CC BY
103
Показано, что в зависимости от полярности включения фотодиодов в состав резонатора происходит частотный сдвиг отклика вверх или вниз по частоте при увеличении освещенности. Предложено использовать систему связанных кольцевых резонаторов для увеличения чувствительности исследуемых резонаторов к величине освещенности. Продемонстрировано, что для фиксированного расстояния между связанными резонаторами происходит частотное расщепление отклика системы на четную (яркую) и нечетную (темную) моды при помощи света. Мы уверены, что предложенный метод создания перестраиваемых кольцевых резонаторов позволит создать новый класс метаматериалов, управляемых светом.
Работа поддержана Министерством образования Российской Федерации (соглашения № 14.В37.21.1176 и № 14.В37.21.1283), Фондом «Династия», Фондом РФФИ (проект № 13-02-00411), стипендией Президента Российской Федерации молодым ученым и аспирантам 2012.
Литература
1. Linden S., Enkrich C., Wegener M., Zhou J., Koschny T., Soukoulis C.M. Magnetic Response of Metamaterials at 100 Terahertz // Science. - 2004. - V. 306. - P. 1351-1353.
2. Shelby R., Smith D.R. and Schultz S. Experimental Verification of a Negative Index of Refraction // Science. - 2001. - V. 292. - P. 77-79.
3. Gansel J.K., Thiel M., Rill M.S., Decker M., Bade K., Saile V., von Freymann G., Linden S., Wegener M. Gold Helix Photonic Metamaterial as Broadband Circular Polarizer // Science. - 2009. - V. 325. - P. 15131515.
4. Belov P.A., Hao Y. Subwavelength imaging at optical frequencies using a transmission device formed by a periodic layered metal-dielectric structure operating in the canalization regime // Physical Review B. - 2006. - V. 73. - P. 113110.
5. Leonhardti U. Optical conformal mapping // Science. - 2006. - V. 312. - P. 1777-1780.
6. Кившарь Ю.С., Орлов А.А. Перестраиваемые и нелинейные метаматериалы // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2012. - № 3 (79). - C. 1-10.
7. Shadrivov I.V., Morrison S.K. and Kivshar Yu.S. Tunable split-ring resonators for nonlinear negative-index metamaterials // Opt. Express. - 2006. - V. 14. - P. 9344-9349.
8. Kapitanova P.V., Maslovski S.I., Shadrivov I.V., Voroshilov P.M., Filonov D.S., Belov P.A. and Kivshar Y.S. Controlling split-ring resonators with light // Applied Physics Letters. - V. 99. - P. 251914 (1-3).
9. Marques R., Martin F. and Sorolla M. Metamaterials with Negative Parameters: Theory, Design and Microwave Applications. - NJ: Wiley&Sons, Inc., Hoboken, 2008. - 315 p.
Капитонова Полина Вячеславовна - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, научный сотрудник, [email protected], [email protected]
Белов Павел Александрович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, главный научный сотрудник, [email protected]
УДК 537.862
АНАЛИЗ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ ФОТОННОГО КРИСТАЛЛА С КРАТНЫМИ ОПТИЧЕСКИМИ ДЛИНАМИ СЛОЕВ ДЛЯ ТЕРАГЕРЦОВОГО ДИАПАЗОНА
ЧАСТОТ
А.Х. Денисултанов, М.К. Ходзицкий
Из дисперсионного уравнения для бесконечного фотонного кристалла выведены формулы для точного расчета границ запрещенных зон, ширины запрещенных зон и точного положения центров запрещенных зон фотонных кристаллов с кратными оптическими длинами слоев в двухслойной ячейке для терагерцового диапазона частот от 0,1 до 1 ТГц. Формулы проверены при численном моделировании фотонных кристаллов методом матриц передачи и методом конечных разностей временной области для первой, второй и третьей кратностей оптических длин в двухслойной ячейке фотонного кристалла. Формулы для второй кратности подтверждены экспериментально. Ключевые слова: фотонный кристалл, запрещенная зона, граничные частоты, кратные оптические длины, матрица передачи, метаматериал.
Введение
В последние годы исследование искусственных сред с необычными свойствами («метаматериа-лов») привлекает интерес достаточно большого круга ученых и инженеров, что обусловливается перспективным использованием этих сред в промышленной и военной индустрии при разработке новых типов фильтров, фазосдвигателей, суперлинз, маскирующих покрытий и т.д. [1-3]. Одним из видов мета-материалов является фотонный кристалл, который представляет собой слоистую структуру с периодиче-
ски изменяющимся показателем преломления [4]. Фотонные кристаллы (ФК) активно используются в лазерных технологиях, средствах коммуникации, фильтрации, благодаря таким уникальным свойствам, как наличие зонной структуры в спектре, сверхразрешение, эффект суперпризмы и т.д. [5-7]. Особый интерес проявляется к исследованию фотонных кристаллов в терагерцовом (ТГц) диапазоне для спектроскопических, томографических исследований новых типов материалов и биообъектов [8]. Исследователями уже разработаны двумерные и трехмерные ФК для ТГц диапазона частот и изучены их характеристики [9, 10], но, к сожалению, на данный момент нет точных формул для расчета характеристик зонной структуры фотонного кристалла, таких как ширина запрещенной зоны, центр запрещенной зоны, границы запрещенной зоны [11]. Целью настоящей работы является получение формул для расчета характеристик одномерного фотонного кристалла для первой, второй и третьей кратностей оптических длин в двухслойной ячейке ФК и проверка этих формул с помощью численного моделирования методом матриц передачи и методом конечных разностей во временной области, а также эксперимента в ТГц диапазоне частот.
Аналитическое и численное моделирование
Рассмотрим бесконечный фотонный кристалл с показателями преломления слоев в двухслойной ячейке п1 и п2 и толщинами слоев й1 и й2 соответственно. Данная структура возбуждается линейно-поляризованной поперечной электрической волной (ТЕ-волной). Волновой вектор к направлен перпендикулярно слоям ФК (рис. 1). Дисперсионное уравнение для такого ФК, полученное с использованием теоремы Флоке и условия непрерывности тангенциальных компонент поля на границе слоев, имеет следующий вид [12]:
и ь \
С08[кв(йх + й2)] = со8[кг й^]х со$[к2 й2]-0,5)
ку к у
у1 + у2
ку к у
с бт[кг ё1] х бт[кг й2
/
где кв - блоховское волновое число; к^ =
ли преломления; й1, й2 - толщины слоев.
й\ Й2
2 л х / х п1
ку2
2л х / х п2
; / - частота; пг, п2 - показате-
У
О
->
2
Е
Н
к
П2
Рис. 1. Рассматриваемая слоисто-периодическая структура
чз +
'я
и
(X
2
0,1
Л . и Л 1 ! I х. ] л!/ л Пил! л «
и ' и | Г ¡4 1 ! 1) 1 1 N V и | 1 У ' 11
чз +
'я
-1
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Частота/ ТГц
0,7
0,8
0,9
Рис. 2. Частотная дисперсия комплексного блоховского волнового числа
Дисперсия комплексного блоховского волнового числа, полученная с использованием уравнения (1), показана на рис. 2. Как видно из рис. 2, на границах запрещенных зон аргумент косинуса кв (й1 + й2) будет принимать значения либо 0, либо п [12]. Следовательно, исходя из этого условия, можно рассчи-
х
4
0
1
0
1
тать значения граничных частот, ширины запрещенных зон и центры запрещенных зон фотонного кристалла. Однако для фотонного кристалла с некратными оптическими длинами слоев внутри двухслойной ячейки данные формулы могут быть получены только в неявном виде. Для получения формул в явном виде нужно использовать кратные оптические длины: пхёх = п2ё2; пхёх = 2хп2ё2; пхёх = 3хп2ё2... . В работе были рассмотрены формулы для 1-й, 2-й и 3-й кратности.
Для фотонного кристалла первой кратности (пхёх = п2ё2) формулы граничных частот, ширины
запрещенной зоны и центра запрещенной зоны имеют следующий вид:
( /п 1 Л ( /п «и 1 Л
/1 =
0,256-1,5 . „ агссо81---I + 2лт
0 ,25р + 0,5
а/ = /1 -/2; /33 = /+/2-; /рз =
/ 2а; /2 = я( т +1)
0,256-1, 5 . „, 1Ч -агссо81 ——-—— | + 2л( т +1)
0 ,256 + 0,5
/2а ;
2 а
где /1 и /2 - низкочастотная и высокочастотная границы запрещенной зоны соответственно; А/ - ширина запрещенной зоны; /зз - центр запрещенной зоны; с - скорость света; / - центр разрешенной
2лхп2 ё 2
о пх п2 зоны 6 = — +—;
т = 0,1,2,...
Для ФК с параметрами слоев пх = 2,9; п2 = 1,445; ёх = 540 мкм; ё2 = 1084 мкм для второй запрещенной зоны в диапазоне 0,1-1 ТГц имеют место следующие параметры зонной структуры: /1 = 0,1332 ТГц; /2 = 0,1541 ТГц; А/ = 0,0209 ТГц; /зз = 0,1437 ТГц .
Для ФК, оптические длины слоев которого связаны равенством пхёх = 2п2ё2, получены следующие формулы для параметров зонной структуры:
/х =
/2 =
/3 =
/4 =
/ =
■У рз
( ( агссоБ
V V
4+в+У в2-4 6 + 3в-4в2 -4
Л
+ 2пт
( ( агссо8
V V
4 + в-V в2 - 4 6 + 3в + ^в2 - 4
Л
+ 2пт
пп2 ё 2
( ( агссо8
V V
-в + #^4
2 + в -V в2 - 4
Л > Л (
+ 2ят х с агссоБ
V ; /1 = V
пп2 ё 2
-в-#^4 2 + в + 4 в2 - 4
Л
+ 2пт
( ( -агссоБ
V V
пп2 ё2
-в-#^4 2 + в + л/в2 - 4
пп2 ё2
+ 2л( т +1)
пп2 ё 2
■; /х =
( ( -атссоБ
V V
-в +#"-4
2 + в-Vв2 - 4
+ 2л( т +1)
пп2 ё 2
( ( -атссоБ
V V
4 + в-Vв2 -4 6 + 3в + 4в2 - 4
+ 2л( т +1)
%п2 ё 2
-; /4х =
( ( -атссоБ
V V
4 + в + Ув2 - 4 6 + 3в-4в2 -4
+ 2л( т +1)
пп2 ё 2
(т +1) х с
2п2 ё2
где ( /1 и /11 ), ( /2 и /21 ), ( /3 и /31 ), ( /4 и /41 ) - низкочастотная и высокочастотная границы запрещен-
п п
ных зон с номерами (4т+1), (4т+2), (4т+3), (4т+4) соответственно; с - скорость света; Р= — + —;
п2 пх
т = 0,1,2,.... Ширина запрещенной зоны рассчитывается как А/ = /-/х; центр запрещенной зоны
, / + /х . й /зз = ^ ; /рз - центр разрешенной зоны.
Для ФК с параметрами пх = 2,9; п2 = 1,445; ёх = 540 мкм; ё2 = 541,87 мкм для второй запрещенной зоны в диапазоне 0,1-1 ТГц имеем
/2 = 0,116 ТГц; /2х = 0,14 ТГц; А/ = 0,024 ТГц; /зз = 0,128 ТГц .
Для фотонного кристалла, оптические длины которого связаны равенством пхёх = 3п2ё2, получены следующие формулы для параметров зонной структуры:
с
f =■
arccos
1 -0,5ß + ^/2,25ß2 -ß-7 3 + 2,5ß-^/ 2,25ß2-ß-7
Л
+ 2nm
4nn2 d 2
f =
arccos
1 -0,5ß-^2,25ß2 -ß-7 3 + 2,5ß + V 2,25ß2-ß-7
Л
+ 2nm
47in2 d 2
(
f2 =
arccos
v
3 + 0,5ß -2-ß
Л
+ 2nm
(
4лп2 d2
■; fl =
-arccos
v
3 + 0,5ß -2-ß
+ 2л( m +1)
4лп2 d2
f3 =■
-arccos
1 -0,5ß-J2,25ß2 -ß-7 3 + 2,5ß + yl2,25ß2 - ß - 7
+ 2л( m +1)
4яп2 d 2
f1 =
f =
^ рз
-arccos
1 - 0,5ß + 72,25ß2 - ß - 7 3 + 2,5ß-sj2,25ß2 -ß-7
+ 2л( m +1)
4яп2 d 2
m x с 2n2 d2
где (/1 и /11), (/2 и /2), (/3 и /) - низкочастотная и высокочастотная границы запрещенных зон с
п п
номерами (3т+1), (3т+2), (3т+3) соответственно; с - скорость света; р = — + —; т = 0,1,2,.... Ширина
запрещенной зоны рассчитывается как Д/ = / - /1; центр запрещенной зоны /зз =
f + f1 .
2
fP3- центр
разрешенной зоны.
Для ФК с параметрами п1 = 2,9; п2 = 1,445; = 540 мкм; й2 = 361,24 мкм для второй запрещенной зоны в диапазоне 0,1-1 ТГц имеем
/2 = 0,1283 ТГц; = 0,1591 ТГц; Д/ = 0,0308 ТГц; /зз = 0,1437 ТГц .
Для моделирования ФК конечной длины нужно использовать метод матриц передачи [13], который позволяет рассчитать значение электромагнитного поля волны, проходящей через фотонный кристалл, в произвольной точке 2 слоя. Матрица передачи для одного слоя имеет следующий вид:
M( z) =
cos(k0 x n x p x sin(k0
: z x cos 0) x n x z x cos 0)
(-i / p) x sin(k0 x n x z x cos 0)
cos(k0
cos 0)
где k0 = —; p = — cos 0 ; n = ; z - координата на оси Oz; 0 - угол падения волны на первый слой.
с
Используя метод матриц передачи, в математическом пакете MATLAB была построена зонная структура фотонного кристалла для оптических длин слоев в двухслойной ячейке 1-й, 2-й и 3-й кратно-стей), в ТГц диапазоне частот (для 0=0) с 10 элементарными ячейками с параметрами слоев, указанными выше (рис. 3).
Как видно из рис. 3, в спектре пропускания ФК 1-й, 2-й и 3-й кратности выпадают запрещенные зоны, кратные двум, трем, четырем соответственно, по сравнению с зонной структурой ФК с некратными оптическими длинами слоев внутри элементарной ячейки. Для всех трех случаев кратности относительная погрешность вычислений параметров зонной структуры конечного ФК не превышает 1% по сравнению с формулами для бесконечного ФК (ширина запрещенной зоны рассчитывалась на уровне 0,5 коэффициента пропускания для конечного ФК).
Также структура одномерного ФК была рассчитана методом конечных разностей во временной области с помощью программного пакета трехмерного моделирования CST Microwave Studio (рис. 4). Видно такое же поведение зонной структуры конечного ФК, что и для спектров пропускания, полученного методом матриц передачи. Относительная погрешность вычислений параметров зонной структуры конечного ФК в данном пакете моделирования не превышает 3% по сравнению с формулами для бесконечного ФК.
0,5
ч
<и
Я н о
я
13
о £
о &
<и
я
Я Я -е -е
т
£
|Щ
Цж.М'.'ш ЩШШ Ш Щ'ДЦ Щ
пШшиЩШ) щщм
ИР™ ИрЩ
0,2
0,4
пхёх=п2ё2
0,6
0,8
0,5
0,5
0
0,2
0,8
1
0,4 0,6
пхёх=3п2ё2 Частота / ТГц
Рис. 3. Зонная структура фотонного кристалла для трех кратностей, оптических длин слоев в двухслойной ячейке в ТГц диапазоне частот (цифры указывают номер запрещенной зоны, стрелки - выпадающие
запрещенные зоны)
Е
Л-
к Н
ч
<и
Я т о
Я
3
с
£
о &
Ё
<и Я
ц
Я -е -е т о
1
0,5
0 1
0,5
0 1
0,5 0
М/Д5 6
пхёх=п2ё2
пхёх=2п2ё2 -ДА/ ут1
0,2 0,25 0,3
0,5 0,55 0,6
0,35 0,4 0,45
пхёх=3п2ё2 Частота, ТГц
а б
Рис. 4. Трехмерная модель ФК в ОЭТ (а) и коэффициент пропускания ФК для трех кратностей (б)
Экспериментальная часть
Случай 2-й кратности был проверен экспериментально методом непрерывной ТГц спектроскопии в диапазоне 0,1-1 ТГц [14]. Был использован метод смешения частот инфракрасного излучения на фото-проводящей (ФП) антенне для генерации ТГц излучения. Вторая ФП антенна была использована в качестве приемника. Между излучающей и принимающей ФП антенной устанавливался собранный ФК (рис. 5).
Исследованный фотонный кристалл имеет следующие параметры: количество бислойных ячеек -3; показатели преломления слоев - пх = 2,9 и п2 = 1,445 ; толщины слоев - ёх = 540 мкм и ё2 = 520 мкм (ё2 на 21 мкм меньше, чем для случая идеальной 2-й кратности). На рис. 5 показано сравнение экспериментального и теоретического спектра для 4 и 5 запрещенных зон. Как видно из экспериментального графика, так же как и для моделирования, наблюдается выпадение запрещенной зоны, кратной трем, по сравнению с зонной структурой ФК с некратными оптическими длинами слоев внутри элементарной ячейки. Небольшое несоответствие положения центров запрещенных зон в экспериментальном и теоре-
1
0
1
1
0
1
тическом спектре связано с отличием толщины слоев тефлона в эксперименте от идеальной 2-й кратности.
ч
(D
Я н о
и
S3
о £
о
н и
(D
S
я
S -е -е
о «
1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3
0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Частота, ТГц
—Эксперимент
- Моделирование
а б
Рис. 5. Фотография установки, фотография макета фотонного кристалла (а) и сравнительный график экспериментального и теоретического коэффициента пропускания ФК с тремя элементарными
ячейками (б)
Заключение
Таким образом, были получены точные формулы для расчета параметров зонной структуры (ширина запрещенной зоны, границы запрещенной зоны и центр запрещенной зоны) одномерных фотонных кристаллов с кратными оптическими длинами слоев внутри двухслойной элементарной ячейки для случая TE-волны с волновым вектором, перпендикулярным плоскостям слоев фотонного кристалла. Было продемонстрировано для фотонного кристалла 1-й, 2-й и 3-й кратности исчезновение запрещенных зон, кратным двум, трем, четырем соответственно, по сравнению с зонной структурой фотонных кристаллов с некратными оптическими длинами слоев внутри элементарной ячейки. Формулы для 1-й, 2-й и 3-й кратностей были проверены с помощью метода матриц передачи и трехмерного численного моделирования методом конечных разностей во временной области. Случай 2-й кратности был проверен в эксперименте в ТГц диапазоне частот от 0,1 до 1 ТГц. Полученные формулы могут быть использованы для разработки широкополосных фильтров на основе фотонных кристаллов для промышленного, военного и медицинского применения без необходимости моделирования зонной структуры фотонного кристалла в различных математических пакетах.
Работа была частично поддержана грантом № 14.132.21.1421 в рамках реализации Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
Литература
1. Вендик И.Б., Вендик О.Г. Метаматериалы и их применение в технике сверхвысоких частот (Обзор) // Журнал технической физики. - СПбГЭТУ «ЛЭТИ». - 2013. - Т. 83. - Вып. 1. - С. 3-26.
2. Возианова А.В., Ходзицкий М.К. Маскирующее покрытие на основе спиральных резонаторов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2012. - № 4 (80). -С. 28-34.
3. Терехов Ю.Е., Ходзицкий М.К., Белокопытов Г.В. Характеристики метапленок для терагерцового диапазона частот при масштабировании геометрических параметров // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2013. - № 1 (83). - С. 55-60.
4. Yablonovitch E. Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics // Physical Review Letters. - 1987. - V. 58. - № 20. - P. 2059-2062.
5. Figotin A., Kuchment P. Band-Gap Structure of Spectra of Periodic Dielectric and Acoustic Media. II. Two-Dimensional Photonic Crystals // SIAM Journal on Applied Mathematics. - 1996. - V. 56. - № 6. - P. 1561-1620.
6. Smolyaninov Igor I., Davis Christopher C. Super-resolution optical microscopy based on photonic crystal materials // Physical review B. - 2005. - V. 72. - P. 085442.
7. Kosaka Hideo, Kawashima Takayuki, Tomita Akihisa. Superprism phenomena in photonic crystals // Physical review B. - 1998. - V. 58. - № 16. - P. 10096-10099.
8. Kurt Hamza, Erim Muhammed Necip, Erim Nur. Various photonic crystal bio-sensor configurations based on optical surface modes // Department of Electrical and Electronics Engineering. - 2012. - V. 165. - № 1. - P. 68-75.
9. Ozbay E., Michel E., Tuttle G., Biswas R., Sigalas M., and Ho K.M. Micromachined millimeter-wave photonic band-gap crystals // Appl. Phys. Lett. - 1994. - V. 64. - № 16. - P. 2059-2061.
10. Jin C., Cheng B., Li Z., Zhang D., Li L.M., Zhang Z.Q. Two dimensional metallic photonic crystal in the THz range // Opt. Commun. - 1999. - V. 166. - № 9. - P. 9-13.
11. Nusinsky Inna and Hardy Amos A. Band-gap analysis of one-dimensional photonic crystals and conditions for gap closing // Physical review B. - 2006. - V. 73. - P. 125104.
12. Басс Ф.Г., Булгаков А.А., Тетервов А.П. Высокочастотные свойства полупроводников со сверхрешетками. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 288 с.
13. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. - 733 c.
14. Gregory I.S., Tribe W.R., Baker C. Continuous-wave terahertz system with a 60 dB dynamic range // Applied Phisics Letters. - 2005. - V. 86. - P. 204104.
Денисултанов Алауди Хожбаудиевич
Ходзицкий Михаил Константинович
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, студент, [email protected]
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат физ.-мат. наук, ассистент, [email protected]
