CC BY
36
2330
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2330-2332
УДК 539.3
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ НА ДЕФОРМИРОВАНИЕ СЛОИСТОГО МИКРОАКСЕЛЕРОМЕТРА
© 2011 г. П.В. Максимов, Н.А. Шевелев
Пермский государственный технический университет
Поступила в редакцию 24.08.2011
Для связанной электротермомеханической задачи о деформировании слоистого чувствительного элемента микроакселерометра предложена математическая постановка и получено численное решение при помощи метода конечных элементов. Определено влияние электростатических сил и температурных деформаций на параметры и выходной сигнал датчика.
Ключевые слова: микромеханика, связанные задачи, теория упругости, электростатика, температурные задачи, многослойность.
Рассматривается выполненный по МЭМС-технологии микромеханический акселерометр (ММА), представляющий собой слоистую конструкцию с различными физико-механическими свойствами слоев, предназначенный для определения проекции вектора ускорения на ось чувствительности датчика Oz (рис. 1). В датчике используется емкостной способ определения положения чувствительного элемента.
из двух частей, связанных через граничные условия. В первой части проводится описание упругого деформирования перемычки и чувствительного элемента датчика, занимающих в пространстве область V. Во второй части постановки описываются электростатические взаимодействия в области V0, соответствующей зазору между подвижной обкладкой конденсатора на чувствительном элементе и подложкой на основании датчика.
Слой 2 Перемычка Граница Г
Слой 1
Чувствительный элемент
Граница Г2 Граница Г3 Рис. 1
Зазор между обкладками
Подложка
(обкладка
конденсатора)
Цель работы — исследование влияния температурного поля и возникающих на обкладках конденсатора сил кулоновского взаимодействия на конечное положение чувствительного элемента датчика при измерении действующего на этот элемент ускорения. Проводится исследование влияния различных коэффициентов температурного расширения в слоях на статические перемещения чувствительного элемента, величину емкости конденсатора и, как следствие, на характер снимаемого с датчика сигнала. Решаются связанные задачи механики твердого деформируемого тела и электростатики.
Математическая постановка задачи состоит
Положение любой точки из областей V и У0 задается в показанной на рис. 1 декартовой системе координат радиусом-вектором г (х, у, г).
Задача решается в рамках теории малых деформаций. Чувствительный элемент датчика и упругая перемычка рассматриваются как трехмерные тела:
а у у + р^- = 0, г є V.
На чувствительный элемент датчика во время его работы не действуют никакие объемные силы, за исключением силы инерции, вызванной приложенным измеряемым ускорением аг, направленным вдоль оси чувствительности прибора Ог. Поэтому
Fx = Fy = 0, Fz = az •
Геометрические соотношения:
sj = 1(U, j + uj,iX r e V•
Физические соотношения:
aij = X ~mm 5j + 2^ ~j > ~ij = Sj - ak5jAT,
k = 1,2,
где ak — линейный коэффициент температурного расширения в k-м слое; X, |1 — постоянные Ламе.
Пусть U(1) = U (1){u1(1), u21), uf} — вектор перемещений в слое 1, а U(2) =U (2){u}2), u22), u^2)} — вектор перемещений в слое 2. Тогда граничные условия в области примыкания упругой перемычки к неподвижной части прибора (граница Г^ запишутся в виде:
M;(1)(r) = 0, r еГ1, i = 1,2,3.
В области стыковки слоев с различными ко -эффициентами температурного расширения (граница Г2) обеспечивается стыковка по перемещениям:
u-1 (r) = u(2)(r), r еГ2, i = 1,2,3.
На границе Г3, связанной с недеформирован-ной поверхностью чувствительного элемента, действует распределенная поверхностная нагруз-rafT), вызванная влиянием сил электростатического взаимодействия:
z = f(r), Тxz =Тyz = 0, r еГ3- (1)
Математическая постановка электростатической задачи, описывающая взаимодействия электрических зарядов на границах чувствительного элемента датчика и подложки, записывается в следующем виде:
div D = q, D = sE, E = -grad ф, r e V0, где D — вектор электрического смещения, q — плотность электрического заряда, E — вектор напряженности электрического поля, £ — диэлектрическая проницаемость среды, ф — потенциал электростатического поля.
Между подвижной обкладкой конденсатора и противоположной обкладкой на основании прибора (границы Г3 и Г4) создается разность потенциалов:
ф|г3 =Фо, фг4 =-Фо,
где 2фо — разность потенциалов между обкладками.
Требуется проведение совместного решения задачи теории упругости и электростатической задачи. На подвижной обкладке конденсатора (чувствительном элементе ММА) возникает рас-
пределенная электростатическая сила, действующая всегда по нормали к поверхности:
/(г) = дЕ • п, г е Г3, где п — внешний единичный вектор-нормаль к поверхности подвижной обкладки, Г3 — граница, связанная с поверхностью чувствительного элемента в деформированном состоянии, совпадающая с границей Г3 в недеформированном состоянии.
Обратим внимание на то, что термоупругая задача решается в рамках теории малых деформаций, где все нагрузки относятся к недеформи-рованному состоянию конструкции. При решении же электростатической задачи учет подвижной границы необходим исходя из смысла поставленной задачи, в связи с чем в рассмотрение вводится дополнительная деформированная поверхность Г3, на которой в процессе проведения электростатического анализа вычисляется распределенная по поверхности сила кулоновского взаимодействия, передающаяся в дальнейшем в термоупругую задачу о деформировании чувствительного элемента в виде силовых граничных условий (1). В свою очередь, в электростатическую задачу из упругой передаются перемещения границы иг(1)(г), г еГз, / = 1,2,3, изменяющие область расчета электростатической задачи V0.
В качестве метода решения связанной задачи выбран метод конечных элементов, реализованный в прикладном программном пакете АКБУБ. Организован итерационный процесс расчета, в рамках которого происходит циклическое попеременное решение упругой и электростатической задач с передачей результатов одной из них в качестве соответствующих силовых или кинематических граничных условий в другую.
Проведена серия вычислительных экспериментов и получены следующие результаты. Определена степень влияния собственных температурных деформаций чувствительного элемента ММА на параметры и характеристики датчика. Построены зависимости относительных погрешностей, возникающих под воздействием температурного поля, при измерении емкости конденсатора. Погрешности, вызванные влиянием электростатических сил, а также погрешности, возникающие вследствие температурных деформаций чувствительного элемента, составляют величины порядка нескольких процентов от истинной величины сигнала.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 09-08-99121-р_офи).
ANALYSIS OF THE EFFECT OF THE TEMPERATURE FIELD ON THE DEFORMATION OF A LAYERED MICRO-ACCELEROMETER
P V Maksimov, N.A. Shevelev
The coupled electro-thermo-mechanical problem of deformation of a layered sensitive element of a micro-accelerometer is mathematically formulated and numerically analyzed using the finite element method. The effect of electrostatic forces and temperature deformations on the parameters and a target signal of the gage are evaluated.
Keywords: MEMS-system, coupled problem, theory of elasticity, steady-state electricity, temperature problem, layered plate.
