Входной адмитанс волновода с импеданстным фланцем при излучении в плоскослоистую среду Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.372.82

С.А. Комаров, В.В. Щербинин

Входной адмитанс волновода с импедансным фланцем при излучении в плоскослоистую среду

В технике сверхвысоких частот широко распространены невыступающие излучатели в виде открытого конца волновода на плоскости (фланце). Они применяются в качестве невыступающих антенн и зондов в составе устройств для диагностики материальных сред.

Точное аналитическое решение в замкнутой форме задачи об излучении из волновода с фланцем не существует, задача сводится к интегральному уравнению, решение которого может строиться различными методами. Наиболее часто при решении подобных задач дифракции используются метод моментов (Галсркина) и вариационным подход. Метод моментов подразумевает разложение искомых полей на раскрыве по полной системе базисных ортогональных функций с последующим сведением задачи к бесконечной С И CT с м с алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. Достоинством метода является возможность построения алгоритма численного решения и получения всех физических характеристик с заданной точностью и проведение анализа их сходимости к точным значениям при различных параметрах излучателя. Недостаток — громоздкость и большой объем вычислений. Кроме того, данный метод применим лишь для простейших геометрий волновода, таких как плоский и круглый. Для прямоугольного волновода, например, его применение уже затруднено.

Вариационный подход подразумевает построение заведомо приближенного решения, причем возможность такого подхода оправдывается тем, что искомая физическая характеристика системы является стационарным функционалом относительно функции решения интегрального уравнения. Достоинством метода считается его сравнительная простота, возможность применения для волноводов различного поперечного сечения (если известны собственные функции и собственные значения) и использование в практических инженерных расчетах. Недостаток — невозможность оценки и контроля ошибки внутри данного метода. В связи с этим проверка решения по точности требует сравнения полученных результатов с экспериментом либо, если это возможно, с данными строгих расчетов соответствующей

задачи.

Случай идеально проводящего фланца исследован в литературе весьма подробно [1; 2]. При этом задача формулируется в виде интегрального уравнения относительно неизвестной касательной составляющей электрического поля на раскрыве волновода.

Интересно рассмотреть подобную задачу с учетом отличного от нуля стороннего импеданса фланца. В работе [3] вариационный принцип был обобщен на случай волновода с импедансным фланцем, излучающим в однородную среду.

Цель данной работы — решение задачи об излучении из волновода с импедансным фланцем в произвольную плоскослоистую среду с использованием вариационного подхода.

Постановка задачи и общий вид

записи решения

Геометрия системы изображена на рисунке 1. I !о.^бесконечный цилиндрический волновод произвольного поперечного сечения занимает в координатах \р, г}область г < 0 . Волновод имеет проводящие стенки и, в общем случае, однородное, непогло-щающее магнитодиэлектричеекое заполнение с проницаемоетями | 1 •

Раскрыв волновода Я и фланец с постоянным сторонним импедансом ~///,ц

( 20 =л\т0/£0 ~ импеданс свободного пространства) расположены в плоскости 2=0. Полупространство 2 >0 занимает плоскослоистый диэлектрик, который характеризуется произвольными законами изменения относительных комплексных диэлектрической и магнитной проницаемостей е(г), |!(2)- Эти зависимости от 2 могут быть как дискретными, так и непрерывными. Задание стратифицированной структуры верхнего полупространства удобно при моделировании среды в ряде прикладных диагностических задач с использованием электромагнитных волн радио диапазона (искусственные материалы, природные среды, плазменные образования и др.).

£(z), fL(z)

E,H-

ZZo

wx f» (f )•

(i;

Y = Y

(2)

коэффициентом отражения Г основной волны ОТ раСКрЫВа.

Касательные поля на плоскости 2=0 со стороны верхнего полупространства могут быть представлены в виде интегралов Фурье:

к, (р ,+0)=-±- +я (х )к (X)+ (2р

юе„

и х

+ (и х/X)[1 + R± (XЖ (X)У?рdX, я, (р ,+0) = (21)Т JM - R(X) -

W W 0

(2л; )2

(а х/X )[1 - R± (X)VX"dX. (3)

M-i

Рис. 1. Геометрия задачи

Предположим, что данная вол ново дная структура возбуждается нолем электромагнитной волны основного тина волновода, набегающей на раскрыв вдоль оси г. Зависимость от времени является гармонической вида <•

В области г < 0 касательные составляющие электрического и магнитного нолей на раскрыве со стороны волновода можно записать в виде суммы собственных типов волн следующим образом:

Ё,(р -0)=(1 + дУ0(р)+£УпГп(р);

п=1

Й, (р - 0)=г (1 -д> X Го (г)-

Здесь р — радиус-вектор на плоскости 2 = 0; и — орт ВДОЛЬ ОСИ 2 И фп (р) — ор-тонормированные поперечные волновые функции волновода. Через \"„ обозначены комплексные амплитуды и-той моды для электрического поля, Г„ — характеристический адмитане и-той моды для бесконечного волновода. Слагаемые, соответствующие п=0, описывают поле волны основного типа, а отношение

1 -Г

X

ные спектральные функции, R||,±( X ) _ Kfb эффициенты отражения но электрическому нолю для плоских волн продольной и поперечной поляризаций соответственно от плоскослоистого верхнего полупространства, fco — волновое число в свободном пространстве, W= -,,Jk0 — X2 , причем выбирается такая ветвь этой неоднозначной функции, что ImW > 0.

Интегральное уравнение

Неизвестными величинами в задаче являются спектральные функции в (3) и амплитуды волноводных мод в (1). Их нахождение связано с выполнением импеданс -ных граничных условий на фланце Et(р,+0)-ZZ0аXЙ,(р,+0) = 0рг S (4) и условий сшивания касательных составляющих электрического и магнитного полей со стороны волновода и верхнего полупространства на раскрыве:

E, (р,+0) =Et (р -0);

Й,(р,+0) =Й,(р -0).

Для дальнейшего решения задачи осуществляется переход от исходных граничных условий к несколько видоизмененной, хотя и эквивалентной форме записи, использующей линейную комбинацию условий (4) и (5):

E, (р ,+0) - ZZ 0 а X Й, (р ,+0) = F (р), (6) ахHt(р,+0) =ахHt(р,-0),ре S, (7)

где введена вспомогательная функция F(р) следующего вида:

0 р£ S,

ре S (5)

1+ Г

определяет входной адмитане полубесконечного волновода. Он является характеристикой согласования и связан с комплексным

Р(р) Ч « ' ^ (8)

1Ё, (р,+0) - XЙ, (р,+0)р е

Выполняя условие (7) с учетом (6), можно прийти к интегральному уравнению относительно функции Р(р)

n=1

J K~(p, P') F (p')dp' = YV0f0(p), (9)

где ядро K(р, р') является матрицей с составляющими

^(р •р') = |тг|„у

п-1 0 п

(10)

f па (P )f „ь (P') +

■'о п

+ Ga, (P, p')

y\\

1 + Zy

e

x (p-pO

y

G*(P'p,) = (ЪтТ^ lLXli 1

J (u xX )a (u xX) b

dX

1

d_ dz

(

eWz + R e-iWz) eiX(p-p,)

1 + ZyL iW (1 + R±) X:

(11;

t =

Y =

T

(13)

р (р )=АФ0 р),

где -1(|—\ I»( I—//(,)') — константа.

(14)

Тогда с уметом формул (10-12, 14) стационарное выражение для Т можно записать как

T =

1

(2p )2| Л

J/'(X)хh(X)udX, (is;

где /(X^ Я, (X) ~ фурьс-трансформанты

функции р(р) и касательного магнитного ноля Й{ (р ,+0) на раскрыве со стороны верхнего нолунространства.

Прямоугольный волновод

В частности, для прямоугольного волновода формула (15) принимает следующий вид:

T =

ab 8Z

™ 2Р

J J

Ух (X) 1+Zy ± (X)

cos Y +

Величины упредставляют собой нормированные адмитаисы для напряженностей плоских волн вертикальной и горизонтальной поляризаций на плоскости / О:

у = к (1 - Д), у = к (1 - Д)

У| 1 Ж (1+Д {) Ж (1+Д)'

В соответствии с вариационным подходом для уравнения (9) можно ввести линейный функционал

1_

-|2 '

+

У\\(X) 1+Zy \ \(X)

81П у

81П

Xb

008

Р

v

\

Xa

2

^a

2

cosy/"

cosy

81пу/"

Xb

81пу

• XrfXdyf.

(16)

I р (р )фа(р )ф

_ Б _

11 р (р )К(р, р')р(р>рф', (12)

являющийся стационарным но отношению к

р(р)

функционал не служит физической характеристикой системы, однако связан со входным адмитансом дробно-линейным соотношением

По формулам (2,13,16) были проведены численные расчеты входного адмитанса У и коэффициента отражения основной моды от раскрыва Г в зависимости от частоты. Импеданс фланца при этом моделировался тонким слоем диэлектрика 5 толщиной и проницаемостью £5, нанесенным на идеально проводящую плоскость, и определялся выражением [4]:

7

Z =

tg k0

£sd.

(17)

1 - 220Т

Стационарность Т обеспечивает стационарность У но отношению к вариациям р(р)

можно провести оценку Г и У, используя

р(р)

более простым считается одномодовое при-

р(р)

женно задастся распределением основной моды в поперечном сечении бесконечного волновода, т.е.

Излучение происходит в вакуум либо в почвенное полупространство с объемной влажностью И . Диэлектрические свойства почвы описываются рефракционной моделью с учетом связанной воды [5]. В расчетах взяты следующие значения диэлектрических параметров: £5=4.0+/0.08, диэлектрическая проницаемость сухой почвы — 2.47—/0.06; максимальное объемное содержание связанной воды в почве — \Г,-0.05; диэлектрическая проницаемость почвы, соответствующая влажности И / — 3.62—/0.36.

На рисунке 2 представлены результаты расчетов в виде частотных зависимостей модуля коэффициента отражения для основной волны прямоугольного волновода сечением 23x10 мм с идеально проводящим

2

z=0

2

2

(пунктир) и импедансным (сплошная линия) фланцем.

6 8 10 12 14 16 18

6 8 10 12 14 16 18 Частота, ГГц

Рис. 2. Зависимость модуля комплексного коэффициента отражения от частоты 1 — свободное пространство; 2 — сухой грунт;

3 — грунт влажностью 10%;

4 — грунт влажностью 20%.

Литература

1. Вычислительные методы в электродинамике. М., 4. 1977.

2. Численные методы теории дифракции: Сб. ст. М., 5. 1982.

3. Комаров С.А. Вариационный принцип в задачах излучения из полубесконечного волновода с импедансным фланцем//Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1985. Т. 28. N 3.

Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.; Л., 1967. Миронов В.Л., Комаров С.А., Рычкова Н.В., Кле-щенко В.Н. Изучение диэлектрических свойств влажных почвогрунтов в СВЧ-диапазоне // Исследование Земли из космоса. 1994. N 4.