CC BY
5
УДК 621.396.22.029.7
АНИЗОТРОПНЫЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ СВЕТОВОД
В. И. Кривенков
(.Московская государственная академия приборостроения и информатики)
Сформулирован строгий метод решения задачи о собственных волнах анизотропного эллиптического световода. Рассмотрен наиболее интересный случай, когда главные оси тензора диэлектрической проницаемости сердцевины световода, которая имеет форму эллиптического цилиндра, совпадают с осями этого цилиндра. Для всех направляемых мод этого световода получены точные выражения для составляющих поля, дисперсионные уравнения и уравнения для критических длин волн.
Для ряда применений световодов, например в системах когерентной оптической связи, волоконно-оптических интерферометрах и многих других, необходимы световоды, сохраняющие состояние поляризации передаваемого излучения. В качестве световодов, сохраняющих поляризацию, можно использовать как эллиптические, так и круглые анизотропные световоды. В этих световодах из-за анизотропии соответственно формы или материала снимается вырождение ортогонально поляризованных мод и, если разность постоянных продольного распространения этих мод достаточно велика, перекачка энергии из одной моды в другую на неизбежных нерегулярное-тях может быть достаточно малой. Очевидно, что анизотропные эллиптические световоды при надлежащем выборе параметров должны иметь лучшие по сравнению с эллиптическими или круглыми анизотропными световодами поляризационные характеристики.
В настоящей работе предложен строгий метод решения задачи о собственных волнах анизотропного эллиптического световода. Представлен наиболее интересный случай, когда главные оси тензора ди-
электрической проницаемости сердцевины световода, которая имеет форму эллиптического цилиндра, совпадают с осями этого цилиндра. Для всех направляемых мод этого световода получены точные выражения для составляющих поля, дисперсионные уравнения и уравнения для критических длин волн. В общем случае структура метода практически не изменится, но все полученные ниже соотношения будут иметь более сложный вид. Фактически этот метод является обобщением представленных ранее методов решения аналогичной задачи для эллиптических [1, 2] и анизотропного градиентного [3] световодов.
В качестве модели анизотропного эллиптического световода рассмотрим однородную вдоль некоторой оси г бесконечно протяженную диэлектрическую структуру, состоящую из сердцевины в виде эллиптического цилиндра и бесконечно толстой изотропной оболочки с постоянной диэлектрической проницаемостью еоо-
Тензор диэлектрической проницаемости сердцевины в системе координат эллиптического цилиндра £, т}, г представим в виде
(л | А(£)(с112£ соэ 2г] — 1) сЬ 2£ — соб 2г] Д(£) зЬ2£ зт2г] сЬ 2£ — соб 2г]
0
где е(£)=
А(£) =
£я(0 -£у(0
«(О
главные значения тензора диэлектрической проницаемости в декартовой системе координат ж = асЬ £ соб у = аэ^ят??, г) — в общем случае кусочно-непрерывные функции, которые, определив точки разрыва £1, £2, • • •, £ь-1 > не ограничивая общности, учитывая [4], можно представить в виде
еЧ0 = Ее
к=0
1к
•6-
Д(£) вЬ2£ Бт2?7 сЬ 2£ — соб 2г] А(£)(сЬ2£ соэ 2г] — 1) сЬ 2£ — соб 2г]
0
4Ш = Е
к=О
£1к
6-
г = 0, ±1,
Д(£) = 5> к=0 / = 1,2,
•6-
6-1,
(6 = 0).
Полагая зависимость составляющих векторов напряженности электрического поля Е = ЕГ), Ех) и магнитного поля Н = Щ, Нх) направляемой моды рассматриваемого световода от времени £ и продольной координаты г в виде ер — ¡Зг)], где
1
ш и ¡3 — круговая частота и постоянная продольного распространения моды, из уравнений Максвелла для немагнитной анизотропной диэлектрической среды получим следующую систему уравнений в частных производных первого порядка:
т10 ~ а Р
00 00
дка _ А($)8т1?
1 + Д(£)соз$
д
а = 0,1,
.а г01 ) ^а
где
¿у/ёоЕх
к0ау ¿¿о^Ь С + эт2 V) Чц,
Зу^Нг
к0а\/¿¿о^Ь С + эт2 г])
( 1 — аД2(£)
(еЩ2^1^ 4 7/ дг]
1 + Д(£)соз??
Л2а2е" (£) (сЬ 2£ — соб 2г])
\
2(-7)
а—1
-у"
1 — аД2(£) /е(0
1 +Д(£)со8?? V 72 д_ дг]
2а—1
/
" \ch2t-cas2rij ы \к I
7 = , о7«о, £о и ¿¿о — электрическая и
магнитная постоянные.
В оболочке световода (£ ^ где Д(£) = 0, общее решение этой системы уравнений, экспоненциально убывающее при £ —> оо, имеет вид
оо 1 п=0 г=0
а = 0,1, /х, г/ е {0,1}, где Ьд = 0, если г/ = 0,
/ 1 \
Аг =
71г —
г-Л-г й 00 а
и
Ь+1
<3?? у
/
0
7 еоо
9
¿ = 0,1,
V "1+1 ^ /
« =
1 = 1,2,...,.
. /- + 1 (еь+1,о = еоо); д) = зет(г], д), д) = сет(п, 1)
(з4(л, д)=0),
М° (£, д) = д), д) = (£, д)
(М0°(£,д)=0), т = 0,1,...,
5ет(?7,д), сет(г), д), - угло-
вые и радиальные функции Матье третьего рода [5], //иг/ — параметры, определяющие тип направляемой моды, а в сердцевине световода (0 ^ £ < посредством подстановки
оо т=0
6-/ = 1,2,
Ь, а = 0,1,
где
Зт^Я) =
0
0 яс^а(?7,д)
исходная система в частных производных может быть преобразована в бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
Т. [(«
п=О
1,1,1 (¿\Т10 2т+и,2п+и\$)100 '
— ( —1)°^2т+1у,2п+1у(0^п "(О £/-!<£<£/, / = 1,2
,...,Ь, а = 0,1, т = 0,1,
где
/ ^11—а—д|,£,0,1
Да1 (с\ _ тп^/
(О
(1 — аД2(£))-1
2а—1
•у"
8п "т
а
а-ц\,1,0,0/
(1 — аД2(£))-1 \ 72 /
2а—1"
1—а—д|,£,0\
\
2>кп
2(-г У
Стп
2тг
СшпЧО =
■«с® (?7,дг)х
7Г 7 1 + А(£)сОЗ??
О
^вс^-1*^11^,«) . _ V"* поЛЦ ( $ ~ 6-1 4 &
„аН
а-п
(1г)Э
2тг
1 [
— / СОБ
7Г У
0
й=0
с1г]г
йг),
8п
— символ Кронекера.
Непрерывное решение последней системы уравнений, удовлетворяющее известным условиям при £ = 0, представим в виде
%=0 п,к=О
1 = 1,2,...,1, а = 0,1, т = 0,1,..., где ай = 0, если V = О,
ьаг1
/ ь,
тпО — $т\а А1!
1 — г,
ra.il / _ 1 о г
тпО / ^ х 2т+и,2]+и"'зпк^ 1 ' ' ' >
3,к=0
тра1 _ (fmn 0 |
я» I п Л-а,2 I '
\ « 1тп )
2тг
/™ = - / яс® (т7,®+1)ас£(т7,®)Ж7,
Я" У
о
оо &
«=0 ¿=0
С.
а—д|,£,1,1
д,
ю
-7 а<7,
2т+у,2я+у,к-з 00 I пвпз
/_1\а 11—а,1,1
Ч л2т+и,2 я+^,к-зпзпз
= 0,1,..., а, г = 0,1,
да! _ тпк
7 ( к Су 7
¿=0
гп „га „га»!!-
т £1,к-зЩ £1к стп
3=0_
Л" Л1
°т° О
к
ла
т,п,к—з ъц
к Э=°
72(2а-1)
«П »'Я
к з
(?к = ~ а 53 £\к-зЬ,3-гЫ-,
3=0 г=0
ВД-&-1)"*
Приравняв к нулю определитель однородной линейной системы уравнений с неизвестными агп,Ьгп, г = 0,1, п = 0,1,..., где а§ = Щ = 0, образованной в результате сшивания общего решения уравнений Максвелла на границе сердцевина-оболочка (£ = > получим уравнение относительно неизвестной фазовой постоянной -у
0,1/€{0,1},
где
Р^ (-^тп)' {Qm,n)^! ^ 0, 1, ■ ■ ■
/,0,0,ь+1 : ,о,1,ь+1\
т,п0 ' т,п0
Qmn
\ тпО
-
к
1,1, ь+1
тп 0
/,0,1,Ь+Л тОО
1.1Д, Ь+1 \ тОО /
(п + г/^0),
т,п
рцО
Оп
-2 „1-/*,Ь+1,1 т
С//П
(-^еоо«^!^, 1 - ц, -(1 -
8п V т,
р^О _ ^00 —
1,Ь+1,1 2п '
(т + г/^0),
п = 1,2,.
которое является дисперсионным уравнением для четных мод еНЕто„ и еЕНто„, если ¡л = 0, или для нечетных мод 0НЕТО„ и 0ЕНТО„, если ¡л = 1, с азимутальным индексом т = 2к + V, к = 0,1,... .
Переходя в этом уравнении к пределу -у —> л/Щю> получим уравнение относительно неизвестной дли-
ны волны А = 2жк0 1
det[R^Q^(j = ^)}= О, ц,и€{0,1},
где
= т,п = 0,1,...,
<?=(//, 0, 1-^, О),
Diil _ ( ^ 0 0 0 I Jj^v _ Jiliv _ (-то р/il/
_ 10 0 1 о /' ~~ ~~ '
тин
8п ( то V
"то
4)^7Г2£оо
\ А2а 2(т
п
"то
•i/)ch2£b + sh2£b]
А27Г-2а-2рт + г/)2^1]
0 \
/
тп,п = 1,2,..., которое является уравнением для критических длин волн для четных (// = 0) или нечетных (/х = 1) направляемых мод с четным (г/ = 0) или нечетным (г/ = 1) азимутальным индексом.
Литература
1. Кривенков В.И. // ДАН. 2002. 382, № 1. С. 38.
2. Кривенков В.И. // ДАН. 2002. 386, №6. С. 749.
3. Кривенков В.И. j j Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2004. №3. С. 19 (Moscow University Phys. Bull. 2004. N 3).
4. Кривенков В.И. 11 ДАН. 2001. 378, №6. С. 751.
5. Абрамовиц М., Стпиган И. Справочник по специальным функциям. М., 1979.
Поступила в редакцию 15.12.03
