Научная статья на тему 'Математическая модель электромагнитного поля'

Математическая модель электромагнитного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
293
36
Поделиться

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Меньшов Евгений Николаевич

Проводится анализ уравнений классической электродинамики на соответствие физическому смыслу, и обнаруживаются противоречия их математических операторов с физическим смыслом. Обосновывается корректировка этих уравнений

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Меньшов Евгений Николаевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Математическая модель электромагнитного поля»

Боровиков Михаил Алексеевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Электропривод и автоматизация промышленных установок» УлГТУ, действительный член Академии электротехнических наук РФ. Окончил Томский политехнический институт. Имеет статьи и монографии по вопросам повышения качества автоматизированных электроприводов разных классов.

Петрова Марина Валерьевна, кандидат технических наук, окончила энергетический факультет УлПИ, доцент кафедры «Электропривод и автоматизация промышленных установок» УлГТУ. Имеет статьи и доклады по вопросам компенсации реактивной мощности.

УДК 537.8 Е. Н. МЕНЬШОВ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Проводится анализ уравнений классической электродинамики на соответствие физическому смыслу, и обнаруживаются противоречия их математических операторов с физическим смыслом. Обосновывается корректировка этих уравнений. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Уравнения Максвелла составляют фундамент классической электродинамики. Когда классические науки - электродинамика и механика - натолкнулись на непреодолимую для них трудность, обусловленную неспособностью решить проблему устойчивости модели атома Резерфорда, то теоретическое естествознание пошло по пути абстрактного формализма и математизированных теорий. В результате современная теоретическая физика утонула в пучине идеалистических категорий: отрицание детерминизма, признание возможности нарушения закона сохранения энергии, признание реальностями различных сингулярностей. Классическая электродинамика также приводит в ряде случаев к физически противоречивым результатам, например, в релятивисткой области преобразования Лоренца указывают на бесконечность физических характеристик.

Проблемы электродинамики побуждают многих исследователей предлагать оригинальные теории электромагнитного поля. Однако авторов новых концепций и парадигм ожидают непреодолимые трудности, обусловленные или абстрактным формализмом, или субъективным постулированием. 64 Вестник УлГТУ 1/2001

моделирования, базирующееся на строгой математике, фундаментальных принципах теории естествознания и общей теории динамических систем.

Любая математическая модель в общем виде представляет определенный математический оператор, который устанавливает взаимосвязь между физическими переменными, характеризующими состояние исследуемого объекта. Адекватность моделирования достигается выполнением определенных важных требований [1].

ОГРАНИЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ МАКСВЕЛЛА

Уравнения Максвелла связывают величины, характеризующие состояние электромагнитного поля (ЭМП), с его источниками. Рассмотрим первое и второе уравнения Максвелла для вакуума:

rtrt В = С"*(Э Е t dt)„ (J)

гаt Б = - {д В fdt). (2)

Здесь Е и В - векторы напряженности электрического поля и магнитной индукции. Они являются реальными величинами, так как определяют силы, действующие со стороны поля на заряды и токи, и

выступают специфическими сторонами единого электромагнитного явления -электро-магнитного поля, с - скорость света.

Каждое уравнение Максвелла (1) и (2) состоит из двух составляющих: справа - воздействующая составляющая; слева - возбуждаемая составляющая. Это очевидное положение вытекает непосредственно из физического смысла каждого уравнения [2]. Первое уравнение есть дифференциальная форма закона полного тока, второе уравнение является дифференциальной формой закона электромагнитной индукции. Этими законами реально подтверждается факт наличия в электромагнитных явлениях двух самостоятельных причинно-следственных отношений между физическими величинами В и Е. Тогда каждое отдельное уравнение (1) или (2) выражает на бесконечно малом интервале времени самостоятельный элементарный акт причинно-следственного взаимодействия в общем электромагнитном процессе.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Правая часть каждого уравнения представляет собой дифференциальный оператор д /dt над переменной, выступающей в качестве воздействия (причины в акте взаимодействия). Левая часть каждого уравнения представляет собой пространственную производную, называемую ротором (или вихрем), над переменной, выступающей в качестве возбуждаемой величины (следствия в акте взаимодействия).

Математический оператор rot вычленяет вихревую составляющую возбуждаемого векторного поля [3]. Значит векторы rotB и rotE, характеризуя структуру - вихревую структуру - возбуждаемых полей, тоже являются следствиями воздействующих величин. Но при этом математические операторы уравнений (1) и (2) допускают бесконечные значения каждого вектора votB и rotE в случае скачков Е и В соответственно.

Исследуем вопрос: могут ли с физической точки зрения rotB и rotE принимать бесконечные значения? Для этого умножим скалярно обе части уравнения (1) на вектор Е , и аналогично - уравнения (2) на вектор В:

Здесь w3 и wM - соответственно плотности энергии электрического и магнитного полей, - магнитная постоянная вакуума. Из (3) и (4) следует, что величины ErotB и BrotE приравнены соответственно характеристикам мощности электромагнитной энергии. Так как в природе невозможны бесконечные .мощности, то величины rotB и rotE не должны принимать бесконечные значения. Приходим к выводу, что такие физические ограничения не выражаются математически в уравнениях Максвелла. Таким образом, математические операторы уравнений Максвелла сужают область отображения физически непротиворечивой картины ЭМП.

Математически этот недостаток выражается дефектом операторов традиционных уравнений, заключающимся в понижении порядка производной, по времени в левой части каждого уравнения относительно правой части. В математике уравнения с такими свойствами называются вырожденными уравнениями.

ОБОСНОВАНИЕ НОВЫХ УРАВНЕНИЙ Для исключения «дефекта» необходимо ввести в уравнения Максвелла .временные производные <УГ величин rotB и rotE соответственно. Новая математическая модель примет следующий вид:

Ti ВУ di) + rot В - с'~ (д Е Щ (5)

-i2(3(rot Е У ¿t) + rol Е = - (й В Щ (б)

где Т] и т2 - некоторые постоянные времени. Такая структура уравнений учитывает неотъемлемое природное свойство в причинно-следственных отношениях - наличие локального эффекта запаздывания между следствием и причиной. Поскольку электромагнитное поле описывается системой двух уравнений, то необходимо говорит* о локальном эффекте запаздывания. Так как «эффект локального запаздывания» не замечен на опыте,

то нужно полагать, что величины Т] и т2 слишком малы, поэтому он может быть заметен только при очень высоких частотах колебаний ЭМП.

Для обоснования количественных соотношений между параметрами Т| и проведем анализ уравнений (-5) и (6) на предмет получения их общего ■ волнового решения для монохроматического поля. Применяя преобразование Фурье по временной переменной к (5) и (6), имеем:

¡агс^гаСВ ) +■ ют В - ¡акт'2 Ё , (7)

1ЮТ1<10Е Ё ) + кй К = - мой. Перейдем по традиционной, методике к волновому уравнению, например относительно комплексного вектора В, с учетом фундаментального соотношения divB=0:

Здесь коэффициент распространения к равен:

Из (10) следует, что его знаменатель не может быть комплексным, иначе коэффициент распространения будет иметь вещественную составляющую. Это приводит к диссипативной или абсолютно неустойчивой электромагнитной волне в вакууме, что противоречит физическому смыслу. Для избежания этого противоречия необходимо положить следующее условие:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Знак минус умозрительно присвоен величине Т] для того, чтобы производные по времени от В и Е присутствовали в уравнениях

(5) и (6) с одинаковыми знаками. Ниже это свойство будет обосновано строго.

При этом условии получаем дисперсионное уравнение (10) для вакуума, из которого следует-выражение для фазовой скорости волны в вакууме:

БАЛАНС ЭНЕРГИИ ВИХРЕВОГО ЭМП В ВАКУУМЕ Вычитая из уравнения (5), умноженного скалярно на Е, уравнение (6), умноженное скалярно на В, имеем:

-т (ЕюгдШВ* + Вг+■ (Е rot В - В rot К) = ^ fe ШЖ /51+ В ¿¡В Щи*).

Здесь

Е rot В - В rot Е « - div [Е W]; (е^Е £Е /Зн- В ЭВ /St/щ) = a (w,+ wwy3t.

Тогда уравнение баланса энергии вихревого ЭМП в вакууме примет вид

-1 (Е rat3B/dt + II гЫйЕ/aty Ип ■ diV fE(BjK>] = a (w,4 wKydt. (5

ОБОСНОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ И ПОЛНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Здесь будем учитывать источники электромагнитного поля, находящиеся в вакууме. Из (5) и (6) следует:

Принимаем во внимание фундаментальное свойство непрерывности силовых линий магнитного поля, выражаемое уравнением Максвелла:

div В =

(36)

Оно правомерно потому, что экспериментально не был обнаружен магнитный заряд. Переходим как обычно к выражению векторного потенциала.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Подставляя (17) в (15), приходим к выражению

ГО£(т0Е/ан £ + 3AJDt) KI,

из которого следует уравнение, устанавливающее связь между напряженностью электрического поля Е и векторным потенциалом А:

Е - dAfdl - grad ф, (] R)

где ф - некоторая скалярная функция.

Приведем по традиционной методике уравнения (14) и (15) к волновым уравнениям относительно величин Е и В соответственно:

■^(ДКУЭсЧ АЕ - с^Е/й? e Ho^j/^t + (-T^fjraddivfi^VgraddivK), (i 9) т2^(Авуа3 + ДВ - е®Afit = - fr, (i3£ro|jyat + гоф. (20)

Непосредственно из волнового уравнения для В получим волновое уравнение для А, подставив при этом (17) в (20) и воспользовавшись следующим тождеством A(rot А) = rot (ДА), имеем выражения

-а .—- - g -V» ULrj'jnnM UM^iHMlvrUIA

+ ДА -+ ^(гсЭДЩ + j}> = 0, т3^{ДАУА3 + ДА - с'УA/at2 = - ц, (toj/a + j) - firad ц|я (21)

где \|/ - некоторая скалярная функция.

Теперь получим волновое уравнение для А из выражения (18), устанавливающего связь между вектором Е и А. Сначала в (14) подставим (17), потом продифференцируем по времени и умножим на т:

*tc(rdt rot А У St I- rot rot А - JJ<> j -НС"1 (д Е /Si), -тЩтrat АУЭГ ■+ гЩтыroi А№ -тдоДО +хс2д2¥./о*1.

Составим сумму из двух последних выражений, при этом преобразовав традиционным способом (rotrot= - A+graddiv) с учетом (18), получаем:

ДА - с"2?2AIdt = - ^ (x^J/^t -J- j) +

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Weffgrad divAj/ct2 + grad rtivA +cJa(grad t,

Так как волновое уравнение не должно зависеть от способа преобразования, последнее уравнение будет совпадать с (21), если скалярная функция примет следующий вид:

-V = -t^divAJ/a2 + <3ivA Н~2д(р/д[. (22)

В выражении (22) содержатся две произвольные скалярные функции ф и \|у. Примем одну из них равной нулю у = 0, тогда волновое уравнение (21) упроститься, а калибровка Лоренца в новой электродинамике примет вид

-JtPfflvAYdP+divA i-c'^/ot® (23)

где ф - является скалярным потенциалом ЭМП.

Для вывода волновод уравнения ф воспользуемся (23), предварительно продифференцировав его по временной переменной и умножив на (-1):

69 Вестник УлГТУ 1/2001

гЗ*(с1Ь-АУ313 - ЗСсКУАУЙ - с^ф/Й* - 0. (24)

Применим к уравнению (18) оператор div, введя обозначение divgrad(f) =Дф, и поменяв местами операции дифференцирования:

тё\уЕ = - аДОгАДО - Дф. (25)

Выражая величину S(divA)/dt из (2.5) и подставляя ее в (24), находим:

-хЩ&ц>У&2 + А<р - С'фу/д? = - (I -т^/аг) (ИтЕ). (26)

В (26) нельзя положить традиционное уравнение div Е=р/е0, выражающее согласно постулату Максвелла связь переменного электрического поля Е с объемной плотностью электрического заряда р, распределенного в вакууме ( р выступает в качестве источника электрического поля), так как порядок временного дифференциального оператора воздействия в правой части (26) превышал бы порядок временного дифференциального оператора возбуждаемой величины ф в левой части. Тогда при скачкообразном изменении заряда нарушался бы математический баланс между начальными условиями возбуждаемой величины и начальными значениями воздействия в соответствии с теорией и практикой обобщенных функций [4].

Чтобы исключить подчеркнутый недостаток, необходимо принять в качестве новой модели уравнение следующего вида:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

тЭДМдан- №Ж = р/в* (27)

Отметим, что из (26) могут ещё следовать модели других типов для описания divE , например, модели, содержащие при divE оператор (1-т"Э !3\). Но в этом случае не удовлетворяется требование устойчивости решения предполагаемого уравнения, так как такое уравнение, допуская независимое решение по временной переменной, обладает положительным корнем характеристического уравнения. По той же самой причине выбор в разделе 3 величины \\ = -т должен оставаться только таким.

При этом (26) примет окончательный вид:

Дф - = (^р/Й5 - р^ (28)

С учетом (27) волновое уравнение (19) для Е запишется так:

+ АН - с^Е/дС1 = + +ЯяфУеп. {29}

Раскроем новое уравнение непрерывности. Применим к уравнению (14)оператор div и учтем тождество divrotB =0, имеем следующее выражение:

^ di vj (д divK fot = ü

Применяя к нему дифференциальный оператор (1+тд/сй) и учитывая уравнение (27), получаем новое уравнение непрерывности

Итак, на основе обоснованных уравнений (14), (15), (27) и (16) запишем полную систему уравнений новой электродинамики для сплошной среды:

-lafrot ну a + rot н я j 4 (д пщ-, ъд(то\ Еу at+rotE - - (Э B/at); í3(divl>yai+- divD = р; div В = 0.

D - электрическая индукция. Новая электродинамика тродинамикой [5].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Меньшов Е. Н. Системный подход в задачах математического моделирования на основе линейных дифференциальных уравнений// Тез. докл. 28-й н.-т. конф. УлПИ, февр.1994. Ульяновск: УлПИ, 1994.4.1. С.6-8.

2.Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. 616 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3.Математический энциклопедический словарь/ Гл.ред. Ю. В. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 1998. 847 с.

4.Меньшов Е. Н. Начальные условия, обусловленные разрывным воз-действием в нелинейных системах // Адаптивные измерительно-информационные системы: Тез. докл. науч.-техн. семинара, июнь 1986 г. Ульяновск, 1986. С. 11.

5.Меньшов Е. Н. Математическое моделирование электромагнитного поля: Деп. в ВИНИТИ от 25.10.2002, №1842 - В2002. 9 с.

Меньшов Евгений Николаевич, кандидат технических наук, окончил радиотехнический фаулытет УлПИ, доцент кафедры ««Электроснабжение» УлГТУ. Имеет публикации в области математического моделирования электромагнитных элементов и систем.

(31)

(32)

(33)

будет инерционной элек-