Аппроксимационный градиент и производные Соболева Текст научной статьи по специальности «Математика»

АППРОКСИМАЦИОННЫЙ ГРАДИЕНТ И ПРОИЗВОДНЫЕ СОБОЛЕВА

С.И. Бигильдеев *

Челябинский государственный университет [email protected]

В работе аппроксимационный градиент [1] представлен в виде оператора свертки исследуемой и весовой функций [2; 3]. Используемое здесь определение весовой функции позволяет рассматривать аппроксимационный градиент как семейство интегральных преобразований, подобных преобразованию Рисса, градиентам интеграла Пуассона и бесселевых потенциалов [4]. В данной работе показано, что усреднения по Стеклову производных Соболева представляют собой одну из разновидностей таких преобразований.

Ключевые слова: аппроксимационный градиент, усреднение по Стеклову, производные Соболева, весовая функция.

1. Весовые функции

Аппроксимационный градиент предназначен для исследования экстремальных свойств недифференцируемых функций. В результате изменения определения весовой функции здесь усовершенствуется понятие аппрок-симационного градиента, что позволяет установить его связь с сингулярными интегралами.

Обозначим через \х\ евклидову норму вектора х, а через В$(х) — шар радиуса 8 с центром в точке х. Шар с центром в начале координат будем обозначать В$.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. рг(в) =рг(|в|) — весовая функция, если

1) ДЛЯ Уг > О Рг(5) > 0 Уй € К”, 0 < с1г — — [ \8\2рг(8)(18 < ОО И рг

ТЬ J

пп

может иметь особенность только в нуле, т.е. рг £ £°°(А) для любого измеримого множества А, для которого 0 $ А]

2) для любой суммируемой финитной функции (йирр (р — компакт) такой, ЧТО ¥,(5) = °(И) при N 0, выполняется условие

|в| \1р(з)\рг(8)с18 —> 0 при Г —> +0.

(Ь'Р о

Я"

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 00-01-00018).

Нетрудно заметить, что пункт 2 в определении 1.1 будет выполнен, если для У г > 0 вирр рг С Вг. В этом случае для любой функции <*р из этого пункта

J |«|J |«|<

г нп %!<'•

- (Г / ^ = ^- У |5|о(|5|)рг(5)сг5 = 0(1)

|з|<г

|з|<г 2

1 ( 2

при г —т- +0, так как здесь (1Г = — |в| рг(8)с18.

Л J

\.з\<г

Следующее утверждение дает еще один удобный критерий весовой функции.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1. Пусть функция рг удовлетворяет условиям пункта 1 определения 1.1. Она будет весовой функцией тогда и только тогда, когда для любого измеримого и не содержащего начало координат компакта А выполняется условие

II Рг ||ь°°(А) ^ 0, г —> +0.

Доказательство. Покажем достаточность. Пусть суммируемая финитная функция (^(й) = о(|в|) при |в| —т- 0 и вирр (р С Ва для некоторого а > 0.

Тогда для Уе > 0 35 = 5(г) > 0 н 6 < а такое, что |¥>(в)| < —1«| для

Уз Е В5.

Интеграл .1Г представим в виде суммы двух интегралов .1Г = Jlr + J2r^

где

= — ! |«| |<^(«) |рг (^)с/«, J2r = ! \8\\<~р{8)\рг{8)й8.

Г Ва\Вг Г Вв

Первый из интегралов можно оценить по неравенству Гельдера:

'Ьг <~г\\Рг 1к°°(в0\в,)|| ¥> ЦьЦВаХВ})

В силу условия на весовую функцию рг имеем Нт Jlr = 0. Выберем

г-»+0

г* 6 (0; 6) настолько малое, что Jlr < — для любого г 6 (0; г*).

Так как / |«|2рг(«)< йг, то ,1Г < — + — = е для 0 < г < г* = г*(г)

2 2

и, следовательно, 3 Нт .1Г = 0.

г—>+0

Для доказательства необходимости возьмем измеримый компакт А, не содержащий начала координат. Для функции д £ Ll(A) с || д \\Li^= 1 функцию (p(s) зададим следующим образом:

{О, если s ^ А

#, если s € .4

lSl

В силу пункта 2 определения 1.1 для такой функции будем иметь Jr = — f |g(s)|pr(s)<is —> 0 при г —> +0.

dr J

А

Но учитывая, что || pr \\Loo^= sup f \g(s)pr(s)\ds, получим:

^ IlfllltifA) =1 ^

|| Pr \\l°°(A)~‘> 0 при Г —7- +0.

На рассматриваемых здесь весовых функциях аппроксимационный градиент можно рассматривать как интеграл Лебега по всему пространству Еп. Пусть / — суммируемая функция, имеющая компактный носитель и / G Lx(Жп).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Аппроксимационным градиентом функции / в точке х будем называть интегральный оператор свертки

«г(/)(ж) = ^- J sf(x + s)pr(s)ds.

Г Rn

Отметим, что определенный таким образом аппроксимационный градиент будет обладать рядом замечательных свойств, как и в работе [1]. В частности, он будет непрерывной функцией х при фиксированном г > 0. Это непосредственно следует из абсолютной непрерывности интеграла Лебега как функции множества и из того, что множество непрерывных функций всюду плотно в L1. С другой стороны, так определяемый аппроксимационный градиент позволяет устанавливать связь этого понятия с гармоническим анализом [5] и слабыми производными.

2. Весовые функции Стеклова — Соболева

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Если / из пространства Соболева Ь\(0{х))

и рг — сосредоточенная в шаре Вг непрерывная весовая функция, то

компоненты вектора аппроксимационного градиента а£^(/)(ж) (г = 1, п) представляют собой усреднения по Стеклову [6] слабых производных Соболева:

При этом функция ядра усреднения шг(а) = 0 при а > г, а при 0 < а < г задается следующим образом:

иr (а) = J трг (г)с1т.

Доказательство. Рассмотрим г-ю компоненту аппроксимационного градиента с весовой функцией указанного вида.

агЧЛ(Х) = ^~ ! 8г1(х + З)рг(з)й8 = ! 81/(х + 8)рг(\з\)<18 =

Xjf J \AjT

Rn Br

/ г

= І Jf{x + S) ц№ЛШе=~іі П:с + е)щ

В f В f

трг(т)(1т I ds. / |s|

Осуществляя замену s = t — х в последнем интеграле, получим:

ьг

в

dt =

a = \x — t\

1

/(j)*MI* Ч)Л= У,

dr J oxi dr

Br

где [/w]r = [f]r = y j - = y f —

* ГRn Г Br

усреднение по Стеклову функции /, ujr — функция ядра усреднения, а

Г

Vr = / u;r(|t|)(ft= / / Tpr{r)dTdt.

Rn Br \t\

Осталось доказать, что Vr = dr. Вычислим интеграл Vr в полярных координатах:

ti = q cos /Зі, t2 = Q sin /Зі cos /З2,..., in_l = Q sin /Зі . . . sin /3n_2 COS /3„_1, tn = Q sin /Зі . . . sin /3n_2 sin /3„_1,

где t\,.. .,tn — компоненты вектора і.

Модуль якобиана замены координат равен gn_1 sin”-2 /Зі ... sin fin-2 и Ш = р. Следовательно,

ГГ

Vr = С j Qn 1 J Tpr(T)dTdg ,

7Г 27Г

где С = f sin”-2 (3\df3\... f d/3n_i. о 0

Изменяя порядок интегрирования, по теореме Фубпнп получим:

Г Т Г Г

Vr = С J J дп~1трг(т)с1дс1т = С J трг(т)—dr = — J тп+1рг (т) dr.

Возвращаясь от полярных координат к исходным, убедимся в справедливости равенства Уг = dr:

Г

Vr = — I gn+lpr{e)dg = — I \t\2pr(\t\)dt = — I \t\2pr(t)dt = dr.

Th J Th J Th J

В силу доказанного утверждения функцию [f]r можем назвать потенциалом Стеклова приближения “градиента” Соболева. Непрерывную весовую функцию, сосредоточенную в шаре ВГ1 назовем весовой функцией Стеклова — Соболева. Такой функцией является, например, функция [4]

( Is!2 \

Pr(s) = exp I —-----— I при S e Br и pr(s) = 0 при s Br.

Список литературы

1. Батухтин В.Д., Майборода Л.А. Разрывные экстремальные задачи. Спб.: Гиппократ, 1995.

2. Бигильдеев С.И. Аппроксимационная производная как многозначное отображение II Вести. Челяб. ун-та. Сер. Математика, механика. 1996. № 1(3). С. 21 - 33.

3. Бигильдеев С.И., Рольщиков В.Е. Свойства аппроксимационного градиента в зависимости от весовой функции // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. № 4. С. 89 - 94.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

5. Бигильдеев С.И. Потенциальные свойства аппроксимационного градиента //

Вестн. Омск, ун-та. Математические структуры и моделирование (в печати).

6. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

SUMMARY

In this paper approximate gradient is presented as convolution operator of investigated function and some weight function. Special definition of weight function makes it possible to consider the approximate gradient as the class of integral transformations such as Riesz transformation, gradients of Bessel potentials and Poisson integral. It is shown that the averages under Steklov the Sobolev’s derivatives are such transformations.