Планарный слабоконтрастный брэгговский волновод со стенками из периодически расположенных дельта-функций Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 681.7.068.4

ПЛАНАРНЫЙ СЛАБОКОНТРАСТНЫЙ БРЭГГОВСКИЙ ВОЛНОВОД СО СТЕНКАМИ ИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИ РАСПОЛОЖЕННЫХ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ

Р. М. Фещенко1, А. В. Виноградов

Развита аналитическая теория планарных слабоконтрастных брэгговских световодов, основанная на представлении тонких размытых слоев дельта-функциями. Найдено дисперсионное уравнение для световода с малым числом слоев, оценены радиационные потери. Проведены численные расчеты потерь для световода с параметрами, близкими к реальному волокну, известному из литературы. Представленная модель является более реалистичной, чем модель с резкими границами слоев.

Несмотря на значительные успехи, достигнутые при использовании простых оптических волокон, основанных на полном внутреннем отражении, в волоконной оптике существует ряд нерешенных проблем. Они связаны с необходимостью уменьшения не линейности, управления дисперсией и количеством распространяющихся в волокне мод, реализацией одномодового режима в волокнах с большим диаметром сердцевины. Последнее необходимо для создания мощных одномодовых волоконных лазеров [1]. Для решения обозначенных проблем необходим переход к использованию световодов сложной конструкции: микроструктурированных и брэгговских. Если первые из них хорошо известны и находят практические применения, то вторые только начинают развиваться.

Начало изучения брэгговских световодов было положено в работах [2, 3], где рассматривались световоды с полой сердцевиной и большим скачком показателя преломления между слоями. В более современных работах [4, 5] получила распространение другая конструкция, где сердцевина состоит из материала с показателем преломления, немного

1 rusl@sci.lebedev.ru

меньшим 0.001), чем в оболочке, а отражение обеспечивается структурой, состоящей из трех концентрических слоев с показателем преломления немного выше 0.01), чем в оболочке. Было экспериментально показано, что в таком волокне существуют брэгговские моды с относительно малыми радиационными потерями [4, 5]. Дальнейшее развитие подобных слабоконтрастных брэгговских световодов требует развития их теории и методов расчета.

Ранние попытки построения аналитической теории брэгговских световодов связаны с использованием приближения, где все слои имеют резкие границы [2, 3]. Однако из измерений известно, что такое приближение далеко от реальности - слои размываются, и получаются острые пики показателя преломления (см. рис. 2 и 8 в [5]). Развиваемая в настоящей работе теория основывается на представлении тонких размытых слоев с помощью дельта-функций. На этой основе выводится и численно решается дисперсионное уравнение, находятся радиационные потери планарных слабоконтрастных брэгговских световодов.

Отражение от бесконечной периодической структуры, состоящей из дельта-функций. Рассмотрим отражение электромагнитной волны с s-поляризацией от пла-нарной многослойной структуры с диэлектрической проницаемостью е(х) вида:

оо

е(х) = £i + а ^ 8{х — ml), (1)

171=0

где £i - диэлектрическая проницаемость среды в промежутках между дельта-функциями, / - период многослойной структуры, а а > 0 - интеграл от дельта-функции. Электрическое поле удовлетворяет волновому уравнению:

Е"(х) + к2 (ф) - р2) Е(х) = 0, (2)

где к - волновое число, ар- компонента волнового вектора вдоль волокна, отнесенная к к. Из (1) и (2) следует, что между дельта-функциями электрическое поле Е(х) может быть представлено в виде:

Е(х) = Clme"^-m'> + C2me-*"<*-m,\ (3)

где к = ку/е-1 — р2, (ш — 1)/ < х < т1, т = 1,2,... и х < 0, т — 0. Коэффициенты С\т и С2т находятся из условия непрерывности поля на дельта-функциях, при следующих из (2) скачках производной. Коэффициент отражения от такой структуры равен:

я = (4)

Вектор Cjm = (Cim, С2т)Т при трансляции влево на период I преобразуется с помощью матрицы перехода МТ:

Сц., = MTCim, (5)

где матрицы М и Т - это матрицы прохождения через дельта-функцию и сдвига влево на расстояние /, соответственно. Можно показать, что:

1 / е-С"**) -ieiU sin ip \ к2 а л , , тг

МТ =- . ... \ , а = ——, tg^ = a, 0 < v? < —.

eos ip у ie~ sin <p et(i/í+v) y 2k 2

Для бесконечной многослойной структуры в силу теоремы Блоха справедливо:

MTCi = /iCi, (7)

т.е. вектор столбец C¿ является собственным вектором оператора МТ. Собственные числа МТ равны:

= Т, (8)

cos<¿>

а собственные векторы:

_ ( iaeiU \ _ /- И2\

xli - I . А , _2„-.7ZkW> .. I ' ХЬ - ( -iae~ilK I '

Vi + а2е-'(,к+^) - /xi У '

Не ограничивая общности, положим теперь |/xi| > 1, а |/гг| < 1 (поскольку |ij = | det МТ| = 1)- Тогда в соответствии с (4) и (9) коэффициент отражения от бесконечной многослойной структуры, составленной из дельта-функций, будет равен:

R=-e-il*[ATiVT=A>), A=SÍn(/K + y')> (10)

sin у?

где верхний знак (минус) выбирается, если eos (/к + ip) > 0, и нижний знак (плюс), если cos(//c + ip) < 0. Можно показать, что случай cos(//c + <р) > 0 отвечает четным брэгговским порядкам, а случай cos(//c + <р) < 0 - нечетным.

Будем считать, что а £ И, т.е. поглощение в среде отсутствует. Тогда коэффициент отражения (10) равен по модулю 1, если |А| < 1. Границы этого интервала определяются уравнениями:

sin(//c + tp) = ± sin v?, (11)

которые имеют следующие решения (относительно длины волны А или параметра р):

2ly/a - р2 = пА, 2lyfei-p2 = + А. (12)

Для центра полосы, т.е. для точки, где А = 0, можно получить:

2/^/еа-р2^ + (13)

В формулах (12)—(13) п = 1,2,.... Формулы (12)—(13) определяют полосы, нумеруемые числом п. Полоса с центром, определяемым уравнением (13), имеет границы, определяемые уравнением (12).

Заметим, что центры полос, определенные из условия (13), соответствуют минимумам абсолютной величины одного из собственных чисел (8): минимальное положительное значение одного из собственных чисел достигается в четных полосах, а минимальное по модулю отрицательное - в нечетных. Эти минимальные по абсолютной величине числа равны:

= Та ± VI + а2 = ±аё + 0 ■ (14)

Минимальные значения соответствуют в силу уравнения (7) максимально быстрому затуханию электромагнитной волны в глубь структуры, т.е. наилучшему удержанию поля в световоде. Рассмотрим два частных случая.

• Пусть параметр а мал. В этом случае:

7Г СИ . .

Тогда для центра полосы можно получить из (13) выражение

21у/£1-р* = - ^—з + пХ, (16)

у у/ег - р2

которое приблизительно совпадает с известным условием Брэгга, поскольку первое слагаемое в правой части мало. Для границ полос имеем из (12)

21у1ех -р2 = Хп, 21у/£1 -р2 =--72^== + Хп. (17)

• Пусть теперь а 1. В этом случае для центра полосы имеем из (13)

21^е\ — р2 = Л(—1/2 + га), (18)

для границ полос получаем из (12)

21у/£1 - р2 = Хп, 21у/б1 -р2 = А ( —1 + п). (19)

Из формул (18) и (19) видно, что полосы смыкаются друг с другом, образуя сплошную зону, где = 1.

Моды идеального слабоконтрастного брэгговского световода. Рассмотрим симметричный планарный волновод со следующей зависимостью диэлектрической проницаемости от *

£о, М < 2> / ч

(20)

е(х) =

еа+а £ ¿(|x|-6-f-m/), |*|>f,

т=0

где (1 - толщина сердцевины волновода, а. е0- ее диэлектрическая проницаемость. Параметр Ь - расстояние от границы сердцевины до первой дельта-функции или т.н. фазовый параметр.

Будем далее рассматривать только симметричные моды, т.е. решения уравнения (2), для которых справедливо Е(—х) = Е(х). Симметричные моды при прочих равных условиях лучше удерживаются световодом и, следовательно, представляют основной интерес. Тогда в сердцевине решение уравнения (2) можно записать как

д

Е(х) = Е0 eos (í/*) , г] — kyje0 - р2, |*| < -. (21)

Дисперсионное уравнение в общем виде записывается, исходя из непрерывности логарифмической производной при х = d/2

, (yd\ _ .к 1 - Дехр(2гбАс) V +Äexp(2»ftic)'

где R определяется формулой (10). Его можно преобразовать к виду:

r,tgV{ = «ctg - у - ^ + ' cos(/k + v) < °> (23)

7/tg^ = «ctg (bK-J + l'iy cos(/k + V>) > (24)

где

. (sm(ln + ip)\ тг 7Г

7 = arcsin I Ц-^ , --<!<-■ 25

\ sin y> J l ¿

Как видно, параметр 7 не всегда вещественен. Уравнения (23)-(24) в общем виде и при учете материальной дисперсии могут быть решены только численно.

Рассмотрим теперь несколько частных случаев. Случай малого a здесь не представляет интереса, поскольку в реальных волокнах число периодов невелико и, следовательно, волновод будет плохо удерживать поле.

• Пусть а 1. Как уже отмечалось, это соответствует ip ¡=s 7г/2 и, следовательно,

sin</? й ±1 и Ай sin(//c + 7г/2). Можно показать, что уравнения (23) и (24) сводятся к одному уравнению

7?tg^ = /cctg(bK). (26) В наиболее простом случае, когда b — 0, уравнение (26) упрощается

rid 7Г 2жт „ . ч

iytg-^- = oo ^ + m = 0'1'2'- (27)

Формулу (27) с учетом определения rj можно переписать как

^-"ЧзУйн2- (28)

Выражение (28) можно использовать для классификации брэгговских мод. Первой считается мода с т — 0. При условии а 1, как отмечалось выше, брэгговские полосы отражения разных порядков сливаются, а моды существуют при всех значениях т и определяются формулой (28). При конечном а (28) определяет моды лишь приближенно, а решения дисперсионного уравнения (23-24) существуют не при всех т, а только если тп < т < т'п, где числа тп и т'п определяют границы области существования мод в n-м брэгговском порядке.

• Пусть теперь е0 — р2 <С |£i — £о|- Тогда можно считать, что к не зависит от р и

2тг ,_

/С = у у/ех - е0. (29)

Следовательно в уравнениях (23) и (24) правая часть не зависит от г) и они легко решаются.

Рассмотрим пример с параметрами, близкими к реальному волокну (см. [5], рис. 8а) Е\ — £о = 2пАп = 3 • 10~3, 1 = 1 мкм, d = 40 мкм, с* = 1.5 • Ю-2 мкм и А = 1 мкм. Для основной моды из (28) имеем £о — р2 ~ A2/(4gP) яз 2 • Ю-4 <С — £о|. Далее получаем а = 7гаА_1(£1 - £0)~1/2 « 0.86 и <р » 0.71. Также 1к + у? и 3.12 w тг и cos(3.12) < 0. Тогда А « 0.037 и Л и —1.31. Следовательно 7 w 0.037, и работает уравнение (23). Теперь можно оценить правую часть уравнения (23). Она получается равной

к (, \к 7 тг\ , .

-ctg Í Ьк - - - j + - I » -14.62, (30)

т.е. приближение большого а также хорошо выполняется. Минимальное по модулю собственное значение равно

Mmin = А + \/л2 - 1 «-0.45. (31)

Уравнения (23) и (24) можно использовать для определения оптимального / для заданной длины волны Л. Это значение соответствует равенству бесконечности правой части в уравнениях (23) и (24). Отсюда получается:

cos(2b/c — 1к) sin ip = sin(/« + lp)- (32)

Это уравнение может быть решено численно. При b = О оно переходит в

sin 1к = 0 1 =-, т = 1,2,... (33)

/С

которое при условии 6q — р2 <С |£i — £о| прямо определяет I.

Моды при конечном числе слоев. Радиационные потери. Рассмотрим симметричный планарный волновод, содержащий конечное число слоев дельта-функций, со следующей зависимостью диэлектрической проницаемости от х

е(х) =

£о, N < f,

N

ei + a £ S(\x\-b-l-ml), f < |х| < f + (N - 1)1 + 6, (34)

m=0

ei, |x|>f + (iV-l)/ + b,

где N - число дельта-функций. Тогда дисперсионное уравнение для симметричных мод запишется в виде, аналогичном (22):

(Т)с1\ . 1 — Яр/ ехр(2гЬк)

1Гу = ~1К 1 + Ду ехр(2г'6/с)' (35)

где Ддг - это коэффициент отражения от конечной периодической структуры, содержащей N дельта-функций. Этот коэффициент отражения может быть определен с помощью матрицы перехода МТ. Ы-я степень от МТ равна:

i [ Rtf - Rfl -(rf - tf)

(МТ) R - R { RR(^ - tf) Rtf -Rfi» ) '

где

Я = —е~'и (Л ± ¿л/1 - А2) . (37)

Как и раньше считается, что > 1 и |/х2| < 1, верхний знак (плюс) выбирается, если сов(/к + (р) > 0, и нижний знак (минус), если сов(/к + (р) < 0. Формула для

коэффициента отражения Ддт выглядит как (см. (4))

причем это выражение при N оо стремится к Я, т.к. < 1. Рассмотрим теперь

случай, когда фазовый параметр Ь = 0. Тогда дисперсионное уравнение (35) принимает вид

1 - — - Я1 ^ Г>

Т]д\ .1-Я

Я 1 - я

Д1-Д

1 - Г-

^ Я 1 + я

(39)

Я 1 +л

При выполнении условия | «С 1, уравнение (39) можно приближенно написать как

/шЛ . 1-Я

пЬе — и — гк-—

\2 I 1 + Я

т 2 Я(Я — Я)

(40)

Я(1 - Я2).

Уравнение (40) приводит к поправке к величине г] бесконечной структуры, полученной из (21), которая в дальнейшем будет обозначаться 8г]. Поскольку коэффициент отражения Ям всегда меньше по модулю 1, то эта поправка будет иметь отрицательную мнимую часть 8г}", соответствующую затуханию волны в волноводе из-за утечки излучения в окружающее пространство.

0.26 0.22 7 0.18

р? 0.14

0.10 0.08

1000 -

0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 Длина волны, мкм

1.0 1.1 1.2 Длина волны, мкм

Рис. 1. Вещественные части 77 для первой (сплошная линия) и второй (пунктирная линия) мод планарного брэгговского волновода.

Рис. 2. Коэффициенты затухания для первой (сплошная линия) и второй (пунктирная линия) мод планарного брэгговского волновода.

Считая в первом приближении, что к не зависит от Т], для поправки 8г) и ее мнимой части 8т}" можно теперь получить:

8т)

2тг

1 1-Я

2тп + 1 кд2 1 + Я

1-е

дг 2 Я(Я — Я) Я(1 - Я2).

(41)

Sri"

2тг

CN

Re

2Я(Я - Я) . Я( 1 - R)2 _

(42)

2т -)- 1 кс12

где т - порядковый номер моды как определено выше. В точке точного резонанса, когда Я = ±гехр(—г/с/) и А = 0, имеем

Re

2Я(Я - Я)

= -2 < О,

. Я(1 - Я)2 .

т.е. мнимая часть поправки отрицательна, как и следует из общих соображений.

(43)

1.0 0.8 0.6 0.4 d 0.2

$ 0.0 ß

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0

20 30

X, мкм

Рис. 3. Поля для первой (сплошная линия) и второй (пунктирная линия) мод планарно-го брэгговского волновода. Вертикальные линии отмечают расположение дельта-функций. Длина волны Л = 0,9 мкм соответствует минимуму потерь на рис. 2.

В качестве примера рассмотрим световод с параметрами, указанными выше, и п0 = у/eö — 1-45. Для решения дисперсионного уравнения (39) возьмем в качестве начальных значения г), определяемые формулой (27), и решим уравнение (39) численно итерационным методом. Найденная вещественная часть г) представлена на рис. 1. Коэффициент затухания волны в волноводе

dB = klmp = ImyJk2e0 - tf (44)

представлен на рис. 2. Поля первой и второй брэгговских мод изображены на рис. 3.

Скачки на рис. 1 соответствуют границе первой брэгговской полосы отражения, где А = —1. Как видно из рис. 2, минимальное затухание для основной моды ~ 3 dB/m.

Поля мод, начиная с третьей, не показаны, т.к. они не удерживаются световодом. Удерживаемые световодом моды 1 и 2 принадлежат первому брэгговскому порядку. Видно, что по порядку величины потери соответствуют измерененным в работе [5] (рис. 86). Разница (осцилляции потерь в эксперименте) обусловлена влиянием полимерной оболочки, которая здесь не учитывалась, а также тем, что измерения сделаны для волокна, а не планарного световода.

В работе была представлена точная аналитическая теория планарных слабоконтрастных брэгговских световодов со стенками, состоящими из дельта-функций, и предложена схема классификации брэгговских мод. Были рассчитаны затухание мод и дру гие параметры для примера, близкого к реальному волокну, взятого из литературы.

Теперь можно сформулировать правила построения брэгговских световодов:

1. Сначала выбирается рабочая длина волны световода и диаметр сердцевины d и определяется технологически достижимое значение параметра а (в представленной модели большие а соответствуют лучшему удержанию моды в волноводе);

2. Затем по формуле (27) находится начальное значение 7/;

3. Далее выбирается значение скачка диэлектрической проницаемости такое, что |ei — £о| ~> V2/k2, при этом Е\ > £0;

4. Путем решения уравнений (33) при фиксированном к, определяемом формулой (29), находится оптимальный период многослойной структуры /;

5. Наконец г] уточняется путем численного решения уравнений (23-24).

Найденный набор параметров полностью определяет структуру брэгговского световода. Например, параметры, использованные для расчета примера, оптимизированы для длин волн 0.9 < А < 1.0 мкм и диаметра сердцевины 40 мкм.

Представленная теория может использоваться для определения параметров как планарных световодов, так и для оценки параметров брэгговских волокон. Теория легко обобщается на случай световодов с более сложной структурой, например, если имеется полимерная оболочка. Дальнейшее развитие созданной модели возможно в направлении учета изгибных потерь. Построенная теория может быть полезной для расчетов свойств планарных гетероструктур, используемых в полупроводниковых лазерах.

Авторы выражают благодарность Ю.А. Успенскому, A.B. Попову за содержатель ные дискуссии по поводу теории оптических световодов. Работа выполнена при под держке по программе фундаментальных исследований РАН "Фемтосекундная оптика и

новые оптические материалы", подпрограмме "Новые оптические материалы", а также при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) проект No 07-02-01244-а.

ЛИТЕРАТУРА

[1] P. Roy, P. Leproux, S. Fe'vrier, et al. High power fiber lasers and amplifiers 7(2), 224 (2006).

[2] P. Yeh, A. Yariv. Optics Communications 19(3), 427 (1976).

[3] P. Yeh, A. Yariv, E. Marom. J. Opt. Soc. Am. 68(9), 1196 (1978).

[4] F. Brechet, P.Roy, J. Marcou, D. Pagnoux. Electronics Letters 36(6), 514 (2000).

[5] M. E. Лихачев, С. Л. Семенов, М. М. Бубнов и др. Квантовая электроника 36, 581 (2006).

[6] Е. И. Голант, К. М. Голант. ЖТФ 76(8), 101 (2006).

[7] Д. В. Прокопович, А. В. Попов, А. В. Виноградов. Квантовая электроника, 2007 (в печати).

Поступила в редакцию 11 апреля 2007 г.