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N.N. Iv a n i c s h e v a
DIFFERENTIABLE MAPPING OF PROJECTIVE SPACE Pn INTO MANIFOLD OF HIPERQUADRICS OF THE SPACE Pn
Differentiate mapping f: Pm^R(Q) of the projective space Pm into manifold of hyperquadrics R(Q) of the projective space Pn are studied. The notions of inflexional
o
curve /:0^R(Q) in the element Q is introduced. Necessery and sufficient conditions
o
of inflexion of the curve /:0^R(Q) in the element Q are formulated. Characteristic straight lines and characteristic directions of the mapping f are considered.
УДК 514.75
SPEZIELLE DISTRIBUTIONEN AUF GRASSMANN'SCHER MANNIGFALTIGKEIT (III)
V.V. K a i s e r
(Friedrich -Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg)
Mit Hilfe des analytischen Apparat [1] sind speziellen nichtholonomen Kongruenzen bestimmt und entsprechende Ergebnisse, die im ersten Teil des Sufsatzes [2] formuliert sind, bewiesen.
3. Nichtholonome Kongruenzen.
3.1. Allgemeine Klassifikation. Aus dem Lemma 2.1 [1] folgt, daß jede beliebige 2-dimensionale Distribution к (nicht holonome Kongruenz) auf der Grassmann'schen Mannigfaltigkeit M mit Hilfe von einem Pfaffschen Gleichungssystem
a Q1 + a Q2 + a Q3 + a Q4 = 0,
1 2 3 4 (3.1)
b Q1 + b2 Q2 + b Q3 + b Q 4 = 0
(local) bestimmt werden kann, wobei der Rang der Matrix des Systems (3.1) gleich zwei sein muß.
Es sei T=t0Ao+t1Ai ein Punkt auf der laufenden Geraden leM. Aus (2.1) mit der Berücksichtigung von (2.3) folgt
dT = (dt0 +1V00 +1V) A0 + (dt1 +1 VJ +1Ц1) A1 +
/ ч / ч (3.2)
+ (-10Q3 +11Q1) A2 + (t 0Q4 +1 !Q2) A.
Daraus folgt, daß der Punkt T den Brennpunkt einer integralen Torse (aufrollbaren Fläche) für к ist, wenn zusätzlich zu (3.1) gelten
t0Q3 -1lQl = 0, t0Q4 +1!Q2 = 0. (3.3)
Das homogene Gleichungssystem, das aus der Gleichungen (3.1) und (3.3) besteht, besitzt eine nicht triviale Lösung bezüglich Q1, Q2, Q3, Q4 dann und nur dann, wenn gilt
X f/tJ = 0, (3.4)
y
i,J=0,1
wo
foo = q12, foi = fio =-2(q14 + q23), fii =-q34, (3.5)
wobei
q =(aby - ayb.) (3.6)
die bekannten dualen Grassmann'schen Koordinaten [3] der laufenden 2-Ebene k(l) czTiM der Distribution k sind.
Die Gleichung (3.4) bestimmt die Brennpunkte der Geraden leM in bezug auf die nicht holonome Kongruenz (3.1) (vgl. [4], [5]).
Dualerweise ergibt sich analog, daß die die laufende Gerade leM enthaltene und von der Gleichung x2x2+x3x3=0 bestimmte Ebene die Tangentialebene einer integralen Torse der Distribution k wird, wenn zusätzlich zu (3.1) gelten:
x2 Q1 + x3 Q2 = 0, x2 Q3 — x3 Q4 = 0. (3.7)
Das Gleichungssystem, das aus der Gleichungen (3.1) und (3.7) besteht, besitzt eine nicht triviale Lösung bezüglich Q1, Q2, Q3, Q4 dann und nur dann, wenn gilt:
X gjxixj = 0, (3.8)
i J=2,3
wo
22 24 23 32 ^„23 14 \ 33 13 ^ m
g = q , g = g = 1 (q — q ^ g =—q . (3 9)
Die Gleichung (3.8) bestimmt die Brennebene der Geraden leM in bezug auf die nicht holonome Kongruenz (3.1) (vgl. [4], [5]).
Es ist leicht mit der Berücksichtigung der offenbare Gleichheit für die dualen Grassmann'schen Koordinaten
q12q34-q13q24+q14q23=0 (3.10)
zu berechnen, daß die in den linken Gleichungsseiten (3.3) und (3.7) stehenden quadratischen Formen die gleichen Diskriminanten haben. Deswegen besitzt jede Gerade leM zwei verschiedene Brennpunkte dann und nur dann, wenn sie zwei verschiedene fokale Ebene besitzt (solche nichtholonome Kongruenzen nennen wir hyperbolisch). Dasselbe bezieht sich auf den (parabolischen) Fall der übereinstimmenden Brennpunkte und übereinstimmenden fokalen Ebenen. Im elliptischen Fall gibt es keine Brennebenen.
Es können noch zwei Fälle auftreten, wenn entweder Brenennebene oder Brennpunkte unbestimmbar sind (d.h. jede die laufende Gerade leM enthaltene Ebene
eine Brennebene ist oder jeder Punkt der laufenden Geraden leM ein Brennpunkt ist). Beides zusammen kann nicht auftreten, da sonst alle ql] gleich Null wären und deswegen der Rang des Systems (3.1) nicht gleich zwei wäre.
Im ersten Fall (wenn die fokalen Ebenen unbestimmt sind) haben wir aus (3.9)
q24=q23-q14=q13=0. Aus der Gleichung (3.10) folgt dann q12q34 + (q14)2 = 0. Die
(12 0 14 1
q t — q t I = 0 äquivalent, d.h. es gibt in
diesem Fall auf der laufenden Gerade leM nur einen Brennpunkt M=q14Ä0+q12Ä1. Wir nennen solche nichtholonome Kongruenzen (mit einem Brennpunkt auf jeder
Gerade leM und mit unbestimmten fokalen Ebenen) nichtholonome spezielle Kongruenzen des ersten Typs.
Im zweiten Fall (wenn die Brennpunkte unbestimmt sind) wird die Gleichungen
(24 14\2
x2q x3q I = 0 äquivalent, d.h. es gibt nur eine
Brennebene, die von der Gleichung q14x2+q24x3=0 bestimmt wird. Wir nennen solche nichtholonome Kongruenzen (mit einer Brennebene für jede Gerade leM und mit unbestimmten Brennpunkten) spezielle nichtholonome Kongruenzen des zweiten Typs.
3.2. Spezielle nichtholonome Kongruenzen. Hier werden die Sätze 1.1-1.4 bewiesen.
Beweis des Satzes 1.1. Geben wir auf jeder Geraden leM einen Punkt Ä=a0Ä0+a\Ä\ glattweise an und suchen wir eine nichtholonome Kongruenz k auf M vom ersten Typ (d.h. mit unbestimmten Brennebenen), so daß diese Punkte in bezug auf gesuchte nichtholonome Kongruenz k die Brennpunkte der Geraden leM wären. Wenn k mit Hilfe vom Differentialsystem (3.1) bestimmt wird, dann gelten
q24 = q23 — q14 = q13 = 0 und q12q34 +(q14) = 0. Da die Gleichung (3.4) eine
eindeutige bis auf einen Multiplikator bestimmte Lösung (00, a\) besizt, wird diese
Gleichung der Gleichung ^t 0a1 — t !«0) = 0 äquivalent. Dann gelten
q12 = M(al f, q14 = Ma0a\ q34 = — M(a° f, (3.11)
wobei offenbar ju^0. Wenn gilt q34^0. Dann wird das System (3.1) dem
System q34Q3=-q14Q1, q34Q4=q23Q2 äquivalent. Laut (3.11) wird es auch dem System (3.3) mit t =a äquivalent. Damit ist der Beweis des Satzes 1.1
beendet.
Der Beweis des Satzes 1.2 ist analog. Dabei wird das glatte Feld von Brennebenen x2x2+x3x3=0 der Geraden l eM eine nichtholonome Kongruenz des zweite Typs mit Hilfe vom Differentialsystem (3.7) definiertn.
Beweis des Satzes 1.3. Der Punkt A0 der laufenden Geraden leM sei der Brennpunkt von l in bezug auf eine nichtholonome Kongruenz k.Wie es aus dem Beweis des Satzes 1.1 folgt, wird k vom System (3.3) ( wo man t1=0 setzen muß), d.h. Q3=Q4=0 bestimmt. Aus (2.1) und (2.3) haben wir
dQ3 = Q3 л (<00 - co\) + < л < - Q4 л <с3,
dQ4 = Q4 л (<3 - ) - с2 лс) - Q3 л <.
Laut dem Lemma 3.1 können wir setzen <o\ = ^4=1 ctQ . Aus der Integritätsbedingungen
dQ3 л Q3 л Q4 = 0, dQ4 л Q3 л Q4 = 0 (siehe [6]) erhalten wir C1=C2=0. Aus (3.1) haben wir dann
dA = <о A0 + (c3A - A2 )Q3 + (cA + A3 )Q4.
Dies bedeutet, daß alle integrale Regelfläche von k, die die Geraden l erhalten, die Kegeln mit der Spitze im Punkt A0 sind. Umgekehrt sei Q die 2-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit, die den Bündel aller durch den Punkt A0 durchgehenden Geraden darstellt. Betrachten wir eine Regelfläche, die als eine Kurve auf der Grassmann'schen Mannigfalltigkeit M mit Hilfe vom Differentialsystem (2.4) bestimmt werden kann. Wenn diese Kurve auf der Mannigfaltigkeit Q liegt, d. h. ein Kegel mit der Spitze im Punkt A0 darstellt, muß das Differential d(A0 л A1) bei den Bedingungen (3.12) nur durch die Grassmann'sche Produkte
B = A л A, B = A л A, B = A л A
ausgedruckt werden. Aus (2.4) haben wir
dß0 = (с0 + <с\) в + ^(¿B + B + B + ^ В ).
Daraus folgt, daß ¿3=0, ¿4=0. Dies bedeutet, daß dieser Kegel wirklich eine integrale Regelfläche von k ist. Das beendet den Beweis des Satzes 1.3. Der Satz 1.4 ist analog zu beweisen.
Literatur
1. Kaiser V.V. Spezielle Distributionen auf Grassmann'scher Mannigfaltigkeit (II) // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1998. № 29. С.28-31.
2. Kaiser V.V. Spezielle Distributionen auf Grassmann'scher Mannigfaltigkeit (II) // Там же, 1997. № 28. С. 38-47.
3. Chodge W.V. D., Pedoe D. Methods of algebraic geometry. Cambridge, 1947. Vol. 1.
4. Hoschek J. Liniengeometie. Zürich, 1971.
5. Finikov S.P. Teorie der Kongruenzen. Berlin, 1959.
6. Spivak M. A comprechensive introduction to differential geometry. Boston, 1970. Vol. 1.
В.В. К а й з е р
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ГРАССМАНОВОМ
МНОГООБРАЗИИ (III)
С помощью аналитического аппарата [1] выделены специальные неголоном-ные конгруэнции и доказаны соответствующие результаты, сформулированные в 1-ой части работы [2].
УДК 512.7
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ПОСТРОЕНИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Ю.С.К а с а т к и н а
(Калининградский государственный университет)
В настоящей работе ставится задача построения алгебраических кривых с большим числом рациональных точек, опираясь лишь на обобщенные веса Хем-минга подкодов малой размерности. Рассмотрен пример, иллюстрирующий метод построения кривых, исходя из подкодов малых размерностей.
Вопрос построения алгебраических кривых с большим числом рациональ-
__и U T-V
ных точек актуален как с теоретической, так и с практической точек зрения. В теории кодирования, например, такие кривые дают возможность построения кодов с хорошими характеристиками. Наличие большого числа рациональных точек на эллиптической кривой также значительно улучшает параметры криптосистемы. Для получения таких кривых используются различные подходы. Классический подход А.Вейля основан на расширении поля констант функционального поля. М.А.Цфасман и С.Г.Владут использовали для построения кодов так называемые модулярные кривые; F.Torres рассматривает этот вопрос с позиции алгебраической геометрии. Сравнительно недавно G.Geer и M.Vlugt [1] предложили новый подход к построению кривых с большим числом рациональных точек. Он основан на знании иерархии весов кода [2] и конструкции следов кодов [3], [4]. Однако, в общем случае, определение обобщенного веса Хемминга, следовательно, и весовой иерархии кода достаточно сложная задача. Распределение весов известно лишь для некоторых классов кодов.
Рассмотрим подробнее метод, предложенный в работе [1]. Пусть Fq - конечное поле, состоящее из q = pm элементов. Известно, что применяя отображение следа, можно коду C над полем Fq поставить в соответствие код над Fp , который называется следом кода C и обозначается Tr(C). Рассмотрим конечномерное над Fq подпространство L поля рациональных функций Fq(x). Обозначим Р - множе-
