CC BY
8
БОТ: 10.15587/2312-8372.2017.100393
АНАЛ1З ВЛАСТИВОСТЕИ СТРУКТУРНИХ МОДЕЛЕЙ КОМПЕТ В ПРОЕКТНОМУ УПРАВЛ1НН1
г-
Лук'янов Д. В., Колеснiков О. С., Дмитренко К. М., Гогунський В. Д.
1. Вступ
Метод Леонарда Ейлера щодо пошуку цикшв у графах використовуе процедуру послщовного перебору вершин у поеднанш з прийомом фарбування тих ребер графа, як вже пройденi [1]. Визначення цикшв на графах за цим алгоритмом фактично реашзуе схему повного перебору вЫх можливих варiантiв з на-явнiстю евристично! складово!, що вносить певну невизначешсть у разi форма-лiзацп для автоматизованого розв'язання задачь Визначення цикшв у орiенто-ваних графах, що вщображають топологiю проектiв, е актуальним завданням для розв'язання низки задач.
Для розв'язання задачi аналiзу структурних схем проеклв пропонуеться використовувати метод анал^ичного визначення циклiв в складних схемах управлшня. На вiдмiну вщ вiдомого методу Леонарда Ейлера, цикл визначаеть-ся в результатi анал^ичного розрахунку, а не евристичного пошуку. Основою для анал^ичного розв'язання задачi е використання характерних властивостей матриц сумiжностi [2].
2. Об'ект дослщження та його технологiчний аудит
В рiзних галузях для структуризаци знань i вiдображення внутрiшнiх вщ-ношень мiж елементами систем використовуються орiентованi графи. В проектному менеджмент це i схеми управлiння проектами, i модель компетенцiй. Властивостi цих об'еклв ще не вивченi в повнш мiрi.
Об'ектом даного до^дження е модель компетенцш у сферi професiйного управлiння проектами, що запропонована Мiжнародною асоцiацiею управлiння проектами [3]. Починаючи з версп 3.0, це не тшьки представлення структури самих компетенцш (у зазначенш верси 3.0- «техшчних», «поведшкових» i «контекстуальних» i !х елементiв), але i взаемоди мiж елементами компетенцiй [4]. Таке представлення компетенцш, як системи взаемопов'язаних взаемозале-жних елементiв, дозволяе застосувати для !хнього аналiзу теорiю графiв для бiльш точно визначення топологи тако! системи з видiленням найбшьш стiйких !хшх компонентiв.
Одним з найбшьш проблемних мюць в застосуванш подiбних систем е од-ночасно i найсильнiшою стороною, за задумом II творцiв - унiверсальнiсть. З урахуванням, все-таки, значеного галузевого впливу, зокрема про що свiдчить наявшсть «Галузевих розширень» для стандарту з управлшня проектами РМВОК [5]. «Галузевi розширення» створенi на основi вщповщного стандарту, що визначае вимоги до компетенцш з боку американського 1нституту управлшня проектами [6]. Необхщно враховувати специфжу дiяльностi, зокрема мож-ливi додатковi елементи компетенцiй, або змшу взаемозв,язкiв в базовiй «уш-
версально!» структур^ Вимоги до оцiнки компетенцш, а, з iншого боку, i до си-стеми пiдготовки фахiвцiв у сферi проектного управлiння було б лопчно гар-монiзувати з галузевою специфiкою, чого унiверсальна модель не пропонуе. Тому в даному дослщженш пропонуеться розв'язати це протирiччя на оснс~ аналiзу системи компетенцш, як орiентованого графа.
ювi
шення за-ктур проек-
3. Мета та задачi дослiдження
Метою до^дження е удосконалення методу аналiтичног( мкнених циклiв в орiентованих графах складних топологiчнI тних систем.
Для досягнення мети означеш наступш задачi:
1. Дослiдити властивост ступенiв матриць сумiжностi орiентованих графiв.
2. Розробити методику щентифшаци цикшв у графах на основi формуван-ня матрицi досяжностi з подальшим 11 транспонуванням.
4. Дослiдження кнуючих р1шень проблеми
Як вiдомо, систему, яка об'еднуе множини деяких сутностей, наприклад:
^ sm},
якi е вершинами орiентованого графа
0{^, g2, ..., gr},
можна вщобразити за допомогою матрицi сумiжностi:
[суМОЪ
щ.зв.з,
зю матрищ с1
ш орiентованими дугами г
кожний рядок яко! показуе зв'язки одше! вершини з шшими вершинам графа [7]. Елемент с^=1 вiдображае дугу мiж вершинами 5 та 5-. Якщо с-=0, то дуга безпосередньо мiж вершинами графа I та - вiдсутня.
Зв'язки мiж елементами множин s2, ..., sm} i 0{g1, g2, ..., gr} можна описати також у виглядi матрицi iнциденцiй:
[йук g=[i,j],
рядки яко! вiдповiдають вершинам, а стовпщ дугам орiентованого графа. При цьому Иу-й елемент рiвний +1, якщо е початковою вершиною дуги i (-1), якщо Б, - кiнцева вершина дуги [2].
Для анашзу структур застосовують матрицю сумiжностi, яка мае специфь чнi властивостi [7]. У разi послiдовного зведення матрицi сумiжностi у ступенi п=2, 3 ... елементи п-го ступеня (с-)п показують шлях, що мiстить п дуг, мiж /ою та--ою вершинами графа.
Множення матриць виконуеться за звичайним правилом [2]:
С1
сп 4.1 С1 1.2 ■ С 1 1.т (С 1.1 С . 1.2 • С.т
СП.1 С2.2 С2.т >Х < С1 С.2 С1.т
С С т.2 С т.т. С Лт.1 С.2 . С1
^ ССкСк1 ^ СкСк
к=1 к=1
т т
^ ^ С2 кСк
к=1
к=1
к=1
к=1
к=1
де п - ступет матрицi сумiжностi; п=1, 2, ...; т - загальне число вершин у схемi.
Для вiдображення зв'язюв мiж елементами складних схем використаемо таке спрощення: наявнiсть зв'язку, який визначаеться з (1), будемо означати значенням елемента матрищ:
№1;
(2)
У разi вщсутносл зв'язку - [с у]=0. Тобто, операцп множення (1) будемо виконувати за вЫма прийнятими у математицi правилами, а на еташ вщобра-ження результата виконаемо перетворення:
С
1,
якщ о
±11
^СкС > 0 для {VI, у'б 1,2,...,т};
к=1 т
(3)
0, якщо ^СкС? = 0 для уе1,2,...,т}.
к=1
Структурний аналiз складних систем застосовуеться в рiзних областях знань. В опублжованих роботах щодо структурного аналiзу складних схем при-водяться, часто без доказу, рекомендаци у виглядi алгоритмiв, для пошуку цик-лiв [8]. За допомогою структурного аналiзу компетенцiй КСБ показано, що цикли в матрицi компетенцш КСБ е основою для формування ядер знань [7]. В робот [9] розглянуто низку питань, пов'язаних з ощнкою i управлiнням склад-нiстю в проектах, якi демонструють очевидну значимiсть структурного аналiзу. Структурний аналiз став тдгрунтям для вивчення взаемозв'язку мiж iндивiдами i обмшу знаннями в органiзацiях будiвельного проекту [10]. Теоретично обгру-нтовано, що юнуе вплив фундаментальних стратегiчних змш з вибору проекту i оргашзацшно! структури [11]. Автори [12] змоделювали можливi модифжаци алгоритму управлiння тополопею системи i навколишнього середовища, вико-
ристовуючи правила перетворення графа. В публжаци [13] наведено анашз по-еднання традицшних i компетентнiсних пiдходiв до навчання i оцiнки результата. На основi теори графiв в робот [14] запропоновано модель для побудови траектори навчання. Розробка марювсько! моделi змiни станiв проектно-керовано! оргашзаци виконана на основi структурного анашзу системи [15]. Дослiдження структури iндикаторiв цiнностi в проектах виконано в робот [16]. Моделювання взаемоди команди, оточення i проекту в структурi управлiння наведено в робот [17]. Дослiдженню ергодичностi орiентованого графу системи проектного управлшня присвячена робота [18]. Концептуальну модель кла-сифжаци структури контенту документiв дослщжено в роботi [19]. В цш роботi показано пошук неповних дублжалв в структурi контенту документiв.
Означеш приклади свiдчать, що теоретичне обгрунтування методiв аналiзу структур управлiння i сукупностей компетентностей е перспективним в проектному менеджмент, оскiльки структури проектних систем та шформацшш зв'язки в них суттево впливають на результати дiяльностi
5. Методи дослвдження
Виконаемо дослщження методiв представлення рiзних структур за допо-могою матрищ сумiжностi. Розглянемо властивостi матриць сумiжностi i И сту-пенiв з точки зору застосування цих властивостей для структурного аналiзу проектних систем.
Лема 1. Двi дуги, одна з яких входить, а шша виходять з одте! вершини, складають два елементи в матрицi сумiжностi. Цi елементи змiщенi вiд голов-но! дiагоналi на 1 стовпець за напрямом дуг. Таке може бути тодi i тiльки тод^ коли три вершини орiентованого графа представлено сумiжними стовпцями.
Доказ. За правилом вщображення орiентованих графiв в матрищ сумiжностi номери рядкiв вiдповiдають номеру вершини графа, з яко! виходить дуга. А но-мери стовпщв - номеру вершини, в яку входить дуга. Вщмггимо, що в будь-якому орiентованому графi, що мае контур, можна видшити лшшну частину контуру у напрямi дуг орiентованого графа i зворотний зв'язок (дугу), що утворюе цикл.
Номери вершин орiентованого графа вiдiграють скорше роль щентифжато-рiв вершин i не визначають обов'язковий порядок слiдування в матрицi сумiжно-стi. Вони не впливають на структуру зв'язюв мiж вершинами. Тому приймемо припущення, що вершини орiентованого графа можуть бути пронумерованi до-вiльним чином. Тому накладемо умову на присвоення вершинам графа номерiв: у лшшному пiдграфi se 5 вершини нумеруються за напрямом дуг орграфа.
Розглянемо орiентований граф з таких вершин: а, Ь, с, d, в,/, g. Хай вершини графа сполучеш зв'язками: a—Ь—c—d—в—f—g. Оскшьки вершини орiен-тованого графа можуть бути пронумерован довшьним чином, приймемо таку нумеращю:
а—{¿};
Ь—^{¿+1};
с—{¿+2}; d—{i+3};
в^{+4};
g^{i+6}. (4)
У цьому випадку в матрищ сумiжностi, у наслщок (4), рядки i стовпщ, що вiдповiдають вершинам а, Ь, ..., g., будуть розташоваш послщовно, а значення вiдповiдних елементiв матрищ сумiжностi буде таким:
сг,г+1=са,Ь=1;
сг+1,г+2=сЬ,е=1;
С1+5,1+6=С/^=1. (5)
Визнaченi у (5) елементи матрищ сумiжностi змщеш на один стовпець вiд головно! дiaгонaлi. Тобто дуги лшшно! частини орiентовaного графа вщобра-жаються в матрищ сумiжностi дiaгонaллю, яка паралельна головнiй. Вона змь щена на 1 стовпець за умови, що вершини розташоваш в матрищ сумiжностi послщовно за напрямом дуг орiентовaного графа (рис. 1).
Дэ вершини
а ь с а е /
X = Б- о С2 ее а 0 1 0 0 0 0 0
Ъ 0 0 1 0 0 0 0
с 0 0 0 1 0 0 0
Л 0 0 0 0 1 0 0
е 0 0 0 0 0 1 0
/ 0 0 0 0 0 0 1
Е 0 0 0 0 0 0 0
Рис. 1. Матриця сумiжностi фрагмента лшшно! частини орграфа
Таким чином, дуга, яка не утворюе дiaгонaль, що паралельна головнш, не вiдноситься до лшшно! частини дуг орiентовaного графа. Наприклад, у рaзi ю-нування контуру, що утворений дугою мiж вершинами в^Ь, у матрищ сумiж-ност елемент [свЬ]=1, або з урахуванням нумераци (4), отримаемо значення [сг+4,г+2]=1 (рис. 2).
Як видно з рис. 2, вщображення дуги мiж вершинами в^Ь у мaтрицi сумь жностi здiйснюеться через значення елемента [сг+4г+2]=1. Цей елемент утворюе «трикутник» з лiнiйною частиною контуру орiентовaного графа.
(^¿К^КТК-Н/Х^)
г /+1 1 = 1
(+2
г+3
а
1+4 1+5
г+6
До вершини 1—...
а ь с <1 е / К
а 0 1 0 0 0 0 0
X Ъ 0 0 1 0 0 0 0
X К с 0 0 0 1 0 0 0
р_ о С п (I 0 0 0 0 1 0 0
е 0 1 0 0 0 1 0
Й / 0 0 0 0 0 0 1
К 0 0 0 0 0 0 0
б
Рис. 2. Матриця сумiжностi з дугою е^Ь, що утворюе цикл: а - орiентований граф; б - матриця сумiжностi орграфу а
Означена властивють вiдображення цикшв за допомогою матрицi сумiж-ност е основою для структурного анашзу.
Лема 2. Елементи всiх стовпщв контуру, окрiм останнього, матрицi сумiж-ностi ступеня п змiщуються у ступеш п+1 на один стовпець за напрямом ребер орiентованого графа.
Доказ. Скористаемося властивютю про довшьну нумерацiю вершин. При цьому вщмшш вiд нуля елементи матрицi сумiжностi ступеня п=1:
С1г,г+1 = 1, 1=К к+1,
С1 =1 и т,к 1 ?
т-1; ке 1,
т-1;
(6)
де к, т - початкова i кiнцева вершини, що входять в контур, к<т. З (2) знайдемо елементи матриц сумiжностi ступеня п+1:
С
ХСС У= 1, 2,—,щ 1= 1, 2 , •••,т.
Ь=к
(7)
Виконаемо обчислення значень елеменлв одного з рядюв 5*{1, 2, ... т} ма-трицi сумiжностi ступеня п+1:
с = с с + С .с + С1 .с + •+С .с
С = "(4,2 ) + С2 ' С,2 + " С,2 ^ ^ С,т " Ст,2;
^Пз = " С,3 + ^2 " ( С,3 ) + С3 " 4,3 ^ ^ СП,т " СШ,3'
^пШ = С1 " С1,т + С,2 " С2,ш ^ ^ С,т-\ '(Ст-1,т) + СП,т " СШ,ш' (8)
де т - номер елемента в рядку.
Дужками видшеш ненульовi елементи сг-,г+1=1 (¿=1, 2, ..., т-1) мaтрицi су-мiжностi. Вiдкинувши решту елементiв, отримаемо в загальному випадку, що значення елемента рядка ^{1, 2, . т} для лшшно! частини графа буде визнача-тись першим множником:
С = Ь= 2Л-т. (9)
Наприклад, з (9) для п=1 та s=1 отримаемо:
^ _ 1
с 1,к=с 1,к-1.
Це означае, що елемент першого рядка с112 =1 перемiститься з другого на третш стовпець с 13=1. За aнaлогiею, для 1-го i наступних рядкiв елементи, що вщображають лiнiйну частину графа, у рaзi пiднесення до наступних ступенiв будуть перемщатися на один стовпець за напрямом дуг графа.
Грaфiчнa штерпретащя доказу на приклaдi обчислення елемента матрищ [с 2,4] показана на рис. 3.
1 2 3 4 э 6 7 1 2 3 4 э 6 7 1 2 3 4 э 6 7
1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
2 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 I 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0
3 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0
4 0 0 0 0 I 0 0 X 4 0 0 0 0 1 0 0 4 0 0 0 0 0 1 0
5 0 0 0 0 0 1 0 5 0 0 0 0 0 1 0 5 0 о 0 0 0 0 1
6 0 0 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0
Рис. 3. Схема змщення елемента [с12 3]=1 на один стовпець у елемент матрищ [с 2,4]=1, що е результатом множення матриць
Для визначення з (2) значення елемента [с224] слщ перемножити елементи рядка 2 i стовпця 4 та визначити суму. Як видно, тшьки два елементи 2-го рядка - [с12,3]=1 i 4-го стовпця - [с13 4]=1, мають значення вiдмiннi вiд нуля. Саме
2 1 1
вони за (2) дадуть значення [с 2,4]=[с 2,3]х[с 3,4]=1. У загальному випадку, для прикладу на рис. 3, отримаемо:
[с21,з]=[с11,2];
[С22,4]=[С12,3];
[с^Нс^];
[с 4,б]=[с 4,5];
[С25,7]=[С15,6]. (10)
Доведено, що елементи всiх стовпщв лшшно! частини орiентованого графа, о^м останнього, матрицi сумiжностi ступеня п змщуються у ступенi п+1 на один стовпець за напрямом ребер орiентованого графа.
Лема 3. В ступеш п+1 матрицi сумiжностi елементи останнього стовпця контуру ступеня п переходять в 1-й стовпець контуру.
Доказ. Хай дано орiентований граф з контуром, що вщображаеться матрицею сумiжностi з умовами, прийнятими в лемi 2 (рис. 2).
Розглянемо формування будь-якого стовпця к матрищ сумiжностi ступеня п+1. Елементи стовпця к обчислюються за (2):
с = с .с + с .с + + с .с + с С + с . с .
1,к 4,1 4,к 4,2 4,к 1,т-2 т-2,к 1,т-1 °т-1,к 4,т ит,к
(к = (,1 . (к + (,2 . С2к + + СШ,т-2 . Ст-2,к + СШ,т-1 . Ст- 1,к + С2,т . Ст,к
(,к = ( . С1к + (,2 . (к + + СШ,т-2 . Ст-2,к + (,т-1 ' Ст- 1,к + СШ,т . Ст,к
С+1 = с .С + с .С + • + с .С + с . С + с .С .
Н,к 4,1 4,к °4,2 Ч.к ^ 4,т-2 ст-2,к 4,т-1 ^т-\,к и4,т ит,к
С.тк = (Ш,1 . С1к + (ш,2 . Ск + + СШ,т-2 . 2,к + (ш,щ-1 ' Ст-~\,к + (ш,т ' Ст,к (1 1)
Для системи рiвнянь (11) слiд ввести початковi умови: номери початку к та кшця циклу г. Наприклад, для схеми на рис. 2 такими даними будуть к=Ь=2 i г=е=5. За таких умов елемент 2-го множника [с15,2]=1. А передостаннiй елемент контуру у першому множнику матрищ [с(п_1)45]=1, як слiдство Леми 1 щодо па-ралельностi головнiй дiагоналi матрицi елементiв лшшно! частини циклу.
Вщкинувши нульовi елементи з (11), i приймаючи значення вiдомих за по-чатковими умовами елементiв, отримаемо для п=1:
((,2 = ((4,5 .((,2. ^ (12)
Графiчна штерпретащя доказу Леми 3 на прикладi обчислення елемента результуючо! матрицi [с24,2] показана на рис. 4.
Для визначення з (2) значення елемента [с24,2] слщ перемножити елементи рядка 4 i стовпця 2 та визначити суму. Елементи 4-го рядка та 2-го стовпця i результату множення видшеш на рис. 4. Саме вони у вщповщносл до (2) дадуть
2 11 значення: [с 4,2]=[с 4д№ 5,2]=1.
Другий множник не змiнюеться i завжди [с1гк]=1. Тому у загальному випа-дку у разi пiднесення до наступних ступешв елементи будуть перескакувати з передостаннього стовпця (г-1) у перший стовпець к контуру. Це е вiрним для вшх стовпщв елеменлв, що вiдображають лiнiйну частину орiентованого графа.
1 2 3 4 5 6 г 1 2 3 4 5 б 7 1 2 3 4 5 6 7
/ 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 / 0 0 1 0 0 0 0
2 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0
3 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0
4 0 0 0 0 1 0 0 X 4 0 0 0 0 1 0 0 4 0 1 0 0 0 1 0
5 0 1 0 0 0 1 0 5 0 1 0 0 0 1 0 5 0 0 1 0 0 0 1
6 0 0 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0
Рис. 4. Схема перескакування елемента [с\ 5] з контуру першого множника у
2 5 перший стовпець [с 4,2]=1 у результат множення матриць
Лема 4. Зв'язки м1ж вершинами графа через \ ...п дуг вщображають ступеш матрищ сум1жност1 вщ 1 до п, вщповщно.
Доказ. Як визначено у лем1 2 елементи вЫх стовпщв контуру, окр1м остан-нього, матрищ сум1жност1 ступеня п змщуються у ступеш п+1 на один стовпець за напрямом ребер орграфа. Тобто кожний п+1 ступень вщображае зв'язки вщ /-о! до п+1 вершини графа. Так, зв'язки отримаш на основ! 2-го ступеня матриц сум1жност вщображають зв'язки у граф1 через одну транзитну вершину (пунктир, рис. 5, а).
Як видно, нов1 зв'язки сполучають т вершини, як в початковш матрищ були сполучеш двома дугами (рис. 4, 5). Ц висновки в1рш 1 для 3-го ступеня матрищ сум1жност1, з тею вщмштстю, що виявлеш зв'язки вже проходять через три дуги 1 дв1 транзитш вершини графа (рис. 6).
2-ий ступень "Г р вер шини
а ь с а е / я
X к к у о е а да а 0 0 1 0 0 0 0
ъ 0 0 0 1 0 0 0
с 0 0 0 0 1 0 0
а 0 1 0 0 0 1 0
в 0 0 1 0 0 0 1
/ 0 0 0 0 0 0 0
Е 0 0 0 0 0 0 0
б
Рис. 5. Вщображення зв'язюв у матрищ сум1жност 2-го ступеня через одну транзитну вершину графа: а - зв'язки на ор1ентованому графц б - матриця су-
м1жност1 2-го ступеня
Як видно з рис. 6, юнуе певна закономiрнiсть у змш зв'язюв, що характер-нi для рiзних ступенiв матрицi сумiжностi.
а ь с а е / Е а ь с а е / Е
а 0 1 0 0 0 0 0 а 0 0 1 0 0 0 0
Ь 0 0 1 0 0 0 0 ь 0 0 0 1 0 0 0
с 0 0 0 1 0 0 0 с 0 0 0 0 1 0 0
а 0 0 0 0 1 0 0 а 0 1 0 0 0 1 0
е 0 1 0 0 0 1 0 е 0 0 1 0 0 0 1
/ 0 0 0 0 0 0 1 Г 0 0 0 0 0 0 0
е 0 0 0 0 0 0 0 Е 0 0 0 0 0 0 0
а б
а ь с а е / Е а ь с а в / Е
а 0 0 0 1 0 0 0 а 0 0 0 0 1 0 0
Ь 0 0 0 0 1 0 0 Ь 0 1 0 0 0 1 0
с 0 1 0 0 0 1 0 с 0 0 1 0 0 0 1
а 0 0 1 0 0 0 1 а 0 0 0 1 0 0 0
е 0 0 0 1 0 0 0 е 0 0 0 0 1 0 0
/ 0 0 0 0 0 0 0 г 0 0 0 0 0 0 0
Е 0 0 0 0 0 0 0 Я 0 0 0 0 0 0 0
в г
а ь с а е / Е а ь с а е / Е
а 0 1 0 0 0 1 0 а 0 0 1 0 0 0 1
Ъ 0 0 1 0 0 0 1 Ъ 0 0 0 1 0 0 0
с 0 0 0 1 0 0 0 с 0 0 0 0 1 0 0
а 0 0 0 0 1 0 0 а 0 1 0 0 0 1 0
е 0 1 0 0 0 1 0 е 0 0 1 0 0 0 1
/ 0 0 0 0 0 0 0 Г 0 0 0 0 0 0 0
Е 0 0 0 0 0 0 0 Е 0 0 0 0 0 0 0
б е
Рис. 6. Змiщення елементiв матрищ сумiжностi у ступенях вiд п=1 до п=6: а - п=1; б - п=2; в - п=3; г - п=4; б - п=5; е - п=6
Елементи матрицi сумiжностi перемiщуються справа нашво (за напрямом дуг орграфа). У той же час специфiчний шлях (з перескакуванням) проходять передостанш елементи циклу. Означеш властивостi ступешв матриць сумiжно-стi дозволяють висунути гшотезу про можливiсть розрахункового визначення контурiв у орiентованому графi.
6. Результати дослщження
Приймемо твердження, булева сума матриць сумiжностi ступенiв вщ 1 до т е матрицею досяжносл, яка формуе граф вЫх шляхiв схеми, включаючи за-мкнений контур.
Доказ. Скористаемося висновками леми 4. Для отримання матрищ вЫх шляхiв орiентованого графа або матрищ досяжност утворимо булеву суму вЫх
ступешв матриц сумiжностi, представленi на рис. 6. Елементи [ггу] матрицi до-сяжностi визначаються з використання операцш диз'юнкци (V) або кон'юнкци (л). Матриця досяжност першого рангу е тотожною матрицi сумiжностi С1 першого ступеня:
[ГЛ = 4V О' ^(1, 2, т}.
(13)
Матрицi досяжностi наступних ранпв для значень п>1 визначаються з використанням матриць досяжност рангiв (п-1) i матриць сумiжностi вщповщ-них степенiв:
[43)]
№] =
1, якщо (Г =1) V(4 = 1),
0, якщо (тТ) = о) л (4 = о);
1, якщо (1у2) = 1) V (4 = 1),
0, якщо (Г = о) л (4 = о);
1, якщо (Гп1) =1) V4 =1),
0, якщо (Гп1) = о) л (4 = о)
(14)
Матриця досяжност мiстить вс зв'язки вiд вершини I до вершини _/ через п дуг графа (рис. 7).
с <1 е /
а Ъ
/ Е
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
с с! е /
а
а
б
/ 5
0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
а
/ 5
а
а 0 1 1 1 0 0 0 а 0 1 1 1 1 0 0
ъ 0 0 1 1 1 0 0 ъ 0 1 1 1 1 1 0
с 0 1 0 1 1 1 0 с 0 1 1 1 1 1 1
а 0 1 1 0 1 1 1 а 0 1 1 1 1 1 1
е 0 1 1 1 0 1 1 е 0 1 1 1 1 1 1
г 0 0 0 0 0 0 1 / 0 0 0 0 0 0 1
Е 0 0 0 0 0 0 0 Е 0 0 0 0 0 0 0
/ £
в
г
а ь с а е / я а ъ с а е / я
а 0 1 1 1 1 1 0 а 0 1 1 1 1 1 1
Ь 0 1 1 1 1 1 1 ъ 0 1 1 1 1 1 1
с 0 1 1 1 1 1 1 с 0 1 1 1 1 1 1
а 0 1 1 1 1 1 1 в. 0 1 1 1 1 1 1
2 0 1 1 1 1 1 1 е 0 1 1 1 1 1 1
г 0 0 0 0 0 0 1 / 0 0 0 0 0 0 1
я 0 0 0 0 0 0 0 Я 0 0 0 0 0 0 0
6 е
Рис. 7. Матриця досяжност Ип для рiзних п: а - п=1; б - п=2; в - п=3;
г - п=4; д - п=5; е - п=6
У мiру зростання ступешв п матриць сумiжностi матриця досяжност стае заповненою одиницями у наслщок справедливостi леми 2. Заповнена оди-ницями пiдматриця показуе, що всi 11 вершини мають зв'язок у напрямi дуг графа. А це i е описанням всiх можливих шляхiв в орграфi за напрямом дуг графа. При цьому в деяких рядках елементи головно! дiагоналi (ГД) матрищ досяжно-стi мають значення [гй]=1. Це е ознакою того, що цей рядок мютить в собi опис шляху в орграфi вiд елемента Наявнiсть такого шляху вщ елемента i до i можливий в цикл орiентованого графа. Слiд також вказати, що деяк елементи рядка i, у якому юнуе зв'язок не входять до замкненого контуру. Оскшьки за напрямом дуг графа вщ вершини i е шлях до кшцевих вершин графу, напри-клад, до вершин/i g на рис. 2.
Щоб визначити вс пiдсистеми, що iснують в графi i входять у контур, ви-конаемо замiну напрямiв на зворотш усiх дуг графа шляхом транспонування матрищ досяжност Кп^(Яп)Т з подальшою суперпозицiею W=R П И1. Елементи матрицi суперпозици W=R П ИТ формуються з використання операцш диз'юнкци (V - лопчне «АБО») або кон'юнкци (л - лопчне «ТА») наступним чином:
V
1, якщо (г = 1) л (г? = 1), 0, якщо (] = 0) V (гV = 0).
Ненульовi елементи ГД матрицi W вказують на рядок, що мютить всi шляхи контуру. Видшет контури, в яких всi елементи мають зв'язок з уЫма шши-ми елементами, складають основу ергодично! пiдмножини орiентованого графа. При цьому шформативним е не тiльки кшцевий результат матриця суперпозици Wи, а й результати, як показують формування замкнених цикшв.
Виконаемо транспонування матрищ досяжност И6^(И6)Т, яка приведена
6 6II 6 Т
на рис. 7, е, з подальшою суперпозищею W =И (И ) (рис. 8).
а ь с d е / Е
а 0 1 1 1 1 1 1
Ъ 0 1 1 1 1 1 1
с 0 1 1 1 1 1 1
d 0 1 1 1 1 1 1
е 0 1 1 1 1 1 1
f 0 0 0 0 0 0 1
Е 0 0 0 0 0 0 0
а
а ь с d е / Е
а 0 0 0 0 0 0 0
Ь 1 1 1 1 1 0 0
с 1 1 1 1 1 0 0
d 1 1 1 1 1 0 0
е 1 1 1 1 1 0 0
f 1 1 1 1 1 0 0
Е 1 1 1 1 1 1 0
б
а ъ с d е / Е
а 0 0 0 0 0 0 0
ь 0 1 1 1 1 0 0
с 0 1 1 1 1 0 0
d 0 1 1 1 1 0 0
е 0 1 1 1 1 0 0
f 0 0 0 0 0 0 0
Е 0 0 0 0 0 0 0
6 6II 6 T
Рис. 8. Матриця суперпозици W =R (R ) , яка отримана на ochobí матрицi
6 6 6 T 66II 6 T
досяжност R приклада на рис. 6: а - R ; б - (R ) ; в - W =R (R )
Як видно з результата суперпозици (рис. 8, в), розроблений метод дозво-ляе визначити в орiентованому графi наявшсть замкненого контуру, який включае такi вершини, що сполученi зв'язками: b^c^d^e^b.
Покажемо застосування теоретичних положень дослщження на прикладi структурного аналiзу фрагмента контекстуальних компетенцш у сферi профе-сшного управлiння проектами. Як вiдомо, галузь знань управлiння проектами охоплюе три основш напрямки компетенцiй: технiчнi - 20 елемента, поведш-ковi - 15 елемента та контекстуальш - 11 елемента [3]. Крiм того у NCB (ver. 3.1) визначеш також додатковi компетенци (нацiональнi та галузев^ - 6 елементiв [3]. Вказаш 52 елемента компетенцiй мають складнi взаемозв'язки, що у сукупност формуе область знань проектного управлшня. З огляду на суттеву взаемозалежшсть вказаних елементiв компетенцiй висунута гшотеза щодо iснування в цiй област знань певних сукупностей компетенцiй, як пов'язанi мiж собою сильними зв'язками, що дозволяе визначити 1х як «ядра» знань (компетенцiй). Всi елементи «ядра» знань утворюють повний тдграф множини компетенцiй.
Сукупнiсть контекстуальних компетенцш i матриця сумiжностi, яка вщо-бражае зв'язки мiж елементами в груш контекстуальних компетенцш без ура-хування зв'язюв з iншими групами, приведет у табл. 1.
Таблиця 1
Матриця сумгжносп групи контекстуальних компетенцш_
Контекстуадьш компетенци Зв'язки контекстуальних компетенцш (3.хх)
3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.10 3.11
3.01. Проектно-ор1ентоване управдшня 0 0 1 1 0 0 0 0 ^ 0 0 0
3.02. Програмно-ор1ентоване управдiння 0 0 1 0 0 0 0 £0 1 0 0 0
3.03. Портфедьно-орiентоване управдiння 1 1 0 1 0 0 0 С 0 0 0 0
3.04. Реалiзацiя програм /портфедiв /проектiв 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0
3.05. Стада оргашзащя 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
3.06. Пiдприемницька дiяльнiсть 0 0 0 0 1 0 0 70 0 1 1
3.07. Системи, продукти та технологи 0 0 0 0 0 1 " 70 9 0 1 1 1
3.08. Управдiння персоналом 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
3.09. Здоров'я, безпека, охорона пращ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
3.10. Фшанси 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
3.11. Юридичш аспекти 0 0 0 ¿0 0 0 0 0 0 0 0
Визначимо ядра знань на основ1 анал1зу. Для спрощення не будемо вказу-вати номер 3-о! групи контекстуальних компетенцш, як це прийнято в NCB ве-рси 3.1 [3]. За розробленим методом аналогичного анал1зу орграф1в розрахуемо послщовно другий, третш 1 наступш степеш матрищ сум1жност1. Дал1 визначимо матрищ досяжност 1 суперпозици для вЫх ступешв. Отримаш результати дозволяють зробити висновок, що у шдсистем1 контекстуальних компетенцш юнують контури зв'язюв, як об'еднують спорщнеш за знаннями компетенци.
Виконаемо транспонування матрищ досяжност Я ^(Я ) , отриману за да-
6 6II 6 т
ними табл. 1, з подальшою суперпозищею W =Я (Я ) (рис. 9).
1 2 л 5 6 7 3 9 10 и
1 в в в в 0 0 0 0 0 0 0
в 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0
в В и в 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0
6 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0
; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0
5 о 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1« 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Рис. 9.
3 3 3 т
щя суперпозици W =Я 1 (Я ) , яка отримана на основ! матрищ
досяжност Я за даними табл. 1
Як видно, ядра знань контекстуальних компетенцш у матрищ суперпозици
3 3 3 T
W = Я П(Я ) утворюють елементи: 3.1 ... 3.4; а також сукупшсть з елемеипв 3.5, 3.6, 3.8, 3.10. Ц два ядра знань об'еднаш в окрем1 комплекси, як видшеш для наочност кольором.
Окремо1 уваги заслуговують елементи: 3.7 (Управлшня персоналом); 3.9 (Здоров'я, безпека, охорона пращ) та 3.11 (Юридичш аспекти). Щ елементи сполученi з компетенщями iнших груп - технiчних i поведiнкових компетенцiй.
Таким чином, на основi аналiзу фрагменту зв'язкiв у груш контекстуаль-них компетенцiй у сферi професiйного управлiння проектами показано, що в цш групi юнують ядра знань - сукупностi компетенцш, якi пов'язанi мiж собою сильними зв'язками i утворюють систему взаемозв'язаних елементiв. Такий ви-сновок дозволяе формувати змiст навчальних дисциплiн.
7. SWOT-аналiз результатiв дослiджень
Strengths. Сильними сторонами представленого в робот шдходу е:
1. Наочшсть в поданш результатiв - як кiнцевих результатв аналiзу (матриця досяжностi), так i його промiжних крокiв (матрищ сумiжностi).
2. Математичний апарат, необхщний для розрахункiв, не важкий в розу-мiннi. Кроки (етапи) формування моделi зрозумiлi, добре пiддаються алгорит-мiзацiï.
3. Основнi математичнi операци (дiï з матрицями), необхiднi для формування моделi i ïï обробки, представленi на сьогоднiшнiй день в бшьшост таб-личних редакторiв, що входять в сiмейство стандартного офюного програмного забезпечення.
4. Програмне забезпечення, що необхщне для розрахункiв розповсюджу-еться, як на платнiй основ^ наприклад Microsoft Excel, так i на безкоштовнш, або умовно-безкоштовнiй основ^ наприклад, в складi LibreOffice. 1снують вер-сiï, як для операцiйноï системи Windows, так i для MacOS i Linux.
5. З огляду на п.п. 2-4, для використання запропонованого шдходу немае необхщност в розробщ спещального програмного забезпечення. Необхщт ди може виконати будь-який квашфжований користувач (не програмiст).
6. Сильною стороною, можливо навггь найбшьш значущою перевагою представленого пiдходу, може бути анашз топологiï для складних моделей компетенцш з великим числом взаемопов'язаних елементв. Такий аналiз дозволить виконати спрощення моделi i виявити «вузли», якi надають максималь-ний вплив на всю систему.
Weaknesses. Слабкими сторонами представленого в робот шдходу е:
1. У разi анаизу складних моделей компетенцш (таких, як, наприклад, NCB 3.0), що включають велику кшьюсть елементв, може втрачатися наочшсть.
2. При побудовi галузевих моделей може знадобитися додатково досить значний обсяг трудовитрат для формування матрищ сумiжностi на основi експе-ртно1' ощнки. При цьому також виникне необхщшсть проведення кореляцiйного аналiзу (що, втм, при серйозному пiдходi, швидше е неминучим фактором).
Opportunities. Можливостями для представленого в робот шдходу е:
1. Легюсть для впровадження i використання в дiяльностi конкретних тд-приемств рiзних сфер дiяльностi (на пiдставi перелiку сильних сторiн). Це мшь мiзуе потребу в спещальному навчаннi, лiцензуваннi права використання дано-
го шдходу, вщсутшсть потреби в необхщност придбання додаткового програ-много забезпечення.
2. Можливють використання в дiяльностi кадрових служб i вiддiлiв управ-лiння людськими ресурсами шдприемств. Як для формування вимог до фахiв-щв i керiвникiв, так i для оцiнки компетенцiй. Як при прийомi на роботу, так i в процесi виробничо! дiяльностi. Наприклад, при формуванш проектних команд, розробщ вимог до освiтнiх програм i iн.
3. Використання даного шдходу може бути рекомендовано для розрахунку такого показника як «повернення на знання» в розширенш моделi Клркпатржа.
4. Можливе створення з використанням представленого шдходу цшого сь мейства спещашзованих програмних продуктiв - вщ шаблонiв для найбiльш поширених табличних редакторiв до мобiльних додаткiв.
5. Можливе створення спещашзованого iнтернет-ресурсу, який надае мож-ливiсть формування, анашзу та подальшого коригування моделi для тдпри-емств рiзноl галузево! спрямованост з метою створення бази даних для подальшого уточнення моделi (на умовах знеособленост).
Threats. Погрозами для представленого в робот шдходу е:
1. Нехтування необхщшстю адаптаци даного шдходу шд потреби (специ-фiку) конкретного пiдприемства, що може привести до невiрноl штерпретацп результатв, зроблених на основi «ушверсально! базово! моделi». Навiть, якщо вона буде зроблена на основi само! останньо! верси мiжнародного стандарту.
2. Можлива протидiя використанню даного пiдходу з боку окремих оЫб та оргашзацш, зацiкавлених у просуваннi платних сервiсiв у сферi проектування, оцiнки та розвитку компетенцш персоналу.
3. Складшсть у можливiй процедурi патентного захисту, як самого методу, так i його можливих «похщних». Це обумовлено простотою основних принци-пiв його роботи i доступнiстю для користувачiв засобiв обчислень для створення i обробки моделей.
8. Висновки
1. Розроблено метод дослiдження властивостей матрицi сумiжностi орiен-тованих графiв та ll ступенiв. Показано, що ступеш матрицi сумiжностi насль дують загальну структуру орiентованого графу з певними закономiрностями вь дображення дуг графу. Це дозволяе будувати матрицю досяжностi дослщжува-но! тополопчно! структури з видшенням контурiв в орграфь
2. Розроблено методику щентифшаци цикшв у графах на основi формування мулево! суми ступенiв матрищ досяжностi з подальшим ll транспонуван-ням i суперпозицiею. Це дозволяе отримати вiдображення контуру в графi у формi квадратно! пiд матрищ, заповнено! одиницями.
^ÍTepaTypa
1. Euler, L. Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis [Text] / L. Euler // Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. - 1741. -Vol. 8. - P. 128-140.
2. Tutte, W. T. Graph Theory As I Have Known It [Text] / W. T. Tutte. -Oxford University Press, 2012. - 164 p.
3. ICB - IPMA Competence Baseline, Version 3.0 [Electronic resource]. -Project Management Association, 2006. - 212 p. - Available at: \www/URL: http://www.ipma.world/assets/ICB3.pdf
4. ICB - IPMA Individual Competence Baseline, Version 4.0 [Electronic resource]. - International Project Management Association, 2015. - 432 p. - Available at: \www/URL: http://products.ipma.world/wp-content/uploads/2016/03/IPMA_ ICB_4_0_WEB.pdf
5. A Guide to the Project Management Body of Knowledge (PMBOK® Guide) [Text]. - Ed. 5. - Project Management Institute, 2013. - 619 p.
6. Project Manager Competency Development Framework [Text]. -Ed. 2. - Project Management Institute, 2007. - 81 p.
7. Kolesnikova, K. V. Analiz strukturnoi modeli kompetentsii z upravlinnia proektamy natsionalnoho standartu Ukrainy [Electronic resource] / K. V. Kolesnikova, D. V. Lukianov // Management of development of complex systems. - 2013. - № 13. - P. 19-27. - Available at: \www/URL: http://urss.knuba.edu.ua/files/zbirnyk-13/19-27.pdf
8. Kafarov, V. V. Printsipy matematicheskogo modelirovaniia himiko-tehnologicheskih sistem [Text] / V. V. Kafarov, V. L. Perov, V. P. Meshalkin. -Moscow: Khimiia, 1974. - 344 p.
9. Qureshi, S. M. Analysing the organizational factors of project complexity using structural equation modelling [Text] / S. M. Qureshi, C. Kang // International Journal of Project Management. - 2015. - Vol. 33, № 1. - P. 165-176. doi:10.1016/j.ijproman.2014.04.006
10. Wen, Q. Coordination and Knowledge Sharing in Construction Project-Based Organization: A Longitudinal Structural Equation Model Analysis [Text] / Q. Wen, M. Qiang // Automation in Construction. - 2016. - Vol. 72. - P. 309-320. doi:10.1016/j.autcon.2016.06.002
11. Kaiser, M. G. Successful project portfolio management beyond project selection techniques: Understanding the role of structural alignment [Text] / M. G. Kaiser, F. el Arbi, F. Ahlemann // International Journal of Project Management. - 2015. - Vol. 33, № 1. - P. 126-139. doi:10.1016/j.ijproman.2014.03.002
12. Kluge, R. A systematic approach to constructing incremental topology control algorithms using graph transformation [Text] / R. Kluge, M. Stein, G. Varro, A. Schurr, M. Hollick, M. Muhlhauser // Journal of Visual Languages & Computing. - 2016. doi:10.1016/j.jvlc.2016.10.003
13. Koenen, A.-K. A phenomenographic analysis of the implementation of competence-based education in higher education [Text] / A.-K. Koenen, F. Dochy, I. Berghmans // Teaching and Teacher Education. - 2015. - Vol. 50. - P. 1-12. doi:10.1016/j.tate.2015.04.001
14. Durand, G. Graph theory based model for learning path recommendation [Text] / G. Durand, N. Belacel, F. LaPlante // Information Sciences. - 2013. -Vol. 251. - P. 10-21. doi:10.1016/j.ins.2013.04.017
15. Kolesnikova, E. V. Development of the Markov model of states of a project-controlled organization [Text] / E. V. Kolesnikova, V. A. Vaisman, V. A. Velichko // Modern technologies in engineering. - 2012. - № 7. - P. 217-223.
16. Kolesnikova, K. V. Matrix diagram and the «strong connection» indicator value in the projects [Text] / K. V. Kolesnikova, T. M. Olekh // Electrical and Computer Systems. - 2012. - № 7 (83). - P. 148-153.
17. Kolesnikov, O. Development of the model of interaction among the project, team of project and project environment in project system [Text] / O. Kolesnikov, V. Gogunskii, K. Kolesnikova, D. Lukianov, T. Olekh // Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. - 2016. - № 5/9 (83). - P. 20-26. doi:10.15587/1729-4061.2016.80769
18. Kolesnikova, K. V. Method of determining a directed graph ergodic systems project management [Electronic resource] / K. V. Kolesnikova, S. V. Paliy // Management of development of complex systems. - 2014. - № 20. - P. 27-31. -Available at: \www/URL: http://urss.knuba.edu.ua/files/zbirnyk-20/8_0.pdf
19. Biloshchytskyi, A. Conceptual Model of Automatic System of Near Duplicates Detection in Electronic Documents [Text] / A. Biloshchytskyi, A. Kuchansky, S. Biloshchytska, A. Dubnytska // 14-th International Conference «The Experience of Designing and Applications of CAD Systems in Microelectronics» (CADSM'17), IEEE. - Polyana, 2017. - P. 381-384.
