Анализ вероятности блокировки системы массового обслуживания M/G/1 при коррелированном времени обработки Текст научной статьи по специальности «Математика»

АНАЛИЗ ВЕРОЯТНОСТИ БЛОКИРОВКИ СИСТЕМЫ

МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ M/G/1 ПРИ КОРРЕЛИРОВАННОМ ВРЕМЕНИ ОБРАБОТКИ

DOI 10.24411/2072-8735-2018-10320

Карташевский Игорь Вячеславович,

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия, ivk@psuti.ru

Ключевые слова: система массового обслуживания, вероятность блокировки, коррелированный трафик, обновляющий процесс, гиперэкспоненциальное распределение.

Трафик современных инфокоммуникационных сетей обладает фрактальными свойствами, которые характеризуются тем, что одномерные плотности вероятностей интервалов времени между поступлениями заявок на вход системы обслуживания заявок и интервалы времени обслуживания заявок характеризуются распределениями с тяжелыми хвостами и, кроме того, указанные последовательности обладают явно выраженными корреляционными свойствами. Причем, если среди коэффициентов корреляции преобладают положительные значения, то это приводит к формированию пачек заявок, которые блокируют работу системы. Вероятность блокировки вместе с показателем среднего времени пребывания заявки в системе являются важнейшими характеристиками качества обслуживания трафика. Для системы М/О/1/т по классификации Кендалла анализ вероятности блокировки достаточно сложен даже при отсутствии корреляционных свойств у последовательности интервалов времени обслуживания заявок. Наличие корреляции ещё более усложняет задачу, решать которую, тем не менее, можно методами, разработанными для случая отсутствия корреляции. Ключевым моментом данного подхода является использование аппроксимации произвольной плотности вероятности времени обслуживания гиперэкспоненциальным распределением, параметры которого учитывают корреляционные свойства исходной последовательности через введение в рассмотрение понятия обновляющего процесса. По сути, система М/О/1/т с коррелированной последовательностью интервалов времени обслуживания и произвольной плотностью заменяется системой М/Н2/1/т с некоррелированной последовательностью и гиперэкспоненциальным (Н2) распределением времени обслуживания с параметрами, учитывающими корреляционные свойства исходной последовательности. Процесс пересчета параметров коррелированной последовательности интервалов времени обслуживания в параметры обновляющего процесса с гиперэкспоненциальным распределением основан на приравнивании индекса дисперсии исходной последовательности квадрату коэффициента вариации обновляющего процесса. Показано, что подобная замена позволяет получить количественную оценку вероятности блокировки системы при обработке трафика в системе с коррелированным временем обслуживания для любого размера накопителя.

Информация об авторе:

Карташевский Игорь Вячеславович, доцент кафедры ПОУТС, к.т.н., государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия

Для цитирования:

Карташевский И.В. Анализ вероятности блокировки системы массового обслуживания M/G/1 при коррелированном времени обработки // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2019. Том 13. №11. С. 14-19.

For citation:

Kartashevskiy I.V. (2019). Analysis of the blocking probability for the M/G/1 queuing system with the correlated service time. T-Comm, vol. 13, no.11, pр. 14-19. (in Russian)

Хорошо известно [1 ], что главными показателями качества обслуживания трафика в сетевом узле являются среднее время пребывания заявки в узле (сумма времени ожидания в очереди и времени обслуживания) и вероятность блокировки узла из-за ограниченности ёмкости накопителя, которую часто называют вероятностью отказа в обслуживании.

Если для оценки времени ожидания заявки в очереди для системы М/О/1 при некоррелированных последовательностях интервалов времени поступления и обслуживания существует формула Поллячека-Хинчина [2], а для коррелированных последовательностей известен результат [3], то задача анализа вероятности блокировки в системе М/С/1 даже при некоррелированных последовательностях интервалов времени поступления и обслуживания решается достаточно сложно [2, 4]. Воспользуемся подходом, изложенным в [4], для анализа вероятности блокировки в системе М/С/1 при некоррелированном и коррелированном времени обслуживания с использованием аппроксимации произвольной функции распределения времени обслуживания заявки 1¥(х) гиперэкспоненциальным распределением в том и другом случае, с разными значениями параметров гиперзкепо-ненциального распределения соответственно.

Далее, следуя работе [4], рассмотрим систему МЮ/\/т е конечным числом т мест ожидания в накопителе. Входной поток заявок на обслуживание — пуаесоновский с интенсивностью Я, функция распределения последовательности некоррелированных интервалов времени обслуживания — Цг(х)- Определим процесс функционирования системы как

двумерный процесс = гДе £(0 ~ число

заявок в системе в момент времени I, 3{Х\ — время, которое

уже обслуживалась заявка, находящаяся в момент времени t в системе.

В 14} показано, что процесс {2(7), / > 0} является марковским. Если ввести обозначения:

л,(о=то=оь

pi(x,t) =—Pi{(x,t), i=ltM,M=m+l,

дх

предполагая непрерывность плотности pt(x,t) {что следует

из непрерывности распределения W(x)), то можно записать

уравнения для стационарных вероятностей марковского процесса, которые получаются из соотношений ра = limpü(f) ~ вероятность того, что система пуста,

р:{х) - lim р:(х, t)- Условием существования рй > 0 и

/—»00

pt (x)> 0 является традиционное для марковских систем неравенство р<\, где р - коэффициент загрузки системы,

оо

р=Ых и т = \xdW{x) ■ »

Для стационарной вероятности того, что в системе присутствует | заявок (без учета прошедшего времени обслужило

вания (/+1) заявки) можно записать р = |"р.(х)<:/т ■

При записи уравнений для стационарных вероятностей целесообразно перейти к «нормированным» значениям, вводя функции:

(О

1 - W(x)

Как показано в [4], для q.(x) справедлива система уравнений:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

<7/0)" + &<li-](x)> i = Um>

q'M(x) = Äqm(x)

с граничными условиями

(Й

Лр(, = jq^x)dW(x)>

о

?,<<>)= ¡дм(х)сПГ(х) + в(2-1)Лр0, i = \,w

где

т=-

я„(0)=о,

0 при п < 0 _ функция Хэвисайда.

1 при п> О

Решая систему (2), (3) с учетом соотношения (1) для плотностей р;(х), ¡= 1, М, можно получить:

р,(х)=[ 1 = <7>

(8)

Выражение (8) представляет собой вероятность блокировки системы. Переходя от плотностей к вероятностям путем интегрирования (7) и (8) по а: в пределах (0, оо), запишем:

л

пг

(9)

Рм =-£л

i

В выражении (9) ßt=\— УД - представляет собой

i=U

вероятность того, что за время обслуживания заявки на вход системы поступит более, чем / новых заявок, т - среднее

значение 1¥(х), а величина Д определяется как:

А - j<Jjl~e^dW(x)

(10)

k\

и представляет собой вероятность того, что за время обслуживания заявки в систему поступит ровно к заявок.

Вычислять величины В можно рекуррентным образом,

воспользовавшись В()=\- /?0, В] = В:- ) > 1 ■

Если теперь использовать условие нормировки, записы-

м

ваемое в виде = [ >то для вероятности р0 можно полу-

*=о

чить [4]:

(

р0 = \

T-Comm Vol.13. #11-2019

7тл

или

и соответственно для вероятности блокировки р :

дт

,

(11)

(12)

*=|

Введенная в (11) и (12) величина к = \,т, опреде-

ляемая как т, _

Чк ="

позволяет проще организовать вы-

Ро

числительную процедуру для оценки величины р. Выражениям (4), (5), (6), записанным для величин ц к = \,т, можно поставить в соответствие соотношения для величин д,., к =\,т, вычислять которые можно, не зная величины рп. Эти соотношения имеют вид:

Я

01 =

Я

А

I = 2, га -

(13)

Таким образом, для расчета вероятности блокировки системы М/С/1/от можно последовательно использовать формулы (10), (13) и (12). Упростить вычисления по формуле (13) можно с использованием выражения [4]:

1 Д

Ра а=1

Для придания расчетной процедуре некоторой универсальности аппроксимируем плотность вероятностей произвольного распределения Ц/(х) гиперэкспоненциальной

плотностью

и<х) = тще№ + (1 - . (14) Используем данную плотность в выражении (10) для вычисления последовательности коэффициентов Д при

к = 0,1,2, ■ ■ - т-

00

Используя табличный интеграл |х?е~/а(£с=п1р~н~1' лег"

о

ко получить общую формулу для любых к = 0,\,2,---П1-

А=-

лХк ^ {\-тг)Хк^2

*+1

пересчитаны с учетом корреляционных свойств последовательности временных интервалов обслуживания заявок. Сделаем это с использованием обновляющего процесса следующим образом.

Рассмотрим поток коррелированных интервалов времени X,, I = 1,2,... с интенсивностью X и параметрами: конечным средним тх> конечной дисперсией , коэффициентом корреляции

коэффициентом вариации = о] /т \ и индексом диспер-

сии / _,

\

1х = С\Х) 1 + 2^0')

;=|

. Здесь Е - символ усредне-

ния.

Заменим поток случайных величин X., г = 1,2,... обновляющим процессом Н [5, 6], для которого ти = т (или Хн — Я ) и квадрат коэффициента вариации равен индексу дисперсии исходного потока, т.е. С}, = 1Х ■

Приравнивая число событий в последовательно-

сти Х1г I = 1,2,... числу событий в обновляющем потоке Ын(?) на интервале (0,/], т.е. = Nи (Г), при

/—>со можно показать 17], что Е(МХ (?)) —> Яу/ и

где Ан(?)=Ан()~е~аи1), и декремент аи совместно с параметром Ан описывают изменение среднего значения ЕШн(0) ВО времени. В рабо'

ге [61 показано, что при любом обновляющем процессе для квадрата коэффициента вариации С„ справедливо

С1=\ + 2АН.

Г.сли в качестве обновляющего процесса выбирается смесь с вероятностями п и (1-я-*) двух пуассоновских

процессов с интенсивностями р* и р', приводящая к ги-

перэкспопенциальному распределению, то, как показано в [7], параметры обновляющего процесса определяются как

(Я + //]) (Л + МгУ

Теперь, при заданном распределении следует оп-

ределить параметры гиперэкспоненциальной плотности и(д') - (тг, р2), рассчитать набор коэффициентов Д

для ¿ = 0,1,2,■■■т, рассчитать величины ^ для к = 1,т и

из выражения (12) определить вероятность блокировки рм .

Для коррелированного времени обслуживания следует повторить те же действия в той же последовательности, ио параметры аппроксимирующей экспоненты должны быть

р\ = Хх+аи(\ + Аи)-р Хх+анАн- р.

(15)

л —-

Параметры Ан и ац определяют свойства обновляющего процесса. Определение значений этих параметров достаточно сложно. В [6] показано, что значения параметров Ац и аЦ можно определить по наблюдаемой выборке.

Для Ан справедливо

С2-1

Т-Сотт Том 13. #11-2019

У

Т-Сотт Уо!.13. #11-2019

I8

T-Comm Том I3. #II-20I9

m

ANALYSIS OF THE BLOCKING PROBABILITY FOR THE M/G/1 QUEUING SYSTEM WITH THE CORRELATED SERVICE TIME

Igor V. Kartashevskiy, Povovlzhskiy state university of telecommunications and informatics, Samara, Russia, ivk@psuti.ru Abstract

The traffic of modern networks has certain properties determined by the fact that one-dimensional probability density functions of inter-arrival time and service time for requests are characterized by heavy tailed distributions and, in addition, these sequences of time intervals have clearly expressed correlation properties. And if positive values prevail among correlation coefficients, it leads to formation of packs of requests that block the system operation. The blocking probability together with the average waiting time in queue are the most important characteristics of the traffic service quality. For the M/G/1/m queuing system, the analysis of blocking probability is rather complicated even if there are no correlation properties of the sequence of time intervals for servicing requests. The presence of correlation further complicates the problem, which, however, can be solved by methods developed for the case of lack of correlation. The key point of this approach is the use of approximation of arbitrary probability density function of service time intervals by the hyper-exponential distribution with parameters taking in account the correlation properties of the initial sequence of time intervals through the renewal process. In fact, the M/G/1/m queuing system with a correlated sequence of service intervals and arbitrary density is replaced with a system with non-correlated sequence and a hyper-exponential distribution of service time intervals with parameters considering the correlation properties of the original sequence. The conversion of the parameters of the correlated sequence of service time intervals into the parameters of the renewal process with the hyper-exponential distribution is based on equating the index of dispersion of the initial sequence to the squared coefficient of variation of the renewal process. The paper shows that such a replacement allows to get a quantitative assessment of the blocking probability for the queuing system with a correlated service time for any size of the buffer.

Keywords: queuing system, blocking probability, correlated traffic, renewal process, hyper-exponential distribution. References

1. Recommendation ITU-T Y.1540, Y1541, series Y.2xxx.

2. Kleinrock, L. (1979). Teoriya massovogo obsluzhivaniya [Queuing theory] Translated by V.I. Neiman. Moscow: Mashinostroeinie Publ.

(in Russian)

3. Kartashevskiy I.V., Volkov A.N., Kirichek R.V. (2019). Analiz srednego vremeni zaderzhki v sisteme massovogo obsluzhivaniya pri obrabotke korrelirovannogo trafika [Analysis of the average waiting time in the queuing system while processing the correlated traffic]. Electrosvyaz, №3, pp. 41-50. (in Russian)

4. Bocharov P.P., Pechinkin A.V. (1995). Teoriya massovogo obsluzhivaniya [Queuing theory]. Moscow: RUDN Publ. (in Russian)

5. Jagerman D.L., Balcioglu B., Altiok T., Melamed B. (2004). Mean Waiting Time Approximations in the G/G/1 Queue. Queueing Systems, 46, pp. 481-506.

6. Balcioglu B., Jagerman D.L., Altiok T. (2007). Approximate mean waiting time in a GI/D/1 queue with autocorrelated times to failures. IIE Transactions, v.39, pp. 985-996.

7. Balcioglu B., Jagerman D.L., Altiok T. (2008). Merging and Splitting Autocorrelated Arrival Processes and Impact on Queueing Performance. Performance Evaluation, vol.65, pp. 653-669.

8. Kartashevskiy I.V., Saprykin A.V. (2018). Waiting time analysis for the request in general queuing system. T-Comm, vol. 12, no.2, pр. 4-10. (in Russian)

9. Tarasov V.N., Kartashevskiy I.V., Lipilina L.V. (2015) Issledovanie zaderzhki v sisteme G/G/1 [Research of the delay in G/G/1 system] Infokommunikacionnye tehnologii, v.13, I. 2, pp. 153-159. (in Russian)

10. Sheluhin O.I., Teniakshev A.M., Osin A.V. (2003). Fraktal'nye processy v telekommunikaciyah [Fractal processes in telecommunications] Moscow: Radiotechnika Publ. (in Russian)

Information about author:

Igor V. Kartashevskiy, assistant professor, Software department, Povovlzhskiy state university of telecommunications and informatics, Samara, Russia.