Аппроксимация гранулометричекского состава финитными распределениями Текст научной статьи по специальности «Физика»

Шишкин А. С., канд. техн. наук, доц., Уральский государственный технический университет - УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

АППРОКСИМАЦИЯ ГРАНУЛОМЕТРИЧЕКСКОГО СОСТАВА ФИНИТНЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ

[email protected]

Предложена классификация функций распределения для аналитического описания гранулометрического состава дисперсных частиц. Все виды аппроксимаций гранулометрического состава разделены на четыре группы инфинитных и финитных распределений. Приведен метод преобразования асимптотических распределений к финитным. На конкретных примерах показано, что финитные аппроксимации точнее описывают гранулометрический состав дисперсных материалов.

Ключевые слова: гранулометрический состав, аппроксимация, функции распределения, средний размер частиц, полные остатки, полные проходы.

Гранулометрический состав является важной характеристикой дисперсных материалов и во многом определяет их свойства. При исследовании и расчетах процессов измельчения, сепарации, пылеулавливания возникает необходимость в аналитическом описании распределения частиц по размерам. Для этого чаще всего используются функции распределения Розина-Рамлера, Плитта, нормально логарифмический закон и др. Вопросам аппроксимации функций распределения посвящено большое количество работ. В качестве примера, можно привести монографию П. А. Коузова [1], где анализируется достаточно большое количество различных функций. Однако почти все используемые функции распределения являются инфинитными и определены на интервале изменения размеров частиц х от нуля до бесконечности. Это противоречит физическому смыслу, т.к. размер твердых частиц порошка не может быть с одной стороны больше некоторого максимального размера, а с другой стороны меньше некоторого предельного минимального размера. Поэтому применение такого распределения, например, для описания подрешетного продукта грохочения может привести к существенным ошибкам. Так, все асимптотические распределения предсказывают наличие частиц крупнее, чем сито грохота, причем ошибка может быть существенной. С другой стороны, почти все известные и распространенные распределения можно при необходимости адаптировать и привести к финитным. Рассмотрим классификацию распределений и способы их приведения к финитным.

Интегральные гранулометрические характеристики сыпучих материалов могут быть представлены двумя функциями, которые имеют зеркально - симметричный графический вид:

1. D - кривая полных проходов. Зависимость D(x), характеризующая массовую долю

частиц, размером меньше х. D(x) изменяется от нуля до 1 (или от нуля до 100% в процентном исчислении) при изменении х от нуля до Xm. Связь с плотностью распределения выражается зависимостью

f(x) = d [D(x)]. dx

(1)

2. R - кривая полных остатков. Зависимость R(x), характеризующая массовую долю частиц, размером больше х. R(x) изменяется от 1 до нуля при изменении х от нуля до Xm. Связь с плотностью распределения выражается зависимостью

f(x)

d- [R(x)\

dx

(2)

Из физического смысла интегральных функций следует вполне очевидная связь между ними D(x)+R(x)=1. Из последнего соотношения также следует, что D(X50)=R(X50)=0.5, где X50 -медиана распределения.

Для интегральных функций имеем одноименные аппроксимации. При этом, если Xm = + со, то соответствующая аппроксимация зависимости D(x) или R(x) будет аппроксимацией I рода, или инфинитным распределением. В противном случае (Xm - фиксированная величина), мы имеем дело с аппроксимациями II рода, или финитным распределением, которые соответствуют реальным усеченным гранулометрическим составам сыпучих материалов. Следует отметить, что для аппроксимаций II рода Xm не является параметром идентификации, а является фиксированным размером, определяющим условия реального усечения.

При необходимости можно ввести в рассмотрение аппроксимации III рода, отражающие в соответствии с данными микроскопического анализа факт отсутствия частиц размером менее Хmin. При этом Xmax = со. И соответственно ап-

проксимации IV рода, для которых справедливо Хтт > 0, Xmax < оо.

Следует отметить, что аппроксимации III и IV рода решают как раз ту проблему, о которой П.А. Коузов [1] говорит, что ни одна из известных аппроксимаций (аналитических или эмпирических) не отражает тот факт, что возникает нижний предел величины зерна, при котором измельчение прекращается. Кроме того, в соответствие со стандартной методикой, для проведения фотоседиментационного анализа, пробу материала сначала просеивают через определенное сито, например, через сито 63 мкм. Таким образом состав усечен, и частицы распределены в интервале х от нуля до Xm. Поэтому аппроксимировать результаты анализа любым инфи-нитным распределением в этом случае не корректно. В данном случае мы имеем дело с аппроксимациями II рода, или финитным распределением. Однако, все распространенные аналитические функции применяемые для аппроксимации гранулометрического состава являются инфинитными распределениями. Приведем, наиболее часто используемые инфинитные функции распределения частиц по размерам Ri(xi).

Функция Плитта: R ( ) 100

Ri(x) = , / , . (3)

1 + ((/X50 Y '

+

Приведенная функция Розина-Рамлера:

Ri( xt) = 100e

- ln2-(x;/x50 у

(4)

Нормально-логарифмическая функция распределения (данное распределение может быть представлено через интеграл вероятности):

(

Ri( xi) = 100

1 -

Р

/2п

2

-Р- ln2 t 2 dt

\

(5)

где

t = ln

x

x

50

Нормально-логарифмическое распределение можно описать через элементарные функции [2]:

Riyxi)=50

Ш 1-e

0,63lg2(x^/x50) P

(6)

V У

где х^ - текущий размер частиц, мкм;

х50 - средний размер частиц, соответствую-

щий Я(х)=50%, мкм;

Р - коэффициент, характеризующий крутизну кривой (дисперсию распределения).

В формуле (6) знак «+» берется при х< х50 и знак «-» берется при хг> х50. Рассмотрим процесс

приведения инфинитного распределения к финитному распределению.

Для того чтобы преобразовать данные распределения к финитным для интервала х от нуля до Хт необходимо провести нормировку к 100%. Общий подход в ведении нормирующего множителя 0(хт,х50,Р):

О(х;,х50 ,Р)

Df(xl,x^ ,P) = 100

(7)

Rf(xi,x50 ,P) = 100

D(xm,x50 >P)'

\ D(xi,x50 ,P) ^

D(xm,x50 ,P)

, (8)

где xm - фиксированный, заданный параметр;

x50, Р - параметры идентификации при минимизации целевой функции:

S = XIRэ (xt) - Rf(x, x50 ,P)\\ ^ min, (9)

i=1

0 < x < xm;P > 1

где R3(x) - экспериментально определенные полные остатки i-го класса;

%; n - число классов;

Rf(xi, x50, P) - подбираемая финитная функция.

После такого преобразования, приведенные выше функции распределения станут финитными.

Финитная функция Плитта:

(10)

Rf(xi:xso,P) = 100

1 +

Приведенная финитная функция Розина-Рамлера:

Rf(xl,xi0 ,P) = 100

е-Ы 2'(xi/x50 У - e-ln 2'(xm /x50 У

1 - e

-ln 2"(xm /x50 )

(11)

Аппроксимация финитной функции нормально-логарифмического распределения:

Rf(xt) =50

0,63lg2(xi/x50 )

±4 1-e P 1-e

-2-Л

0,63lg (xmjx50)

0,63lg2( xjx50 )

1± 1-e

.(12)

Задача описания экспериментальных результатов анализа гранулометрического состава с помощью аналитических финитных распределений, например, в случае эвклидовской нормы имеет вид:

x

x

50

x

50

1 -

P

P

x

1+ 1*

x

x

50

50

e

P

P

S = (x,) -Rf(x,,xx,P)f min, (13)

i=1

О < x < xm;P > 1

m '

где Rf(x,, x50, P) подбираемая функция вида (10), либо (11), либо (12).

Данную задачу можно достаточно просто решать встроенным методом «Поиск решения» электронной таблицы Microsoft Excel. Рассмотрим примеры применения финитных распределений. В табл.1 представлены данные ситового анализа гранулометрического состава кварцевого песка полученного путем просева через сетку 315 мкм. Экспериментальные значения полных остатков на ситах R3(xi) аппроксимировались инфинитным Ri(xi) и финитным Rf(xi) распределением Плитта соответственно по зависимости (3) и по зависимости (1О). Для подбора аппроксимации минимизировалась сумма квадратов разностей (13) экспериментальных и расчетных значений путем подбора параметров Р и х50. Как видно из представленных данных финитное распределение значительно лучше описывает экспериментальные данные. Сумма квадратов отклонений для финитного распределения составляет 1.18, а для инфинитного распределения 69.21. Инфинитное распределение показывает наличие частиц размером 315, 400 и 630 мкм, а на самом деле их нет. Инфинитное распределе-

ние также дает существенную ошибку при определении среднего размера частиц х50=123.1 мкм. По финитному распределению средний размер частиц составляет х50=142.9 мкм.

Таблица 1

Соотношение экспериментальных и расчетных значений функций распределения час-

№ Сита, х,, мкм Остатки, R3(x% Остатки, Ri(x% Остатки, Rf(x%

1 630 0.0 0.9 0.0

2 400 0.0 3.3 0.0

3 315 0.0 6.3 0.0

4 200 20.3 19.9 20.3

5 160 35.0 32.0 34.5

6 100 65.5 64.5 65.7

7 80 77.0 77.6 77.1

8 63 85.0 87.3 85.9

9 50 92.0 93.0 91.5

10 40 95.0 96.2 94.9

11 0 100.0 100.0 100.0

Параметр, Р 2.877 2.388

Ср. размер частиц х50 123.1 142.9

Сумма квадр.откл. S 69.21 1.18

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Интегральное распределение частиц по размерам

Инфинитное распределение -Финитное распределение О Опытные точки

r\

С H Г — - -- --

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

d, мкм

Рис.1. Аппроксимация экспериментальных точек фотоседиментограммы инфинитным (3) и финитным (10)

распределениями

Для проведения седиментационного анализа на сканирующем фотоседиментографе СФ-2 [3] порошок корунда был просеян через сито 63 мкм. Затем полученные экспериментальные данные аппроксимировались инфинитной функцией Плитта (3) и финитным распределением (10) с параметром хт=63 мкм. В первом случае параметры аппроксимации х50=22.58 мкм, р=3.07, 5=107.6. Для финитного распределения параметры аппроксимации х50=24.32 мкм, р=2.07, 5=27.4. На рис.1 приведены графики аппроксимаций. Как следует из представленных данных, финитная аппроксимация существенно лучше описывает экспериментальные данные, а инфинитная аппроксимация показывает наличие частиц крупнее 63 мкм, т.е. противоречит экспериментальным данным.

Предложена классификация функций распределения. Все виды аппроксимаций гранулометрического состава разделены на четыре групп. Аппроксимации I рода представляю собой инфинитные распределения на интервале размеров частиц 0<х<да. Аппроксимации II рода представляю собой финитные распределения на интервале размеров частиц 0<х<Хт. Аппрокси-

мации III рода представляю собой финитные распределения на интервале размеров частиц Хтт<х<да. Аппроксимации IV рода представляю собой финитные распределения ограниченные и сверху и снизу и определенные на интервале размеров частиц Хтт<х< Хт. Приведен метод нормировки позволяющий преобразовать инфи-нитные распределения в финитные. На конкретных примерах показано, что аппроксимации с помощью финитных распределений позволяют более точно описать гранулометрический состав дисперсного материала.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Коузов, П. А. Основы анализа дисперсного состава промышленных пылей и измельченных материалов. / П. А. Коузов // - Л.: Химия, 1974, - 280с.

2. Резник, А.Н. Представление интеграла вероятности через элементарные функции/ А.Н. Резник,

B.Н.Гаврилов // Инженерно физический журнал. -1966. - №6.

3. Шишкин, А.С. Седиментационный анализ дисперсных материалов/ А.С. Шишкин, В.Я. Дзюзер,

C.Ф. Шишкин // Стекло и керамика. - 2003. - №1. -С. 3-5.