Аномалии внешнего и внутреннего гравитационного поля изостатически уравновешенной коры Земли в квадратичном приближении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 521.14/17+528.21+517.586

АНОМАЛИИ ВНЕШНЕГО И ВНУТРЕННЕГО ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ИЗОСТАТИЧЕСКИ УРАВНОВЕШЕННОЙ КОРЫ ЗЕМЛИ В КВАДРАТИЧНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

JI. П. Насонова, Н. А. Чуйкова

(.ГАИШ) E-mail: nason@sai.msu.ru

Получены формулы, учитывающие в квадратичном приближении вклад в гравитационное поле от дипольно распределенных аномальных масс, представленных в виде слоев, распределенных по высоте относительно эллипсоида относимости. Установлены соотношения между коэффициентами разложений по сферическим функциям некоторой функции и ее квадрата. Результаты проиллюстрированы на примере вклада от масс рельефа и скачка плотности на границе Мохоровичича.

Введение

Исследования глобального плотностного строения Земли показали, что в основном распределение аномальных (т.е., отличных от соответствия гидростатическому равновесию) масс по высоте носит дипольный характер: высотам рельефа соответствуют противоположные по знаку аномалии высоты поверхности Мохоровичича (М), а аномальные массы верхов и низов коры, верхов и низов верхней мантии часто противоположны по знаку [1, 2]. Если решать задачу вклада во внешнее или внутреннее гравитационное поле латерально распределенных аномальных масс в линейном приближении, то в этом случае между коэффициентами разложения по шаровым функциям гравитационного потенциала (т.е. силовой функции) (Спт,Впт) и представленных в виде_проетого сферического слоя аномальных масс (апт,Ьпт) существует линейная связь [3]

{Спт 1 Dnm )

2га + 1

R_

Аа

а

{&пт I Ьпт )

где Я, Аа, йо, а — средние радиусы и плотности для простого слоя и всей Земли соответственно.

Здесь для внешнего и внутреннего потенциала слоя используются следующие представления:

N

Ve(r,<p, А)

[Mof^iR

п= 1

п

?п(<р, А) = £(Cnm cos тХ + Dnm smmX)Pnm(sm(<p)).

N

ША),

m=О

В этих формулах Рпт($'т((р)) — нормированные по Каула присоединенные функции Лежандра, {апт, Ьпт} = {апт, Ьпт}\ — коэффициенты разложения относительных высот слоя Н = Н((р, А)//? по

сферическим функциям, Мо — масса Земли. В линейном приближении вклад двух дипольно распределенных близких по высоте простых слоев взаимно компенсируется. Однако в реальности аномальные массы являются не простым сферическим слоем, а распределены по высоте относительно эллипсоида относимости. В этом случае, как показано в [4], при решении в квадратичном приближении получаем для внешнего поля

I, "пт ) I, "пт ) 1 ^ I, "пт ) 2 I "пт ) з

(1)

а для внутреннего поля

{&пт 1 Г &пт 1 ^ 1 Г &пт 1 , , , п\ \ ^п В ~ и --2 1 Ъ +а(га+2) 1 ъ ,

ипт ) ипт ) 1 ^ ипт ) 2 V ипт ) з

(2)

где член в скобках { }] с индексом 1 соответствует коэффициентам разложения функции (К), член в скобках { }г с индексом 2 соответствует коэффициентам разложения функции (/г)2, а с индексом 3 — коэффициентам разложения функции кР2Ып{(р)).

Здесь а = |е, е — сжатие эллипсоида относимости. Как видно из формул (1), (2), квадратичный вклад { для диполей, в отличие от линейного { }] и эллипсоидального { }з, не компенсируется, а суммируется.

В настоящей работе описывается метод получения формул, позволяющих выразить коэффициенты разложения {апт,Ьпт}2, {апт,Ьпт}3 через линейные члены {апт,Ьпт}\ , и приведены соответствующие результаты. Эти формулы были получены путем математического моделирования символьных вычислений в пакетах компьютерной алгебры.

Постановка задачи

Исходное разложение некоторой функции /г = = Н(<р, А)//? по сферическим функциям степени га ^ N имеет вид

N / п

h(if, А) = ( X] (йпт C0S(mA) +

п= 1 \т=0 _ \

+ Ъпт s'm(mX))Pnm(s'm ф) I. (3)

Аналогичное разложение для h2 можно представить в виде

2 N / п

h2(tp, А) = Y^ ( cos(mA) +

п=0 \т=0 \

+ {bnm}2 sm(mX))Pnm(sm tp) I. (4)

Для нормированных по Каула присоединенных функций P„m(sin(<^)) используется формула

Рп,т(■*•) = Кп,т.Рп,т(х}>

1ет(2п + 1)(/г — т)\ е0=1, (5)

(п + т)\ ' ет>0 = 2.

К г, УП -

Задача состоит в том, чтобы выразить коэффициенты {апт}2, {Ьпт}2 разложения (4) через коэффициенты {апт)\ = апт, {Ъпт}\ =Ъпт исходного разложения функции 1г((р, А). В работе были реализованы два способа подхода к решению задачи. Первый способ заключался в получении непосредственного разложения произведений отрезков рядов по элементарным сферическим функциям путем проведения соответствующего интегрирования в буквенном виде. Во втором способе существенно использовались ряды Клебша-Гордана [5]. Представим оба эти способа более подробно.

Разложение по сферическим функциям

Введем систему элементарных сферических функций УП8(х,Х), аналогичных функциям /1 = 0,..., 2Ы, 8 = 0,..., 2п из [3]:

УП}5(х, А) = Рп,т(х) соб(/иА) (в ^п,т = в),

УПг3(х, А) = Рп,т(х) 5т(/иА) (5^(/г+1), т = 8 — п).

Система функций Уп^(х,Х) образует ортогональную систему в замкнутой области — 1 ^ х ^ 1, 0 ^ А ^ 2ж. Тогда разложение (4) можно записать так:

2Ы 2 п

, У

h„

{an,s} 2.

ln,s>n '

{bn,s-n} 2-

(6)

п=0 5=0

Коэффициенты /г„_5 этого разложения по элементарным сферическим функциям УП}5 вычисляются соответствующим интегрированием:

1 2тг

= — к2Уп^йХйх, х = бш (ср). (7)

4тг J J

х=-\ а=0

Здесь при вычислении под знаком интеграла в (7) надо подставить вместо /г2 квадрат исходного выра-

жения (3) для /г в символьном виде и производить интегрирование для конкретных значений N.

Таким способом были получены выражения коэффициентов {апм}2, {Ьп,т}2 Для А; <С 5. Для больших значений Ы, чтобы не вызывать переполнение оперативной памяти, предпочтительнее пользоваться пошаговым методом, при котором при увеличении порядка N исходного разложения на единицу определяю_тея заново не все целиком выражения {®п,т}2. {Ьп,т}2. а только те слагаемые в них, которые обусловлены новыми членами в разложении (3) при увеличении N. Отметим, что при таком переходе от N к N + 1 на каждом шаге расширяется матрица возможных коэффициентов {апт}2, {Ьпт}2 за счет коэффициентов со значениями п = 2Ы + 1, п = 2Ы + 2. При разработке такого алгоритма существенно использовались ряды Клебша-Гордана [5].

Ряды Клебша-Гордана

В книге [5] дано представление Клебша-Гордана для произведения двух присоединенных функций Лежандра Рп,т(х) ■ Ри,1(х) с разным набором индексов в виде конечного ряда по функциям Рп\,т+1(х) с численными коэффициентами.

Аналогичное разложение для нормированных функций имеет вид

п+к

Рп,т(х)Рк,1{х) = ^ ] $п,тЛ,1,п\Рп\ ,т+1(х) >

п\=тах(\п—к\,т+1)

(8)

где коэффициенты будем называть далее

коэффициентами Клебша-Гордана. Коэффициенты 5п,тЛ,1,п\ можно получить непосредственно интегрированием, как в (7):

*n,m,k,l,n 1

J_

4-7Г

2тг

Рп (x)Pkj(x) X

-1 А=0

х соб((/и + /)А) Уп 1 м+[ (IX (1х.

В настоящей работе использован также другой способ вычисления коэффициентов , требующий меньших затрат машинного времени. Используя известное соотношение Рп,т(х) = {\ — х2)т^2 • • £шРп(х), получаем из формулы (8) с учетом (5) полином относительно х, тождественно равный нулю в — 1 < х < 1:

К,

dn

d

п+к _ ¿т+!

п\ =гпах(|и—к\,т+1)

Приравнивая нулю коэффициенты этого полинома при разных степенях х, получим систему линейных обыкновенных уравнений для определения коэффициентов 8п,т,к,1,п\ ■

Формулы для коэффициентов {апт,Ьпт}2, {Оппи ЬПщ}з

Обозначим через к^) коэффициенты разложения (6), когда исходное разложение (3) для функции /г было выполнено до порядка N (аналогично для ;V + Г). Тогда из формулы (7) имеем = , где для добавок йк^), которые

надо внести в коэффициенты при переходе

от N к Ы + 1, получаем, используя разложение (8), следующие формулы:

1) для я = 0 (добавки при вычислении {а„_о}г):

+1

auN _ ±

п,о — 2

iV+l

1

Е $kSN+l,0,k,0,naN+l,0ak,0'

k= max(l, |iV+l —и|)

2N+2 [р/2] +1 iV+l

П Pp,2jPn,odx ^ tt+ljA/i x

p=0 /=0

k= max(l,/, \N+\-p\)

х {аы+Х4ак4 + Ъы+14Ьк4У, (9)

2) для (добавки при вычислении

{ап,т}2. т = Б):

dhN =-

+1

min(s,iV+l) N+\

plsdx E E 6kSN+\

1= max(0, k= max(l, s—I, s—N—\) \n—N—\ I)

l,k,S — l,n X

_1

4

Pp,s+2jPn,s dx X

X

х (ялг-н,1^-1 — Ьм+х^Ь^-д

ш!П([2л,+22-5Ь

гпах(0,Л?+1^х)) 2Л?+2 + ' ? Е

10 р=гпах(х, —1

N+1

У^ ^Л-^Л I 1 ./Л.-' I /./'("Л' | 1 ./".«г.Ч- I / + ^.У | 1 I / ) + гпах(1,

ЛГ+1 ^

+ ^5м+1,!+8,к,!,р(й^+1,!+8йк,! + | 1,/1 А;.- ) > •

&=тах(1,/, '

\М+\-р\)

(10)

_ 3) для п < я ^ 2п (добавки при вычислении {Ьп.тЪ, ТП = 5 = я- п):

dhN =-u'"'n,S ^

+1

min(s,AT+l)

iV+l

X

Pn s dx

E E ^

/= max(0, k= max(l, s—I,

s-N-1) \n—N— 11)

r 2A?+2—,s- ]

min([—J—ь

max(0,N+l—s)) 2N+2 + '

£

/=o

'У ] Pp,s+2jPn,s dx X

X

p=msx(s, —1 s+2j)

{N+1

У] SkSN+l,j,k,s+j,p(aN+l,jh,s+i — bN+\jClk:s+j) + k= max(l, s+j, |Л?+1—p|)

iV+l ^

" E l 1,/1 "Л' I 1,/1 A, + kx l 1,/1 N«,v./') > •

&=max(l,/, '

\N+\-p\)

(11)

Sk =

[p/2] = (p-p mod 2)/2

В этих формулах используются обозначения: '1,

к = Ы+ 1,

ближайшее целое от положительного числа р/2. Чтобы получить окончательные формулы для коэффициентов /г„_5 (п = 0,..., 2А^тах, 5 = 0,..., 2га), надо просуммировать все добавки ¿/г^, полученные при переходе от N к N + 1, начиная от минимального значения Л^ = [(п — 1)/2], при котором появляется этот коэффициент, и до А^тах — 1, где А^тах — максимальный порядок исходного разложения (3). Отметим, что при п = 0 формула (9) упрощается и дает известный результат

N п

{а00}г = Е \ипт

п= 1 т=0

Ь2 ) =

ипт}

(hs)2 dXds'mip.

Аналогично, используя (8), получаем коэффициенты {апт,Ьпт} з, п = 0.....Л; + 2. т =

= 0,... ,тт(га,Л0, разложения функции И(<р,Х) ■ ■ Рг^11^)) > входящие в формулы (1), (2):

mm(n+2,N)

{&п,т} 3 = Е ^2,Q,k,m,nfl-k,m\

fe=max(l ,т,\п—2\)

mm(n+2,N) {Km} 3 = Е 52

fe=max(l ,m,\n—2\)

(12)

Численные значения коэффициентов в формулах (9)—(12) не превосходят по абсолютной величине 2.3.

Мы видим, что учет квадратичных членов от разложения рельефа степени N вносит дополнительный вклад в гармоники потенциала степени п = 0 + 2Ы, причем величина этого вклада возрастает с ростом п. Вклад в нулевую гармонику свидетельствует об отличии среднего радиуса равновеликой сферы от среднего радиуса поверхности относимости для рельефа.

Результаты и выводы

В работе были разработаны алгоритмы для последовательного получения формул, выражающих коэффициенты разложения по сферическим функциям квадрата некоторой функции от (х= sin <р. А), заданной изначально в виде разложения по сферическим функциям, через коэффициенты этого исходного разложения. Окончательные формулы для численных расчетов были получены до значения Мпах = 9 включительно, которые позволяют оценить вклад от учета квадратичных членов в стоксо-вы постоянные степени 18. Полученные результаты проиллюстрированы на примере вклада квадратичных членов в гравитационное поле Земли от масс рельефа и скачка плотности на М.

lg(AF„)

Рис. 1. Зависимость относительного среднеквадратичного вклада ДУ„ квадратичных членов во внешний гравитационный потенциал от степени разложения п\ 1 — для масс рельефа; 2 — для скачка плотности на границе М; 3 — суммарный вклад

На рис. 1 представлена зависимость от степени разложения п среднеквадратического вклада как по отдельности для масс рельефа и скачка на М, так и суммарного вклада: Д17„ =

= (?„-(?„),)/(?„), =

п

1

индекс 1 соответствует

где Оп = £ (а2 я + Ь1

177=0

линейному приближению. Из рисунка видно, что вклад квадратичных членов от скачка на М на порядок выше вклада от рельефа, а суммарный вклад примерно того же порядка малости, что и линейный вклад для гармоник п= 1 -г9, и несколько уменьшается (примерно в два раза) лишь для гармоник, соответствующих неполной изостатической компенсации рельефа на М (п = 6, 10-г- 18). Вклад квадратичных членов для внутреннего поля для п > 1 по абсолютной величине мало отличается от вклада во внешнее поле и противоположен по знаку (для потенциала), что видно из сравнения формул (1) и (2). Отметим, что для силы притяжения вклад квадратичных членов во внешнюю и внутреннюю

силу притяжения одинаков по знаку и отличается лишь множителями (п + 1)(п + 2) для внешнего поля и п(п— 1) для внутреннего. Вклад же линейных членов и членов, учитывающих эллипсоидальность, противоположен по знаку для внешней и внутренней силы притяжения (в отличие от потенциала, для которого эти вклады одинаковы по знаку).

На рис. 2 представлена гистограмма распределения относительного вклада в стоксовы постоянные от суммы квадратичных членов для масс рельефа (г) и скачка плотности на М:

—

Ьг

ипт

^/Сам

JVU-nm Í^L Ьу, m

br unm

KaM

í^L hf-, m

где К и 0.115. Как видно из рисунка, квадратичный вклад для нескольких коэффициентов_превышает линейный вклад (5„,„>1) (для , Сц,ь Аьб-С\2$. С136,), а в основном («57%) 8пт >0.01, что весьма существенно при современной точности определения Стоксовых постоянных.

Рис. 2. Гистограмма распределения относительного вклада в стоксовы постоянные от суммы квадратичных членов для масс рельефа и скачка плотности на М

На рис. 3, 4 представлены карты суммарного вклада в аномалии внешней силы притяжения на земном эллипсоиде при линейном приближении (рис. 3) и для квадратичных членов (рис. 4) (разложение степени Л/=18, эллипсоидальный член отсутствует). Как видно из рисунков, линейный вклад в основном коррелирует с высотами рельефа или с глубинами М, т.е. положителен для материков и отрицателен для океанов. Вклад квадратичных членов коррелирует с квадратами /г^, /г,2, т.е. положителен везде, причем по порядку величины сравним с линейным вкладом. Поэтому, используя лишь линейное приближение при интерпретации гравитационных аномалий, можно получить непра-

%

- 16

- 14

- 12 - 10 - 8 - 6

- 4

- 2

-1 0 1 lg(5„,m)

Рис.

3. Линейный вклад в гравитационные аномалии на земном эллипсоиде от изостатически уравновешенной коры. Сечение изолиний 2 мГал. Диапазон изменений —17 18 мГал

120

180

240

300

360

Рис. 4. Вклад квадратичных членов в гравитационные аномалии на земном эллипсоиде от масс рельефа и скачка плотности на М. Сечение изолиний 2 мГал. Среднее значение 3.3 мГал,

максимальное значение 13 мГал

СП

Рис. 5. Общий вклад (линейный + квадратичный) в гравитационные аномалии на высоте 500 км от изостатически уравновешенной коры. Сечение изолиний 2 мГал. Диапазон изменений —4 16 мГал. Среднее значение 2.8 мГал, максимальное значение для квадратичного вклада 7 мГал

вильные оценки вклада границ коры в гравитационное поле Земли, а также неправильные оценки степени корреляции этих границ с гравитационными аномалиями.

Особенно заметен вклад квадратичных членов в спутниковой зоне, где он по абсолютной величине может даже превосходить линейный вклад для некоторых регионов. На рис. 5 представлена карта общего вклада линейных и квадратичных членов в аномалии силы притяжения на высоте около 500 км (относительно эллипсоида, подобного земному). Как видно из сравнения рис. 3 и рис. 5, для некоторых регионов общий вклад противоположен по знаку линейному вкладу, что может значительно исказить характер интерпретации спутниковых данных.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 04-02-16681).

Литература

1. Чуйкова H.A., Максимова Т.Г. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2005. № 4. С. 64 (Moscow University Phys. Bull. 2005. N 4. P. 76).

2. Чуйкова H.A., Максимова Т.Г. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006. № 2. С. 39.

3. Дубошин Г.Н. Теория притяжения. М., 1961.

4. Чуйкова H.A., Насонова J1.П., Максимова Т.Г. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006. № 4. С. 48.

5. Виленкин И.Я. Специальные функции и теория представления групп. М., 1965.

Поступила в редакцию 17.11.06