CC BY
44
Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 350-351
УДК 531.53
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ МАЧТЫ ВЕТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ УСТАНОВКИ
С ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ОСЬЮ
© 2011 г. О.Ю. Черкасов
Московский госуниверситет им. М.В. Ломоносова
Поступила в редакцию 15.06.2011
Рассмотрена задача об устойчивости мачты ветроэнергетической установки с горизонтальной осью в условиях изменения скорости вращения ветроколеса, которое вызывается подключением и отключением потребителей электроэнергии. Математической моделью мачты служит перевернутый маятник с упругим закреплением в основании, поток воздуха предполагается квазистационарным. Найдены режимы изменения скорости вращения ветроколеса, приводящие к нарастанию колебаний мачты. Приводятся результаты численного моделирования.
Ключевые слова: ветроэнергетическая установка, устойчивость, линейная обратная связь, оптимальное управление.
Постановка задачи
Рассмотрим ветроэнергетическую установку, состоящую из турбины с горизонтальной осью, расположенной на вершине мачты. Мачта моделируется как перевернутый маятник с упругой заделкой в основании. Воздушный поток предполагается квазистационарным. Движение описывается системой уравнений:
2 (M Л 2
J+ml )у = I —+m Igl эту-Mair + cI -Ы у,
Jm^ + т12)<л =-{М + т^Ит эшу + (1)
+Маг (Лт + J + т12) - С1 (Лт + J + т12) + Ы 2 Jmу,
Ь1 = сю- (г + Я) I.
Здесь у — угол между вертикалью и мачтой, ю — угловая скорость вращения турбины, I — сила тока, Л — момент инерции мачты относительно основания, М — масса мачты, т — масса лопастей турбины, I — длина мачты, g — ускорение силы тя -жести, Лт — момент инерции лопастей и электродвигателя турбины относительно оси вращения, Ы — коэффициент упругости (сила упругости является линейной функцией координаты), Маг — момент аэродинамических сил относительно оси вращения турбины, с — коэффициент, Ь — индуктивность, г — внутреннее сопротивление, Я — сопротивление внешней нагрузки.
Введем безразмерное время т и коэффициент
0 по формулам: t = Т0, где
02 =-
J + ml
(M/2 + m )gl
Тогда
У = —гV , ю =—тс 02 02
где штрих означает производную по безразмерному времени, а — безразмерная угловая скорость вращения турбины. Введем следующие обозначения для комбинаций исходных переменных и коэффициентов:
и = рс1, ^ = у', р =--------1------,
(М/2 + т) gl
1 72 тт 1 Лт + Л + т12
к = Ыр1 , К = 1 -к, ] = - т
Jm
п =
pc
р =■
(r + R )0
L L
Предположим, что угол у достаточно мал, и ограничимся приближением sin у ~ у.
Для аппроксимации аэродинамического момента примем, что установочный угол лопастей ф = п/2, угол атаки настолько мал, что подъемную силу лопасти можно рассматривать как линейную функцию угла атаки, а силу сопротивления — независящей от него. Тогда простейшая аппроксимация момента аэродинамических сил такова (см. [1]): Mair = QV2 — C2c2. В безразмерных переменных система имеет вид: у' = w,
w' = Ky + C2c2 -C1V2 + u, о ' = — Ky- — ju,
1
1
и' = пс-ри. (2)
Заметим, что возмущение р входит только в четвертое уравнение системы (2). Отбросим это уравнение и перейдем к редуцированной системе, где в качестве возмущения рассматривается параметр и:
у' = w,
= Ку + С2с2 - С1У2 + и, (3)
а = — Ку — ]С2а 2 + ]Су 2 — ]и.
Если наихудший закон и(0 определен, то соответствующее возмущение р(0 может быть вычислено из четвертого уравнения системы (2).
Стационарные решения и управляемость
Стационарные решения системы (3) имеют вид: w* = 0, у* = 0, с* = ^ (Су2 - и)/С2, где и рассматривается как константа. Для системы (3), линеаризованной в окрестности стационарного решения, с помощью критерия Гурвица [2] установлено, что рассматриваемое стационарное решение асимптотически устойчиво. Соответст-
вующая линейная управляемая система управляема по Калману, и, следовательно, существует линейная обратная связь, обеспечивающая положительные собственные значения характеристического многочлена. Более того, потеря устойчивости возможна, когда возмущение является линейной функцией только угловой скорости вращения турбины, Ли = аа; условие неустойчивости решения задается неравенством а < —2С2а*.
Показано, что устойчивость мачты с ветроэнергетической установкой на вершине может быть разрушена с помощью возмущения в виде обратной связи по угловой скорости вращения турбины. Дальнейшие исследования предполагают исследование задачи нахождения наихудшего возмущения.
Список литературы
1. Досаев М.З. и др. Конструктивная теория МВЭУ Ч. 1. М.: МГУ, 2007. 76 с.
2. Александров В.В. и др. Оптимизация динамики управляемых систем. М.: МГУ, 2000. 304 с.
STABILITY ANALYSIS OF THE TOWER OF A WIND TURBINE WITH HORIZONTAL AXES
O.Yu. Cherkasov
The stability problem of the tower of a wind turbine with horizontal axes is considered for the conditions of a changing angular velocity of the wind wheel. An inverted pendulum with the elastic base is taken as a mathematical model of the tower. The air flow is assumed to be quasi-stationary. The regimes of the velocity changing of the wind wheel which lead to the increasing oscillations of the tower are determined. Computer simulation results are presented.
Keywords: wind turbine, stability, linear feedback, optimal control.
