CC BY
53
Е ТЕХНОЛОГИИ В КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ЗЕМЛИ, Т 11 № 5-2019 АТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
10.24411/2409-5419-2018-10287
РАСЧЕТ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПРЕРЫВАНИЯМИ И ГИПЕРЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ ВРЕМЕН ОБРАБОТКИ ЗАЯВОК И ПЕРИОДА НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАНЯТОСТИ
ХАБАРОВ Роман Сергеевич1
ХОМОНЕНКО Анатолий Дмитриевич2
Сведения об авторах:
1адъюнкт Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург, Россия, xabarov1985@gmail.com
2д.т.н., профессор, заведующий кафедрой Петербургского государственного университета путей сообщения Императора Александра I, профессор Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург, Россия, khomon@mail.ru
АННОТАЦИЯ
Предложен численный метод расчета стационарного распределения числа заявок для многоканальных систем массового обслуживания с абсолютным приоритетом, основанный на аппроксимации гиперэкспоненциальным распределением периода занятости объединенного потока классов с более высокими приоритетами. Из соображений обеспечения приемлемых характеристик точности и трудоемкости предполагается, что время обслуживания заявок каждого класса также представлено гиперэкспоненциальным распределением с заданными параметрами. При таком подходе расчет системы с множеством классов заявок производится последовательным расчетом систем с двумя классами - объединенным потоком заявок в качестве первого класса, и исследуемым, представляемым вторым. Количество заявок в очереди и на обслуживании фиксируется только для заявок второго класса. Предложен метод нахождения начальных моментов периода непрерывной занятости для заявок первого класса на основе длительности интервала с момента полного занятия каналов заявками первого класса до момента первого окончания обслуживания одной из заявок и численного интегрирования по полуоси с весом Чебышева-Лагерра. Представлен пример диаграмм условных интенсивностей переходов между состояниями системы по прибытии и обслуживанию для каждого из классов заявок для 2-х канальной системы массового обслуживания. Показан способ расчета системы на основе итерационного метода Такахаси-Таками. Поскольку оперативность прохождения заявок первого класса не зависит от прохождения заявок менее приоритетных классов, для расчета стационарного распределения числа заявок первого класса применяются известные численные методы итерационного типа для многоканальных систем с гиперэкспоненциальным распределением времени обслуживания без приоритетов. Метод реализован на языке программирования высокого уровня С#, представлен пример расчета стационарного распределения числа заявок для 2-х и 3-х канальной системы массового обслуживания, выполненный с помощью предложенного метода и имитационной модели. Получена достаточно высокая степень согласованности результатов.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: вирус; теория очередей; многоканальные системы массового обслуживания; приоритетные дисциплины обслуживания; абсолютный приоритет; период непрерывной занятости.
Для цитирования: Хабаров Р.С., Хомоненко А.Д. Расчет многоканальной системы массового обслуживания с прерываниями и гиперэкспоненциальными распределениями времен обработки заявок и периода непрерывной занятости // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2019. Т. 11. № 5. С. 48-9. doi: 10.24411/2409-5419-2018-10287
t , /// I ¡¡I [if/
5-2019, H&ES RESEARC
INFORMATICS, COMPUTER ENGINEERING AND CONTROL
Уо!
Nc
Введение
Модели систем массового обслуживания (СМО) часто используются на этапе проектирования сложных систем для обоснования характеристик их производительности. Примерами таких систем являются центры обработки данных, морские и речные порты, лечебные учреждения, автоматические телефонные станции и др.
Особое значение модели СМО имеют при анализе функционирования вычислительных систем и сетей. С учетом требований производительности, надежности, а также организации технического обслуживания большинство узлов вычислительных систем и сетей является многоканальными. Поступающие в такие системы задачи, как правило, различаются по важности, трудоемкости, а также требованиям по оперативности обработки, что приводит к введению приоритетных дисциплин обслуживания в узлах. Считается, что предположение о экспоненциальном времени обслуживания для большинства реальных систем неверно. Таким образом, для анализа вычислительных систем следует использовать модели неэкспоненциальных СМО с многоканальными узлами и приоритетными дисциплинами обслуживания.
Расчет таких систем связан с определенными сложностями. Несмотря на то, что для одноканальных приоритетных систем массового обслуживания методы расчета представлены в многочисленных работах [1-4], нахождение точного решения для многоканального случая до сих пор не получено.
В большинстве работ, посвященным многоканальным СМО с приоритетами, исследуются модели с экспоненциальным обслуживанием М/М/п [5-8]. В [9] получены аппроксимации для средних времен ожидания СМО вида МЮ/п с относительным приоритетом. Моделям с неэкспоненциальным распределением времени обслуживания, идентичным для каждого класса, посвящены работы [10-14]. Лишь единичные работы [13-14] рассматривают СМО с различными временами обслуживания. На основе инвариантов отношения в [15] предложено приближенное решение для средних времен ожидания. Идея заключается в применении символической пропорции между показателями систем массового обслуживаниям некоторых классов.
В [16-17] предложены методы численного расчета для многоканальных СМО с абсолютным и относительным приоритетом, основанный на аппроксимации периода полной непрерывной занятости. Получены решения для следующих случаев:
- время обслуживания заявок для всех классов распределено по экспоненциальному закону;
- время обслуживания одного из классов является произвольным и аппроксимируется гиперэкспоненциальным распределением второго порядка, а другого — по экспоненциальному закону.
В настоящей статье предлагается численный расчет стационарных вероятностей наличия в системе заявок для СМО с абсолютным приоритетом и произвольным распределением времени обслуживания для обоих классов заявок, аппроксимируемым с помощью гиперэкспоненциального распределения.
Общее описание метода
При введенных предположениях оперативность прохождения заявок г-го класса не зависит от прохождения заявок менее приоритетных классов г +1,..., к. С точки зрения влияния на обслуживание г-заявок заявки классов 1,., г -1 эквивалентны и могут быть объединены в один класс г . Поток заявок класса г является пуассоновским
г-1
с интенсивностью X-г . Для объединенного потока
1=1
найдем усредненные моменты обслуживания согласно
b =—У Щ.
1 х- tr 11
Аппроксимируем времена обслуживания заявок объединенного потока и исследуемого одним из распределений фазового типа. Из соображений обеспечения приемлемых характеристик точности и трудоемкости воспользуемся для этого гиперэкспоненциальным распределением. Параметры гиперэкспоненциального распределения для объединённого потока [и1, х}, г = 1,2, для исследуемого — (V,., у,}, I = 1,2 Теперь будем анализировать СМО М[2] / н!,2] / п / да/[а — с двумя приоритетными классами заявок. Здесь классу 2 соответствует исследуемый поток, а классу 1 — объединенный поток.
Для оценки характеристик прохождения заявок 1-го класса приоритетности нам достаточно рассмотреть СМО типа М / G / п / да Решение для таких систем может быть получено известными методами [18-20]. Попытка непосредственно составить уравнения баланса с целью прохождения заявок 2-го класса упирается в проблему существенного роста размерности задачи.
Проблема размерности разрешима следующим образом. При определении состояния СМО типа М[2] / Н[22] / п / да/£ количество заявок в очереди и на обслуживании будем фиксировать только для заявок 2-го класса. Для 1-го класса ограничимся указанием количества обслуживаемых заявок = 0, п -1. При I. = п считаем, что система находится в состоянии полной занятости всех каналов обслуживания заявок 1-го класса приоритетности. Чтобы учесть влияние заявок 1-го класса на прохождение заявок 2-го класса, достаточно определить параметры распределения периода полной непрерывной занятости (ППЗК) заявками 1-го класса.
Пусть Т — длительность интервала с момента полного занятия каналов заявками 1-го класса до момента
'¡>ж(
тШ
УКОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ В КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ЗЕМЛИ, Т
№ 5-2019
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
первого окончания обслуживания одной из заявок, а ТПЗ — длительность ППЗК заявками 1-го класса. Обозначим Ьп(5) и пп(5) — ПЛС распределения длительностей интервалов Т, и Т_„ соответственно.
1п ПЗ
Интерпретируем я как параметр простейшего потока «катастроф». Тогда Ь (5) и пп(5) можно истолковать как вероятности отсутствия катастроф за случайное время обслуживания и ПНЗ соответственно. Назовем заявку «плохой», если в течение открываемого ею ПНЗ происходит катастрофа. Простейший поток таких заявок будет иметь параметр Х1(1 -пп(5)), а суммарный поток неблагоприятных событий — параметр (5+^(1 - пп(5)))
Таким образом, для ПЛС искомого распределения справедливо следующее функциональное уравнение
ПП(5)= Ьп (5 + - Х1ПП(5)).
Данное уравнение позволяет выразить начальные моменты {п.} требуемого нам распределения ППЗК заявками первого класса:
п =
ь;
1 1 -\ь;
п, =-
К
(1 -КК )3
ь;
3^* )2
3 (1 -у>;)4 (1 -у>;)5
где Ь*, г = 1,3 — начальные моменты распределения длительности интервала Т . Поясним способ их нахождения. Согласно [21], ДФР интервалов Т можно представить формулой
Вш 0) = )]п-1 Б^),
которая имеет прозрачный вероятностный смысл: для одного из каналов, занятого открывшей ППНЗ заявкой берется полное распределение длительности обслуживания, а для прочих — остаточное. Для перехода к начальным моментам используется формула
ю ю
Ь* =| tmdB1n ^) = т| Г-1 В1п ^^, т = 1, I.
о о
В [22-23] приведен способ нахождения данных моментов на основе численного интегрирования по полуоси с весом Чебышева-Лагерра. Итоговая формула для начальных моментов распределения интервала Т1п представляет собой
Ь'т = т£ АкВ1п )е'к, т = 1,2,...,
к=1
где Ак и 1к коэффициенты, для которых существуют справочные таблицы для заданного числа N характеризующего точность вычислений.
Предположим, что ППЗК заявками 1-го класса имеет произвольное распределение, аппроксимируемое одним из распределений фазового типа. Из соображений обеспечения приемлемых характеристик точности и трудоемкости воспользуемся для этого гиперэкспоненциальным распределением второго порядка с параметрами {у,, п,}, г = 1,2 .
Теперь для расчета стационарных вероятностей состояний исследуемой СМО можно воспользоваться численными методами итерационного типа [16-20].
Итерационный метод для модели М121 / Я^21 / п / &>//
Состояние системы Ми /Я22] /п / / определим
кортежем < у2; т1; т2; ф>, j1 = 0, п -1, т1 =<ш\, т\ >, т2 = < т2, т^ >. Здесь j — число заявок 2-го класса в системе; тг' — количество заявок 1-го класса, проходящих обслуживание на .-й ветви гиперэкспоненциального распределения в СМО при ]1 = 0, п -1; т2 — количество заявок 2-го класса, проходящих обслуживание на .-й ветви гиперэкспоненциального распределения; ф — номер фазы гиперэкспоненциального представления распределения длительности ППЗК заявками 1-го класса, задаваемый при jl=n (число заявок 1-го класса в системе при этом не фиксируется и может быть произвольным).
Обозначим р] = {р]г,р]2,...,р^ к} векторы-строки вероятностей нахождения СМО в микросостояниях
Для расчета стационарных вероятностей состояний СМО методами [16-20] необходимо построить матрицы условных интенсивностей переходов по прибытию заявок.
На рис. 1-4 изображены диаграммы условных ин-тенсивностей переходов между состояниями СМО типа Мт/Я[2] / п / ®// .
2 а
Обозначим через & множество всех возможных микросостояний обслуживания на j-м ярусе системы. Через с. обозначим количество микросостояний в Каждые два правых микросостояния .-го яруса связаны с переходами в ППНЗ заявками первого класса. В соответствии с диаграммой переходов формируются следующие матрицы интенсивностей инфинитезимальных переходов: А.[с. х с ^ — прибытие заявки второго класса, В [с. х с.^] — уход заявки второго класса по обслуживанию,
С [с х с.]- прибытие заявки первого класса, Dj[сj х с..] — ухода из микросостояний яруса..
ф
!И ПИ .
Уо! 11 N0 5-2019, И&БЗ КЕББЛРС-!МРОРМАТ!СБ, СОМРиТЕР ЕМС!МЕЕР!МС АШ СОМТ
Рис. 1. Переходы при прибытии заявок 1-го класса
Рис. 2. Переходы при прибытии заявок 2-го класса
Л\\
НАУКОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ В КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ЗЕМЛИ, Т 11 № 5-2019 инФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
Рис. 3. Переходы по обслуживанию заявок 1-го класса
Рис. 4. Переходы по обслуживанию заявок 2-го класса
t , /// I ¡¡I [if/
5-2019, H&ES RESEARC
INFORMATICS, COMPUTER ENGINEERING AND CONTROL
Уо!
Nc
Введем векторы-строки у. = {у,д, Yj,2,■••, } нахождения СМО в состояниях .-го яруса. Запишем векторно-матричные уравнения баланса переходов между состояниями
Удобным критерием прекращения итераций является условие
max x(m) - x(m-1) <e.
Y 0 Do = Y oCo + Yi Bp
Y^ = Yj-1 A-i + YjCj + Yj+iBj+i, j = 1,2...
(1)
Дальнейший расчет будем производить итерационным методом Такахаси-Таками [20]. Приведем здесь краткое его содержание.
Положим tj = у^pj , где р. — суммарная вероятность наличия в системе ровно ] заявок, и обозначим
X = Р^/ Р1 ' = РЛР1 .
Тогда систему (1) можно переписать относительно векторов условных вероятностей {/.}, нормированных к единице в пределах яруса:
'о Л0 = 'оС0 + ХоЬ В1>
'Л = 2Л-1А-1 + 'Сз + ХЛ+1В3+1 з = 1,2...
Векторы № находятся согласно
Практические расчёты свидетельствует о достаточности е = 10-6. После прекращения итераций можно переходить к нахождению абсолютных значений вероятностей. Из определения чисел {х} следуют равенства
Pj+i = Pjxj' J = 0'N - L
(2)
Далее принимается р0=1, а последующие вероятно -сти считаются согласно (2) с одновременным накоплением суммы. Затем, для соблюдения условия нормировки, все вычисленные вероятности делятся на упомянутую сумму.
Результаты расчетов
Предложенный метод реализован с использованием языка программирования С#. На рис. 5 представлены графики распределения вероятностей нахождения в СМО заявок второго класса, полученные в результате численных расчетов и имитационного моделирования (ИМ) для количества каналов п = 2 и п = 3. Коэффициент загрузки выбирался равным р = 0.85, на уровне типичных значений для систем с приоритетными дисциплинами обслуживания.
Здесь
в' = ^ - С Г, в; = - с )-1.
При] = N считается, что
р; = #>, в^ -с )-1.
Расчет z(m) происходит согласно формулы
Лm') — „Лm')
¿j — CAj ,
с коэффициентом
Рис. 5. Стационарное распределение числа заявок 2-го класса
с ев1 '-'
гт А-11 -/
В этой и последующих формулах произведения матриц переходов на вектор 1. равны суммам строк соответствующих матриц и могут быть вычислены однократно до начала итераций. Расчет х^т) осуществляется согласно
= 1/ (Ар; +р; .
Как видно из рис. 5, наблюдается приемлемое согласие результатов ИМ и численных расчетов.
Заключение
Предложенный метод расчета позволяет найти стационарное распределение вероятностей для СМО с абсолютным приоритетом и произвольным распределением времени обслуживания заявок каждого классов, представленным одним из распределений фазового типа. Показано
)) НАУКОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ В КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ЗЕМЛИ, Т 11 № 5-2019 ЮРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
приемлемое по точности согласие результатов расчетов с имитационным моделированием.
Направлением дальнейших исследований представляется разработка метода расчета временных характеристик для рассмотренного типа многоканальных СМО с абсолютным приоритетом, а также применения моделей многоканальных приоритетных СМО для решения актуальных современных прикладных задач, например [24].
Литература
1. Бронштейн О. И., Духовный И. М. Модели приоритетного обслуживания в информационно-вычислительных системах. М.: Наука, 1976. 220 с.
2. Климов Г. П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966. 276 с.
3. Конвей Р. В., Максвелл В. Л., Миллер Л. В. Теория расписаний: пер. с англ. М.: Наука, 1975. 359 с.
4. Гнеденко Б. В., Даниелян Э.А., Димитров Б. Н. Приоритетные системы обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1973. 447 с.
5. Buzen J., Bondi A. Response times of priority classes under preemptive resume in M/M/m queues // Operations Research. 1983. Vol. 31(3). Pp. 456-465.
6. Kella O., Yechiali U. Waiting times in the non-preemptive priority M/M/c queue // Stochastic Models. 1985. Vol. 1(2). Pp. 257-262.
7. Sleptchenko A., van Harten, van der Heijden M. C. An Exact Solution for the State Probabilities of the Multi-Cass, Multi-Server Queue with Preemptive Priorities // Queueing systems. 2005. Vol. 1. Pp. 81-108.
8. Zeltyn S., Feldman Z., Wasserfrug S. Waining and sojourn times in a multi-server queue with mixed priorities // Queueing Systems. 2009. Vol. 61(4). Pp. 305-328.
9. Altinkemer K., Bose I., Pal R. Average waiting time of customers in an M/D/k queue with nonpreemptive ptio-rities // Computers & Operations Research. 1998. Vol. 25(4). Pp. 317-328.
10. Harchol-Balter M., Osogami T., Schelter-Wolf A., Wierman A. Multi-server queueing systems with multiple priority classes // Queueing Systems. 2005. Vol. 51(3). Pp. 331-360.
11. Wagner D. Analysis of mean values of a multi-server model with non-preemptive priorities and non-renewal input // Stochastic Models. 1997. Vol. 13(1). Pp. 67-84.
12. Williams T. Nonpreemptive multi-server priority queues // Journal of the Operational Research Society. 1980. Vol. 31. Issue 12. Pp. 1105-1107.
13. Jagerman D. L., Melamed B. Models and approximations for call center design // Methodology and Computing in Applied Probability. 2003. Vol. 5(2). Pp. 159-181.
14.HanbaliA.Al., deHaanR.,BoucherieR., OmmerenJ.-K. Time-limited polling systems with batch arrivals and phasetype service times // Annals of Operations Research. 2012. Vol. 198. Issue 1. Pp. 57-82.
15.Рыжиков Ю. И., Хомоненко А. Д. Расчет многоканальных систем обслуживания с абсолютным и относительным приоритетами на основе инвариантов отношения // Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. № 3. С. 11-16.
16.Хомоненко А. Д. Вероятностный анализ приоритетного обслуживания с прерываниями в многопроцессорных системах // Автоматика и вычислительная техника. 1990. № 2. С. 55-61.
17.Хомоненко А. Д. Анализ производительности многопроцессорных систем при приоритетном обслуживании неоднородных потоков запросов // Автоматика и вычислительная техника. 1991. № 4. С. 55-64.
18. Рыжиков Ю. И. Алгоритмический подход к задачам массового обслуживания. Монография. СПб.: Изд-во ВКА им. А. Ф. Можайского. 2013. 496 с.
19. Рыжиков Ю. И., Хомоненко А. Д. Итеративный метод расчета многоканальных систем с произвольным распределением времени обслуживания // Проблемы управления и теория информации. 1980. № 3. С. 32-38.
20. Takahashi Y., Takami Y. A numerical method for the steady-state probabilities of a GI/G/c queuing system in a general class // J. of the Operat. res. soc. of Japan. 1976. Vol. 19(2). Pp. 147-157.
21. Саати Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения: пер. с англ. М.: Сов. радио, 1965. 510 с.
22.Рыжиков Ю. И., Лохвицкий В. А., Хабаров Р. С. Метод расчета длительности обработки задач в системе массового обслуживания с учетом процессов Split-Join // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2019. Т. 62. № 5. С. 419-423.
23.Хабаров Р. С., Лохвицкий В. А. Модель оценивания оперативности многопоточной обработки задач в распределенной вычислительной среде с учетом процессов Split-Join // Вестник Российского нового университета. Серия «Сложные системы: модели, анализ и управление». 2019. № 1. С. 26-34.
24. Заяц О. И., Кореневская М. М., Ильяшенко А. С., Мулюха В. А. Управление пакетными коммутациями в телематических устройствах с ограниченным буфером и повторными заявками с помощью вероятностного выталкивающего механизма и приоритетного обслуживания первичных заявок // Интеллектуальные технологии на транспорте. 2016. № 3 (7). С. 21-30.
Hi iff, I'll ////
Vol 11 No 5-2019, H&ES RESEARC INFORMATICS, COMPUTER ENGINEERING AND CON",
V\\\ v \\\\ ■
CALCULATION OF PREEMPTIVE MULTI-SERVER QUEUEING SYSTEMS
WITH HYPEREXPONENTIAL DISTRIBUTIONS OF SERVICE TIMES AND BUSY PERIOD
ROMAN S. KHABAROV, KEYWORDS: queuing theory; multi-server queuing systems; priority
St-Petersburg, Russia, xabarov1985@gmail.com queues; preemptive priority; busy period.
ANATOLY D. KHOMONENKO,
St-Petersburg, Russia, khomon@mail.ru
ABSTRACT
A numerical method for calculating the stationary distribution of the number of requests for multichannel queuing systems with preemptive priority is proposed. Method is based on approximation of the higher priorities classes stream busy period by the hyperexponen-tial distribution. For reasons of ensuring acceptable accuracy and labor-intensive characteristics, it is assumed that the service time of requests of each class is also represented by a hyperexponential distribution with given parameters. With this approach, the calculation of a system with many classes is carried out by sequential calculation of systems with two classes -a combined stream of requests as the first class requests, and the studied, represented by the second. The number of requests in the queue and for service is fixed only for the second class. A method is proposed for finding the initial moments of the first-class requests busy period on the basis of the interval from the moment the channels are fully occupied by first-class requests until the first service of one of the request completion and numerical integration along the half-axis with the Chebyshev-Laguerre weight. An example of diagrams of conditional intensities of transitions between the states of the system upon arrival and service for each of the classes of requests for a 2-channel queuing system is presented. A method for calculating a system based on the Taka-hashi-Takami iterative method is shown. Since the efficiency of first-class requests passing does not depend on the lower priority classes requests passage, for calculating the stationary distribution of first-class requests number in multichannel systems with hyperexponential distribution of servicing without priorities iterative type numerical methods are used. The method is implemented in the high-level programming language C #, an example of calculating the stationary distribution of the number of requests for a 2-channel and 3-chan-nel queuing system, presented using the proposed method and a simulation model, is presented. A fairly high degree of consistency was obtained.
REFERENCES
1. Bronshtejn O. I., Duhovnyj I. M. Modeli prioritetnogo obsluzhivani-ya v informacionno-vychislitel'nyh sistemah [Priority Service Models in Computer Systems]. Moscow: Nauka, 1976. 220 p. (In Russian)
2. Klimov G. P. Stohasticheskie sistemy obsluzhivaniya [Stochastic Service Systems] Moscow: Nauka, 1966. 276 p. (In Russian)
3. Conway R. W., Maxwell W. L., Miller L. W. Theory of Scheduling. Boston: Addison-wesley, 1967. 304 p.
4. Gnedenko B. V., Danielyan E. A., Dimitrov B. N. Prioritetnye sistemy obsluzhivaniya [Priority Service Systems]. Moscow: Lomonosov Moscow State University Publ., 1973. 447 p. (In Russian)
5. Buzen J., Bondi A. Response times of priority classes under preemptive resume in M/M/m queues. Operations Research. 1983. Vol. 31(3). Pp. 456-465.
6. Kella O., Yechiali U. Waiting times in the non-preemptive priority M/M/c queue. Stochastic Models. 1985. Vol. 1(2). Pp. 257-262.
7. Sleptchenko A., van Harten, van der Heijden M. C. An Exact Solution for the State Probabilities of the Multi-Cass, Multi-Server Queue with Preemptive Priorities. Queueing systems. 2005. Vol. 1. Pp. 81-108.
8. Zeltyn S., Feldman Z., Wasserfrug S. Waining and sojourn times in a multi-server queue with mixed priorities. Queueing Systems. 2009. Vol. 61(4). Pp. 305-328.
9. Altinkemer K., Bose I., Pal R. Average waiting time of customers in an M/D/k queue with nonpreemptive ptiorities. Computers & Operations Research. 1998. Vol. 25(4). Pp. 317-328.
10. Harchol-Balter M., Osogami T., Schelter-Wolf A., Wierman A. Multi-server queueing systems with multiple priority classes. Queueing Systems. 2005. Vol. 51(3). Pp. 331-360.
11. Wagner D. Analysis of mean values of a multi-server model with non-preemptive priorities and non-renewal input. Stochastic Models. 1997. Vol. 13(1). Pp. 67-84.
12. Williams T. Nonpreemptive multi-server priority queues. Journal of the Operational Research Society. 1980. Vol. 31. Issue 12. Pp. 1105-1107.
13. Jagerman D. L., Melamed B. Models and approximations for call center design. Methodology and Computing in Applied Probability. 2003. Vol. 5(2). Pp. 159-181.
14. Hanbali A. Al., de Haan R., Boucherie R., Ommeren J.-K. Time-limited polling systems with batch arrivals and phase-type service times. Annals of Operations Research. 2012. Vol. 198. Issue 1. Pp. 57-82.
15. Ryzhikov Yu.I., Calculation of Multi-Channel Queueing Systems
)) НАУКОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ В КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ЗЕМЛИ, Т 11 № 5-2019 ЮРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
with Absolute and Relative Priorities on the Basis of Invariants Relationship. Intellectual Technologies on Transport. 2015. No. 3. Pp. 11-16. (In Russian)
16. Khomonenko A. D. Probabilistic priority service analysis with interruptions in multiprocessor systems. Automatic Control and Computer Sciences. 1990. No. 2. Pp. 55-61. (In Russian)
17. Khomonenko A. D. Performance analysis of multiprocessor systems in the priority service of heterogeneous request streams. Automatic Control and Computer Sciences. 1991. No. 25 (4). Pp. 53-61. (In Russian)
18. Ryzhikov Y. I. Algoritmicheskij podhod k zadacham massovogo obsluzhivaniya [Algorithmic approach to queuing problems: Monograph]. St. Petersburg: Mozhaisky Military Space Academy Publ., 2013. 496 p. (In Russian)
19. Ryzhikov Yu.I., Khomonenko A. D. Iterativnyj metod rascheta mnogokanal'nyh sistem s proizvol'nym raspredeleniem vremeni obsluzhivaniya [An iterative method for calculating multichannel systems with an arbitrary distribution of service time] Problemy up-ravleniya i teoriya informacii [Management Issues and Information Theory]. 1980. No. 3. Pp. 32-38. (In Russian)
20. Takahashi Y., Takami Y. A numerical method for the steady-state probabilities of a GI/G/c queuing system in a general class. J. of the Operat. res. soc. of Japan. 1976. Vol. 19(2). Pp. 147-157.
21. Saaty T. L. Elements of queueing theory, with applications. New York: McGraw-Hill, 1961. 436 p.
22. Ryzhikov Y. I., Lohvickij V. A., Khabarov R. S. Method of calculating task treatment duration in queueing system with consideration of Split-Join processes. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Pri-borostroenie [Journal of Instrument Engineering]. 2019. Vol. 62. No. 5. Pp. 419-423. (In Russian)
23. Khabarov R. S., Lohvickij V. A. Efficiency evaluation model of parallel processing in distributed environment using Split-Join queue. Vestnik of Russian New University. Series: Complex systems: models, analysis, management. 2019. No. 1. Pp. 26-34. (In Russian)
24. Zayats O. I., Korenevskaya M. M., Ilyashenko A. S., Muliukha V. A. Network Packets Management in Telematic Devices with Retrial, Limited Buffer Size Using Randomized Push-Out Mechanism and Prioritization for Initial Flow. Intellectual Technologies on Transport. 2016. No. 3 (7). Pp. 21-30. (In Russian)
INFORMATION ABOUT AUTHORS:
Khabarov R.S., Postgraduate at the Department of the Military Space Academy;
Khomonenko A.D., PhD, Professor, Head of Department of Emperor Alexander I Petersburg State Transport University, Professor at the Department of the Military Space Academy.
For citation: Khabarov R.S., Khomonenko A.D. Calculation of preemptive multi-server queueing systems with hyperexponential distributions of service times and busy period. H&ES Research. 2019. Vol. 11. No. 5. Pp. 48-56. doi: 10.24411/2409-5419-2018-10287 (In Russian)
