Разработка математической модели MEMS-акселерометра Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.5.08

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ MEMS-АКСЕЛЕРОМЕТРА Д.В.Павлов, К.Г.Лукин, М.Н.Петров* DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL MODEL OF THE MEMS ACCELEROMETER

D.V.Pavlov, K.G.Lukin, M.N.Petrov*

ЗАО «ЭЛСИ», Великий Новгород, lukinkg@mail.ru *Институт электронных и информационных систем НовГУ, Mikhail.Petrov@novsu.ru

Представлена методика разработки математической модели микромеханического (MEMS) акселерометра MMA7331 L маятникого типа. На основании паспортных данных и экспериментальных измерений, полученных при комнатной температуре, разработана математическая модель MEMS-акселерометра, которая учитывает его динамические и статические свойства. Выполнена проверка адекватности разработанной модели путем сравнения параметров реального акселерометра и его модели.

Ключевые слова: MEMS-акселерометр, математическая модель, передаточная функция, чувствительный элемент, выходной сигнал

In this work, the technique for developing mathematical model of the micromechanical (MEMS) accelerometer MMA7331L of pendular type is presented. Based on the passport data and experimental measurements obtained at room temperature, a mathematical model of the MEMS accelerometer is developed. The model takes account of accelerometer's dynamic and static properties. We carried out the developed model verification by comparing the parameters of real accelerometer and its model.

Keywords: MEMS accelerometer, mathematical model, transfer function, sensitive element, output signal

Введение

MEMS-акселерометр входит в состав автономного бесплатформенного инерциального измерительного модуля (ИИМ), предназначенного для измерения ускорения объекта и его угловых скоростей. Далее по этим данным вычисляются скорость, курс, ориентация и местоположение пилотируемого объекта.

Конструктивно ИИМ представляет собой аппаратно-программный модуль, выполненный в виде сборки из трех подмодулей. Каждый подмодуль содержит два типа сенсоров — одноосный волоконно-оптический гироскоп (ВОГ) VG910Q (Физоптика) и трёхосный MEMS-акселерометр MMA7331L (Freescale Semiconductor) [1], и цифровой блок, включающий 32-битный АЦП ADS1281IPW с архитектурой дельта-сигма, ПЛИС (Cyclon III) EP3C25F324I7 и приемопередатчики интерфейса RS-422 MAX3465ESD с гальванической развязкой ISO7221MD.

Недостатком автономного ИИМ является накопление ошибки по истечении некоторого времени работы, что связано в основном с дрейфом нуля и шумами акселерометра и гироскопа. Поэтому для снижения погрешности этого устройства необходимо в первую очередь использовать точные («индивидуальные») модели указанных сенсоров.

Данная работа посвящена разработке математической модели MEMS-акселерометра MMA7331L.

Проверки адекватности разработанной модели проводилась методом сравнения экспериментальной передаточной функции реального акселерометра MMA7331L с передаточной функцией его модели.

Характеристики MEMS-акселерометра MMA7331L

MEMS-акселерометр — миниатюрный прибор, измеряющий проекцию кажущегося ускорения, которое представляет собой геометрическую разность между истинным ускорением объекта и ускорением свободного падения.

В данной работе используется трехосный MEMS-акселерометр MMA7331L (Freescale Semiconductor), который может работать в одном из двух режимов измерения ускорений ±4g и ±12g [1]. Этот прибор имеет 3 ортогональные оси чувствительности, что позволяет получить пространственный вектор ускорения. Таким образом, трехка-нальность MMA7331L дает полную информацию по линейному ускорению в инерциальном пространстве.

Принцип работы этого типа акселерометров основан на измерении смещения инерционной массы относительно корпуса с последующим преобразованием его в пропорциональный электрический сигнал.

Акселерометры могут измерять статическое и динамическое ускорения, поэтому их можно использовать для получения разнообразной информации в качестве датчиков вибрации, наклона и ускорения. Выходной сигнал таких датчиков — это напряжение, пропорциональное ускорению.

Анализ принципа работы MEMS-акселерометра

Модель слоистой структуры плоского ёмкостного MEMS-акселерометра маятникового типа приведена на рис.1.

(обкладка конденсатора)

Рис.1. Схема емкостного (^(^-акселерометра

В качестве чувствительного элемента данного сенсора служит слоистая пластина, присоединенная при помощи упругого подвеса (перемычки) к основанию.

При подаче питания на акселерометр между обкладками возникают электростатические силы. Система, состоящая из подвижного чувствительного элемента с обкладками, образует конденсатор с переменной емкостью. При перемещении объекта с ускорением на чувствительный элемент действуют силы инерции. В результате возникает смещение чувствительного элемента относительно обкладок и изменение емкости конденсатора.

При воздействии температурного поля в чувствительном элементе МБМБ-акселерометра возникают температурные деформации, приводящие к изменению формы чувствительного элемента и, как следствие, к появлению погрешности при измерении емкости конденсатора.

Для получения физической модели МЕМБ-акселерометра требуется совместное решение системы интегро-дифференциальных уравнений, включающих описание упругой, электростатической и тепловой задач. В общем случае это возможно только путем численного решения указанной системы уравнений методом конечных элементов.

Однако для потребителей акселерометров синтез математической модели с использованием метода конечных элементов не приемлем в силу ряда причин:

— необходимость больших вычислительных ресурсов;

— знание детального внутреннего устройства чувствительного элемента акселерометра, необходимого для задания граничных условий решения системы интегро-дифференциальных уравнений, что возможно только для производителей этих сенсоров [2,3].

Но даже при реализации указанных ограничений вследствие разброса технологических и топологических параметров полученная модель будет не совсем точно отражать характеристики реального прибора. Поэтому для повышения точности моделирования необходимо использовать поведенческую модель, в основе которой лежит использование передаточной функции, связывающей выходной сигнал (напряжение) с входным (ускорение).

Итак, для получения поведенческой модели акселерометра необходимо выполнить следующее:

1) получить математическое выражение для передаточной функции;

2) провести оценку параметров, входящих в выражение передаточной функции.

Синтез передаточной функции MEMS-акселерометра

В общем случае при работе в широком динамическом диапазоне ускорений для акселерометров маятникового типа наблюдается нелинейный характер перемещений. Так, в случае превышения предельного диапазона ускорений или превышения напряжения питания микросхемы может возникнуть необратимое сближение заряженных обкладок микроконденсатора, что приведет к эффекту их «слипания» [4]. Критические значения этих параметров обычно приводятся в паспортных данных акселерометра [1].

При решении задачи навигации можно пренебречь наличием нелинейностей поскольку данное устройство работает в номинальных режимах, которые определяются техническим заданием заказчика. Согласно этим условиям в процессе летных испытаний не должно возникать ситуации превышения динамического диапазона ускорений.

Поэтому в данной работе для получения математического выражения, описывающего передаточную функцию акселерометра, воспользуемся упрощенной линеаризированной механической схемой маятниковой структуры MEMS-акселерометра ММА733ШГ, приведенной на рис.2.

а

О

X

Рис.2. Упрощенная одномерная механическая модель МЕМ^-акселерометра ММА7331 LT

Здесь показаны следующие элементы сенсора: инерционная масса (т), упругий элемент жесткости (к), демпфирующий элемент, работающий в воздушной среде, которая оказывает сопротивление движению инерционной массы.

В механической схеме ускорение объекта a направлено вдоль оси 0Х инерциальной системы отсчета (ИСО), связанной с Землей. Ускорение с0 связано с системой координат 0\Х, привязанной к корпусу микросхемы. Ось чувствительности акселерометра направлена вдоль 0Х ИСО.

Найдем результирующее ускорение инерционной массы в ИСО:

A = a + с0.

(1)

Движение инерционной массы с суммарным ускорением А возникает за счет силы F:

F = т ■ А. (2)

Согласно упрощенной схеме при движении с ускорением а на инерционную массу действует сила упругости

Fу = k ■ х

и сила сопротивления

йх

Fc = с ■—, с dt

где с — коэффициент сопротивления, k — коэффициент жесткости. Используя выражение (2) запишем уравнение движения инерционной массы:

/ 4 7 , йх т ■ (а - а0) = k ■ х+с .

(3)

Модуль ускорения в связанной с датчиком системе отсчёта 0Х:

ао =

й 2 х

о ~ , 2 • Л 2

Перепишем уравнение (3) с учётом (4):

т ■

2

а х

, , йх +k ■ х+с —=- = т ■ а.

(4)

(5)

Ж1 й

Последнее выражение представляет собой дифференциальное уравнение относительно координаты хч.

Применим для полученного дифференциального уравнения (5) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях:

т ■ р2 ■ Х\р) + k ■ Х\р)+с ■ р ■ Х\р) = т ■ а(р), (6) где XХр) — изображение по Лапласу смещения инерционной массы, а(р) — изображение по Лапласу ускорения объекта.

Для упрощенной механической системы входным сигналом является ускорение объекта, а выходным сигналом — значение смещения инерционной массы в системе координат 0Х.

В соответствии с определением передаточной функции Ж(р) получим выражение (7):

.х Чр).

ж (р)=-

т

а(р) т ■ р2 + с ■ р+k

(7)

Это выражение представляет собой передаточную функцию по каналу ускорение — смещение инерционной массы.

Введем новые переменные [4]:

(8)

Ю = л —, V т

2-§-Юо = —. т

Здесь величина ю0 — частота собственных ко лебаний акселерометра, £ — коэффициент затухания.

В этом случае передаточная функция (7) пре образуется к виду:

1

Ж (р) =

р2 + 2-§-ю0 ■ р + ®2

(9)

Так как выходное напряжение датчика пропорционально смещению инерционной массы, то, используя выражение (9), можно написать передаточную функцию акселерометра по каналу ускорение — выходное напряжение. Для этого введем новые

коэффициенты: К = а=^ и р = .

ю0 ®2 Юо

В итоге получаем передаточную функцию по каналу ускорение — выходное напряжение: и (р) К

Ж (р) = -

(10)

а(р) а^ р2 р+1 где К — статический передаточный коэффициент датчика по каналу ускорение — выходное напряжение. Коэффициенты а — квадрат постоянной времени акселерометра, а р — постоянная времени акселерометра.

Полученное выражение передаточной функция (10) будет использовано в качестве математической модели акселерометра.

Экстракция параметров передаточной функции

Для реализации поведенческой модели акселерометра выполним экстракцию параметров его передаточной функции: К, а и р.

В паспортных данных [1] приведено значение коэффициента чувствительности К (масштабного коэффициента) при комнатной температуре.

Масштабный коэффициент определен из экспериментальных данных как угол наклона кривой, приведенной на рис.3. При выполнении измерений ось чувствительности акселерометра установлена ортогонально вектору ускорения силы тяжести g. Статический передаточный коэффициент:

тВ 0,0844 В В • с2 для К = 84,4-= --и 0,0086 ——;

g „ „ м м

(11)

9,8

„ ^ тВ 0,291 В Л В • с2 для 4g: К = 291-= —-и 0,03-.

g 9,8 ^ м

Для оценки коэффициентов а и р использовалась логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ), которая получена путем логарифмирования выражения (10) и представлением комплексного параметра в форме р = /*ю:

Дю) = 20 • 1в(| W (ю)|) =

= 20 • ^ К-10 • ^{(1-а-ю2)2-р2 •ю2} (12)

Для экстракции коэффициентов а и р использована аппроксимация МНК экспериментально снятой ЛАЧХ функцией (12). При моделировании ЛАЧХ использовались дополнительные условия, указанные в [4].

Используя вышеуказанные условия, были получены коэффициенты передаточной функции в режиме

работы акселерометра а = 2,63 • 10-8, р = 9,81 •Ю-4.

Передаточная функция акселерометра в режиме 12g имеет вид:

0,0086

1(Р) =-^-4-. (13)

2,63•Ю-8 • р2 + 9,81 • 10-4 • р-1

На рис.4 приведено сравнение соответствия экспериментальной и модельной частотных характеристик МЕ]УК-акселерометра ММА7331ЬТ для 12»:

При использовании паспортных характеристик ММА733ШГ в режиме 12g максимальная погрешность отклонения от модельного значения будет составлять 17%. При использовании корректирующей функции (12) отклонение от модельных точек составляет уже около 3,4%.

Выводы

В данной работе представлена математическая модель MEMS-акселерометра ММА733ШГ в виде передаточной функции. Выполнена оценка параметров модели MEMS-акселерометра ММА733ШГ методом наименьших квадратов. Сравнение модельной и экспериментальной частотных характеристик (рис.4) свидетельствует об адекватности предложенной модели. Использование предложенной «индивидуальной» модели MEMS-акселерометра позволяет повысить точность определения величины ускорения с 17% для паспортных данных до 3,4%.

Чаггота, Гц

- модельное значение ЛАЧХ (аппроксимация МНК)

*.*»»• Экспериментал ьное значеии&ЛАЧХ

Рис.4. ЛАЧХ MEMS-акселерометра MMA7331 LT в режиме 12д

1. ±4g, ±12g Three Axis Low-g Micromachined Accelerome-ter Data Sheet// Freescale / http://www.datasheetdir.com /MMA7331L +download.

2. Волков В.Л. Обоснование требований к параметрам микромеханического акселерометра // Труды НГТУ им. Р.Е.Алексеева. 2011. №2 (87). С.288-295.

3. Вавилов В.Д. Волков В.Л., Улюшкин А.В. Оптимизация параметров микромеханического акселерометра // Труды НГТУ им Р.Е. Алексеева. 2010. № 3. С.308-314.

4. Фрайден Дж. Современные датчики. Справочник. М.: Техносфера, 2005. С.325-329.

References

1. ±4g, ±12g Three Axis Low-g Micromachined Acceler-ometer Data Sheet. Freescale. Available at: http://www.datasheetdir.com/MMA7331L+download.

2. Volkov V.L. Obosnovaniia trebovanii k parametram mik-romekhanicheskogo akselerometra [Motivation of the requirements to parameters for accelerometer a microme-chanical (Validation of requirements to the parameters of micromechanical accelerometer)]. Trudy NGTU im R.E. Alekseeva - Transactions of Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alekseev, 2011, no. 2 (87), pp. 288-295.

3. Vavilov V.D., Volkov V.L., Uliushkin A.V. Optimizatsiia parametrov mikromekhanicheskogo akselerometra [Optimization of parameters of micromechanical accelerometer]. Trudy NGTU im R.E. Alekseeva - Transactions of Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alekseev, 2010, no. 3 (82), pp. 308-314.

4. Fraden J. Handbook of modern sensors: physics designs and applications. Springer Verlag, New-York, 2004. (Russ. ed.: Fraiden Dzh. Sovremennye datchiki. Spravochnik. Moscow, "Tekhnosfera" Publ., 2005, pp. 325-329).

2

с