Аналог вполне регулярных ультрафильтров на равномерном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

10. Сергеев В.О. Регуляризация уравнений Вольтерра первого рода // Докл. АН СССР, 1971. Т. 197. № 3. С. 531-534.

11. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 287 с.

12. Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980. 496 с.

АНАЛОГ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ УЛЬТРАФИЛЬТРОВ НА РАВНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Чекеев А.А.1, Абдраимова М.А.2 Email: [email protected]

1Чекеев Асылбек Асакеевич — хабилитированный доктор математики, доктор физико-математических наук, профессор;

2АбдраимоваМахабат Асанбековна — кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра алгебры, геометрии, топологии и преподавания высшей математики, факультет математики и информатики, Кыргызский национальный университет, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в работе на равномерном пространстве построен равномерный аналог вполне регулярных ультрафильтров П.С. Александрова [1] - U — ультрафильтры. Посредством U — функции на равномерном пространстве определены U — отделенные, U — вложенные подмножества, а так же U — системы. Всякая U — центрированная система является U — фильтром. На основании принципа максимальности Куратовского-Цорна: всякая U — центрированная система содержится в максимальной U — центрированной системе, а всякая максимальная U — центрированная система называется U — ультрафильтром. Установлены основные свойства U — ультрафильтров, в частности, доказано, что если объединение конечной системы U — открытых множеств принадлежит U — ультрафильтру, то существует хотя бы один элемент этой системы, принадлежащий этому U — ультрафильтру.

Ключевые слова: U — открытые, U — замкнутые множества, U — фильтры, U — ультрафильтры.

AN ANALOGUE OF COMPLETELY REGULAR ULTRAFILTERES ON A UNIFORM SPACE Chekeev AA.1, Abdraimova MA.2

'Chekeev Asylbek Asakeevich — Habilitated Doctor of Mathematics, Doctor of Physical and Mathematical

Sciences, Professor; 2Abdraimova Mahabat Asanbekovna — PhD Mathematics, Associate Professor, DEPARTАMENT OF ALGEBRA, GEOMETRY, TOPOLOGY AND TEACHING OF MATHEMATICS, FACULTY

OF MATHEMATICS AND INFORMATICS, KYRGYZNATIONAL UNIVERSITY, BISHKEK, REPUBLIC OFKYRGYZSTAN

Abstract: in paper on a uniform space the uniform analogue of completely regular ultrafilteres are constructed by P.S. Alexandroff ['] - U — ultrafilteres. By means of U — function on a uniform space U — separable, U — embedded subsets and U — system are determined. Any U — centered system is U — filter. On the basis of the Kuratowski - Zorn maximum principle: every U — centered system is contained in a maximal U — centered system, and any maximal U — centered system is called an U — ultrafilter. The basic properties of U — ultrafilteres are established, in particular, it is proved that if the union of a finite system of U — open sets belongs to the U — ultrafilter, then, there is at least one element of that system belonging to the U — ultrafilter. Keywords: U — open, U — closed sets, U — filter, U — ultrafilteres.

УДК 515.12

Обозначения использованы из книги Дж. Исбелла [5]. Необходимые факты теории равномерных пространств взяты из книги А.А. Борубаева [3], а для топологических пространств - из книги Р. Энгелькинга [10] и А.В. Архангельского и В.И. Пономарёва [2].

Для равномерного пространства иХ через и ( иХ ) (и' (иХ )) обозначено множество всех (ограниченных) равномерно непрерывных функций на иХ.

= {/ 1(0) : / £ и (иХ)} множество нуль - множеств всех равномерно непрерывных

функций из и(иХ), а С2М = {Х \ 2 : 2 £ } - множество всех конуль - множеств.

Множества из называют и — замкнутыми, а множества из Сназывают и —

открытыми [8, 9]. Множество (С ) замкнуто относительно конечных (счётных) объединений и счётных (конечных) пересечений [8, 9].

Традиционно М обозначает множество действительных чисел, / = [0,1] - единичный

отрезок, Ми/ наделены естественными равномерностями. Знак □ означает завершение доказательства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 [8, 9]. Отображение / : иХ —> I называют и — функцией, если / г(и) £ Сги (/ *(Р) £ ) для любого открытого и С I (замкнуто Р С I).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Подмножества А, В равномерного пространства иХ называются равномерно отделёнными, если существует такое (X £ и, что А О ((В) = 0 , где ((В) = £ ( : и О В Ф 0} - звезда множества В относительно покрытия ( .

ТЕОРЕМА 3 [4, 6, 7]. Пусть подмножества А и В равномерного пространства иХ равномерно отделены. Тогда существует такая равномерно непрерывная функция /: иХ — I, что /(А) = {0}, /(В) = {1}.

ТЕОРЕМА 4 [8, 9]. Пусть иХ - равномерное пространство, 2, 2 £ такие и — замкнутые множества, что О 22 = 0 . Тогда существует такая и — функция

/: иХ — I, что /(21) = {0}, /(22) = {1}.

Ниже построен равномерный аналог вполне регулярных концов П.С. Александрова [1] -и ультрафильтры.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Подмножества А, В С Х равномерного пространства иХ называется и — отделенными, если существует такая и — функция / : иХ —> I = [0,1] , что / (А) = 0 и / (В) = 1. Если А и — отделено от Х \ В , тогда В называется и окрестностью А .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Пусть А, В С Х - подмножества. Множество А называется и — вложенным в множество В , если А и — отделено от Х \ В , т.е. существует такая и — функция /: иХ — I, что /(А) = 0 и /(Х \ В) = 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Семейство подмножеств равномерного пространства иХ называется и — системой, если для любого К £ ^ существует В такое, что В и — вложено в К , другими словами, каждое К £ ^ является и — окрестностью некоторого В £ ^ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Центрированная система множеств, являющаяся и — системой, называется и центрированной системой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Предфильтр (фильтр), который является и системой, называется и — предфильтром (фильтром).

ТЕОРЕМА 10. Пусть ] - и — центрированная система и д - семейство всевозможных конечных пересечений элементов Т]. Тогда д - и — центрированная система.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По построению 0 - центрированная система. Покажем, что 0 является и — системой.

п

Пусть СД ,С2,...,СИ - элементы Т] , тогда о С элемент 0, т.е. о С £ 0 . Для каждого

-=1 -=1

С/- - = 1,2,...,п найдется V - = 1,2,...,п такое, что V и — вложено в С. для

каждого - = 1,2,...,п, поэтому существуют такие и — функции ^ : иХ —> I, что

выполнены равенства /(V) = {0}, /(X \ ЦУ-) = {1} , - = 1,2,...,п . Тогда имеем

2\= /—(0) =э V, 21 = /—(1) =Э X \ и,, для любого 7 = 1,2,..., и,

20 О 2а = 0 и 20 £ Zu, £ , * = 1,2,... ,и . Следовательно, существуют такие

и — функции g п , gI2 , что ^Г/(0) = ^:21(0) = 7 = п,

1

12 V0/ = 2 12,

^(0) = 2°, £21 (0) = ^ - = 1,2,...,п. Так как 2\ О2)г =0, - = 1,2,...,п,

тогда (о 2\ ) О (и 2^2 ) = 0 . Тогда, имеем для функции g = glz + g2г + ... + gлl,

7=1 7=1

П

g~1(0) = (glz + g2z + ... + gп1)—1(0) = О 20 и для функции / = glz ■ g2z ■ ..." gпz ,

7—1

п п п

/—1 (0) = (glz ■ g2г ■..." gпZ )—1 (0) = и и, следовательно, 0 7,1 £ , и 2)2 £ ^ .

7 —1 7=1 7=1

п

Тогда существует такая и — функция Р : иХ — I, что Р(о 2.°) = {0} и

7 =1

п п п п п

Р(и ) = {1} . Далее, имеем, О^ ^О 2.° и и(X \ Ц/. ) ^и , следовательно,

7=1 7=1 7=1 7=1 7=1

п п

выполнены равенства Р(о V) = {0}, Р(иX \ Ц/. ) = {1} . Ясно, что

=1

п п

Р (и X \ и) = Р (X \ О и) = {0}, следовательно, оУ- и — вложено в О и . Это

7=1 7=1 -=1 7=1

доказывает то, что семейство 0 является и — системой. Итак, семейство 0 - и — центрированное семейство. □

СЛЕДСТВИЕ 11. Если Т] - и — центрированная система и 0 - семейство всевозможных конечных пересечений из Т], тогда £ = Т] и 0 является и — предфильтром.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ясно, что для любых V £] и V £ 0 всегда С о V Ф0 , а так как Т] и 0 являются и — центрированными системами найдутся С' £] и V' £ 0 такие, что С' и — вложено в и, и' и — вложено в V . Тогда, как и в доказательстве теоремы 10, не трудно показать, что С ' о V ' и — вложено в С О V . Итак, семейство £ является и — системой. Пусть С, С/2 из £ произвольны. Тогда найдутся V, У2 и — вложенные в СД и С2 из £ , соответственно. Ясно, что С/3 = V 0^2 и — вложено в СД ОС/2 и С/3 ££ т.е. С/3 ^ С О С/2. Итак, семейство £ - и — предфильтр. □

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 12. Фильтр, порожденный и — предфильтром, является и фильтром.

п

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ] - и предфильтр и £ = {К С X: для К существует N £ Т] и N С К} . Ясно, что £ - фильтр. Покажем, что £ - и — семейство. Пусть К £ £ произвольно N £Ц такое, что N С К. Семейство ] - и — предфильтр, поэтому найдется такое и £ Т] , что и и- вложено в К, т.е. существует и функция / :иХ — I такая, что /(и) = {0}, /(Х \ Н) = {1} . Следовательно, /(Х \ К) = 1, т.к. X \ К С X \ N. Итак, у"(и) = 0 , /(Х \ К) = 1, т.е. и и вложено в К и К является окрестностью и . Это означает, что фильтр £ является и системой. Итак, £ - и — фильтр. □

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Всякая и — центрированная система, не являющаяся подсистемой

никакой отличной от нее и центрированной системы, называется максимальной и центрированной системой.

ТЕОРЕМА 14. Всякая максимальная и центрированная система является и фильтром.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ] - максимальная и — центрированная система и д -всевозможные конечные пересечения элементов Т]. Тогда в силу теоремы 10 и максимальности ] следует, что г] = д. А в силу следствия 11 следует, что £ = ]к^д = ] является и — предфильтром. Теперь из предложения 12 и максимальности ] следует, что ] - и — фильтр. □

Эта теорема дает нам право дать другое, эквивалентное, определение максимальной и центрированной системы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Максимальная и — центрированная система называется и — ультрафильтром.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 16. Если £ - и ~ ультрафильтр и открытое множество и является и окрестностью некоторого элемента из £, тогда и £ £ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть открытое множество и является и окрестностью некоторого элемента и — ультрафильтра £. Тогда и О К Ф 0 для любого К £ £ . Семейство £' = £ ^ {и} является и — центрированной системой, но £ - и —

ультрафильтр, следовательно £' = £. Отсюда следует, что и £ £ . □

Из принципа максимальности Куратовского - Цорна [2], [10], следует

ТЕОРЕМА 17. Всякая и центрированная система содержится, по крайней мере, в одном и ультрафильтре.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим через О(Е) - множество всех и — центрированных систем на множестве Е всех открытых множеств равномерного пространства иХ .

Упорядочим О(Е) следующим образом:

если £ £ О(Е) и £ £ О(Е) , то £ < £ тогда и только тогда, когда £ С £, т.е. £ содержится в £ как множество.

Покажем, что упорядоченное множество (<) индуктивно, т.е. что для любой цепи С (0((В\ <) существует £ е 0((£) , являющееся мажорантой для С . Тогда из принципа максимальности Куратовского - Цорна [2], [10], будет следовать существование в (О(Е), <)

максимального элемента £ .

Любая II — центрированная система £ е (С является некоторым подмножеством (£ всех открытых множеств на иХ. Положим £ = : £ е (£} . Проверим, что £ -II — центрированная система. Пусть СД,С2,...,ик - произвольный конечный набор из £ . По определению семейства £ существуют такие £, £2,...,£ еС что С/г- е £, / = 1,2,...,к . Так как С - цепь в упорядоченном множестве (О(Е), <), то существует перестановка к такая, что £ < £ 2 < ... <£к . Тогда £я ^ £2 ^ ... ^ £гк . Итак, С/. е £ для всех ^,/2,...,. Поскольку £ - и — центрированная система, то к ~

( С . Пусть теперь С е £ - произвольный элемент. Тогда существует индекс ] такой, что 1 < у < к и О е £ . Поскольку £ . - и — центрированная система, что существует V £ £}а £ и — вложенное в £/ . Итак, £ - и — центрированная система. Из определения £ следует, что £ а £ для любого £ £ (С и £ £ 0(<£) . Последнее означает,

что £ < £ для любого £ е С . Таким образом, £ - мажоранта цепи С ^ (0(Е), <) . На основании принципа Куратовского - Цорна мы заключаем, что в упорядоченном множестве (О(Е), <) существует максимальный элемент £ . Покажем, что £ является и — ультрафильтром, т.е. максимальная и — центрированная система. Пусть О е Е \ £ . Положим £' = £ ^ {и} . Если £' - и — центрированная система, то СС является и — окрестностью некоторого элемента из £ , следовательно, по предложению 16, С е £ , но

и < £ . Тогда семейство £' не и — центрировано, т.е. £' < О(Е) и £ является и — ультрафильтром. □

ТЕОРЕМА 18. Семейство £х всех открытых окрестностей точки Хе X равномерного пространства

иХ

является и ультрафильтром. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно показать, что для любой открытой окрестности 0Х точки Х е X найдется такая окрестность 0Х этой же точки, что 0Х и — отделена от Х \ ОХ . В силу тихоновости равномерного пространства иХ , существует такая равномерно непрерывная функция / : иХ — I, что I (х) = 0 и

I (X \ Ох ) = 1

[5]. В силу

равномерной непрерывности функции I, она является и — функцией [8, 9] и для множеств

и = I _1([0;1/3]) и и= I _1((2/3;1]) имеем Ох = I _1([0;1/3]) и

их\0 = I ([2/3;1]) и, следовательно, 0Х (0х\о =0. Тогда 0Хе 2и и Ох\ох е , следовательно, существует и — функция g : иХ —> I такая, что §(0Х ) = 0 ; 8(0 Х\0Х ) = 1. Но Х \ 0Х С иХ\0 с0Х\0 , следовательно

g(X \ Ох ) = 1. Итак, мы имеем, g(и.) С g(Ц.) =0 и g(X \ О. ) = 1, следовательно,

их - открытая окрестность точки X, и — вложенная в открытую окрестность Ох . □

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 19. Семейство £ 2 всех № окрестностей множжества 2 £ 2и в равномерном пространстве uX является системой на иК.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть V ££2, т.е. и является произвольной и окрестностью

множества 2 £ 2 . Пусть / : иX —> I - такая и — функция, что /= 0 , и /(X \ и) = 1 . Положим и = /Ч([0;1/3)) и и = /Ч((2/3;1]) . Тогда

и О и2 =0, 2 С и, X \ и С и . Так как, и £ С% , то X \ и £ 2 и 2 о X \ и =0. Следовательно, существует такая и — функция g : uX —> I, что

g(2) = 0 и g(X \ и1) = 1. Это означает, что является и — окрестностью для Всякая и — функция является непрерывной, следовательно, для и — функции / имеем

и = / '([0;1/3]) и и = / '([2/3;1]). Ясно, что £/1, и равномерно замкнуты, т.е. и £ 2 и и О и =0. Имеем следующее включение

X \ и С и С и С X \ и С X \ и С X \ 2 . По теореме 4 существует такая и — функция р : uX — I, что (р(и2 ) = 1 и <р(и{) = 0. Тогда тем более р(X \ и) = 1 и <р(и1) = 0, следовательно,

и является и - окрестностью и . Это доказывает то, что

является и — системой. □

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 20. Пусть 2 £ 2и и 2 Ф0. Тогда множество £ч всех и —

окрестностей множества 2 не пусто, т.е. £2 ^0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, такая функция / : uX —> I, что /(х) = 0 для всех x £ X равномерно непрерывна, и, следовательно, является и — функцией и /(2) = 0 , где 2 £ 2и и /(X \ X)= /(0) = 1, т.е. множество 2 и — вложено в X , т.е. X £ £ . □ ПРЕДЛОЖЕНИЕ 21. Пусть £ - является и ультрафильтром на равномерном пространстве

uX и 2 £ 2и - некоторое и замкнутое множество. Если 2 о К Ф0 для

любого К £ £, тогда £2 С £, где £ - семейство всех и — окрестностей множества

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из предложения 20 вытекает, что семейство £2 всех и

окрестностей множества 2 £ 2 не пусто, т.е. £2 ^0. Тогда £2 и £ - и центрированная система открытых множеств, но

£ - и —

ультрафильтр, следовательно

£ и£ = £,т.е. £2 с£. □

ТЕОРЕМА 22. Пусть £ - и

ультрафильтр,

А, В £ С 2 и А и В £ £ , тогда, либо

А £ £, либо В £ £ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сразу предположим, что A Ф 0 и В , т.к. не может быть одновременно A = 0 и В = 0 . Тогда A и B = 0 . Также, если A=0 и В Ф0 , то A и B = В Е £ и доказывать нечего. Аналогично, когда A Ф0 , В = 0 .

Итак, пусть A, B е CZU и A и B Е £ . Тогда A u B является U окрестностью некоторого K Е £, существует, т.к. U ~ функция такая, что f (K) = 0 и

f(X \( A и B)) = 1. Тогда ZK= f -1(0) EZU и K С ZK и

X \( A П B) = X \ A u X \ B с f 1 (1) и f(0) п f 1 (1) = 0. Тогда X \ A П ^ =0 и

X \ B П Zk =0 , но по условию X \ A Е Zu и X \ Be Zu , следовательно существуют такие U ~ функции g : uX i = 1,2, что g(ZK) = 0; g(X \ A) = 1 и g2(Z) = 0, и g (X \ B) = 1. Так как K с ZK , то тем более g (K) = g2 (K) = 0. Это означает, что A и B является U ~ окрестностями K . Тогда из предложения 16, следует, что A Е £ и B Е £ . □

СЛЕДСТВИЕ 23. Пусть £ - U ~ ультрафильтр и Д и A2 и... и An е£, где Ai е CZU для любого i = 1,2,..., n . Тогда существует такой j, 1 < j < n, что Aj е £

Список литературы / References

1. Александров П.С. О бикомпактных расширениях топологических пространств. [Текст] / П.С. Александров // Математический сборник, 1939. Т. 5 (47). № 2. С. 403-423.

2. Архангельский А.В. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. [Текст] / А.В. Архангельский, В.И. Пономарев. М.: Наука, 1974. 423 с.

3. Борубаев А.А. Равномерные пространства и равномерно непрерывные отображения. [Текст] / А.А. Борубаев. Фрунзе: Илим, 1990. 171 с.

4. Ефремович В.А. Геометрия близости I. [Текст] / В.А.Ефремович // Математический сборник, 1952. Т. 31. № 1. С. 189-200.

5. Isbell J.R. Uniform spaces: Mathematical Survey. [Text] / J.R. Isbell. Providence, 1964. 175 p.

6. Isiwata T. Structures of Uniform spaces X and. C(X) [Text] / T. Isiwata // Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daidaku. A (5), 1955. Vol. 134. Р. 174-184.

7. Смирнов Ю.М. О пространствах близости. [Текст] / Ю.М. Смирнов // Матем. сб., 1952. Т. 31. № 3. С. 543-574.

8. Charalambous M.G. A new covering dimension function for uniform spaces. [Text] / M.G. Charalambous // J. London Math, Soc., 1975. Vol. 11. № 2. Р. 137-143.

9. Charalambous M.G. Further theory and application of covering dimension of uniform spaces. [Text] / M.G. Charalambous // Czech. Math. J., 1991. Vol. 41. № 116. Р. 378-394.

10. ЭнгелькингР. Общая топология. [Текст] / Р. Энгелькинг. М.: Мир, 1986. 744 с.