CC BY
19
УДК 530.1
АНАЛОГ ФОРМУЛ КИРХГОФА В ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Н. А. Жура
Получен аналог формул Кирхгофа для электромагнитных волн. Как следствие, получена формулировка принципа Гюйгенса в свободном пространстве и изучена связь с известными представлениями решения системы Максвелла через скалярный и векторный потенциалы.
Одной из важных задач максвелловской теории электромагнитного поля является задача определения его динамики под действием внешнего поля (тока) при условии, что само поле известно в некоторый начальный момент времени. Классический метод решения этой задачи основан на представлении искомого поля через так называемые скалярный у и векторный ф потенциалы (вместо ф обычно используют Л), динамика которых определяется соответствующими волновыми уравнениями [1, с. 212], [2, с. 85].
В настоящей заметке развит прямой подход к этой задаче, не связанный с введен;, ем потенциалов. Он основан на использовании разложения Гельмгольца произвольного, достаточно гладкого поля, исчезающего на бесконечности, на сумму соленоидального и потенциального полей с последующим применением преобразования Фурье по про странственным переменным.
В п. 1 заметки получен аналог известных для волнового уравнения формул Кирхгофа для однородной системы Максвелла, а в п. 2 - для неоднородной. В п. 3 рассмотрена связь с классическим подходом, использующим потенциалы.
1. Рассмотрим систему уравнений в частных производных первого порядка
где искомая и — иг + ш2 и заданная / = /1 + г/2 комплекснозначные вектор-функции имеют по три компоненты, р = р\ + гр2 ~ скалярная комплекснозначная функция, а постоянная а > 0.
[3, с. 10].
1ди/д1 = aтotu — г/, сЦуи = /?, I > 0,
(1)
Система (1) вполне определяет динамику поля если только известно его зна
чение в некоторый момент времени (принимаемый далее за нулевой)
и(0, *) = *(*). (2)
В обозначениях щ = л/ЁЕ, и2 = у/рН, а = с/у/ё}I, где е>0и/1>0 - постоянные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, а с - скорость света в вакууме, эта система принимает вид
едЕ ТТ Атт . рдН „ Атг .
¿Л\ ЕЕ = 47Г/91, ¿.IV рН — р2.
Фигурирующие в (1) функции / и р связаны с вещественными функциями ]2 и
/92 соотношениями
4тгЗх-уДи, 47г;2 = и 47ГР1 = 4тгр2 = у/рр2.
При этом обычно р2 называют "магнитным" зарядом, а ]2 - "магнитным" током. Заметим, что р2 служит источником потенциального поля. Литература по такой электродинамике к настоящему времени достаточно обширна. Ограничимся здесь лишь ссылками [4], [7], [8]. В последних двух из них можно найти и дополнительные ссылки.
Когда ]1 и (а также р\ и р2) связаны линейным соотношением, а е = р. = 1, эта система рассматривалась в [4]. При р2 — 0, /2 = 0 и сНу 1тд—0, где символ 1т обозначает мнимую часть соответствующей величины, система (1) описывает динамику класси ческого электромагнитного поля, создаваемого распределенными зарядами и токами в однородной изотропной среде.
Пусть вначале / = 0 и /э = 0 в (1), а начальное поле д(х) гладкое и убывает на бесконечности вместе со всеми своими производными быстрее любой степени к >
О, где |а;|2 = х\ + Х2 + Ж3. Другими словами, оно принадлежит известному классу Шварца 5'(Ш3). Кроме того, предположим, что оно соленоидально, так что сНу д(х) — 0.
Пусть (Мх)(г, х) - среднее значение функции х по сфере а(х, г) = {у Е Ш'1 : —у| = г}, радиуса г > 0 с центром в точке х:
(МХ)(г,х)= I хШ*] /4тгг2, (3)
где der - элемент площади ее поверхности.
Тогда для решения задачи (1), (2) имеет место следующая формула
(4)
Доказательство этой формулы можно провести методом Фурье. Действительно, применяя его к задаче (1), (2) приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (к £Е Ш3)
Здесь й(Цк) = / и^,х) exp(—i(k,x))dx - преобразование Фурье вектор-функции и по пространственным переменным, а [•, •] и (•, •) - обозначают операции векторного и скалярного произведений трехмерных векторов. Решением системы (5) является вектор-функция
Используя известное выражение для преобразования Фурье ^-функции с носителем на сфере и применяя теорему о преобразовании Фурье свертки, приходим к формуле (4).
После того, как формула (4) получена, она может быть доказана и непосредственно, вполне аналогично доказательству формул Кирхгофа для скалярного волнового урав нения.
Имеющий место для скалярного волнового уравнения принцип Гюйгенса в свободном пространстве [5] остается в силе и для системы Максвелла, с тем лишь изменением, что для задачи (1), (2) решение в точке вполне определено значениями д и тot д
на сфере а(х,г), где г = а^.
Поскольку пространство ¿"(Ш3) плотно в Ь2, то, как нетрудно видеть, все результаты остаются в силе и в случае, когда решения разыскиваются в классе полей, для которых как так и интегрируемы с квадратом модуля. При этом предполага-
ется, что и исходные данные задачи принадлежат к этому же классу. Аналогичным образом эти результаты распространяются и на соответствующий класс умеренно растущих распределений (обобщенных функций).
Нетрудно видеть, что при всех £ > 0 имеет место закон сохранения энергии
du
— = a[k, й], (k, и) = 0, (и(0, *))Л = д(к).
(5)
*(*> *) = ш " №) + ö[k,g(k)].
(6)
|u(i, х)\2 dx = const,
причем постоянной в правой части последнего тождества совпадает с "начальной" энергией f \д(х)\2 dx. R3
Одним из следствий этого является вероятностная интерпретация решений системы (1), если нормировать начальное поле условием
J \д(х)\2 dx = 1.
R3
Подчеркнем, что широко используемые в эвристических рассуждениях решения типа плоских волн ае*(к'х\ где а - некоторый постоянный вектор, не являются элементами пространств S1 (и I2) и поэтому здесь не рассматриваются.
2. Рассмотрим теперь динамику поля u(t,x), удовлетворяющего общей системе (1) с начальным условием (2).
Искомое поле и в этом случае разыскиваем в виде
и = v + w, div v = 0, rot w = 0, (7)
где v - соленоидальное, a w - потенциальное поля, исчезающие на бесконечности. Заданные поля / и д также представим в аналогичной форме
/ = /о + /, 9 = 9о + 9, (8)
где div /о = div д0 = 0 и rot / = rot д = 0.
Тангенциальные поля в разложении (8) следует считать известными, поскольку решением системы уравнений
div w — р, rot w = 0 (9)
является функция
w = е * р, (10)
где е(х) = х/47г|х|3 - фундаментальное решение системы (9), где р следует заменить на ¿-функцию Дирака, а символ * здесь и ниже обозначает операцию свертки по пространственным переменным. Соленоидальные поля /0 и д0 также могут быть определены в явном виде, поскольку решением системы
divt> = 0, rot v = /о (11)
является функция
v = —е0 * rot /о = — ш(е) * /0, (12)
где ео(ж) = — 1/47г|х| - фундаментальное решение оператора Лапласа Д = д2/дх2 -f д2/дх\ + д2 ¡дх\, а кососимметрическая матрица
( 0 -е3 е2 А
ш(е) =
е3 0 —ех \ -е2 ех 0 /
Заметим еще, что е = grad е0.
Фигурирующее в разложении (7) поле х) есть решение системы (9), удовлетворяющее условиям
= /, ги(0, х) = д(х). (13)
Система (9), (13) однозначно разрешима тогда и только тогда, когда функции / ы р удовлетворяют условиям:
^ + <Цу/ = 0, ¿>0, (14)
/>(0,х) = <ИУ<7(Ж), (15)
при этом ее решение имеет вид (10).
Поле ги(/, ж) уместно назвать квазистационарным потенциальным полем. Если функцию р считать неизвестной, то (14) служит для ее определения, а (15), являющееся условием согласования, служит начальным условием.
Динамика соленоидального поля и(£,ж), фигурирующего в (7), определяется условиями
щ = V — г/о, г> = 0, £ > 0, (16)
»(О,х) = 0О(х), ¿ = 0. (17)
Решение этой задачи может быть представлено в виде
v(t, х) = v0(t, х) + v*(t, х),
(18) 7
где поле г;0 (£, а:) определено формулой (4), в которой д следует заменить на д0.
Что же касается поля г>*, то оно является решением системы (16), удовлетворяющим нулевому начальному условию. Применяя к этой задаче принцип Дюамеля и проводя некоторые дополнительные преобразования, приходим к справедливости следующего утверждения.
Пусть ко = {д/о/дн + тоЬ /о, где д/ди - дифференцирование по направлению внешней нормали V к сфере а(х,г), г = являющейся границей шара В(х,г) = {у (Е Ш 5 : \х — у\ < г} радиуса г = оА с центром в точке х.
Тогда имеет место следующая формула
Поскольку и — Уо + г>» + г*-', то совокупность формул (4), (Ю), (18) полностью определяет динамику поля, удовлетворяющего системе (1), (2).
3. Поскольку, как уже отмечалось выше, классический метод в исследованиях по теории электромагнитного поля связан с использованием потенциалов, представляется целесообразным выяснить его связь с прямым подходом п. 1, п. 2.
Если / и р в (1) вещественны, эта система в вещественной записи принимает форму
с!1 V Х1\ — /9, (11УЫ2 = 0, £ > 0,
и в обозначениях п. 1, как уже отмечалось, совпадает с классической системой Максвелла. Предположим еще, что фигурирующее в начальных условиях
поле д2{х) соленоидально, так что сНуд2(х) = 0, и выполнены условия (14), (15).
В рамках классического подхода решения системы (19) разыскивают [1 - 3] в виде
ди\¡д1 = а го! и2 — /, ди2/д1 — —ахоЪих
(19)
"1(0, х) = д\(х), и2(0, х) - д2(х)
(20)
и\ = — — о^гас! и2 — го1 ф, 2 > 0,
(21)
где скалярный и векторный ф потенциалы связаны условием лоренцевской калибровки
др/дг + &уф = о, г > о.
(22)
Подстановка (21) в (19) приводит к уравнениям
d2ip/dt2 - a2 Aip = ар, д2ф/дЬ2 - а2Аф = а/, t > 0 (23)
для потенциалов (риф соответственно. Здесь Д = д2/дх\ + д2 ¡дх\ + д2 ¡дх\ - оператор Лапласа.
Как хорошо известно, потенциалы ш ф ввиду связи (22) определены неоднозначно. Произвол в их выборе связан с инвариантностью уравнений (19) относительно кали бровочных преобразований [б]
ф I—у ф — ф -f- agrad 1 дв
Ч> '—► V = Ч>--7)7 >
a at
где в - произвольное решение волнового уравнения
д29/т2 - аАв = 0.
Таким образом произвол полностью устраняется заданием двух произвольных функций 0(0, х) и {d0/dt)(0, ж).
Впрочем, это нетрудно видеть и не пользуясь калибровочным преобразованием. Действительно, поскольку
dip
rot ф(0,х) = u2(0, ж) = д2(ж), div0(O^) = -—(0, ж), то, как нетрудно проверить,
ф(0,х) =-ш(е) * д2 - е* sx, (24)
где обозначено Si(x) = |^(0,ж). Кроме того,
Зф
— (0,ж) = —a(ui(0, ж) + agrad <¿>(0, ж)) = -а{д\(ж) + agrad <р(0, ж)). (25)
Ot
Таким образом, если в начальный момент времени t = 0 известны значения <¿>(0, ж) = йо(ж) и (d<p/dt)(0, ж) = -Si(x), то известны, в силу (24), (25), и начальные значения ф(0, ж) и (дф/dt){0, х) векторного потенциала ф. Поэтому функции <p{t, ж) и ф^,х) полностью определены.
Произвол в выборе ip и ф устраняется лишь в рамках кулоновской калибровки. Поскольку в представлении (21), в силу (22), div^ ф 0 то, вновь применяя разложение Гельмгольца, положим
ф = ф° + фг, divV>° = 0, rot ф1 = О, и аналогично для заданного векторного поля /:
/ = /° + /\" div /° = 0, rot /х = 0. Тогда в представлении (21)
lii = v + w, ii2 = rotV>°, (26)
где
1 дф° 1 дфг
v =---—, w ==---—-agrad^. (2<)
a at a at
Подстановка (27), (28) в (19) приводит к уравнениям
д2ф°/dt2 — а2Аф° = с*/0, ^ = div ад = р. (28)
Поскольку rot w — 0, то имеем
w = е* р. (29)
При этом уравнение + f1 = 0 выполняется тождественно, так как dp/dt + div / = 0. В результате представление (21) принимает вид
1 дф° о , .
«1 =---57" + е * Pi = rot ф , (30)
a at
где ф° есть решение волнового уравнения (28). Начальные условия для ф однозначно определены начальными условиями для электромагнитного поля. Действительно, rot^>°(0,x) = д2(х), div^°(0,a;) = 0, поэтому
ф°(0,х) = -ш(е)*д2. (31)
Аналогично находим
(32)
В частности, решение ip°(t,x) удовлетворяет условию di\ф°(1,х) — 0 при всех t > 0. Заметим теперь, что, положив w = —agrad</?°, имеем
причем div •0° = 0, что совпадает с кулоновской калибровкой.
Поскольку в рамках этой калибровки ф° и (¿>° определяются совершенно однозначно, то остальные формулы, полученные в заметке, можно получить и с помощью потенциалов. Следует лишь принять во внимание формулы (32), (33), связывающие начальные данные для функции ф° с начальными данными для электромагнитного поля.
Как следствие нет необходимости в отыскании вектор-функции фх и скалярной функции у?, фигурирующих в (28), поскольку эта комбинация совпадает с правой частью (30). Этот факт иногда называют "компенсацией продольных и временных фотонов".
Резюмируя, можно утверждать, что задача Коши (19), (20) и задача отыскания потенциалов <р и ф, связанных условием кулоновской калибровки, равносильны. В частности, формулы (4) и (18) могут быть получены с помощью потенциалов <р и ф, удовлетворяющих условию кулоновской калибровки. Однако в литературе, насколько известно автору, в явном виде эти формулы отсутствуют.
Что касается случая лоренцевской калибровки, то он, в существенном, сводится к случаю кулоновской калибровки, отличаясь от последнего наличием дополнительных слагаемых, вызванных неоднозначностью определения потенциалов, причем эти дополнительные слагаемые компенсируют друг друга, как уже отмечено выше.
4. Заметим еще, что в приложениях часто используется и представление электромагнитного поля через так называемые потенциалы Герца сре и <рт (вместо <р используют букву П) [2]. Они связаны с потенциалами ¡риф соотношениями
так что условия калибровки Лоренца для них выполнены. Дополняя (34) условиями rot у>е = 0, div ipm = 0, приходим к заключению, что <ре и <рт однозначно выражаются через ip и ф и поэтому имеют те же свойства, что и последние. В силу предыдущих рассуждений здесь также более уместна кулоновская калибровка, когда в правой части второго из уравнений (34) целесообразно опустить первое слагаемое.
t¿i = — — agrad <ро, u2 = rot ф°,'
(33)
ip = — div </?e, Ф = dipe/dt + rot (p.
(34)
Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю признательность А. Н. Ораевскому и А. П. Солдатову за ценные обсуждения содержания заметки.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теоретическая физика, т. 2. Теория поля. Издание шестое, исправленное и дополненное. М., Наука, 1973.
[2] Б о р н М., Вольф Э. Основы оптики. М., Наука, 1973 (М. Born, E.Wolf. Principles of Optics, Fourth Edition, Pergamon Press, 1968).
[3] Cohen-Tannoudji C., Dupount-Roc J., Grynberg G. Photons & Atoms. Introduction to Quantum Electodynamics. A Wiley-Interscience Publications, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997.
[4] S с h w i n g e r J. A Magnetic Model of Matter, Science, 165, N 3895, 757 (1969).
[5] Baker В. В., С op son E. T. The Mathematical Theory of Huygens' Principles. 2nd ed. Oxford: Oxford Univ. Press, 1950.
[6] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теоретическая физика, т. 4. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Релятивистская квантовая теория. Часть 1. М., Наука, 1968.
[7] Монополь Дирака. Сборник статей. Перевод с английского под ред. Б.М. Болотов ского и Ю.Д. Усачева. М., Мир, 1970.
[8] С т р а ш е в А. Н., Томильчик Л. М. Электродинамика с магнитным зарядом. Минск, 1975.
Поступила в редакцию 20 июня 2003 г.
