CC BY
33
УДК 62-233.3/.9
Б. П. Тимофеев, А. В. Ковалевич
Математическое моделирование неэвольвентного зубчатого зацепления
Рассмотрены несопряженные зубчатые передачи с линейным контактом, зубьями которых является сочетание плоскостей и цилиндров или только цилиндров. Для оптимизации кинематических характеристик предложено использовать новую компоновку - многорядную зубчатую передачу. Ключевые слова: зубчатые передачи, несопряженные передачи, многорядное зубчатое колесо, многоповодковое зубчатое колесо, ошибка положения, ошибка передаточного отношения, простые формы зубьев.
Введение
Человечество применяет различные механизмы, в том числе и зубчатые, с древнейших времен [1]. Бурное развитие машинной техники в эпоху Возрождения дало толчок развитию зубчатых передач, например, итальянский часовщик Джованни Донди (1318-1387) создал описание планетарных (астрономических) часов [2].
Член Российской академии наук Леонард Эйлер (1707-1783) выявил уникальные свойства эвольвент круга и в 1754 г., задолго до формулирования теоремы Виллиса (1841), предложил использовать их в передачах. В настоящее время более 80 % всех передач в мире являются эвольвентными [3]. Такая передача оч относится к классу сопряженных зубчатых ° передач, в которых передаточное отношение ^ при зацеплении одной пары зубьев остается — постоянным и соответствует передаточному
отношению за оборот. ^ Однако несопряженные передачи ис-
Д пользуются и в настоящее время, поскольку, I например, до сих пор не удавалось сформировать сферическую эвольвентную поверх-о ность и получить сопряженную коническую ® передачу.
о. Главное требование к несопряженным
3е передачам было сформулировано так: необходимо получить пятно контакта, оторванное от | всех кромок, в том числе от линии сопряже-о ния (перехода, пересечения) активной и пере-ш ходной поверхностей зуба. В несопряженных см передачах поставлена следующая задача: ис-^ ключить выход контакта на любую из кромок ™ при всех возможных погрешностях зубчатых
(П -
<Л
И © Тимофеев Б. П., Ковалевич А. В., 2019
и незубчатых элементов передачи, монтажа и деформации под нагрузкой.
Стоит отметить, что постоянство передаточного отношения в любой момент времени, высокие точности, нечувствительность к погрешностям - наиболее значимые тенденции развития современных передач. В значительной степени малоизученные несопряженные зубчатые передачи зачастую обеспечивают один из заданных параметров, требуемых в решении узкоспециализированной прикладной задачи.
В данной статье рассмотрены несопряженные зубчатые передачи, зубьями которых является сочетание плоскостей и цилиндров или только цилиндров, некоторые из них широко применялись еще в древности. В работе Б. П. Тимофеева и А. А. Уланова [4] показано, что в этих передачах достигалась необходимая кривая функции положения за счет того, что в некоторый период зацепление осуществлялось при контакте поверхностей, а в другой - использовался контакт кромки с поверхностью. При этом функция положения приблизительно соответствовала «кривой Бакстера» [5, 6].
В настоящей статье рассмотрены зубчатые передачи с линейным контактом. Поставлена задача исключить из зацепления линию перехода плоскости и цилиндра ввиду возникновения в этой точке «мягкого» удара из-за скачка радиуса кривизны поверхности и нормального ускорения.
В первой части статьи представлены результаты математического моделирования передач зацеплением с точечным и линейным контактом в средеМАТИСАБ. Математическая модель реализует расчет геометрических параметров передачи с последующим расчетом
значении кинематических параметров зацепления. Условием выполнения данного расчета является отсутствие кромочного контакта.
Далее для уменьшения скачка передаточного отношения и жесткого удара при пересопряжении предложено использовать новую компоновку - многорядную зубчатую передачу. Описаны результаты ее расчета в среде МАТНСАБ, твердотельное моделирование в среде ЗоН^огкя и создание макета методом 3D-печати.
Цилиндрические зубчатые колеса
В работе [4] исследована прямоугольная форма зуба зубчатого колеса. В даннои статье в качестве объекта исследования представлена несопряженная зубчатая передача. В роли ведущего колеса выступает цевочное колесо, которое не изменяется в ходе исследования. В зацепление с цевочным колесом вступает зубчатое колесо с особоИ формоИ зуба. С учетом исторического опыта применения приближенных зубчатых передач в качестве первого профиля выбран простоИ прямоугольный зуб. Формы зубьев и цевки представляют прямые и дуги окружностей [7]. Для исследования выберем три основные формы зуба (рис. 1).
Рис. 1. Варианты форм зуба зубчатого колеса: А - прямая форма зуба (прямоугольник со скруглени-ем торцевой стороны); В - острая форма зуба, образованная прямыми, сходящимися к центру зубчатого колеса и дугой окружности; С - раскрытая форма зуба, образованная расходящимися прямыми
Для исследования выберем зацепление с теоретическим (номинальным - /н21) передаточным отношением, равным единице:
/н21 = 22 / 21 = 1
Используем стандартный геометрический расчет, аналогичный применяемому для расчета эвольвентного зубчатого зацепления [8].
Геометрический расчет будем вести относительно цевочного колеса ввиду его гео-
метрической простоты и универсальности для всех трех исследуемых случаев.
Введем следующие условия: радиус цевки рц = 5 мм; радиусы головок всех видов зубьев будут равны между собой и численно равны радиусу цевки рз = рц = р.
Исходя из этого, рассчитаем шаг зубьев на начальной окружности:
р = 4рц + с'т.
Здесь С - коэффициент бокового зазора; т - условный модуль зубьев. Примем коэффициент бокового зазора с' = 0,25. Вычислим значение шага зубьев непосредственно через модуль т: р = пт.
Приравняв правые части двух определений значения шага, найдем значение модуля т. Затем определим диаметр начальной окружности по формуле
D = хт,
где х - число зубьев колеса (число цевок).
Примем количество цевок х = 12. Для цевочного колеса на начальном диаметре должны располагаться оси цевок.
Для зубчатых колес необходимо рассчитать высоту головки и ножки зуба. Высоту головки зуба примем равной р. Высота ножки зуба hf = 1,2 р.
Геометрические параметры рассматриваемой передачи следующие:
Номинальное передаточное
отношение /н21.................................................1,000
Количество зубьев х.......................................12,00
Угловой шаг т, град........................................30,00
Диаметры начальных
окружностей В, мм........................................82,80
Модуль т, мм.................................................6,900
Угол раствора зуба при центре
зубчатого колеса а, град.................................13,84
Радиус скругления зубьев
и радиус цевки р, мм......................................5,000
Высота ножки зуба Н/, мм..............................6,000
Межосевое расстояние А„, мм......................82,80
Рассмотрим процесс зацепления в передаче для одной пары зубьев (рис. 2).
I. Контакт цевки с плоской частью зуба шестерни (контакт линия - окружность).
II. Контакт цевки с круглой частью зуба (контакт окружность - окружность).
а к
а
х
е
ф,
о см
Ol
<
I
о та
0 ü CQ та
1 О.
<D
£
и
<D CQ
CM ■Clio 9
CM ■Clio
CM
w w
Рис. 2. Упрощенное изображение контакта форм зуба и цевки
III. Контакт цевки в точке сопряжения линии и дуги окружности, образующих форму зуба шестерни.
В данном исследовании основными критериями оценки точности и плавности работы передачи выберем такие кинематические параметры, как функция ошибки положения, ошибки передаточного положения и коэффициент перекрытия. С помощью них можно оценить циклическую погрешность передачи, а также характер и величины ударов при пересопряжении [8].
Ошибку положения определим так:
Дф2(ф1> = Ф2(Ф1> Ф^н21,
где Дф2(ф1) - функция ошибки положения ведомого колеса;
ф2(ф1) - функция положения ведомого колеса;
ф1 - угол поворота ведущего колеса; iн21 - номинальное передаточное отношение.
Далее вычислим реальное значение передаточного отношения. Мгновенное передаточное отношение - это производная функции положения по углу поворота ведущего колеса ф1:
d ф 2(ф1>
Определим ошибку функции передаточного отношения:
A'2I(9I) = г21(Ф1> - ¿н21(ф1)-
Математическое моделирование и построение кинематических характеристик исследуемой передачи проводилось в программном пакете MATHCAD (компания Parametric Technology Corporation, PTC) с использованием матричных методов [7-9] (рис. 3). Данный программный пакет удобен и широко известен. Матрицы взаимной ориентации радиусов-векторов и ортов нормалей непосредственно задаются в рабочей области для составления системы тригонометрических уравнений с последующим решением методом Рунге - Кутта.
Применение систем автоматизированных расчетов значительно упрощает процесс получения функциональных зависимостей с последующим анализом и визуализации полученных результатов. В том числе с помощью продуктов корпорации PTC можно проводить комплексные процедуры проектирования, объединяя такие продукты, как MATHCAD и Creo [10-12]. Математический аппарат этих программ схож, что позволяет с помощью их связки автоматизированно проектировать детали и узлы, основываясь на расчетном файле. Сквозная передача параметров математической модели также возможна в системах автоматизированного проектирования (САПР) прочих производителей.
Положение точки контакта определялось на профиле зуба ведущего колеса и цевки, затем посредством матриц перехода - положение точки относительно неподвижной системы координат. В качестве примера перевода радиус-вектора Ri из системы координат Si в систему So приведем уравнение:
R о = M oiRi,
(1)
где М01 - матрица перехода от 51 к 50.
Были использованы следующие матрицы перехода:
'21(Ф1) = -
Moi =
с1ф1
cos(91) - sin^) 0 sin^) cos(91) 0 0 0 1
(2)
Рис. 3. Геометрические параметры и положение систем координат математической модели зацепления шестерни и цевочного колеса
1 0 0
М13 = 0 1 R
0 0 1
М оз =
cos(9j) - sin(91) -R sin(91) sin(91) cos(91) R cos(91) 0 0 1
M02 =
cos(92) - sin(92) 0
sin(9 2) cos(9 2) - Aw 0 0 1
1 0 0
М24 = 0 1 R
0 0 1
M03 =
cos(92) - sin(92) -R sin(92) sin(9 2) cos^) R cos^) - A 0 0 1
(3)
(4)
го (9) колес, а также при матричных переходах между промежуточными системами координат.
R3
R4
р- cos(01) cos(01)
р- sin(01) , E3 = sin(01) ; (8)
1 0
р- cos(02) cos(02)
р- sin(02) ; еЦ = sin(02) , (9)
1 0
(5)
(6)
(7)
где Из - радиус-вектор точки контакта относительно зуба в системе координат £3;
ЕЗ - орт нормали в точке контакта относительно зуба;
R 4
радиус-вектор точки контакта относи-
Здесь Я соответствует В/2;
ф2 - угол поворота ведомого колеса. Геометрия профилей учитывается при определении радиус-векторов (Я) и ортов нормалей (Е) относительно ведущего (8) и ведомо-
тельно цевки в системе координат $4;
-174
Ец - орт нормали относительно цевки;
®1, ®2 - углы положения точки контакта на окружности зуба и цевки соответственно.
Таким образом, была составлена система уравнений проекций радиус-векторов положения точки контакта и проекций ортов нормалей профилей в этой точке (10). Решением этой системы уравнений является функция положения ф2(ф1):
а к
а
х
е
ф
о см
■ч-
О!
<
I
о та
0 ^
СО та
1
о.
<и
3
и <и со
см ■ч-ю
с?
см ■ч-ю см
(П (П
р cos(ф1 + 01) - Я sin(ф1) =
= рcos(ф2 +62)- Яsm(ф2); р sin(ф1 + 01) + Я cos(ф1) =
= рsin(ф2 +62) - А + Яcos(ф2); cos(ф1 + 61) = -(ф 2 + 62).
(10)
Математическая модель представляет собой систему тригонометрических уравнений и позволяет рассчитывать значения кинематических параметров зацепления, таких как функция ошибки положения, функция ошибки передаточного отношения и коэффициент торцевого перекрытия. С помощью этих критериев можно оценить циклическую погрешность передачи, а также характер и величины ударов при пересопряжении [8].
По итогам моделирования зацепления и анализа функций ошибки положения и ошибки передаточного отношения можно заключить, что большим преимуществом обладает контакт острого зуба формы В с цевкой. На протяжении всего времени зацепления одной пары функция передаточного отношения не имеет скачков.
Жф,), рад_
-4 ■ 10 -6 • 10
ФР рад
Рис. 4. Функции ошибки положения А(ф1) (а) и передаточного отношения В(ф1) (б) при пересопряжении трех пар зубьев
Функции положения и передаточного отношения дифференцируемы и непрерывны на всем протяжении диапазона шага в отличие от тех же функций для форм Ли С.
На рис. 4 видим, что для функции ошибки положения А(ф1) выполняется требование непрерывности. Момент пересопряжения соседних пар зубьев представлен скачком передаточного отношения. Такие скачки функции являются индикаторами жестких ударов. Однако отметим, что в процессе сопряжения одной пары зубьев нет ни жестких, ни мягких ударов. А коэффициент перекрытия за время поворота на угловой шаг 8 = 1. Амплитуда функции А(ф1) составляет Душах = 0,006 рад (рис. 4).
Ввиду полученных характеристик, описанных выше, данная передача не может обеспечивать должный уровень точности и плавности движения. При этом кромочный контакт в процессе зацепления одной пары зубьев отсутствует. Скачки передаточного отношения наблюдаются только при пересопряжении.
Для кардинального улучшения характеристик зацепления необходимо изменить подход к модернизации элементов передачи. В связи с этим предлагаем новую компоновку описанных выше зубчатых колес. Многорядное зубчатое колесо Для улучшения характеристик передачи исследуем новую компоновку - многорядные зубчатые колеса. Элементарную передачу плоского зубчатого колеса и цевочного колеса, описанную выше, расположим в п рядов, сместив каждый последующий ряд на угол
у = т/п,
где т - угловой шаг колеса; т = 2л/г;
п - количество рядов.
В результате получим многорядную (псев-докосозубую) передачу, в которой полностью отсутствуют осевые составляющие нагрузки при передаче движения (рис. 5). Новизна этой компоновки заключается в возможности уйти от изготовления сложной винтовой поверхности зубьев, при определенных допущениях по точности и скорости работы передачи.
Для данного исполнения зубчатого и цевочного колеса было принято количество ря-
дов п = 6, при этом смещение рядов равное. Из этого следует, что угол у = 5°. Параметры данной конфигурации являются первичными для данного исследования. Определим функции ошибки положения и передаточного отношения (рис. 6).
£(9,), рад
-4 • 10
,-4
-1,2 • 10' -2,0 ■ 10" -2,8 • 10 -3,6 ■ 10" -4,4 • 10 -5,2 • 10" -6,0 • 10
,-3
-3
-3
/ - / 1 Л \ / /\ ' \ \ \ \ \ \ \
/ / ¥ \ \ \ \ \
1 / 1 1 1 Л 1 ; 1 1 \ 1 1 \ 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 11 Ii 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 \1 1 | 1 1 1
2,81
3,03
3,25 а
3,47
<РР рад
Д(Фх), рад
0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0
-0,02 -0,04
1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 111 111
1 1 1 1 1 1 1 1 1 I I 1 1 1 I 111 111
1 I 1 1 1 1 1 1 1 111
\ 1 \ \ 1 \ 1 \ 1 1 1 1 1 1 111 111
\ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 1 1 1 11 11 11 1
\ \ \ \ \ \ \ 1 | | 11 11 11 1 11 1
\ \ \ \ \ \ \ \ 1 1 I I 11 11 1 11 1
к
\ \ \ 1 \! ! 1 1 ч К! Г"Т"1 К! !
\ \ \ \ \ \ ^ 1 1 \ I\I i i i
2,81
3,03
3,25 б
3,47
ч>1, рад
Рис. 6. Функции ошибки положения С(ф^ (а) и передаточного отношения -0(ф1) (б) для зацепления многорядных зубчатых колес
На рис. 6 видно, что за счет перехода зацепления на последующие ряды (слои) зубчатого колеса удается уменьшить амплитуду функции ошибки положения С(ф1) и, как следствие, повысить точность и плавность передачи движения.
Из графика С(ф1) (см. рис. 6) видим, что амплитуда функции Аутах ~ 3 10-4 рад. Следовательно /гг00 = 12,4 мкм. Такое значение немногим менее шестой степени точности по показателю плавности по ГОСТ 1643-81 для аналогичных параметров эвольвентных цилиндрических зубчатых колес [13]. Очевидно, что при увеличении количества рядов многорядной передачи будет уменьшаться значение амплитуды функции ошибки передаточного отношения.
Рассмотрим график функции ошибки передаточного отношения для многорядной передачи .0(ф1) (см. рис. 6). Здесь видны характерные скачки функции при пересопряжении. Однако, в отличие от однорядного зацепления, угол, при котором контактирует одна пара, равен у. За счет этого уменьшилось абсолютное значение перепада: от 0,24 при однорядном зацеплении до 0,02 при многорядном (с 6 рядами). Можно ожидать, что также уменьшатся шумы при эксплуатации и износ зубчатых колес. Учитывая, что теоретическое передаточное значение для исследуемых зубчатых колес - единица, получаем, что ошибка функции передаточного отношения варьируется в пределах 2 %.
Отдельно было проведено моделирование при передаточных отношениях /н21 = 2,5 и
а к
а
X
е
Рис. 7. Интерфейс программной среды SolidWorks при динамическом моделировании
многорядного зацепления:
- зона контакта
о см
Ol
<
I
to та
0 ü CÛ та
1 О.
<D
â
о
<D CQ
CM ■clin
с?
CM ■clin
CM
(П (П
iH2i = 3,17, где размерности и характеры функций приблизительно схожи, и ошибка передаточного отношения варьируется около 2 %.
На основе проведенных расчетов для многорядной зубчатой передачи были построены 3D-модели однослойных зубчатых колес и многорядных зубчатых колес. Моделирование проводилось в среде автоматизированного проектирования SolidWorks. На базе этой программы также было проведено физическое моделирование холостого хода передачи с помощью программных пакетов Motion и Simulation (рис. 7). Основное внимание уделялось кинематическим параметрам. Моделирование многорядного зубчатого зацепления согласуется с полученными графиками.
Создан макет многорядного зацепления. В ходе поиска технологии для воспроизведения макета предварительно был рассмотрен вариант изготовления зубчатых колес из конструкционной стали 3 методом лазерной резки (рис. 8). Однако менее затратным и простым в вопросе постобработки стало изготовление макета с помощью методов аддитивных технологий.
Все элементы макета были напечатаны на 3D-принтере FDM технологии (Fused Deposition Modeling) ABS пластиком (акрило-нитрилбутадиенстирол). Данный материал был
выбран главным образом по причине его высоких механических свойств (по сравнению с пластиками, доступными для бытовой печати), и легкости механической обработки (рис. 9).
В силу физических свойств пластиков, таких как усадка и старение, а также невысокой точности бытовых 3D-принтеров данный
Рис. 8. Пример изготовления зубчатого колеса методом лазерной резки
Рис. 9. Макет многорядного зацепления
макет предназначен только для ознакомления. С его помощью можно оценить форму зубчатых колес, реализацию движения, визуализацию зацепления и особенностей работы передачи. Для испытаний кинематических и динамических характеристик планируется создание макета с использованием таких материалов, как стали и сплавы алюминия, с помощью высокопроизводительных средств механической обработки. Заключение
На данном этапе исследования проведен анализ кинематики несопряженных зубчатых колес, определены характеристики. На основании плоского зацепления предложена новая модель многорядного зацепления для улучшения кинематических характеристик. Проведены кинематический анализ и 3D-модели-рование многорядной передачи, изготовлен макет многорядного колеса.
Передачи с простыми кинематическими парами, где взаимодействие происходит между поверхностями первого и второго порядка, как показано в данной статье, могут быть использованы и сегодня. Основное применение таких передач в машинах, где главным качеством будет возможность восстановления передачи, не требующее использования зубонарезающих станков и приспособлений. Кроме того, такие передачи могут быть использованы для экспериментальных установок, поскольку при этом возможно оперативно изменить параметры при незначительных временных затратах на проектирование и изготовление.
Дальнейшие исследования темы приближенных многорядных передач с простейшими формами зубьев ориентированы на вопросы динамики, конструктивные и технологические вопросы изготовления, расчеты механических параметров зубчатых колес и оптимизацию характеристик таких передач. Список литературы
1. Дильс Г. А. Античная техника. М.-Л.: ОНТИ -Гос. техн.-теор. изд-во, 1934. 215 с.
2. Пипуныров В. Н. История часов с древнейших времен до наших дней. М.: Наука, 1982. 496 с.
3. Бабичев Д. Т., Волков А. Э. История развития зубчатых передач // Вестник научно-технического развития, 2015. № 5. 42 с.
4. Тимофеев Б. П., Уланов А. А. Кинематика зубчатых передач традиционного вида // Теория механизмов и машин. 2013. № 2 (22).
5. Шевелева Г. И. Теория формообразования и контакта движущихся тел. М.: Мосстанкин, 1999. 494 с.
6. Тимофеев Б. П., ШалобаевЕ. В. Состояние и перспективы нормирования точности зубчатых колес и передач // Вестник машиностроения. 1990. № 12. С. 34-36.
7. Тимофеев Б. П., Пономаренко М. Ю., Кова-левич А. В. Приближенные зубчатые передачи с кусочно-линейным контактом // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2018. Т. 61. № 2. С. 135-140.
8. Литвин Ф. Л. Теория зубчатых зацеплений. М.: Наука, 1968. 584 с.
9. Шевелева Г. И. Теория формообразования и контакта движущихся тел. М.: Мосстанкин, 1999. 494 с.
10. Интерактивная справка Creo Paramet-ric5.0.4.0. URL: http://support.ptc.com/help/creo/ creo_pma/russian/index.html (дата обращения: 20.02.2020).
11. Куликов Д. Д. САПР технологических процессов. Ч. 1. М.: СПбГУ ИТМО, кафедра технологии приборостроения. URL: https:// de.ifmo.ru/bk_netra/start.php?bn=4 (дата обращения: 20.02.2020).
12. ГавриловП. Я., Брезгин В. И. Объединение расчетной и проектирующей подсистемы при проектировании оборудования паротурбинных установок // Труды 3-й науч.-техн. конф. молодых ученых Уральского энергетического института. 2018 г. С. 143-145.
13. ГОСТ 1643-81. Основные нормы взаимозаменяемости. Передачи зубчатые цилиндрические. Допуски. М.: ИПК Издательство стандартов, 1981. 45 с.
Поступила 06.11.19
ф
Тимофеев Борис Павлович - доктор технических наук, профессор, профессор факультета систем управления и робототехники университета ИТМО, г. Санкт-Петербург. Область научных интересов: механика.
Ковалевич Александр Валерьевич - инженер-конструктор 1-й категории Акционерного общества «Конструкторское бюро специального машиностроения», аспирант Университета ИТМО, г. Санкт-Петербург. Область научных интересов: механика.
Mathematical modeling of noninvolute gearing
The paper focuses on non-mating gears with linear contact, their teeth being a combination of planes and cylinders or only cylinders. To optimize the kinematic characteristics, it is proposed to use a new layout - multi-row gearing. Keywords: gears, non-mating gears, multi-row gear wheel, multi-drive gear wheel, gearing rate error, gear ratio error, simple form teeth.
Timofeev Boris Pavlovich - Doctor of Engineering Sciences, Professor, Faculty of Control Systems and Robotics, ITMO University, Saint Petersburg. Science research interests: mechanics.
Kovalevich Aleksandr Valerievich - Design Engineer of the first category, Design Bureau of Special Engineering, Joint Stock Company, post-graduate, ITMO University, Saint Petersburg. Science research interests: mechanics.
о
CM
Ol
<
I
о та
0 ^
CO та
1 Q.
<D
£
U <D CO
