Анализ статической точности систем координированного управления Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 62.50

УПРАВЛЕНИЕ В СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Ю. С. КАБАЛЬНОВ|, И. В. КУЗНЕЦОВ, Е. А. СМИРНОВА

АНАЛИЗ СТАТИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ СИСТЕМ КООРДИНИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

Предложена векторно-матричная модель линейных систем координированного управления. Получены выражения для расчета установившихся эквивалентных ошибок управления и установившихся значений ошибок координации, формула, выражающая зависимость и установившихся значений ошибок координации от установившихся эквивалентных ошибок управления. Координация; управление сложными объектами; анализ статической точности

Системы координированного управления позволяют обеспечивать функциональные соотношения между выходными координатами локальных подсистем. Это позволяет поддерживать оптимальное функционирование подсистем в смысле заданных показателей эффективности, например, на динамических режимах работы, вызванных действием достаточно больших по величине неконтролируемых возмущений, когда возможность их учета на уровне локальных подсистем оказывается исчерпанной и т. д. Примерами координированного управления могут служить: система управления многодвигательными установками летательных аппаратов, концентрация веществ в химическом производстве.

При проектировании и исследовании систем координированного управления встает вопрос исследования точности обработки задающих воздействий в установившихся режимах работы, поскольку координация может быть достигнута, но с некоторой степенью точности. Важно оценить значение ошибок управления и ошибок координации в установившемся режиме; важно знать, как эти ошибки влияют друг на друга, как, уменьшая значение одной из них, поддержать требуемое качество другой.

1. ВЕКТОРНО-МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ КООРДИНИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ

Пусть имеются п устойчивых однотипных локальных систем, каждая из которых представляет последовательное соединение регулятора, объекта управления при действии возмущающего воздействия, которые охвачены отрицательной обратной связью. Локальные сис-

темы образуют некоторую технологическую систему, которая поддерживает следующие линейные зависимости между выходными координатами:

Уі = Ь12У2 + Ь13Уз + ... + Ь1,п-1 Уп-1 + КУп, У2 = Ь21 Уі + Ь23Уз + ... + Ь2,п-1 Уп-1 + Ь2пУп,

(1)

Уп = Ьп1 У1 + Ъп2 У2 + Ьп3 Уз + ... + Ьп,п-1 Уп-1.

Рассмотрим наиболее простой случай координации двух устойчивых однотипных подсистем, которая поддерживает следующие линейные зависимости между выходными координатами:

У1(*) = Ь1 У2({), Уі(() = 1/ *1У 2(0.

(2)

Структурная схема системы координации (2) представлена на рис. 1.

*2(0

Рис. 1. Структурная схема рассматриваемой 2-канальной СКУ

Здесь р = Ж / Ж - оператор дифференцирования,

у0(О, у0(О, У1(0, У2(0, 51(0, 52(0, *1(0, ВД, е1(^), е2(^), м1(^), щ^) - соответственно задающих воздействий, выходные координаты, ошибки координации, возмущающие воздействия, Л0(р) - передаточная функция регулятора,

Контактная информация: (347) 273-78-76

Н0(р) - передаточная функция, описывающая объект управления (Н0(р), полагается устойчивой и минимально-фазовой), К - коэффициент усиления контура координации. При введении контура координирующего управления в обратной связи введены коэффициенты - Ъ1 и -1 / Ъ1 соответственно при К52(?), входящей в первую подсистему, и при К51(^), входящей во вторую подсистему. Это обусловлено необходимостью сохранения однотипности сепаратных каналов. Эти коэффициенты определяются как единица, разделенная на коэффициент при выходной координате соответствующего канала в записи ошибки координации 5г(^). е1(^), е2(0 - эквивалентные ошибки управления,

включающие в свой состав собственные ошибки управления и ошибки координации, т. е.

£(0 = у 0 (0 - у() - 0у(О = у 0 (') - (I + 0) У(*).

В матричном виде структурная схема СКУ (рис. 1) представлена на рис. 2.

Уо(*)

и(і)________^(0.

Р(р)^[Н(р)

У(і)

к

Рис. 2. Векторно-матричная структурная схема рассматриваемой СКУ

Здесь у(і) =

Уі(^) У2(0

и у о(*) =

у0 ^) У°(' )

векторы

управляемых коо вий; Щр)=

Н о( р) 0

о

Н о( Р) т

управления, є(ґ) =

здинат и задающих воздейст-

Ко(Р) о ] Н (р) =

о *о( Р)], Н (Р) =

передаточные матричные

вектор эквивалент-

функции соответственно регулятора и объекта " ^)"

_£ 2^)_

ных ошибок управления; вектор ошибок координации:

У1 (^) - *1 у 2^)

_ У2 (^) -1/Ъ1 уА( )_

преобразующие матрицы:

5(ґ ) =

О =

1

-1/Ь1

ь =

1

-1/Ь1

Л

1

вида (1), структурную схему также можно представить в виде матричной структурной схемы, изображенной на рис. 2, где векторы управляемых координат, задающих воздействий и эквивалентных ошибок управления имеют вид соответственно:

у({) = [у (0]ЙХ1, у0 ^) = [у° ^)17Х1, е(0 = [ег ^)]„Х1,

Я(р) = «^(ДоСр)}^, Н(р) = &іщ[Н()(р)}пхп -передаточные матричные функции соответственно регулятора и объекта управления, вектор ошибок координации:

' У1 - Ь12 У 2 - Ь13 Уз - ... - Ь1,п-1 Уп-1 - Ь1пУп ,

- Ь21У1 + У 2 - Ь23 Уз - ... - Ь2,п-1 Уп-1 - Ь2 пУп,

) =

, ■ Ьп1 у1 - Ъп 2у2 - ъпъуз -...- Ъп п-1 уп-1 + уп;

X и С - преобразующие матрицы размерности п х п; С составляется по правилу: gij - коэффициент перед Уj соответствующего значения ошибки координации 5г(0:

1 Ь12 Ь13 . . Ь1,п-1 - Ь

- Ь21 1 - Ь23 . . - Ь2,п-1 - Ь

-Ьп1 - Ьп2 -.^п3 . . - Ьп , п -1 1

О =

ь составляется по правилу:

т. е.

. (3)

Ь =

л = 1 1/ ёл,, если ёр * о,

" 1 0, если ё = о;

1 - 1/Ь21 ... -1/ Ь„1

- 1/Ь12 1 ... - 1/Ьп2

- 1/Ь13 ГО 2 /Ь 1 ... - 1/Ьп3

- 1/\л_ 1 1/ Ь2,п-1 7 ,п . ,п ../Ь 1

- 1/Ь1п - 1/Ь2п ... 1

. (4)

Введем в рассмотрение матрицу 0, определяемую формулой:

0 = ЬКО. (5)

Таким образом, структурная схема СКУ (рис. 2) примет вид (рис. з).

В структурной схеме, представленной на рис. 3, объединим две обратные связи в одну (рис. 4, 5).

К(Р)

Л

п

В случае координации п устойчивых подсистем, которая обеспечивает поддержание зависимостей между выходными координатами

Рис. 3. Векторно-матричная структурная схема рассматриваемой п-канальной СКУ, после введенного обозначения 9

После проведенных тождественных преобразований структурная схема рассматриваемой СКУ (1) представлена на рис. 5.

-0

e(t) = Ф є У (t)

(9)

Рис. 4. Векторно-матричная структурная схема рассматриваемой n-канальной ЖУ

У0^ )

I +о

цШ

F (t)

УІЇк

Рис. 5. Векторно-матричная схема рассматриваемой п-канальной СКУ

Требуется определить выражение для определения установившихся значений эквивалентных ошибок управления и выражение зависимости установившихся ошибок координации от установившихся эквивалентных ошибок управления. Данные выражения позволят оценить влияние на статическую точность СКУ как имеющихся связей между ее каналами, так и вида задающих воздействий по различным каналам; оценить, как, изменяя значение одной из ошибок, поддержать требуемое качество другой.

2. АССИМТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ОШИБОК УПРАВЛЕНИЯ

Рассмотрим устойчивую линейную замкнутую СКУ, изображенную на рис. 5. Она описывается следующим векторно-матричным уравнением:

—0

[d(P)I]У^) = A(р)у (t):

(б)

характеристиче-

где й(р) = йо + й1р + ... ский полином СКУ; I - единичная матрица размерности п х п; А(р) = || Лу || п х п - полиномиальная матрица.

Из рис. 5

У(0 = [1 + 0]-1[Уо(О-І(г>]. (7)

Подставив (7) в (6), получим векторноматричное уравнение СКУ относительно вектора эквивалентных ошибок управления е(р) :

[й(р)I]е(ґ) = [й(р)І - [I + 0]А(р)]У0 (ґ). (8)

Из (8) получим:

где Фє = I

1

d (P)

[I + о] A( р) - матричный опе-

ратор системы по эквивалентной ошибке управления.

Следуя рассуждениям, рассмотренным в [1] для многосвязных систем автоматического управления общего вида, аналогично представим вектор установившихся эквивалентных ошибок управления СКУ в виде:

eуст(t) = [Со + pCi + ... + pqCq + ...]У0(t) , (10)

где C0, Cb..., Cq, С0,С1,...,Cq,... - матрицы коэффициентов эквивалентных ошибок управления размерности n X n. Для вычисления С0,С1,...,Cq,... будем рассматривать вектор

e уст (t) как частное решение дифференциального уравнения (8) при t ® ¥ .

Представим

A(p) = A0 + pAi +... + pmAm, (11)

где A0, Ab..., Am - матрицы постоянных коэффициентов.

Учитывая (10) и (11), уравнение (8) примет вид:

[d (p) I ] [С0 + pC1 +... + pqCq + ...]y °(t) =

= [d (p) I - [I + 0][ A0 + pA1 +... + pmAm ]]y °(t)

или

[d 0 + d1p + ... + dmpm ]X

X[C0 + pC1 + ... + p<1Cq + ...] = (12)

= [d 01 + d1pI + - + dmpmi] - [I + 0]A0 -

- [ I + 0] pA -... - [I + 0] pmAm

Положим для определенности, что максимальный порядок отличной от нуля производной по времени y (t) равен ц (в частности, это справедливо для случая, когда элементы y0 (t) - полиномиальные функции времени), т. е.

у0(t) = у0 + y0t2 +... + y°tm. (13)

Приравнивая матрицы при одинаковых степенях p в левой и правой частях уравнения (12), и с учетом m - ц < 0 (при m - ц = к > 0 в системе следует оставить m - r + 1 первых неравенств), получаем следующие формулы для определения матрицы коэффициентов эквивалентных ошибок управления:

Co = I-—[I + 0]Ao,

do

Cl = —[d1I - [I + 0]Al] - C,

d

d

1

Cm =~T [dmI - [I + 0]Am ] -

do

d1n dm n

- , Cm-1 -...- , C0,

do do

C =-d1 C — - dm C

'm+1 ”” - ’ m • •• - '—'1 і

(14)

d

d

й й

С = 1 С - т с

ст _ , Ст-1 ... , ст-т.

й о й о

Из выражения (1о) следует, что Сд характеризует величину составляющей £д уст (ґ) вектора установившихся эквивалентных ошибок управления е уст (ґ), пропорциональной д-й

„ „ -о,ч

производной задающего воздействия У (ґ).

Элемент еЧ:у матрицы Сд характеризует состав-

ляющую установившейся эквивалентной ошибки управления е, уст і-го канала СКУ, пропорциональную у-й производной задающего воздействия У у (ґ) у-го канала.

Тогда, учитывая (1о) и (13), составляющая Єу(ґ) установившейся эквивалентной ошибки управления і-го канала, вызванная задающим

воздействием Уо (ґ) у-го канала, определяется

как:

є

ij уст (t) С0,уУ J (t) +

+ сімУ 0 (1)(t) +... + стмУ 0 (^)(t).

(1З)

Элементы е,л уст(ґ) образуют матрицу уста-

б уст (t) = Gy уст (t).

(17)

Из рис. З

у уст (0 = (1 + 0) 1[у 0уст (Л)-£ уст (0]. (18)

Подставив (18) в (17), получаем формулу, выражающую зависимость установившихся ошибок координации от установившихся эквивалентных ошибок управления и задающего воздействия:

5 уст (0 = с (I+0) -1[у0уСт (0 -£уст (0] . (19)

Тогда, учитывая (19), составляющая 5у(Л) установившейся ошибки координации ,-го канала, вызванная задающим воздействием у Ц (Л) ц-го канала, определяется как:

giJ[У уст (t) єіі уст (t)]

diJ уст (t) = “ ■

■'ц уст'

(2o)

(1у + 0у )

где 8у уст(Л) определяется формулой (15).

Элементы 5ц уст(0 образуют матрицу установившихся ошибок координации Луст(0 = = II 5у-(Г)||пхп, являющейся достаточно информативной характеристикой установившихся режимов работы СКУ. Полная установившаяся ошибка 5, уст(Л) ,-го канала равна сумме элементов ,-й строки Луст(Л):

бІ уст (t) = Е dij

уст

(t).

j=1

і уст'

(21)

Формулы (10), (14-16) и (19-21) позволяют достаточно просто оценивать влияние на статическую точность канала СКУ как задающего воздействия данного канала, так и задающих воздействий других каналов (вследствие существующих между ними связей, определяемых

новившихся эквивалентных ошибок управле- коэффициентами с0,у, с^, ния £уст(0 = || 8д уст(0 ||пхп, являющейся достаточно информативной характеристикой установившихся режимов работы СКУ. Полная установившаяся эквивалентная ошибка г, уст(0 ,-го канала равна сумме элементов ,-й строки Еуст(Л):

п

т (Л). (16)

, i Ф j).

є

І уст (t) Е єу уст'

J=1

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ ОШИБКАМИ УПРАВЛЕНИЯ И ОШИБКАМИ КООРДИНАЦИИ

Найдем теперь выражение зависимости установившихся ошибок координации от установившихся эквивалентных ошибок управления,

т. е. зависимость 5 уст (0 от £ уст (Л). Из рис. 2:

4. ПРИМЕР

Пусть дана двухмерная (п = 2) устойчивая линейная однотипная СКУ, поддерживающая следующие зависимости между переменными регулирования:

У1 (ґ) = 2 У2 (ґ),

У2(ґ) = 1/2 У2(ґ),

структурная схема которой изображена на рис. 2, где передаточная функция регулятора

Яо (р) = —, передаточная функция объекта

управления H0 (р) = -

з

—, коэффици-

р 2 +10 р + зі

ент усиления контура координации K = const.

o

Для вычислений (перемножения матриц, упрощения выражений и т. д.) удобно использовать математические пакеты, например, MathCad.

По (3) G = по (5) 0 =

1

-1/2

2K -- K

-2

1

- 4K' 2K

по (4) L =

1

-1/2

-2

1

Передаточная матричная функция данной СКУ вычисляется по формуле:

Ф(р) = [I + Н (р)Я(р)[1 + 0]]-1 Н (р)Я(р),

откуда находим, что характеристический полином СКУ равен:

ё (р) = р6 + 20 р5 +162 р 4 +

+ (12К + 626) р3 + (120К +1021) р 2 +

+ (372К +186) р + (9 + 36К),

полиномиальная матрица:

A =

3 p3 + 30 p 2 + 93 p + 9 + 18K 9K

36K

3 p3 + 30 p 2 + 93 p + 9 + 18K

Рассмотрим случай, когда задающие воздействия:

{ у0(л) = у°0 1[Л ]

[у2(Л) = у2,0 -1[Л].

В рассматриваемом случае максимальный порядок отличной от нуля производной по времени у (Л) равен ц = 0. В рассматриваемом случае статическая точность системы определяется согласно формулам (14) только матрицей С0:

С0 =

0 0 0 0

Поскольку с0, у = 0, это свидетельствует об отсутствии взаимного влияния каналов на их статическую точность. Теперь рассмотрим случай, когда задающие воздействия:

(y0(t) = (У00 + У101 • t) -1[t ],

Iy2 (t) = (y2,0 + y2,1 •t) 1[t].

(23)

В этом случае максимальный порядок отличной

от нуля производной по времени у (Л) равен

ц = 1, тогда по (14) получаем следующие матрицы коэффициентов эквивалентных ошибок управления:

С0 =

0 0

0 0

С =

31(1 + 2K) 124K

3(1 + 4K) 3(1 + 4K)

31K 31(1 + 2K)

3(1 + 4K) 3(1 + 4K)

Выберем коэффициент усиления контура координации К = 1. В этом случае:

6,2 8,2(6)

С0 =

С =

2,0(6) 6,2

(24)

Из (15) и (24) следует, что величина установившийся эквивалентной ошибки управления в первом и втором каналах системы при задающих воздействиях (23) вычисляется по формуле:

^1 уст (t) = 6,2 У101 + 8,2(6) у2,1,

^2 уст (t) = 2,0(6)У101 + 6,2у2,1.

(25)

По (19-21) можно найти значение установившейся ошибки координации, которая зависит от установившейся эквивалентной ошибки управления и задающего воздействия.

51 уст(Л)=4К^+Г[ у0 (Л) -£1 уст(Л)] -2

4 K +1

d2 уст (t) 1

[У2 (t)■

e

2 уст

(t)],

1

8K + 2

[ y0(t)-

-'1 уст

(t)]+

+

[ У0 (t )■

e

2 уст

(t)].

4K +1

В подтверждении достоверности полученных выше соотношений смоделируем рассматриваемую систему (например, в математическом пакете имитационного моделирования MatLab). Сравним полученные по вышеуказанным формулам установившиеся значения ошибок со значениями этих же ошибок полученных при моделировании. В качестве задающего воздействия возьмем:

{y0(t) = (1 + 1^ t) ^1[t ],

[ y 2 (t) = (0,5 + 0,5 • t) ^1[t].

Будем считать t = 100 c - временем установившегося режима. По (25)

e1 уст (t) = 6,2 • 1 + 8,2(6) • 0,5 = 10, (3), e2 уст (t) = 2,0(6) • 1 + 6,2 • 0,5 = 5,1(6),

по (19-21):

”101 -10,(3)

50,5 - 5,1(6)

101 -10,(3)

50,5 - 5,1(6)

(t) = [0,2 - 0,4]

2ycT(t) = [- 0,11 0,2]

= 1,989 10-

= -9,947 10-1

Рассмотрим теперь данные, полученные при моделировании. В Ма^аЬ была построена модель рассматриваемого примера (рис. 6). При моделирование единичные ступенчатые возмущения прикладывались к первой подсистеме в момент времени Л = 6 с, ко второй - Л = 3 с.

Рис. 6. Модель СКУ с установившимися значениями (при / = 100 с)

Значения ошибок, полученные при моделировании (рис. 6):

е1 уст ^) = 10,3328241228 41, е2 уст (*) = 5,1664120614 208;

-13.

51 уст (г) = 1,1368683772 162 • 10

52 уст (г) = -5,6843418860 808 10

-14

Как видим, отличия значений установившихся ошибок, посчитанных по формулам и полученных при моделировании имеют низкий порядок (ими можно пренебречь), это обусловлено тем, что при вычислении коэффициенты матрицы С1 были округлены.

ВЫВОДЫ

1. Предложена удобная для исследования векторно-матричная модель линейных систем координированного управления.

2. Получены выражения для расчета установившихся эквивалентных ошибок СКУ и установившихся ошибок координации. Получена формула, выражающая зависимость установившихся ошибок координации от установившихся эквивалентных ошибок управления. Данные формулы позволяют оценить влияние на статическую точность СКУ как имеющихся связей между ее каналами, так и вида задающих воздействий по различным каналам; оценить как, изменяя значение одной из ошибок, поддержать требуемое качество другой.

3. Приведены примеры, иллюстрирующие применение вышеуказанных формул для определения значений установившихся эквивалентных ошибок управления и ошибок координации.

2. Бесекерский В. А., Попов Е. П Теория систем автоматического регулирования. М .: Наука, 1972. 768 с.

3. Кабальнов Ю. С., Кузнецов И. В. Анализ статической точности линейных многосвязных систем автоматического управления // Приборостроение. 1995. Т. 38, № 11-12. С. 23-25.

4. Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и технической кибернетики. М : Гос-энергоиздат, 1962. 600 с.

5. Насибуллин Ф. Г. Координированное управление сложным технологическим процессом (на примере нефтеобрабатывающего производства): Дис... .канд. техн. наук. Уфа, 2000.

ОБ АВТОРАХ

Кабальнов Юрий Степанович,

проф., зав. каф. информ. Дипл. инж. электронной техники

(УАИ, 1971). Д-р техн. наук по управлению в технических системах (УГАТУ, 1993). Иссл. в обл. адаптивного и интеллектуального управления сложными объектами

Кузнецов Игорь Василиевич,

доц. каф. телекоммуникац. систем. Дипл. инж. по инф.-измерит. системам. Канд. техн. наук по системам обработки ин-форм. и управления (УГАТУ, 1999). Иссл. в обл. теории передачи, обработки сигналов и управления.

Смирнова Елена Александровна, асс., асп. той же каф. Дипл. преп. по математике и информатике (БГПУ, 2005). Готовит дис. по координированному упр-ю сложн. динамич. системами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баранчук Е. И. Взаимосвязные и многоконтурные регулируемые системы. Л.: Энергия, 1973. 267 с.