайн-функций для различных интервалов между узловыми точками, а так же необходимость применения специальных программных средств для ее осуществления.
Подводя итоги проведенных исследований, можно сделать вывод, что выбор способа аппроксимации будет зависеть от режимов работы электропривода и условий его эксплуатации. Так же необходимо учитывать вычислительные возможности системы управления. Целесообразность использования представленных вариантов аппроксимации кривой намагничивания была подтверждена при помощи программных пакетов MathCAD и MATLAB.
Список использованной литературы
1. Тутаев Г. М. Алгоритмы энергоэффективного управления асинхронизированным вентильным двигателем: монография / Г. М. Тутаев. - Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2014. - 100 с.
2. Кацман М. М. Расчет и проектирование электрических машин: Учеб. пособие для техникумов / М. М. Кацман. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 360 с.
3. Кадочников А. И. Аппроксимация основной кривой намагничивания параболической сплайн-функцией / А. И. Кадочников, Е. Б. Хан // Электромеханика. - 1991. - №. 3. - С. 70 - 73.
4. Кузьменко Н. И. К вопросу об аппроксимации основной характеристики намагничивания / Н. И. Кузьменко, Е. И. Гольдштейн // Электромеханика. - 1977. - №. 7. - С. 760 - 764.
5. Бессонов Л.А. Электрические цепи со сталью: Учебн. для вузов. / Л. А. Бессонов - М.;Л: Госэнергоиздат. 1948. - 344 с.
6. Панкратов В. В. Энергооптимальное векторное управление асинхронными электроприводами / В. В. Панкратов, Е. А. Зима - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005. - 120 с.
7. Матюк В. Ф. Математические модели кривой намагничивания и петель магнитного гистерезиса / В. Ф. Матюк, А. А. Осипов // Неразрушающий контроль и диагностика. - 2011. - №. 2. - С. 3 - 20.
© Е.Н. Белкина, А С. Жуков, 2015
УДК 637.5.034
К.Р.Вильц
Студентка 2 курса факультета перерабатывающих технологий Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар
МЯСО ПТИЦЫ ДЛЯ ПРОИЗВОДСТВА СЫРОВЯЛЕНЫХ КОЛБАС
Аннотация
В работе описаны результаты подбора оптимальной стартовой культуры для производства сыровяленых колбас из мяса птицы. Представлены свойства фарша с добавлением стартовых культур.
Ключевые слова стартовые культуры, белое, красное мясо птицы, микрофлора
Сыровяленая продукция имеет высокую биологическую и пищевую ценность, поэтому она является деликатесной и пользуются большим спросом у потребителей. В процессе ее изготовления при созревании происходят сложные биохимические и физико-химические процессы, благодаря которым продукция приобретает особый цвет, вкус и аромат [1, с. 20, 2, с. 1115, 3, с. 1130].
В связи с этим необходимо правильно подобрать стартовые культуры для производства сыровяленых и сырокопченых колбас из мяса птицы.
В технологии производства сыровяленых и сырокопченых колбас для интенсификации процесса созревания применяют стартовые культуры. Многими авторами доказано, что при разведении специально подобранных штаммов микроорганизмов, выделяющих молочную кислоту, которая в свою очередь сильно влияет на положительные вкусовые качества колбасы, выделяют ее больше, чем каждый штамм в отдельности [4, с. 66, 5, с. 1710].
С целью решения основной задачи, проведены сравнительные исследования трех стартовых бактериальных культур (ПБ-МП, Альми 2 и Bactoferm Т^РХ) на функционально-технологические свойства модельных фаршей из «белого» (грудинка) и «красного» (бедро) мяса птицы.
Для определения степени действия на модельную систему вносимых стартовых культур нами был использован модельный фарш, состоящий из «белого» и «красного» мяса цыплят измельченного на волчке с диаметром решетки 3 мм. Активацию и дозировку стартовых культур проводили в соответствии с рекомендациями фирм производителей. В ходе опыта контролировали показатели рН, качественное и количественное содержание микрофлоры и количество молочной кислоты [6, с. 1020, 7, с. 1725, 8, с. 72].
Полученные данные показали, что в бактериальном препарате Альми 2 молочнокислые микроорганизмы развивались достаточно активно. На протяжении всего технологического процесса, начиная с момента внесения бактериальных культур, количество молочнокислой микрофлоры в фарше с препаратом Альми 2 было выше на один-два порядка, чем в фарше с препаратами ПБ-МП и Т^РХ.
Молочнокислая микрофлора (в контрольных образцах), которая случайно попала в фарш, развивалась медленно. Это показывает то, что на начальном этапе (приготовленный фарш) ее количество составляло 5,8*102 - 6,1х102, максимально ее количество возросло до 2,8*104 после 10 суток сушки [9, с. 69, 10, с. 76]. В последующий период сушки в контрольных образцах наблюдалось постепенное снижение количества молочнокислых бактерий и после 25 суток сушки обнаруживалось 6,0*103 - 7,2*103 МКБ в 1 г фарша.
В образцах со стартовой культурой Альми 2 уже в приготовленном фарше было определено 1,5*105 1,8*105 МКБ в 1 г, в процессе осадки происходит быстрое накопление молочнокислой микрофлоры с баккультурой Альми 2, причем максимальный показатель роста молочнокислых бактерий установлен после 15 суток сушки, в следующие периоды сушки происходит уменьшение количества МКБ, но не значительное, и сохраняется к концу сушки (25 суток) на достаточно высоком уровне 1,4*107 - 2,5*107. Из бактериальных препаратов ПБ-МП и Bactoferm Т^РХ более интенсивно развивались молочнокислые бактерии в колбасном фарше при использовании препарата Т^РХ. Во-первых, в исходном фарше количество МКБ было на порядок ниже, чем в фарше с препаратом Альми 2. Такая разница в уровне молочнокислых бактерий и на последующих этапах технологического процесса, достигая максимума после
