ANWENDUNGEN CARTAN‘S METHODE ZU DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

V. Malakhovsky

ON SAME PROPERTIES OF BASE SEQUENCES OF PIFAGORS TRIANGLES

We consider two infinite sequences of Pifagors triangles with prime cathetuses and prime hypotenuse (base sequences of the 1-st and 2-nd kind). It is proved, that even cathetus of the each Pifagofs triangle out of the first sequence is divisible by 12 or 60, and hypotenuse is divisible by 5. One of cathetuses for arbitrary Pifagofs triangle out of the second sequence is divisible by 5, and one of its cathetuses (the same or the other) is divisible by 3. Area of each such triangles is divisible by 30.

УДК 514.75

W.S. Malachowskij

(Staatliche Universität zu Kaliningrad)

ANWENDUNGEN CARTAN's METHODE ZU DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

(Ein Vortrag, der Autor an der Universität München in November 1995 gelesen hat)

Dieser Artikel ist einen kurzen Bericht über den Anwendungen von der Cartan's Methode zu den Pfaffs Systemen der Differentialgleichungen - voll in-tegrabille und nicht voll integrabille. Einige konkrete Beispielen mit Lösung in Quadraturen dieser Systemen sind betrachtet. Die Reduzierung der Verändlichen in Pfaffs System mit Lösung eines Beispiels ist auch gezeigt.

1. Einfürung in der Cartan's Methoden. Es sei V- die Menge aller analytischen Funktionen von n Verändlichen x , x , ..., x .

V=(/(x1, x2, ..., xn)keR} (1.1)

Die antikommutative, sogenante äußere, Multiplikation „a" in der Menge der Differentialen dxl (i = 1, n) ist auf folgende Weise definiert:

1) wenn die Zahlen i1, i2, ..., ip sind paarweise verschieden und j1, j2, ..., jp sind dieselbe Zahlen mit j1<j2<.jp, dann

dx'1 л dx'2 a ... л dxp

/ •

dxj1 л dxj2 л... л dXp , wenn

'i...'p 1...

gerade ist,

p

- dxj1 л dx2 л... л dxp , wenn

'i...'p

2) wenn mindestens zwei Zahlen von ;b i2,

dx'1 a dx'2 a ... a dx'p = 0.

ungeradeist.

J i...Jp

ip gleich sind, dann

<

Daraus folgt

dx' a dxJ = —dx} a dx'. (1.2)

Die Differentialform

Qp = ahi2.ip (x1 ,x2xnS)dxil adxi2 a... adxp (1.3)

heißt äußere Differentialform der Potenz p. Die lineare Form

co(d) = a(x1,x2,..., xn)dxl (1.4)

heißt 1-Form oder Pfaff's Form.

Es gibt zwei wichtige Operationen in Cartan's Methoden:

1) äußere Differenzierung D: Qp^Qp+1

DQ = dü;; j a dxl1 a dx'2 a ... a dx'p ; (1.5)

p l1l2...'p ' v '

dQ p

2) algebraische Differenzierung d: Qp^Qp-1: -- = Q p—1, wo Qp-1 aus Qp fol-

ddxJ

genderweise erzeugt ist: jeder Summand, der das Symbol „dX" nicht enthält, bei Null entsetzt wird, in allen anderen summanden dieser Symbol soll am Anfang an der erste Stelle Platz nehmen und dann bei „1" entsetzt werden.

Beispiele: Q2 = 3x2zdxa dy — eydya dz.

1) Dq 2 = (6xzdx+3x 2 dz)a dx a dy — ey dy a dy a dz = 3x 2 dx a dy a dz;

2) = 3x2zdy, QQ- = —3x2zdx — eydz, QQ- = eydy. ddx ddy ddz

Aus der Formel (1.5) unmittelbar folgen folgende Regeln der äußere Differenzierung:

D(Qp +Q~p)= DQp + DQp, D(Qp aQQ)= DQp aQQ +(— l)pQp aDQq,

D(DQ )= 0 (Poincare's Theorem).

2. Anwendung zu Pfaff's System der Differenzialgleichungen. Das Beliebiges System der gewöhnlichen oder Partielldifferenzialgleichungen kann man als Pfaff's System repräsetieren mittels Einführug Hilfsfunktionen. Zum Beispiel, wir haben ein System der Partielldifferenzialgleichungen:

d2 z 3 dz 2 dz _ _

= x3— + y , — = sin y. (2.1)

dxdy dy dx

dz dq

Bezeichnen q = —, r = —. Dann aus (2.1) folgt:

dy dy

dz = sin y dx + q dy, dq = (x3 q + y 2 }dx + r dy, dx a dy ^ 0.

Cartan's Methode gestattet das beliebiges System der Pfaff's Gleichungen mittels algebraische Rechungen zu analysieren. Für beliebige Pfaff's System

&

-dza+ ba [xb, zp )dxa + c^(xb, zp )dzЬ =

(2.2)

(a, b, c = 1, m; a, ß = 1, s0; p = 1, r; í, r = s0 +1, r), wo

dx1 adx1 a... adxm ^ 0 (2.3)

wir definieren:

1) die Zahlen s0, m, r, q, wo s0 die Zahl der linear unabhängigen Gleichungen, m - die Zahl der unabhängigen Veränderlichen, r - die Zahl der unbekannten Funktionen, q=r-s;

2) das rein abgeschlossenes System

&a = 0, D&a = 0,

wo

dza = badxa + c(¡dzí;

D&a = D&a

3) die assoziierte Matrizen Mi, M2, ..., Mm-1.

\

(2.4)

(2.5)

M i =(ma,i) M 2

m

í,i

ma2

V Ь'2 У

m

í,i

(2.6)

wo

a

=

д D&

ddz Ь

dxa = Xa, dzЬ = Z¡

V mtm~1 у

(h = 1, m-l);

(2.7)

4) die charakteristische Zahlen des Systems si, s2, ..., sm, wo s1 ist der Rang der Matrix M1,

s2=RangM2-RangMu ..., sm-1=RangMm-1-RangMm-2, sm=q-(s1+s2+.. .+sm-0; (2.8) aus (2.6) folgt:

^0 > s > s2 >... > sm;

(2.9)

5) Cartan's Zahl ß=s1+2s2+.+msm;

6) die Zahl N der frein Veränderlichen in dem prolongiertem System

0a

0, dzb = a|(x1,x2,..., xm,z1,z2,..., zr )dxb.

(2.10)

Es gibt zwei wichtige Cartan's Theoreme.

1. Wenn Q=N, dann das gegebene System (2.2) in involution ist. Die gemeinsame Lösung dieses Systems ist mit Freicheit sm Funktionen von m Argumenten, sm-1 Funktionen von m-1 Argumenten, u.s.w., mit s1 Funktionen von einer Argument und mit s0 beliebige Konstanten.

2. Wenn Q^N, dann das gegebenes System soll prolongiert werden. Nach endliche Male der Prolongierung entsteht entweder das System in Involution oder wir kommen zu Widerspruch, d.h. das gegebene System kein Lösung hat.

0

3. Die voll integrabille Systeme der Differentialgleichungen. Wenn r=s0 das System (2.2) nimmt die Forme

dza= baa (zß,xb)dxa. (3.1)

Das rein abgeschlossenes System ist (3.1) und

db

dba-+d4bß

a ^ ß b

dba bß

dxb dxa dzß b dzß a

dx a dxa = 0.

(3.2)

/

Aus (2.3) folgt, daß wenn

db

dba

dxb

dbaa , ß dba —ir bß $ —^ + —

dzß b dxa dzß

bß (a,b = 1,m) dann das Sys-

tem (3.1) kein Lösung hat. Aber wenn

b

a a

dba

d_bLbß = Öba+

dzß b dxa dzß

bß.

(3.3)

Öxb dzß b dxa

dann die Gleichungen (3.2) verschwinden. Solches System heißt voll integrabilles System der Differentialgleichunen.

Es gibt die standarte Methode für die Lösung des voll integrabilles Systems:

1) mann nimmt ein beliebiges Punkt M1( xl) und sucht die Lösung des Systems (3.1) auf der Gerade OMx:

(3.4)

xa = x?t;

dz^ dt

= ba (xbt,z ß)x:a;

2) sei

f a(xb, t, ci,..., c^);

(3.5)

(3.6)

die gemeinsame Lösung des Systems (3.5). Dann bei Entsetzung t auf 1 wir erhalten die gemeinsame Lösung des Systems (3.1):

z

= f a(xb ,1, ci,..., c,0 ).

Beispiel:

dz = udx + zdy, du = u(dx + dy), dv = vdx + udy, dx a dy ^ 0. Wir haben

du a dx + dz a dy = 0, du a (dx + dy) = 0, dv a dx + du a dy = 0.

(3.7)

(3.8)

(3.9)

Aus (3.8) folgt daß die Quadratische äußere Gleichungen (3.9) identisch verschwinden. Das System (3.8) ist voll integrabilles. Die gemeinsame Löung erhalten wir mittels standarte Methode:

1) x=x1t, y=y1t, dx=x1dt, dy=y1dt;

_ dz du , ^ dv

2) — = uxi + zy i, — = u(xi + yi), — = vxi + uyi; dt dt dt

(3.10)

3) u = C1e

(xi + yi )t z = c e (xi + yi)t

+ C2 eyit, v = Cv

,(xi + yi)t

+ C3exit:

4) u = Ciex+y, z = Ciex+y + C2 ey, v = Ciex+y + C3 ex

a

z

3) M i

4) s1=2, s2=0; 5) Q=2;

4. Die Pfaff's Systeme nicht voll integrabille.

№1

1 2 1 2

du1 = z1dx + — x dy, du2 = — y dx + z2dy, du3 = z2dx + z1dy, dx a dy Ф 0. (4.1)

1) s0=3, m=2, r=5, q=2;

2) dz1 a dx + xdx a dy = 0, ydy a dx + dz2 a dy = 0, dz2 a dx + dz1 a dy = 0; 1 0 л

0 Y V Y1 X1J

6) dzj = adx + ßdy, dz2 = ydx + ödy;

ßdy a dx + xdx a dy = 0, ydy a dx + ydx a dy = 0, ödy a dx + adx a dy = 0; ß = x, у = y, ö = a;

dz1 =adx + xdy, dz2 = ydx+ady. (4.2)

N=1<Q. Das System ist nicht in Involution. Für das prolongiertes System (4.1) und (4.2) wir haben:

1) ~0 = 5, m = 2, ~ = 6, ~ = 1;

2) da a dx + dx a dy = 0, dy a dx + da a dy = 0;

3) M i

V ~ J

; 4) ~1 = 1, ~2 = 0; 5) Q = 1;

6) da = aidx + ßidy, ßidxady + dxady = 0, dxady + aidxady = 0. Daraus folgt: a1=1, ß1=1;

da=dx+dy.

Das zweite prolongierte System (4.1), (4.2), (4.3) ist voll intergrabille. Lösen es:

1) x=x1t, y=y1t, dx=x1dt, dy=y1dt;

(4.3)

2)

da dt dux

xi + У1,

dzj dt

■■ ax1 + x1 y1,

dz 2 dt

1

= zx +—x yt , dt 1 1 2

d^ 1

:a^1 + ,

du

= -x1 y11 + y1 z2,—3 = z2x + y1z1; dt 2 12 dt 2 1 1 1

1 2 1 2

3 - 4) a = x + y + C1, z1 = — x + C1 x + xy + C 2, z 2 = — y + C1 y + xy + C3,

U = — x2 (x + 3 y)+ — Cxx2 + C2x + C4, u2 = — y2 (y + 3x)+ — Cxy2 + C3y + C5, (4.4) 6 2 6 2

u3 = 1 xy(x + y) + Cxy + C3x + C2y + C6..

№2

.2 7 7 „7. , 2

d^ = udx + x dy, dz2 = udy + y dx, dx a dy ^ 0.

1) s0=2, m=2, r=3, q=1;

2) du a dx + 2xdx a dy = 0, du a dy + 2ydy a dx = 0;

(4.5)

3) Mi =

v*1 y

4) si=1, ^2=0; 5) 0=1;

\ßdy a dx + 2 xdx a dy = 0, 6) du = adx + ßßdy, \ a = 2y, ß = 2x;

Iadx a dy + 2 ydy a dx = 0,

(4.6)

du=2(ydx+xdy)

N=0<Q. Das System ist nicht in Involution. Das prolongierte System (4.5), (4.6) ist voll integrabille.

u=2xy+C 1, z1=x(xy+C1)+C2, z2=y(xy+C 1)+C3. (4.7)

№3

dti = udx — 2vdy, dt2 = vdy + wdz, dt3 = 2wdz + udx, dx a dy a dz ^ 0. (4.8)

1) s0=3, m=3, r=6, q=3;

2) du a dx — 2dv a dy = 0, dv a dy + dw a dz = 0, 2dw a dz + du a dx = 0;

f X1 — 2*1 0 1

3) M1 = 0 *1 Z1 , M

V x 1 0 2Z1 y

fX1 — 2*1 0 1

0 *1 Z1

X1 0 2Z1

X 2 — 2*2 0

0 *2 Z 2

v X 2 0 2Z2 y

4) s1=2, s2=1, S3=0; 5) Q=4;

6) du=adx, dv=ßdy, dw=ydz. (4.9)

N=3<Q. Das System ist nicht in Involution. Das prolongierte System (4.8), (4.9) ist in Involution. Aus

daA dx = 0, dß a dy = 0, dy a dz = 0, (4.10)

folgt: Dann

u

a=a(x), ß=ß(y), y=y(z). Ja(x)dx + Ci, v = Jß{y)dy + C2, w = jy(z)dz + C3.

t1 = J u( x)dx — 2J v( y)dy + C4, t2 = J v( y)dy +J w( z )dz + C5, t3 = 2 J w( z )dz +2 J u (x)dx + C6.

(4.11)

(4.12)

(4.13)

2

<

5. Die Reduzierung der Verändlichen. Für eines beliebiges Pfaff's system der Diffrentialgleichungen bestimmt man eines anderes sogenannte assoziiertes System, daß besteht aus Pfaff's Gleichungen:

dD(3a d&a i - - —\

©«= 0, ÖD^ = o, -d^ = 0 (a = 1, s0; a = 1,m; p = 1,r) (5.1)

ddxa ddzp V 0 7

Bezeichnen wir als R der Rang dieses Systems. Es gibt ein wichtiges Theorem.

Das assoziiertes System (5.1) ist voll integrabilles. Sein erste Integralen bielden die minimale Menge der Verändlichen, mittels kann man alle Gleichungen

®a = 0 (5.2)

vorstellen.

Daraus folgt, wenn Rang R ist weniger als der Zahl m+r Verändlichen wir reduzieren können.

Betrachten wir eines Beispiel

dz = (u + y)dx — xdv, dt = (v + x)dy — ydu, dx a dy ^ 0. (5.3)

1) so=2, m=2, r=4;

2) (du + dy)a dx + dv a dx = 0, (dv + dx)a dy + du a dy = 0. Daraus folgt

dD0l dD0l dD0l dD0l

-du — dv — dy = 0, -= dx = 0, -= dx = 0, -= dx = 0,

ddx ddy ddu ddv

dy = 0, -= -du - dv - dx = 0, -= dy = 0, -= dy = 0.

ddx ddy ddu ddv

Das assoziiertes System besteht aus Gleichungen:

dx=0, dy=0, du+dv=0, dz=-xdv, dt=-ydu. (5.4) Dieses System ist voll integrabilles. Sein erste Integralen sind

x, y, %=u+v, T]1=z+xv, jj2=t+yu. (5.5) Das System (5.3) nimmt die Form:

d^i=(^+y)dx, d^2=(^+x)dy. (5.6)

Das abgeschlossenes system besteht aus Gleichungen (5.6) und die quadratische Gleichungen

(d£ + dy)a dx = 0, (d£ + dx)a dy = 0, dx a dy ^ 0. (5.7) Wir analysieren dieses System:

1) s0=2, m=2, r=3, q=1; 2) ist (5.7);

3) M

'X1

VYi У

4) si=1, s2=0; 5) Q=1;

6) d% = adx + ßdy, (ß + 1)dy a dx = 0, (a + 1)dx a dy = 0;

7) daraus folgt; a=-1, ß=-1;

d%=-dx-dy. (5.8)

N=0<Q. Das system (5.6) ist nicht in Involution. Für das prolongiertes System (5.6), (5.8), daß voll integrabilles ist, wir haben

% = —x — y + C1, dr1 =(C1 — x)dx, dr2 =(C1 — y)dy. (5.9)

Daraus folgt:

2 2 r = C1 x — x- + C2, r,2 = C1 y — y- + C3. (5.10)

wo C1, C2, C3 die beliebige Konstanten sind.

Als unbekannte Funktion u kann man eine beliebige Funktion f(x,y) nehmen:

u=f(x,y). (5.11)

Aus (5.5) folgt:

x 2

v = —x — y — f(x, y) + C1, z = — + xf(x, y) + xy + C 2 ,

2 2 (5.12) t = C1 y—y-—yf (x, y)+C 3.

Das ist die gemeinsame Lösung des Systems (5.3), der wir mit Hilfe der Reduzierung der Veränderlichen erhielten.

Bibliografie (in russische Sprache)

1. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М., 1962.

2. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. М.;Л., 1948.

3. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978.

В.С. Малаховский

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КАТРАНА К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Дано краткое изложение применения метода внешних форм Картана к решению вполне интегрируемых и не вполне интегрируемых систем уравнений Пфаффа. Рассмотрены конкретные примеры таких систем с решением в квадратурах.