Анализ технических возможностей цилиндрических прямозубых передач с поверхностным контактом выпукло-вогнутых зубьев Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК (UDC) 621.833.15

АНАЛИЗ ТЕХНИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРЯМОЗУБЫХ ПЕРЕДАЧ С ПОВЕРХНОСТНЫМ КОНТАКТОМ ВЫПУКЛО-ВОГНУТЫХ ЗУБЬЕВ

ANALYSIS OF TECHNICAL CAPABILITIES OF CYLINDRICAL STRAIGHT-TOOTH GEARS WITH SURFACE CONTACT OF CONVEX-CONCAVE TEETH

Мирчук М.А., Волков Г.Ю. Mirchuk M.A., Volkov G.Yu

Курганский государственный университет (Курган, Россия) Kurgan State University (Kurgan, Russian Federation)

Аннотация. В статье рассмотрены достоинства и * недостатки шарнирно-зубчатой передачи - прямозу- *

бой цилиндрической передачи, в которой зубья *

имеют выпукло -вогнутые профили и взаимодейст- *

вуют друг с другом по поверхности. Поверхностный * контакт зубьев этой передачи обеспечивает сниже- *

ние контактных напряжений в зацеплении в 7... 50 *

раз по сравнению с эвольвентными. Установлено, * что шарнирно-зубчатая передача обеспечивает дос- *

таточно плавное вращение ведомого колеса: коэф- *

фициент неравномерности хода не превышает 0,012. *

Главным недостатком передачи является удары в *

радиальном направлении, вызванные колебанием *

межосевого расстояния. Поэтому исследованную *

шарнирно-зубчатую передачу следует использовать *

при малых скоростях вращения, например, в ручных *

приводах. *

Ключевые слова: прямозубая зубчатая передача, *

шарнирное зацепление, контактные давления. *

*

Дата принятия к публикации: 26.02.2020 *

Дата публикации: 26.06.2020 *

*

Сведения об авторах: *

Мирчук Мария Александровна - аспирант, *

кафедра «Механики машин и основы конструирова- *

ния», ФГБОУ ВПО «Курганский государственный *

университет», е-ша11:м>м>м>.ш1гскикМА@та11.ги *

Волков Глеб Юрьевич - доктор технических *

наук, доцент, профессор кафедры «Механики машин *

и основы конструирования», ФГБОУ ВПО «Курган- *

ский государственный университет», *

e-шail:www.vlkv48@шail.ru *

Abstract. The article deals with the advantages and disadvantages of articulated gear - straight-toothed cylindrical transmission, in which the teeth have convex-concave profiles and interact with each other on the surface. The surface contact of teeth of this transmission provides reduction of contact stresses in gearing in 7-50 times in comparison with involute. It is established that the articulated gear provides a fairly smooth rotation of the driven wheel: the coefficient of unevenness of the stroke is not higher than 0.012. The main disadvantage of this transmission is the radial shocks caused by the oscillation of the center distance. Therefore, gearshifts are recommended for use only at minimum speeds, for example in manual drives.

Keywords: cylindrical gear, hinge gear, contact pressure.

Date of acceptance for publication: 26.02.2020 Date of publication: 26.06.2020

Authors' information: Maria A. Mirchuk - postgraduate student, Department of «Mechanics of machines and fundamentals of design», Kurgan State University, e-mail:www.mirchukMA@mail.ru

Gleb Yu. Volkov - Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, Professor of the Department «Me-chanics of machines and fundamentals of design», Kurgan State University, e-mail:www.vlkv48@mail.ru

Благодарности

Исследование выполнено при поддержке РФФИ и правительства Курганской области

(проект No. 19-48-450001/19)

Acknowledgements

The study was supported by the grant the Russian Fund for Fundamental Research and the government of Kurgan Oblast within the framework of research (project No. 19-48-450001/19)

1. Введение

Передачи Новикова-Вильдгабера [1-3] являются альтернативой наиболее распространенным в настоящее время, эвольвентным передачам. Потенциальные возможности использования зубьев с выпукло-вогнутыми рабочими поверхностями не исчерпываются косозубыми передачами и нуждаются в дальнейшем анализе и развитии.

2. Кинематика зацепления с поверхностным контактом выпукло-вогнутых зубьев (шарнирно-зубчатого зацепления)

Если профиль зубьев близкий к профилю зубьев передачи Новикова с двумя линиями зацепления [4] (рис. 1) использовать в прямозубой цилиндрической передаче, то можно обеспечить исключительно поверхностный контакт зубьев. Для этого нужно цилиндрические рабочие поверхности зубьев на вершинах и во впадинах выполнить строго одинакового радиуса (р а = р^ , а также создать силовое замыкание зубчатых венцов в радиальном направлении за счет плавающего межосевого расстояния а^. Это можно реализовать, например, разместив ось шестерни на коромысле 3, как показано на рис. 2.

ние». Зубчатым зацеплением принято называть [5] высшую кинематическую пару с последовательно взаимодействующими элементами двух звеньев. Низшую кинематическую пару с последовательно взаимодействующими выпуклыми и вогнутыми круговыми профилями зубьев логично будет называть шарнирно-зубчатым зацеплением.

Рис. 1 Профиль зубьев зацепления Новикова с двумя линиями зацепления

При частом упоминании рассматриваемого объекта - зацепления с поверхностным контактом выпукло-вогнутых зубьев, желательно использовать его более короткое название. В качестве такового предлагается ввести термин «шарнирно-зубчатое зацепле-

Рис. 2 Силовое замыкание шарнирно-зубчатого зацепления

Радиусы сопряженных поверхностей зубьев в таком зацеплении целесообразно принять равными 1/4 окружного шага

ра= pf = лт/4.

При исследовании кинематики механизма поворотом коромысла 3 можно пренебречь и рассмотреть векторный контур, показанный на рис. 3:

гх-г2-Щ = 0. (1)

Проецируя векторы на оси X и Y, получим соответственно:

Т с о s (р х — т2 с о s (р 2 — aw = 0 ; (2)

Ts i прр i — t2s i прр 2 = 0. (3)

Продифференцируем систему уравнений (2) и (3) по времени:

; (4)

тс о S (рi Т2 С о S (р 2 (р 2 = 0 . (5)

Из уравнения (5)следует

<рг г2 ■ cos (р2

h2= — =

= U

COS (р2

(6)

(р2 Гх ■ COS (Pi COS (Pi

где i! 2 - мгновенное передаточное отношение; U = т2 Iт - постоянное передаточное число.

Рис. 3. Векторная модель механизма

Заметим, что присутствующее в выражении (6) отношение косинусов углов равно отношению мгновенной окружной скорости У2 расчетной точки С2, принадлежащей колесу 2, к постоянной окружной скорости У-1 точки С1:

У2 _ совсрг

СОБ (р2

Из уравнения (4) выразим мгновенную скорость изменения межосевого рас-

стояния:

= - 1П <р 1 < 1+Г2 5т<р2<р2. (8)

Отношение этой скорости к постоянной скорости 1^1 с учетом (7):

(7)

&1У

— = cos(p1tg(p2 - sin <р1ш v1

(9)

Предельные значения углов <р 1 и <р 2, при которых мгновенные кинематические характеристики принимают экстремальные значения, зависят о чисел зубьев г 1 и г2. С учетом того, что речь идет о передачах с выпукло-вогнутыми зубьями кругового профиля, где пересопряжение зубьев происходит в два раза чаще, чем в обычных (например, в эвольвентных) передачах:

_ 360°

4>1тах ~

<р2г

4Z! 360°

IzT

Рассмотрим пример. Исходные данные: модуль т = 1 ; z х = 1 0 (г- = 5 ) ; z2 =

4 0 (г2 = 2 0) . Соответствующие расчетные значения мгновенных кинематических параметров механизма показаны на рис. 4 и 5.

-9' 0 v2 v. Ф • 1 9« т |,

-0,99 -1

-1,01

Рис. 4. Диаграмма ф(ср i )

0,2 aw V, u v,

0,1 / i/

-9° 0 / 9°

Ф/

-0,2 И

Рис. 5. Диаграмма тр(р i )

Итоговую неравномерность вращения ведомого звена удобно характеризовать коэффициентом 8, близким по смыслу к коэффициенту неравномерности хода [6]:

Ô =

12 max

и

= 1

COS (р2тах

(10)

U COS (Pimax

В примере этот параметр составляет 8 = 0 , 0 1 1 7, что является неплохим показателем и соответствует требованиям [6], предъявляемых к автомобильным и судовым двигателям, компрессорам и другим механизмам.

Обратим внимание на то, что на диаграмме — (<рх) кривые, соответствующие ра-

Vi

боте соседних зубьев, пересекают друг друга, не образуя разрыва. Это значит, что в точках пересопряжения нет жесткого удара, вызванного изменением окружной скорости.

На диаграмме —( <р х ) аналогичные кривые в

Vi

точках пересопряжения имеют разрывы,

&Wmax „,,

A——- = 2(| coscpín

с tg<p 2 n

у ---у !шах - а т ¿ гних I (11)

+ \ьт(р1тах\). Это свидетельствует о наличии жестких ударов. Расчетные значения параметров 8 и

aWmax

для передач с разными числами

зубьев представлены в табл. 1.

Таблица 1

Значения кинематических параметров 8 и Д ах для шарнирных передач с разными

числами зубьев

Числа Коэффициент неравномерности Коэффициент радиальной скорости соударения колес в момент

зубьев вращения ведомого звена, 8 г л О-М/тах пересопряжения зубьев, Д —-—

z2 Zi = 10 Zi = 15 zx = 20 Zi = 10 Zi = 15 zx = 20

10 0 - - 0,62572 0,52409 0,47271

20 0,009355 0,002409 0 0,46832 0,36559 0,31384

40 0,011685 0,004734 0,002319 0,39047 0,28721 0,23526

60 0,012118 0,005164 0,002748 0,36457 0,26114 0,20913

80 0,012270 0,005315 0,002898 0,35112 0,24759 0,19555

100 0,012339 0,005384 0,002968 0,34389 0,24030 0,18824

рейка 0,012500 0,005500 0,003100 0,31287 0,20906 0,15692

Тем не менее, при минимальных скоростях вращения звеньев шарнирно-зубчатые передачи вполне работоспособны.

3. Статика, потери энергии и контактные давления в шарнирно-зубчатой передаче

В статике контакт зубьев рассматриваемой передачи (рис. 6) нагружен только внешней приложенной силой и тангенциальной силой F.

В случае, когда второе колесо вырождается в рейку, формулы (10) и (11) упрощаются:

5 =

i

12

и

и

Q-Wmax

,_vT

= 1

cos <р\тах = 2(sin (plmax).

(12) (13)

Анализируя результаты расчета, замечаем:

- коэффициент 8 снижается с ростом и несколько увеличивается с ростом , но в целом он сравнительно невелик;

- удары, вызванные скачком радиальной

ДаШтах

х -, растут с уменьшением чи-

сел зубьев 2- и 22. Именно эти удары являются главным фактором, ограничивающим область применения таких передач.

Рис. 6. Расчетная схема статического силового анализа

При эксплуатации передачи заранее заданной постоянной величиной является сила N. Тангенциальная (окружная) сила F и результирующая реакция R связаны с этой силой зависимостями

N

?= — -,

tg а

N

R =-.

sin а

Между собой тангенциальная сила F и результирующая реакция связаны зависимостью:

F

R=-,

eos а

где а - угол давления.

Желательная (рекомендуемая) величина этого угла: а = 25 ... 3 5°.

Когда крутящий момент на колесе (а, следовательно, и сила F) снижается, угол давления а увеличивается. Если сила F возрастает выше номинального значения, то угол давления а уменьшается до тех пор, пока не достигнет некоторого предельного значения а = ат 1 п. После чего зубья выходят из зацепления. Таким образом, передача одновременно выполняет функцию предохранительной муфты. При необходимости эту функцию можно «отключить», ограничив упорами максимальное увеличение межосевого расстояния .

Сравним потери энергии в шарнирно-зубчатой и эвольвентной передачах, например, реечных. Мощность потерь в зацеплении определяем по формуле вида

R

4 F

poti

= Vcp-f-R,

(14)

где: - расчетный коэффициент трения (примем f = 0 , 1 ); Уср - средняя скорость скольжения в зацеплении.

Для эвольвентной реечной передачи скорость скольжения в зацеплении приближенно [7, 8] можно оценить по формуле 2Уг

Уср =

(15)

Скорость в контакте зубьев для шарнир-но-зубчатого зацепления

т/ Vi 'Ра V^II

—= liT (16)

Сравнивая потери шарнирно-зубчатого и эвольвентного зацеплений, рассчитанные по формуле (8), приходим к выводу, что при характерных (расчетных) углах давления ( а = 2 0° для эвольвентной передачи и а = 3 0° для шарнирно-зубчатой передачи) потери на трение в шарнирно-зубчатой передаче на 30% ниже. Однако «недогруженная» шарнирно-зубчатая передача за счет увеличения угла давления будет несколько уступать эвольвентной передаче по энергетическим потерям.

Давление в контакте шарнирно-зубчатой передачи распределено по поверхности. Найдем его по формуле, применяемой для расчетов на смятие:

Ъ ■ ра Ъ ■ п ■ т- cos а 2F ■ zx(l + U)

(17)

л • b • aw • cos а где b - ширина колеса (например, b = 5 0 мм.

Наглядное представление о контактных давлениях в шарнирно-зубчатой передаче дает ее сравнение с эвольвентной передачей.

Используя формулы [9] для расчета на контактную прочность стальных эвольвентных цилиндрических прямозубых зубчатых колес, выразим окружную силу F в зацеплении:

(18)

F =

b ■ aw ■ (Гц ■ U

49,53 ■ kHp.(U + 1У где aw - межосевое расстояние (например, aw = 2 00 мм); U - передаточное число (например, U = 4); ан - допускаемое контактное напряжение (примем для нетермообра-ботанной стали 45 <гн = 400 МПа); kH¡¡ - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки вдоль зуба (примем кнр = 1 ).

В примере после подстановки в (18) принятых значений параметров получаем F = 1832 Н.

Далее по формуле (17) рассчитаем, какое контактное давление будет в аналогичной шарнирной передаче.

Для числа z 1 = 1 0, получаем: _ 2F ■ Zi( 1 + U) _ 2 ■ 42,2 ■ 10(1 + 5)

см п ■ b ■ aw ■ cosa л ■ 200 ■ cos 30° = 7,72 МПа.

Таким образом, по сравнению с эвольвентной передачей ( [<гн] = 400 МПа) контактная нагрузка снизилась более, чем в 50 раз. Результаты расчетов осм для других значений параметров z ь U, [<%] приведены в табл. 2.

4. Заключение

Главным достоинством шарнирно-зубча-того зацепления в сравнении с эвольвентным является многократный выигрыш в контактном давлении. Для закаленных сталей давление в контакте снижается не менее, чем в 7.. .13 раз, для мягких нетермообработанных сталей - в 13 раз. Нагрузочная способность эвольвентных зубчатых колес, изготовлен-

298

Таблица 2

Расчетные давления осм (МПа) в шарнирно-зубчатом зацеплении

Контактные давления, МПа

Эвольвентное зацепление, Шарнирно-зубчатое зацепление, стсм

Zi = 10 Zi = 40

и = 4 и = 1 и = 4 и = 1

400 7,7 4,8 30,9 19,3

800 27,7 19,4 110,9 77,3

ных из мягких сталей, ограничивает именно контактное напряжение. Поэтому можно утверждать, что шарнирно-зубчатые зацепления, выполненные по крайней мере из этих сталей, выдержат существенно более высокую нагрузку, чем эвольвентные зацепления.

По энергоэффективности (коэффициенту полезного действия) шарнирно-зубчатые зацепления не уступают эвольвентным.

Удары в момент пересопряжения зубьев -это, несомненно, недостаток шарнирно-зубчатых передач. Однако остается область малых скоростей, ручные приводы. Дополнительное достоинство - эти передачи могут выполнять функцию предохранительной муфты.

При разработке конструкций устройств, содержащих шарнирно-зубчатое зацепление, нужно иметь в виду, что в них приведённый момент инерции системы вращающихся звеньев может быть сравнительно большим, но масса звеньев, вовлеченных в радиальное колебательное движение, обеспечивающее силовое замыкание шарнирно-зубчатого зацепления, жестко ограничена.

Список литературы

1. Пат. US1601750 Helical Gearing / Wildhaber E.; опубл. 5.10.1926.

2. А.С. СССР 109113 Зубчатые передачи, а также кулачковые механизмы с точечной системой зацепления // Новиков М.Л.; заявл. 19.04.1956, опубл. 1957.

3. Пат. РФ № 2057267 Зубчатая передача // Гребенюк Г.П.; заявл. 07.04.1993, опубл. 1996.

4. ГОСТ 15023-76. Передача Новикова с

двумя линиями зацепления. Исходный контур.

5. Крайнев А.Ф. Словарь-справочник по механизмам. М.: Машиностроение, 1987. 560 с.

6. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 640 с.

7. Кудрявцев В.Н. Планетарные передачи. Л.: Машиностроение, 1966. 308 с.

8. Волков Г.Ю. Повышение технических характеристик безводильной планетарной передачи за счёт увеличения коэффициента смещения на внутренних зубьях // Вестник Курганского государственного университета. Серия Технические науки. 2013. № 2. С. 5-9.

9. ГОСТ 21354-87. Передачи зубчатые

t References

t 1. Pat. US1601750. Helical Gearing / J Wildhaber E.; publ. 5.10.1926. t 2. A.S. SU 109113. Zubchatye peredachi, a t takzhe kulachkovye mehanizmy s tochechnoy t sistemoy zatsepleniya [Gear transmissions and t Cam mechanisms with a point system of mesh-J ing]. Novikov ML., 1957. (In Russian) t 3. Pat. RU 2057267. Zubchataya t peredacha [Gear transmissions]. Grebenyuk t G.P., 1996. (In Russian) t 4. GOST 15023-76. Peredacha Novikova s t dvumya liniyami zatsepleniya. Iskhodnyy t kontur [Novikov spur gears with double line of t action. Basic rack]. (In Russian) t 5. Kraynev A.F. Slovar-spravochnik po t mekhanizmam [Dictionary-a guide to the t mechanisms]. Moscow, Mashinostroenie, t 1987. 560 p. (In Russian) t 6. Artobolevskiy I.I. Teoriya mekhanizmov t i mashin [Theory of mechanisms and mat chines]. Moscow, Nauka, 1988. 640 p. (In t Russian)

t 7. Kudryavtsev V.N. Planetarnye

t peredachi [Planetary gears]. Leningrad,

t Mashinostroenie, 1966. 308 p. (In Russian)

t 8. Volkov G.Yu. Povyshenie tekhnicheskikh

t kharakteristik bezvodilnoy planetarnoy

t peredachi za schet uvelicheniya koeffitsienta

цилиндрические эвольвентные внешнего J smeshchenia na vnutrennikh zubyakh [Improv-

зацепления. Расчет на прочность. J ing the technical characteristics of a planetless

J gearless drive due to an increase in the dis-

J placement coefficient on the internal teeth].

J Vestnik Kurganskogo gosudarstvennogo

J universiteta, 2013, No. 2, pp. 5-9. (In Russian) J 9. GOST 21354-87. Peredachi zubchatye

J tsilindricheskie evolventnye vneshnego

J zatsepleniya. Raschet na prochnost [Cylindri-

J cal evolvent gears of external engagement.

J Strength calculation] (In Russian)