CC BY
7
Научно-технические ведомости СПбГПУ 5' 2008. ^Информатика. Телекоммуникации. Управление
Зайцев Э.Ф., Гузенко К.В., Молдаванова Е.Н.
Анализ волн в ферритодиэлектрическом волноводе
вариационным методом
Ферритодиэлектрическнй волновод (ФДВ) является основой нового перспективного класса антенн - интегральных фазированных антенных решеток [1, 2], которые работают в миллиметровом диапазоне волн и обеспечивают простое и эффективное электрическое управление лучом. Для создания таких антенн необходимо решить волноводную электродинамическую задачу отыскания параметров распространяющихся мод в ФДВ: постоянных распространения, коэффициентов затухания, коэффициентов связи с излучателями на поверхности.
ФДВ представляет собой многомодовый невзаимный волновод со сложным поперечным сечением (рис. 1), поэтому его анализ возможен только численными методами. В данной работе использован вариационный метод Ритца.
Поле распространяющейся волны имеет вид Е(.г, Щх,у)е^, где г - продольная координата, у - постоянная распространения, Е(.у, V), Н(х, у) - векторные функции поперечных координат. Они удовлетворяют уравнениям:
гуг0 х Е = го1Е + /АгцН (1)
гуг() х Н = гоШ + /АгцЕ. (2)
Здесь к = со/с = 2к/Х - волновое число, е. ц - тензоры относительных проницаемостей. г0 - единичный вектор. В уравнениях (1). (2) и далее под Н понимается магнитный вектор, умноженный на константу и" = >/ио/£о = 120л Ом.
Тогда Е и Н имеют одинаковую размерность, что делает формулы более удобными.
Умножим уравнение (1)на Н" (комплексно сопряженное), а уравнение (2) - на Е\ вычтем их и проинтегрируем по поперечному сечению:
/уЛГЕ хН' + Е'х Н)гп^/5 =
= /[(го1Е + /АцН)Н' - (гоШ - /АгеЕ)Е*ДО.
Отсюда получаем:
-/ Г[Н*(го!Е + Н) - Е*(го!Н - /АеЕ)]£/5
У-----. (3)
|(ЕхН' + Е'ХН)20</5
Знаменатель этого выражения - вещественная величина. В числителе (Н'цН)' - Н'ц'Н
вещественно, если тензор ц эрмитов, т.е. нет потерь мощности (под ц' понимается эрмитово сопряженный тензор). То же справедливо и для Е*еЕ. Наконец, рассмотрим:
/ЙЕ'гоШ - Н'го1Е)</5 = /^НпяЕ' - Н'го1Е)</5 + /&у(Н х Е'М5.
Последнее слагаемое преобразуется в интеграл по внешнему контуру Л поперечного сечения /<^(Н х Е')п*// (п - нормаль к Ь). ко-I
торый обращается в нуль, если касательная составляющая Е на внешней стенке волновода равна нулю:
Е|, = 0. (4)
Таким образом, выражение (3) вещественно, причем это верно и тогда, когда Е и Н не обязательно являются решениями уравнений (1), (2), лишь бы выполнялось условие (4).
Выражение (3) представляет собой функционал от Е и Н. Можно показать, что он принимает экстремальные значения, когда Е. Н являются точными решениями исходной системы (1), (2). Доказательство, ввиду его громоздкости, опускаем. Заметим только, что поиск экстремума функционала (3) эквивалентен отысканию экстремума числителя при условии постоянства знаменателя. Эту задачу на условный (относительный) экстремум удобно решать методом множителя Лагранжа. согласно которому необходимо найти экстремум функционала:
^=/|(Е'го1Н - Н"го1Ек/5 +
+ А'|[Н"цН + Е'еЕ)^5 --у/(Е х Н' + Е* х Н)г0с№. (5)
Следуя методу Ритца. найдем приближенное решение для Е и Н в виде конечных разложений:
N N
Ех = Т°Лхп(Х,у), Еу = £Ь„*уп(х,у),
/7=1 /1=1
N \
£с = Х^Фс«^'-^)' НХ = ЕХ^дЛ*.*)»
/7=1 /7=1
N N
Иу=ИепЧуп(Х>У)' Н1 = £/„Ч(6)
/7=1
/1=1
где ап, ...,/„ - неизвестные коэффициенты (комплексные). у), .... У.Д*, У) ~ некоторая система известных функций, именуемых базисными. Эти функции должны быть такими, чтобы выполнялось условие (4). Кроме того, они должны обладать необходимой полнотой в том смысле, что при N -» оо по ним может быть разложена любая функция с интегрируемым (по области квадратом модуля. В остальном базисные функции произвольны.
После подстановки (6) в (5) функционал превращается в функцию многих неизвестных
ап...../п, имеющую вид билинейной формы этих
величин. Для отыскания экстремума Р надо приравнять к нулю частные производные по всем неизвестным. Последние являются комплексными, например ап = а'п + ¡а"п, аналогично остальные. Следовательно, надо приравнять дГ „ 3/- . „
-= 0 и -= 0. Это равносильно одному
да„ да
комплексному равенству -+/-= 0, что в
да'„ да'„
свою очередь равносильно равенству
да',
- = 0.
(7)
Приравняв нулю частные производные £ по всем неизвестным (комплексно сопряженным), получим однородную линейную систему уравнений относительно ап...../\ Каждое нетривиальное решение этой системы дает нам постоянную распространения у соответствующей собственной моды волновода и коэффициенты разложения полей по базисным функциям.
Расчетная модель ФДВ показана на рис. 2. Она отличается от реального неэкраниро-ванного ФДВ наличием вспомогательных электрических стенок по бокам и сверху фер-ритодиэлектрической структуры на некотором расстоянии от нее. Это необходимо для выполнения условия (4) на внешнем контуре. В воздушных зазорах поле собственной моды ФДВ быстро убывает, так что вспомогательные стенки на некотором удалении от структуры уже перестают влиять на собственные моды.
В качестве базисных функций были выбраны произведения тригонометрических функций вида
2/ллу
соб-
БШ
ППХ а
них а
соь-
$1П
р
2тку
(8)
где а - высота волновода, р - его ширина. Эти функции такие же. как у полей в пустом волноводе. они заведомо удовлетворяют условию (4) и обладают необходимой полнотой для представления только симметричных мод. у которых составляющие Е, Нк и Я являются четными функциями v. Несимметричные моды (с нечетной зависимостью Е, Я и Я.) не рассматриваются, так как они не возбуждаются на входе реального ФДВ и не взаимодействуют с излучателями.
Каждая базисная функция (8) имеет два целочисленных индекса т и п. поэтому коэффициенты в (6) будут тоже двухиндексными: атя, Всего будет ЬМЫ неизвестных и столько же уравнений.
Для реализации метода Ритца в среде Млт-ьлв целесообразно переобозначить неизвестные так, чтобы они имели только один индекс, пробегающий 6Л/ТУ значений. Тогда система уравнений примет вид:
Ас = у Ос, (9)
где с - столбец неизвестных, А. О - квадратные матрицы.
Расчетная программа вычисляет все элементы матриц А, О, а затем использует стандартную процедуру вычисления собственных значений у и собственных векторов с . Тем самым задача полностью решена.
В рассматриваемой конструкции ФДВ феррит работает при малом намагничивающем поле, поэтому его свойства на СВЧ достаточно хорошо описываются соотношением
цН = ц|Н-/ц„Нхтп, (10)
где т0- единичный вектор в направлении постоянной намагниченности, ц, = 0,9 -н 0,95 -постоянная, а параметр ц зависит от намагниченности и может принимать значения от - 0,4 до + 0,4. Формула (10) инвариантна к выбору направления осей координат.
При проведении исследований выполнены расчеты двух конструкций ФДВ. Первая -открытый ФДВ (рис.1), который применяется в сканирующих антеннах с дипольными излучателями. Для каждой распространяющейся моды рассчитывались коэффициент замедления q = у/к. постоянная затухания а. учитывающая потери мощности в диэлектрике, феррите и металлическом экране, и сопротивление связи моды г(/ с излучающим диполем [3].
Установлено, что оптимальная величина боковых зазоров между ФДВ и вспомогательными электрическими стенками (см. рис.2)
Научно-технические ведомости СПбГПУ 5' 2008. Информатика. Телекоммуникации. Управление
составляет около 1 мм, а верхний зазор - 3 мм. Необходимая точность расчетов достигается при числе базисных функций MN = 100.
На рис. 3 приведены графики зависимости q от цо для различных мод на частоте 36 ГГц при следующих размерах: толщина феррита -0.7 мм, толщина диэлектрика - 0,3 мм, ширина феррита - 7,2 мм, ширина диэлектрика - 3.4 мм. Видно, что самая низшая (рабочая) мода хорошо управляется за счет изменения намагниченности, в то время как некоторые моды вовсе не управляются. Это связано с различием структуры полей разных мод. По рис. 3 следует также отметить, что при некоторых значениях намагниченности возможно вырождение мод (пересечение линий на графике). Кроме того, важно помнить, что в открытом ФДВ не могут существовать моды с замедлением </ < 1. Их наличие в расчетных результатах вызвано наличием вспомогательных электрических стенок в расчетной модели реального открытого волновода. Фактически такие моды должны быть отброшены.
В целом полученные результаты хорошо согласуются с расчетами по методу Галеркина и экспериментальными данными [4].
Вторая конструкция ФДВ. которой уделено основное внимание, - полностью экранированный ФДВ. предназначенный для сканирующих антенн со щелевыми излучателями. Такие антенны имеют ряд преимуществ перед дипольными, но пока почти не исследованы. Этот волновод отличается от изображенного на рис. 2 только тем. что верхний проводящий экран вплотную примыкает к верхнему слою феррита. В отличие от предьщущего случая здесь могут распространяться и ускоренные моды, имеющие ч < \.
На рис. 4 построены графики зависимости от цо для разных мод при тех же размерах, как для рис. 3, на той же частоте. По сравнению с открытым ФДВ коэффициент замедления основной моды немного уменьшается вследствие влияния верхнего экрана. Для закрытого ФДВ также имеет место уже отмеченное для рис.3 явление вырождения мод. Кроме того, следует подчеркнуть, что наличие ускоренных мод в данном случае имеет смысл, но. поскольку они являются самыми высшими, расчет их параметров производится с существенной погрешностью вследствие ограниченного количества базисных функций. В связи с этим три самые нижние кривые на рис. 4 лишь примерно отражают ход соответствующих реальных зависимостей. Для их уточнения следует увеличить число базисных функций.
В табл. 1 приведены результаты расчета параметров мод при разных поперечных размерах. когда феррит размагничен (ца = 0). При указанных изменениях размеров число распространяющихся мод не меняется, постоянная затухания а немного уменьшается с увеличением толщины. Важным параметром является уг - проводимость связи моды с излучающей щелью [5]. которая позволяет определить долю мощности волны, излучаемую щелью в пространство. и долю мощности, расходуемую на возбуждение всех волноводных мод. При увеличении толщины ферритовых слоев величины у(основной и большинства других мод заметно уменьшаются, что дает возможность обеспечить оптимальное соотношение между прово-димостями за счет выбора размеров ФДВ.
Таблица 1
В. 1 иинне толщины феррита на параметры мод ФДВ
Толщина феррита Номер моды 1 2 3 4 5 6 7
Я 3,76 3,40 2.67 2.10 1,91 1,27 0.83
0.7 мм а, дБ/см 0.44 0.26 0.39 0.35 0.63 0.73 1.06
1 УЛ^Л 0.0259 0.0141 0,0086 0.0312 0.0525 0,0110 0.0862
Ч 3,87 3,38 2,83 2,36 2.25 1,88 1.58
0.85 мм а, дБ/см 0.41 0,26 0,35 0.42 0.35 0,49 0.58
Ы.Тсм 0.0177 0,0122 0,0081 0,0303 0,0233 0.0139 0.0504
<7 3.92 3,37 2,94 2,62 2,38 2,18 1,91
1 мм а, дБ/см 0,39 0,25 0.32 0,35 0,34 0,43 0,47
0,0126 0.0106 0.0082 0,0200 0.0175 0.0103 0.0397
Таким образом, в работе решена электродинамическая задача отыскания параметров распространяющихся мод в электрически управляемом ФДВ методом Ритца. Получено выражение для функционала, принимающего экстремальные значения на решениях задачи, выбрана система базис-
ных функций для представления решения, реализован алгоритм Ритца в среде Млтьав. Выполнены расчеты для различных конструкций ФДВ. Результаты будут способствовать улучшению параметров электрически сканирующих антенн миллиметрового диапазона волн.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Zaitsev Е. F. et al. MM-wave Integrated Phased Arrays with Ferrite Control.// IEEE Transaction on Antennas and Propagation, vol. 42, No. 3. pp. 1262-1368, March. 1994.
2. Зайцев Э.Ф., Гуськов А.Б., Черепанов A.C.. Новые электрически сканирующие антенны миллиметрового диапазона волн. // Известия высших учебных заведений России. Радиоэлектроника. №4, 2003. стр. 3-12.
3. Zaitsev E.F., Guskov А.В., Cherepanov A.S. Mathematical Model of Ferrite Integrated Phased Ar-
ray. // Eighth Biennial Conference on Electromagnetic Field Computation. Tucson. Arizona, June 1-3, 1998.
4. Гузенко К.В., Зайцев Э.Ф. Волны в многослойном ферритодиэлектрическом поперечно намагниченном волноводе с электрически управляемым коэффициентом замедления // Журнал Технической Физики, т. 73. № 9. 2003. С. 95-100.
5. Зайцев Э.Ф., Явои Ю.П. Параметры излучающей щели, прорезанной в стенке невзаимного волновода. // Радиотехника и электроника, 1983, №4.
