SPEZIELLE DISTRIBUTIONEN AUF GRASSMANN''SCHER MANNIGFALTIGKEIT (IV) Текст научной статьи по специальности «Языкознание и литературоведение»

O.M. Z h o v t e n k o

THE ROLE BORTOLOTTI'S EQUIPMENT OF THE CONGRUENCE OF PLANES

In the projective space group connection is investigated in the bundle, associated with congruence of planes. It is shown, that curvature object of the connection is pseudotensor. Bortolotti's equipment of the congruence is made. It consist in the giving of field supplementary planes. The notion of covariant differential and covariant derivatives of equipping quasitensor in the group connection is introduced. Covariant derivatives of component of equipping quasitensor is pseudotensor. It is proved, that Bortolotti's equipment induces two types of group connection in the associated bundle.

УДК 514.75

V.V. K a i s e r

(Friedrich -Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg)

SPEZIELLE DISTRIBUTIONEN AUF GRASSMANN'SCHER MANNIGFALTIGKEIT (IV)

Im ersten Teil des Artikels [1] sind die Ergebnisse zusammengefast, im zweiten Teil [2] ist analytischen Apparat gegeben, im dritten [3] Teil werden die Sätze 1.1-1.4 bewiesen und im Schlußteil des Artikels werden die übrigen Sätze 1.5-1.16 bewiesen.

4. Nichtholonome Komplexe. Berechnungen.

4.1. Allgemeine Klassifikation. Wie aus dem Lemma 2.1 folgt, kann jede beliebige 3-dimensionale Distribution K (nichtholonomer Komlex) auf der Grass-mann'schen Mannigfaltigkeit M mit Hilfe von einer Pfaff'scher Gleichung

c1Q1+ c2Q2+ c3Q3+ c4Q4=0 (4.1)

(local) bestimmt werden, wobei alle glatten Funktionen ci auf M nicht zusammen verschwinden dürfen.

Es sei T=t0Ä0+t1Ä1 ein Punkt auf der laufenden Geraden leM. Aus (3.2) folgt, daß der Punkt T der Striktionspunkt (Brennpunkt) einer integralen Torse für K ist, wenn die Gleichungen des Systems (4.1), (3.3) gelten. Das letzte System besitzt bezüglich Q1 eine Lösung der Gestalt (2.4) mit A/=t°p, ^2=t0q, ^3=t1p, ^4=-t1q, wo

p=t0c2-t1c4, q=-(t0c1+t1c3). (4.2)

Aus dA0 = ©0A0 -Q3ä2 + Q4A3 (siehe (3.2)) folgt, daß die Tangen-

tialebene Dieser Torse mit Hilfe von drei Punkten A0, A1, pA2+qA3 oder von der Gleichung

qx2-px3=0 (4.3)

in homogenen Koordinaten xi in bezug auf das in 2.1 gewählte begleitende 4-Bein bestimmt wird. Diese Ebene entspricht dem Punkt T in der Hauptkorelation und wird von der Wahl des Punktes T dann und nur dann unabhängig, wenn gilt

Ci c^

1 2 = 0 (4.4)

C3 C4

Dies ist die Spezialitätsbedingung des nichtholonomen Komplexes (4.1).

Analog kann man zeigen, daß das System (4.1), (3.7) eine Torse bestimmt, deren Tangentilebene die durch die Gleichung x3x3+x4x4=0 bestimmte Ebene T^l ist. Diese Torse hat dann auf der Gerade l den Striktionspunkt p*A0+q*A1, wo p*=x2c4+x3c3, q*=x2c2-c1x3.Dieser Punkt entspricht dann der Ebene Ä in der dualen Hauptkorrelation, die für einen nicht speziellen nichtholonomen Komplex gegenteilig zu der Hauptkorrelation ist.

4.2. Spezielle nichtholonome Komplexe. Berechnungen. Wir nehmen weiter unten in dieser Sektion an, daß die Spezialitätsbedingung (4.4) erfüllt ist. Dann sind Hauptkorrelation und duale Hauprkorrelation ausgeartet. Die erste ordnet jedem Punkt Tel, außer dem Zentrum

Z=c4A0+c2A1, (4.5 a)

das auch mit dem Punkt

Z=-c3A0+c1A1 (4.5b)

bestimmt werden kann, die Hauptebene

Ä0=S^tfnn(Ao,A1,c4A2-c3A3)=S^tfnn(Ao,A1,c2A2-c1A3) (4.6) zu. Im Punkt Z ist entsprechende Ebene unbestimmt. Die zweite (duale Hauptkorrelation) ordnet jeder Ebene T^l (außer der Hauptebene Ä0) den Punkt Z zu. Für die Hauptebene ist sie unbestimmt.

Beweis der Sätze 1.5 und 1.6. Sind ein Punkt T=t0A0+t1A1 und eine Ebene Ä

2 3

(die letzte mit Hilfe ener Gleichung x2x +x4x =0) für die laufende Gerade leM gegeben, dann bestimmt die Systeme (3.3) und (3.7) laut dem Beweis der Sätze 1.1 und 1.2 entsprechende nichtholonome Kongruenzen k1 und k2 des ersten und des zweiten Typs. Es ist leicht zu sehen, daß die Matrix des Systems (3.3), (3.7) den Rang=3 hat. Deswegen ist die lineare Hülle der Distributionen k1 und k2 3-dimensional und wird von der Pfaff'schen Gleichung

t1x2Q1+t1x3Q2-t0x2Q3+t0x3Q4=0 (4.7)

bestimmt, so daß auch die Spezialitätsbedingung (4.4) auch erfüllt wird. Aus (4.5a) und (4.5b) folgt, daß der Punkt T und Ebene Ä das Zentrum und die Hauptebene der laufenden Geraden le M in bezug aud den nichtholonomen Komplexes K mit Hilfe einer Gleichung (4.1) die Ausstattung der Grassmann'schen Mannigfaltigkeit M mit

den Feldern von Punkten (4.5a)-(4.5b) und den Ebenen (4.6). Aus (3.2) folgt, daß eine Regelfläche (2.4) dann und nur dann eine Integralkurve der Gleichung (4.7) wird, wenn für alle leM die Tangente ihrer zentralen Linie im Punkt T in der Ebene Ä liegt. Dies beendet des Beweis des Satzes 1.5 und des ersten Teils des Satzes 1.6.

Um den zweiten Teil des Satzes 1.6 zu beweisen, bemerken wir, daß das Pfaffsche System

c4Q3-c2Q1=0, c4Q4+c2Q2=0 (4.8a)

oder das System

c1Q1+c3Q3=0, c1Q2-c3Q4=0 (4.8b)

die zentrale nichtholonome Kongruenz k1 bestimmt und das System

c1Q1+c2Q2=0, c1Q3-c2Q4=0 (4.9a)

oder das System

c3Q1+c4Q2=0, c3Q3-c4Q4=0 (4.9b)

die nichtholonome Kongruenz k2 des speziellen Komplexes (4.1) laut dem Beweis des Sätze 1.1 und 1.2 bestimmen. Es ist klar, daß das Differentialsystem

Q1 Q2 Q3 Q4 , N

— - — - — = — (4.10)

C4 C3 C2 C1

den Schnitt von den beiden Distributionen k1 und k2 bestimmt. Aus (3.3) und (3.7) folgt, daß die integralen Regelflächen des richtungsfeldes k1nk2 die Torsen sind, deren Gratpunkte mit den Zentren (4.5a)-(4.5b) übereinstimmen und deren Tangentenebenen die Hauptebenen (4.6) darstellen. Dies beendet den Beweis der Sätze 1.5 und 1.6.

Beweis des Satzes 1.7. Wählen wir ein begleitendes 4-Bein so, daß der Punkt A0 das Zentrum Z der laufenden Gerade le M bestimmt, und die Ebene Ä0=Spann(A0,A1,A2) die Hauptebene für l wird. Aus (4.7) folgt, daß c1=c2=c3=0, c4^0 gelten. Das bedeutet, daß die Pfaffsche Gleichung

Q4=0 (4.11)

eine spezielle nichtholonomen Komplex K bestimmt, und die Differentialsysteme

Q3=0, Q4=0 (4.12)

und

Q2=0, Q4=0 (4.13)

zentrale und fokale nichtholonome Kongruenzen des nichtholonomen Komplexes K bestimmen.

Laut der Lemma 2.1 können wir schreiben:

4'34

'0 - S«iQ 5 ©2

i=1 i-1

44

©0 -S« i Qi, © 2 -Zßi Qi. (4.14)

Aus den Strukturgleichungen mit der Berücksichtung der Formel (2.3) und (4.14) erhalten wir dann

dQ1 = Q1 a(®2 1 ) + Q2 A®2 + Q3 A® 0,

dQ2 = Q2 a(®3 -®1) - Q4 a®2 +

+ ^Q1 A Q2 + ß3Q1 A Q3 + ^Q1 A Q4,

dQ3 = Q3 a(®2 0)-Q4 a®2 + (415)

+ a 2 Q1 a Q2 + a 3Q1 a Q3 + a 4 Q1 a Q4,

dQ4 = q 4 a(® 3 0 ) + aQ1 aq 2 +ßQ1 aq 3 +

+ (ß 2 - a 3 )Q2 a Q3 - a 4 Q2 a Q4 - ß 4 Q3 a Q4.

Es sei ein Pfaffsches System 0i=0 (i=1,...,s) auf einer glatten Mannigfaltigkeit M angegeben, das eine Distribution A auf M bestimmt. Aus der bekannten Formel [4] d©(X,Y) = X(©(Y)) - Y(©(X)) - d©(X,Y), wo X, Y glatte Vektorfelder auf M

sind, folgt, daß das Pfaffsche System, das die nichtholonome Erweiterung [5] der Distribution A bestimmt, aus den Gleichung der Gestalt ^ f 01 = 0 besteht, wo die

glatte Funktionen f auf M die Gleichungen

=i( f1d©1) a 01 A...A0s = 0 erfüllen.

Aus dieser Bemerkung und aus (4.15) folgt, daß die Gleichung

a1Q3-a2Q4=0 (4.16)

die nichtholonome Erweiterung I(k1) für die Distribution k1 bestimmt, und die Gleichung

ß1Q2-ß3Q4=0 (4.17)

die nichtholonome Erweiterung I(k2) für die Distribution k2 bestimmt. Es ist klar, daß die Spezialitätsbedingung (4.4) für die von den Gleichungen (4.16) und (4.17) bestimmten nichtholonomen Komplexe erfüllt ist. Aus (4.5 a), (4.5b) und (4.6) folgt, daß das Zentrum der Gerade A1A2 in bezug auf den nichtholonomen Komlex K1=I(k1) der Punkt A0 ist und daß die Hauptebene dieser Gerade in bezug auf K2=I(k2) die Ebene Ä0=Spann(A0,A1,A3) ist. Damit ist der Bewes des Satzes 1.7 beendet.

Beweis des Sätze 1.8 und 1.9. Aus (3.2), (4.12) und (4.13) folgt, daß die integralen Regelflächen der 1-dimensionalen mit Hilfe vom System

Q2=Q3=Q4=0 (4.18)

bestimmten Sonderdistribution die Torsen mit dem Gratpunkt Z=A0 und mit der Tangentenebene Ä0=Spann(A0,A1,A2) sind. Aus (3.2) folgt

dA0 = ® 0A0 + (a1Q1 + a 2 Q2 )A1 + (a 3A1 - A2 )Q3 + (a4A1 + A3 )Q4

Sind die Integritätsbedingungen a1=a2=0 für die zentrale nichtholonome Kongruenz k1 nicht erfüllt, existiert eine 1-dimensionale konische Distribution mit integralen

konischen Regelflächen, deren Spitzen die Zentren der Geraden leM sind. Sie ist dann mir Hilfe von der Differentialsystem

a1Q1+a2Q2=0, Q3=Q4=0 (4.19)

bestimmt. Die tangenntialfläche der Kegel (4.19) ist mit der Hilfe der Gleichung

23

a1x +a2x =0 bestimmt.

Aus (2.1) und (4.14) nach der Regel der Differentierung des äußeren Produktes von Differentialformen haben wir: d(A0 a A1 a A2) =

- (©0 +©1 + ©2 )a0 a A1 a A2 +Q2 (- A0 a A2 a A3 +ß2A0 a A1 a A3) + + Q4 (A 1 a A2 a A3 +ß4A0 a A1 a A3) + (ß1Q1 +ß3Q3)a0 a A1 a A3

Sind die Integritätsbedingungen ß1=ß3=0 für die fokale nichtholonome Kongruenz k2 nicht erfüllt, existiert eine 1-dimensionale Distribution mit flachen integralen Torsen, deren Erzeugenden in den Hauptebenen liegen. Sie ist dann mit Hilfe vom Differentialsystem

ß1Q1+ß3Q3=0, Q2=Q4=0 (4.20)

bestimmt. Der Punkt F=ß3A0-ß1A1 ist der Gratpunkt der Torse (4.20). Das beendet den Beweis, da die Bedingung a1=0 den Bedingungen 1), 2) und 3) des Theorems 1.8 äquivalent ist und da die Bedingung ß1=0 den Bedingungen 1), 2) und 3) des Theorems 1.9 äquivalent ist.

Beweis des Satzes 1.10. Es seien A1 und A* zwei 1-dimensionalen Unterdistributionen eines nichtholonomen Komlexes K, der mit Hilfe von der Differentialgleichung (4.11) gegben ist. Bestimmen wir die Distributionen A1 und A* mit Hilfe vo den Differentialsystemen (2.4), wo A?=£2, A,3=£3, A,4=0 für A1 und A/=V, A2^2, ^3=^3, A4=0 für A* gewählt sind. Aus (2.1), (2.3) und (4.14) haben wir

dA0 -©0A0 +(a1Q1 +a2Q2)A1 +(a3A1 - A2)Q3 +(a4A1 - A3)Q4. Deswegen gilt für die Tangente T der zentralen Linie von der integralen Regelfläche S der Didribution A1: T=Spann(A0,pA1-£3A2), wo p-Si=i ai£i . Diese Tangente ist

für die konische Distribution (4.19) unbestimmt. Wir nehmen an, daß die Disribution A1 nicht konisch ist. Betrachten wir dann einen beliebigen Punkt Q=sA0+t(pA1-£3A2) dieser Tangente. Aus (2.1), (2.3) und (4.14) haben wir dQ=e0A0+e1A1+e2A2+((s+tß4)Q4+t(-ß1^3Q1+(p-£3ß2)Q2-£3ß3Q3)A3, wo 0i (i=1,2,3) einige glatte 1-Formen aus M sind. Daraus folgt, daß die durch die Tangente T durchgehende integrale Regelfläche der Distribution A* eine Torse ist (mit der Tangentialebene, die mit der Hauptebene Spann(A0,A1,A2) übereinstimmt), wenn gilt -ß1£3-n1+(p-£3ß2)^2-ß3^y=0 oder wenn gilt:

STDS*=0, (4.21)

wo die Matrix D folgende Gestalt hat:

D

r 0 a1 0 л 0 а 0

(4.22)

V- ß1 a3 - ß2 - ß3J

^ 1 2 3 T ^^ 1 2 3 T .

wobei S=(£ ,£,£), S*=(^ ) und das Zeichen T das Transponieren bedeutet. Die Simmetrie-Bedingungen a1=a2=a3-ß2=0 der Matrix D bedeuten die Gegenseitigkeit des Konjugiertsens in bezug auf K. Das beendet den Beweis des Satzes 1.10, da diese Bedingungen auch die Integritätsbedingungen der Gleichung (4.11) darstellen. Beweis des Satzes 1.11. Aus (4.12) und (4.13) folgt, daß wenn der Vektor

^ 1 2 3 T

S=(£ ,£ ,£ ) eine 1-dimensionale Unterdistribution A1ck1 oder A1ck2 bestimmt,

3 2 ^^ ^^

dann gilt entsprechend: £ =0 oder £ =0. Aus (4.22) folgt, daß für Vektoren S, S* mit £3=0, ^2=0 gilt (4.21). Dies beweist den ersten Teil des Satzes. Aus (4.20) folgt, daß für die Distribution A* =glatt gilt ^ =ß3, ^ =0, ^ =ß1. Wenn £ =0, dann gilt ebenfalls (4.21). Dies beweist den zweiten Teil des Satzes. Um den dritten Teil zu beweisen, bemerken wir, daß die charakterische Distribution ch(A) einer mitt Hilfe von einer Differentialsystem ®a=0, (a=m+1,...,n) auf einer n-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit M gegebenen m-demensionalen Disrtibution A mit Hilfe von der Differentialsystem ®a=0, £™iCa®J = 0, (i=1, . ,m, a=m+1,...,n) bestimmt wird. Hier

bilden die Pfaffsche Formen ®i (i=1,...,m) zusammen mit den linear unabhängigen glatten 1-Formen ®a (i=m+1,...,n) eine Basis des Rings der Differentialformen, und glatte Funktionen Ca treten in folgenden Gleichheiten auf:

n

d®a A®"+1 A...A®n = £Ca®i A®j A®"+1 A...A®n ,

i,j=1

so daß gelten: Ca = -C^ji. Aus (4.15) folgt, daß es gilt:

3

dQ4 aQ4 = £CQi aQj aQ4 , i,j=1

wo C12 =-C21 =-0~, C13 =-C31 = -y, C23 =-C32 = ß2-a3 . Das charakteristische

System [6] der Pfaffsche Gleichung (4.11) hat den Rang=3 (im Fall wenn sie nicht integrierbar ist) und ist dem System

Q1 Q2 Q3

ß2 -a 3 ß1

Q4 = 0 (4.23)

äquivalent. Aus (4.22) folgt, daß für Vektoren S*=(-a2,a1,0) und S=((ß2-^3),ß1,-a1) beide Bedingungen S DS*=0 und 2*= DS = 0 erfüllt sind. Dies beendet den Beweis des Satzes 1.11.

4.3. Anwendungen zur Theorie nichtholonomer Kongruenzen. Berechnungen.

Hier werden die Sätze 1.12-1.16 bewiesen.

Beweis des Satzes 1.12 und der Folgerung 1.13. Das System (3.1) bestimme eine hypebolische nichtholonome Kongruenz. Man wähle ein begleitendes 4-Bein, so daß die Punkte A0, A1 die Brennpunkte bestimmen und die Ebenen Ä0=Spann(A0,A1,A2) und Ä1=Spann(A0,A1,A3) die entsprechende Brennebenen sind. Aus (3.4), (3.8) und (3.10) folgt dann q12=q34=0, q24=q13=0, q14q23=0, q14+q23*0, q14-q23*0, wo die Funktionen qiJ von den Gleichheit (3.6) bestimmen werden. Das System, das aus der Gleichungen (3.1) und (3.3) für t1=0 besteht, bestimmt eine Torse mit dem Gratpunkt A0. Ist die Ebene Ä0 die Tangentialebene dieser Torse, dann ist diese Torse auch vom dem System bestimm, das aus der Gleichungen (3.1) und (3.7) für x2=0 besteht. Aus der Äquivalenz beider Systeme folgt a1=b1=0. Analog wird es bewiesen, daß a4=b4=0 gelten. Dann gelten auch q14=0, q23^0. Das System (3.1) wird Jetzt dem System Q2=Q3=0 äquivalent.

Die Spezialitätsbedingung (4.4) zeigt, daß es genau zwei spezielle nichtholonome

Komlexe K1 und K2 gibt, die eine hyperbolische nichtholonome Kongruenz k enthal-

3 2

ten [7]. Sie werden mit Hilfe von der Gleichungen Q =0 und Q =0 entsprechend bestimmt. Aus (4.5a), (4.5b) und (4.6) folgt, daß die Zentren der Geraden leM in bezug auf K1 und K2 mit den Brennpunkten von k übereinstimmen und die Hauptebenen mit den Brennebenen der Geraden l übereinstimmen. Die nichtholonome Komlexe K1 und K2 sind dabei laut dem Satz 1.5 von der Ausstattung der Grassmann'schen Mannigfaltigkeit M mit den glatten Feldern der in bezug auf k nicht entsprechenden Paare von Brennpunkten und Brennebenen erzeugt. Dies bewest die gerade Behauptung des Satzes 1.12.

Wir bemerken, daß es für eine hyperbolische nichtholonome Kongruenz k noch zwei nichtholonome Komlexe K3 und K4 gibt, deren Zentren und Hauptebenen mit den Brennpunkten und Brennebenen für k übereinstimmen und die von der Ausstattung der Grassmann'schen Mannigfaltigkeit mit den glatten Feldern von in bezug auf k entsprechenden Paaren von Brennpunkten und Brennebenen (laut dem Satz 1.5) erzeugt sind.

Diese speziellen nichtholonomen Komplexe K3 und K4 enthalten nicht die nichtholonome Kongruenz k und sind mit den Gleichungen Q4=0 und Q1=0

entsprechend bestimmt. Die nichtholonome Kongruenz k =K3nK4 wird mit Hilfe des

1 2

Systems Q =0, Q =0 bestimmt und stellt deswegenn eine komplementäre Distribution für k dar. Dies beweist die Folgerung 1.13.

Um die gegenseitige Behauptung des Satzes 1.12 zu beweisen, nehmen wir an, daß die Paare {Z1,Ä1} und {Z2,Ä2} glatter Felder von unterschriedlichen Punkten und Ebenen der Geraden leM laut dem Satz 1.5 spezielle nichtholonome Komplexe K1 und K2 bestimmen. Wählen wir ein begleitendes 4-Bein so, daß A0=Z1, A1=Z2, Ä1=Spann(A0,A1,A3), Ä2=Spann(A0,A1,A2). Aus (4.10) folgt dann, daß K1 und K2

3 2

mit Hilfe von der Gleichungen Q3=0 und Q2=0 entsprechend bestimmt werden. Die nichtholonome Kongruenz k=K1nK2 wird mit Hilfe vom System (3.1) mit a1=a2=0,

a3=1, a4=0, b1=0, b2=1, b3=b4=0 bestimmt. Aus (3.4)-(3.6), (3.8)-(3.9) folgt jetzt, daß die Punkte A0, A1 die Brennpunkte für k und die Ebenen Ä1 und Ä2 die Brennebenen sind. Das bedeutet, daß k hyperbolisch ist. Dies beendet den Beweis des Satzes 1.12.

Beweis der Sätze 1.14 und 1.15. Es seien A0 der Brennpunkt und die Brennebene Ä=Spann(A0,A1,A2) einer parabolischen nichtholonomen Kongruenz k. Aus (3.4)-

(3.5) und (3.8)-(3.9) haben wir dann: q12=q14=q13=q23=0, q24*0, q34*0. Deswegen ist

4 2 3

das System (3.1) dem folgenden System äquvalent: Q =0, f2Q2+f3Q3=0, wo f2=q24^0, f3=q34^0 glatte Funktionen auf Grassmann'schen Mannigfaltigkeit sind. Jeder beliebige nichtholonome Komlex K^k kann mit Hilfe der Gleichung

2 3 4

a(f2Q +f3Q )+ßQ =0 bestimmt werden. Die Spezialitätsbedingung (4.4) gibt a=0. Der nichtholonome Komplex K0, der mit Hilfe der Gleichung Q4=0 bestimmt wird, ist deswegen der einzige spezielle nichtholonome Komplex, der die nichtholonome Kongruenz k enthält. Dies beendet den Beweis des Satzes 1.14, da der Punkt A1 das Zentrum der Gerade A1A2 in bezug auf K0 ist und die Ebene Ä die Hauptebene ist.

Um den Satz 1.15 zu beweisen, betrachten wir einen beliebigen nichtholonomen Komplex K^k, der mit Hilfe von

der Gleichung a(f2Q2+f3Q3)+ßQ4=0 mit a*0 bestimmt wird. Aus (4.2) und (4.3) folgt, daß seine Hauptkorrelation dem Brennpunkt A0 die Brennebene Ä zuordnet.

Nehmen wir jetzt an, daß das System (3.1) eine nichtspezielle nichtholonome Kongruenz k bestimmt. Die erste Gleichung des Systems (3.1) bestimme eine speziellen nichtholonomen Komplex K. Seien A0 das Zentrum und Ä=Spann(A0,A1,A2) die Hauptebene der Gerade A0A1 in bezug auf K. Dann folgen aus (4.5a), (4.5b) und aus

(4.6): a1=a2=a3=0. Bestimmt die zweite Gleichung in (3.1) einen nichtspeziellen nichtholonomen Komplex k, dessen Hauptkorrelation dem Zentrum A0 die Ebene Ä zuordnet, wird die Gleichheit b1=0 aus (4.3) folgen. Das System (3.1) wird dann dem System b2Q2+b3Q3=0, Q4=0 äquivalent. Aus (3.5), (3.6) und (3.9) folgt, daß die Bedingung b2=0 oder b3=0 bedeutet, daß k eine spezielle nichtholonome Kongruenz (entsprechend des zweiten oder des ersten Typs) ist. Wenn es nicht der Fall ist, wird auch der nichtholonome Komplex K nicht speziell. Aus (4.3) folgt dann,das seine Hauptkorrelation dem Punkt A0 die Ebene Ä zuordnet. Dies beendet den Beweis.

Beweis des Satzes 1.16. Wähhlen wir ein begleitendes 4-Bein so, daß A0 und A0A1A2 entsprechend das Zentrum und die Hauptebene der laufenden Geraden A0A1 in bezug auf einen speziellen nichtholonomen Komplex K sind. Dann wird K mit Hilfe von der Pfaffschen Gleichung (4.11) bestimmt. Betrachten wir eine 2-dimensionale Unterdistribution k^K. Wir können sie mit Hilfe von der Pfaffschen System Q =0,

12 3

b1Q +b2Q +b3Q =0 bestimmen, wo b1, b2, b3 glatte Funktionen auf M sind. Die Gleichungen (3.4) und (3.8) für Brennpunkte und Brennebenen werden entsprechen zu den Gleichungen (b1t0+b3t1)t1=0 und (b2x2-b1x3)x2=0 reduziert. Dies bedeutet, daß die nichtholonome Kongruenz k dann und nur dann parabolisch wird, wenn gelten:

2 2

bi=0, (b2) +(b3) ^0. Sie wird speziell des ersten Typs, wenn gelten: fy=b2=0, d.h. wenn k die zentrale nichtholonome Kongruenz k2 für K ist. Daraus folgt, daß alle 2-dimensionalen Distributionen, die die 1-dimensionale Sonderdistribution (4.18) enthalten und deswegen mit Hilfe von einem System

Q4=0, b2Q2+b3Q3=0 (4.24)

mit glatten Funktionen b2 und b3 bestimmt werden, sind parabolisch mit der Ausnahme von zentraler k1 (b2=0) und fokaler k2 (b3=0) speziellen nichtholonomen Kongruenzen des speziellen nichtholonomen Komplexes K. Selbst der spezielle nichtholonome Komplex K ist der abgleitete nichtholonome Komplex für alle parabolischen nichtholonomen Kongruenzen (4.24). Fixieren wir jetzt eine nichtholonome Kongruenz k aus diesem Büschel von nichtholonomer Kongruenz (4.24) und suchen solche Richtungsfelder (2.4) aus k, die zentralen Kurven der integralen Regelflächen von denen die asymptotischen Kurven dieser Regelflächen sind. Aus (2.1), (2.2) und (4.14) erhalten wir

d2A0 =00A0 +01A1 +02A2 + {((©0 3) + a4Q2 - ß4Q3)q4 +a1Q1Q2 +

+ a2(Q2)2 +(a3 -ß2)Q2Q3 -ß1Q1Q3 -ß3(q3)2|a3,

wo die konkrete Ausdrück für die differentiellen Formen 0i für uns nicht interessant sind. Gehört das Richtungsfeld (2.4) der Distribution (4.24), gelten: b2X2+b3X3=0, X4=0. Daraus folgt, daß dia zentrale Kurve der integralen Regelfläche dieses Richtungsfeldes eine asymptotische Kurve ist, wenn dazu noch gilt:

X2(b3(a^ + ß1b2+ (a2b2 - b2b3(a3 - ß2) - b^)) = 0.

Die erste Lösung X2=X3=X4=0 gibt uns die Sonderdistribution (4.18). Die zweite Lösung gibt uns die asymptotische Tangente T(k), die aus (2.1) und (2.4) folgenderweise bestimmt werden kann: T(k)=Spann(A0,b3P-b2Q), wo P=AA1-a1A2, Q=BA1+ß1A2 und A=a1ß2-a2ß1, B=a^3-a3ß1. Aus (3.2) und (4.14) folgt, daß die erste singuläre Gerade l1 als die Tangente der zentraler Kurve der charakteristischen Regelfläche (4.23) folgenderweise bestimmt werden kann: l1=Spann(A0,P). Dualerweise wird die zweite singuläre Gerade l2 als die Charakteristik der 1-parametrischen Schar von Hauptebenen der Geraden derselben charakteristischen Regelfläche (4.23) folgenderweise bestimmt: l2=Spann(A0,Q), daraus folgt, daß der nichtholonome Komplex K ausgeartet wird, wenn gilt: Aß1+Ba1=0. Wenn es nicht der Fall ist, wird die Abbildung k^T(k) umkehrbar eindeutig. Um den Beweis des Satzes 1.16 zu beenden, ist es jetzt genug zu bemerken, daß T(k1)=l1, T(k2)=l2 gelten.

Literatur

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6. Gardner R.B. Invariants of pfaffian systems // Trans. Amer. Math. Soc. 1967. 126, № 3.P. 514-533.

7. Sussmann H.J. Orbits of families of vektor fields and integrabiliti of distributions // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. Vol. 180. № 6. P. 171-188.

В.В. К а й з е р

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ГРАССМАНОВОМ

МНОГООБРАЗИИ (IV)

В 1-й части работы [1] сформулированы результаты, во 2-й части [2] приведен аналитический аппарат, в 3-й части [3] доказаны предложения 1.1-1.4. В настоящей заключительной части работы доказаны остальные предложения 1.5-1.16.