CC BY
13АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПЕДАГОГИКИ
йй! 10.24412/2541-9056-2023-328-49-60 УДК 371: 51 (470)
АНАЛИЗ СОДЕРЖАНИЯ ПРОГРАММЫ ОБЩЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ 1970-х гг.
М.В. Богуславский, Е.Ю. Садовников Статья поступила в редакцию 10 июня 2023 г.
В данной статье анализируется содержание учебной программы по математике основной школы 1970-х. Рассматриваются основные понятия в курсе «математика»; «алгебра» и «геометрия», вводимые теоретико-множественным подходом. Выделяются основные нововведения в каждом курсе математики, принятые реформой основного общего математического образования 1970-х гг. Актуальность данной статьи обуславливается современными тенденциями в области модернизации российского образования. Школьное образование в России последовательно развивается, обновляя свои стандарты и содержание. Так, принятая концепция развития математического образования в Российской Федерации в соответствии с распоряжением Правительства РФ от 24.12.2013 N 2506-р (ред. от 08.10.2020) формулирует в качестве своего основного направления совершенствование содержания математического образования в основной и средней школе. В 1970-х гг. в России произошли крупные изменения в содержании школьной математики, модернизирующие систему образования. Исследование данного исторического явления позволит выделить основные аспекты, влияющие на успешность реализации реформирования математики в основной и средней школе. Объектом исследования является общее математическое образование в СССР в период 1970-х гг. Предметом исследования выступает процесс реформирования общего математического образования в отечественной педагогике данного периода. В соответствии с этим в статье используется комплекс методологических подходов: историко-аналитический; историко-контекстный; проблемно-хронологический; парадигмальный. Научная новизна исследования обуславливается проведенным сравнительно-сопоставительным системно-структурным анализом содержания основного математического образования рассматриваемого периода, а также выделением и обобщением основных результатов данного реформирования. Результатом данного исследования является характеристика изменений в содержании школьной математики, произведенных рассматриваемой реформой, а также выделение основных причин, повлиявших на ее результативность.
Ключевые слова: реформа образования, теоретико-множественный подход, А.Н. Колмогоров, история педагогики и образования, школьная программа по математике.
ANALYSIS OF THE CONTENT OF THE GENERAL MATHEMATICAL EDUCATION PROGRAM OF THE 1970 s.
M.V. Boguslavskiy, E.Yu. Sadovnikov
This article analyzes the content of the curriculum in mathematics of the basic school of the 1970s. The basic concepts in the course "mathematics", "algebra" and "geometry" introduced by the set-theoretic approach are considered. The main innovations in each course of mathematics adopted by the reform of the basic general mathematical education of the 1970s are highlighted. The relevance of this article is determined by modern trends in the modernization of Russian education. School education in Russia is consistently developing, updating its standards and content. Thus, the adopted concept of the development of mathematical education in the Russian Federation in accordance with the decree of the Government of the Russian Federation dated 24.12.2013 N 2506-r (ed. from 08.10.2020) formulates as its main direction the improvement of the content of mathematical education in primary and secondary schools. In the 1970s, major changes in the content of school mathematics took place in Russia, modernizing the education system. The study of this historical phenomenon will highlight the main aspects that affect the success of the reform of mathematics in primary and secondary schools. The object of the study is general mathematical education in the USSR during the 1970s. The subject of the study is the process of reforming general mathematical education in the domestic pedagogy of this period. In accordance with this, the article uses a set of methodological approaches: historical-analytical; historical-contextual; problem-chronological; paradigmatic. The scientific novelty of the study is determined by the comparative system-structural analysis of the content of the basic mathematical education of the period under consideration, as well as the allocation and generalization of the main results of this reform. The result of this study is the characteristic of changes in the content of school mathematics produced by the reform under consideration, as well as the identification of the main reasons that influenced its effectiveness.
Key words: education reform, set-theoretic approach, A.N. Kolmogorov, history of pedagogy and education, school curriculum in mathematics.
Образование, как и общество, является динамической и развивающейся системой. С развитием общества появляются определенные требования, предъявляемые его субъектам. Для удовлетворения запросов общества происходит постепенное развитие образования.
В СССР во второй половине ХХ века происходили крупные изменения в области образования. Так, во второй половине 1960-х гг. состоялась одна из крупнейших реформ в сфере содержания общего образования, что, в част-
ности, преобразовало систему общего математического образования. Активизировал процесс реформирования общего математического образования видный математик, академик АПН СССР А.И. Маркушевич. Целью проводимой реформы являлась модернизация общего математического образования, повышающая научно-теоретический уровень изложения школьного материала по математике. Для преобразования общего математического образования требовалось разработать новую учебную програм-
му средней школы. Её разработкой, а также учебно-методическим обеспечением занимался коллектив под руководством выдающегося математика, академика АН СССР А.Н. Колмогорова.
В основе новой программы лежал теоретико-множественный подход, соответствующий тенденциям развития общего математического образования западноевропейских стран. Параметрами теоретико-множественного подхода являлась высокая степень абстракции, строгая математическая символика и дедуктивный стиль изложения материала. Новая трактовка изучения математики сокращала ее предметную дифференциацию. Согласно теоретико-множественному подходу любой математический объект и из алгебры, и из геометрии рассматривался через понятие «множество».
Основное математическое образование в советской школе 1970-х можно разделить на три курса: математика (4-5 класс); алгебра и геометрия (6-8 класс). Разработкой учебно-методического комплекса для каждого курса занимался определённый авторский коллектив под руководством А.И. Маркушевича, который выступал и редактором программ. Так, курс математики разработали Н.Я. Виленкин, К.И. Нешков, С.И. Шварцбурд, А.Д. Се-мушин, А.С. Чесноков, Т.Ф. Нечаева, курс алгебры - Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.С. Муравина, а курс
геометрии - А.Н. Колмогоров, А.Ф. Семенович, Ф.Ф. Нагибин, Р.С. Черкасов.
Курс «математика».
Начиная с 4-го класса, программа математического образования была преобразована. Главным образом изменения были связаны с внедрением теоретико-множественного подхода. В 4-м классе он ограничивался несколькими понятиями из теории множеств, а также введением математической символики.
Рассмотрим новые понятия из данного подхода, которые были внедрены в 4-м классе по новой программе: «множество»; «пустое множество»; «элемент множества»; «отрезок»; «луч»; «длина отрезка»; «конгруэнтность фигур»; «знаки 6 и £».
Авторский коллектив утверждал, что в новой программе, главным образом, было изменено соотношение дедуктивного и индуктивного метода изложения материала. Так как дедуктивный метод изложения материала для 4-го класса являлся бы неэффективным, по мнению авторов, по новой программе изучение материала сводилось к индуктивному методу, подход к общим понятиям осуществлялся через примеры.
Вот образец такого подхода: «Составим полный список натуральных чисел, расположенных на луче между числами 21 и 28: 22, 23, 24, 25, 26, 27. Получилось множество натуральных чисел, расположенных между числами
21 и 28. Множество чисел записывают с помощью фигурных скобок:{22, 23, 24, 25, 26, 27}» [4, с. 21].
Рассматривая представленное
определение, можно увидеть, что оно было сформулировано с помощью конкретного примера. Стоит отметить, что в данном понятии отсутствует строгость формулировки, а также высокий научный уровень изложения центрального для всего курса материала. В результате понятие «множество» воспринималось учениками на интуитивном уровне, что никак не повышало уровня их логического мышления.
Основные понятия принимались без доказательства, а математическая символика без обоснования: «Длину отрезка AB обозначают |AB|» [4, с. 9]. Авторы опускали и игнорировали понятие «модуль» и догматично вводили данную символику. Идентично данному определению и обозначению они вводили обозначения отрезка, прямой и луча. В итоге, ученики не понимали разницы между круглыми и квадратными скобками в обозначении отрезков и прямых. По нашему мнению, если авторы в силу возрастных особенностей школьников не могли раскрыть и обосновать суть обозначений, то не было необходимости их вводить в 4-м классе.
Большой критике со стороны специалистов в новой программе подверглось понятие «конгруэнтность», которое в курсе «математика» не использовалось. Приведем определение
данного понятия, которое давалось в учебнике: «В геометрии две фигуры, которые могут совпасть при наложении одна на другую, называют конгруэнтными. Это значит, что такие фигуры равны по размерам» [4, с. 28]. В представленном определении присутствует и слово «конгруэнтны», и слово «равны», при этом не отражается разница между равными и конгруэнтными фигурами. Учитывая, что курс «геометрия» построен на геометрических преобразованиях, термин «наложение», используемый в определении, противоречит с научным построением курса, основанного на данном принципе. Говоря о научном обосновании, авторы подчеркивали разницу: «Эти фигуры состоят из разных точек (элементов множества), а значит, не являются равными с точки зрения теории множеств». Но при этом данное уточнение не было отражено в учебном пособии.
Внедрение теоретико-
множественного подхода только нагружало программу 4-го класса, при этом никак не повышая научности теоретического материала. Данные термины существовали формально, обогащая лишь словарный запас учеников, не раскрывая логической взаимосвязи понятий, а также отсутствовали попытки их обоснования: «Но зато как научно они выражались» [7, с. 228].
В 5-м классе изложение материала в большинстве случаев происходило при помощи индуктивного метода, но, в отличие от 4-го класса, добавлялись
некоторые элементы дедуктивного подхода. Иными словами, в 5-м классе некоторые свойства имели свое математическое доказательство и обоснование, что, в свою очередь, действительно, повышало «научность» изложения материала. К таким свойствам относились: свойства делимости суммы; свойства делимости произведения; признак делимости на 2 и на 5; признак делимости на 3. Стоит отметить, что теоретико-множественный подход не использовался в доказательстве данных свойств. Доказательства были основаны на синтетическом методе обоснованности, то есть логичные рассуждения двигались от условия к его заключению.
Материал из теории множества в 5-м классе дополнялся, были добавлены термины: «подмножество»; «пересечение и объединение множеств». Стоит отметить, что, в отличие от 4-го класса, в 5-м раскрывались с их помощью некоторые понятия из традиционного курса. Так, понятия «НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное)» рассматривались с использованием понятия «множество», а также «пересечение множеств».
Рассматривая содержательную часть излагаемого по новой программе материала курса «Математика», заметим, что радикальных изменений в ней не произошло. Теоретико-множественный подход внес небольшие изменения в
4-5 классе в изложении материала. Были добавлены новые термины, отдельно существующие от основного материала, а также их соответствующая математическая символика.
Добиться «научного» уровня изложения материала в младших классах -крайне тяжелая задача. Как признавали сами авторы, «научно обоснованные ответы на эти вопросы совершенно недоступны пониманию школьников IV класса, да и старшеклассников» [3, с. 41]. Возникало противоречие между стремлением авторов повысить уровень «научного» изложения и их «упрощениями» в формулировках определений.
Курс «Алгебра».
Курс «Алгебра» являлся продолжением курса «Математика», основные направления, заданные в 4-5 классе, дополнились в 6-8 классе. Данный предмет содержал в себе основные три линии развития понятий: тождественные преобразования; уравнения и неравенства и функциональная линия определений. Каждая линия дополнялась в каждом последующем классе.
Теоретико-множественный подход в наибольшей степени оказал влияние на развитие функциональной линии. С помощью понятия «множество» раскрывалось понятие «функция», которое занимало центральное место в предмете: «Функцией называется соответствие между множеством X и
множеством У, при котором каждому элементу множества X соответствует один, и только один, элемент множества Y» [8, с. 69].
Отметим, что такое определение функции отвечало соответствующему уровню «научности», было сформулировано лаконично и точно. Определение подкреплялось иллюстрациями и схемами, способствующими более прочному усвоению материала. Кроме того, важным дидактическим средством, позволяющим раскрыть содержание понятия функции, а также других понятий, таких как, например, «область определения функции»; «множество значений функции», являлось использование конечных множеств.
В последующих классах знания о функции дополнялись с помощью теории множеств. Так, с помощью теоретико-множественного подхода раскрывались понятия о возрастающей и убывающей функции: «Функция f называется возрастающей на множестве А, если любому большему значе-
нию аргумента, принадлежащему множеству А, соответствует большее значение функции, т. е. если х2>х^ и х!,х2 е А, то ^х2) >^х!)» [9, с. 47].
Данное определение являлось в достаточной мере «научным», но при этом труднодоступным для учеников. Сочетание математической символики из теории множеств повышало логический уровень изложения материала, но при этом вызывало определенные трудности в усвоении и понимании данного определения.
В 8-м классе функциональная линия была дополнена новым материалом, который был перенесен из старой программы старшей школы. Так, были введены новые понятия, такие как «обратная функция»; «показательные и логарифмические функции»; «последовательность»; «арифметическая и геометрическая функция».
Понятие «обратная функция» вводилось с помощью термина «обратное отношение» (рис.1).
Ряе. 34 Рис, 30
Рисунок 1 - Определение обратного отношения
Данное определение вводилось с применением индуктивного метода изложения материала, за основу брался теоретико-множественный подход. Такое раскрытие понятия не являлось «научным», подчеркивало преемственность функциональной линии в 6-8 классе. Рассматривая данное определение и последующее раскрытие обратной функции, авторы использовали модели конечных множеств, являющихся главным средством формирования вводимых понятий.
При рассмотрении показательных и логарифмических функций их свойства доказывались аналитическим способом. Внедрение понятия «обратная функция» позволило авторам ввести функции у = ;.. и = 1г ., а также обосновать их свойства из обратных им функций = .'. и у = -0 , основываясь на изученных теоремах о взаимно-обратных функциях. Усвоению свойств данных функций способствовало широкое привлечение графических представлений.
Также одним из нововведений в курсе алгебры 8-го класса являлось включение дополнительного класса функций, который занимал особое положение - это последовательности, некоторые общие сведения о которых предпосылались изучению свойств арифметической и геометрической прогрессий. Понятие последовательности определялось через понятие функции: «Функция, область опреде-
ления которой - множество натуральных чисел или множество первых п натуральных чисел, называется последовательностью» [10, с. 50]. В применении к последовательностям раскрывались такие известные учащимся понятия, как график функции и монотонная функция.
Тождественные преобразования в курсе «Алгебра» из старой программы перешли в новую, но были также дополнены новыми элементами: преобразованиями степеней с рациональным показателем и иррациональными выражениями в п-й степени. Теоретико-множественный подход в меньшей степени повлиял на данную линию, лишь в отдельных случаях дополняя ее математической символикой.
Линия уравнений и неравенств рассматривала понятия из традиционного курса с использованием понятия «множество». Так, например, решение системы неравенств трактовалось как пересечение множеств и дополнялось
V» V I /
математической символикой. К примеру, множество корней уравнения: .'.: - .." - !-.'. - 2- обозначалось {2; 3; 4}.
Основные элементы при решении неравенств и уравнений перешли от традиционного курса в новую программу без изменений. Отметим, что на протяжении всего курса происходило постепенное замещение арифметического способа решения текстовых задач на алгебраический.
Анализируя курс «Алгебра», можно проследить изменение в изучении материала. В большей степени использовался дедуктивный метод при рассмотрении новых понятий, при этом авторы полностью не отказывались от индуктивного метода. По сравнению с курсом «Математика», в учебниках приводилось большее количество доказательств свойств и теорем.
Таким образом, при изучении теоретического материала авторы повысили «научность» его изложения, прибегая в большей степени к дедуктивному методу. Разработчики программы давали логическое обоснование большинству теоретического материала. Главным нововведением в курсе «Алгебра» по новой программе являлось изучение понятия «функции» с помощью теоретико-множественного подхода. По мнению авторов, добавление новых тем в курс придавало законченность функциональной линии. При этом по новой программе изучение нового материала проходило в большей части в 8-м классе. Остальной материал из старой программы был перераспределен между 6-м и 7-м классом, что отрицательно сказалось на усвоении материала школьниками.
Курс «Геометрия».
Большой модернизации подвергся курс «Геометрия» в новой учебной программе. Теоретико-множественный подход кардинально изменил изложение учебного материала. Центральным понятием в курсе «Геометрия» явля-
лось понятие «отображение», которое авторы принимали как синоним понятию «функция» из курса «Алгебра». При этом данное понятие четкого определения не имело и вводилось на наглядно-образных примерах.
Понятие отображения фигуры на фигуру в 6-м классе использовалось, прежде всего, для определения конгруэнтных фигур, которое существенно отличалось от традиционного.
«Если фигуру Ф можно отобразить на фигуру Ф1 так, что расстояние между любыми двумя точками фигуры Ф равно расстоянию между соответствующими им точками фигуры Ф1, то говорят, что фигура Ф конгруэнтна фигуре Ф1» [5, с. 32].
Данное определение конгруэнтных фигур в значительной степени отличалось от определения, изложенного в 4-м классе. Такое определение носило достаточный уровень «научности», но при этом являлось затруднительным для понимания у учеников. С помощью понятия конгруэнтности фигур строились все остальные теоремы и свойства. Изометрические отображения различных точек и плоскостей назывались в новой программе движением. На основе изометрического отображения множества точек или движения доказывалось большинство материала в курсе геометрии 6-го класса. По новой программе материал, связанный с разными видами движений, был дополнен и расширен.
Так, в курс «Геометрия» были внедрены новые понятия, отличающиеся от традиционного курса. По новой программе понятие «вектор» рассматривалось как параллельный перенос. По старой программе понятие «вектор» рассматривалось как направленный отрезок. Стоит отметить, что при рассмотрении вектора через призму отображений авторы выводили через данное определение основные свойства векторной алгебры. Такое изменение подхода к определению понятия являлось более «научным», но при этом оставалось достаточно трудно воспринимаемым для учеников 7-го класса: «В этом сплетении слов разобраться нелегко, а главное - оно бесполезно, поскольку не может быть применено ни в физике, ни в механике, ни в других науках» [11, с. 101].
Внедрение понятия «вектор» в учебную программу как частный случай перемещения также вводит новые виды отображения плоскости на себя -гомотетия и подобия. Рассмотрим определение подобных фигур:
«Если фигуру Ф можно отобразить на фигуру Ф1 так, что для любых точек Х и Y первой фигуры отношение расстояния | Х1У1 | между их образами к расстоянию | XY | между самими точками Х и Y равно одному и тому же числу к > 0, то говорят, что фигура Ф1 подобна фигуре Ф с коэффициентом подобия к» [6, с. 92].
Данное определение иллюстрирует и характеризует новый курс «Геометрия». Изложение материала происходило преимущественно с помощью дедуктивного способа и отличалось достаточным уровнем «научности» изложения. Формулировки были составлены с использованием особой математической символики, изучаемой в курсе «Математика».
После введения понятия подобных фигур изучалось новое понятие «гомотетия», внедряемое с помощью векторов. С использованием гомотетии доказывались теоремы, выражающие признаки подобия треугольников, а также теорему Пифагора. Кроме этого, тригонометрические функции раскрывались посредством понятия «движение», свойств окружности и некоторых сведений из курса алгебры (метод координат).
Анализируя новую программу по геометрии, разработанную А.Н. Колмогоровым, можно отметить, что она была составлена на достаточно высоком научном уровне. В учебниках по геометрии 6-8 класса содержалось большое количество теоретического материала, формулировки свойств и теорем включали различную математическую символику. Данные факторы действительно повышали «научный» уровень изложения материала, но вследствие этого простые формулировки искажались «научным» языком, восприятие которых становилось более сложным. По мнению критиков,
«Колмогоров и его коллеги забили школьный курс всякими благоглупостями, наукообразностями, словесами учёными» [2, с. 26].
Итоги анализа программы
Разрабатывая новую программу по математике 4-8 класса, авторы действительно попытались повысить уровень «научности» изложения теоретического материала. Внедрение теоретико-множественного подхода сократило разрыв и предметную дифференциацию математики школьного курса. Материал из теории множеств раскрывал новые термины и темы, а также рассматривал понятия из традиционного курса более «современным» подходом. Иными словами, авторы «модернизировали» школьную программу по математике внедрением теоретико-множественного подхода, а также усилением роли дедуктивного метода изложения материала, что, в свою очередь, привело материал школьной программы по математике к соответствующему уровню «научности». Разработчики реформы общего математического образования выполнили задачи, которые были ими поставлены, но реализация данных задач не привела к ожидаемому повышению математической подготовки абитуриентов.
Большая часть критики новой программы по математике 4-8 класса пришлась на теоретико-
множественный подход.Значительное число противников реформы считали главной причиной неудачи реформи-
рования общего математического образования внедрение термина «множество» в школьный курс. Замечания «оппонентов реформы сводились по преимуществу к критике принятого «теоретико-множественного подхода» к построению курса» [1, с. 216].
При анализе программы можно констатировать, что внедрение теоретико-множественного подхода в курс «Математика» было произведено очень тщательно. Само понятие вводилось на конкретных примерах, а терминология из теории множеств была представлена в небольших размерах. Изложение учебного материала происходило на основе индуктивного метода, при этом обоснования и доказательства суждений в курсе отсутствовали, что противоречило стремлению авторов к повышению уровня «научности». Внедрение в курс «Математика» элементов теории множеств являлось избыточным, так как раскрытие понятий посредством теоретико-множественного подхода начиналось с 6-го класса.
Главным нововведением курса «Алгебра» являлось внедрение функциональной линии. Авторы новой программы по математике 4-8 класса решили придать «законченность» изложению понятия функции, вследствие этого материал из 9-го и 10-го класса был перемещен в 8-й. Соответственно, плотность материала для 4-7 класса была увеличена. Стоит отметить, что методом изложения теоретического
материала преимущественно являлся дедуктивный. Авторы чаще доказывали принимаемые теоремы и свойства, что могло бы повысить математическую подготовку школьников.
Курс «Геометрия» кардинально отличался от традиционного курса. А.Н. Колмогоров переработал весь материал, входивший в курс планиметрии 6-8 класса, основываясь на геометрических преобразованиях плоскости. Большинство формулировок в учебниках по геометрии были крайне сложными для восприятия учениками, так как изложение материала в большей степени производилось с помощью дедуктивного метода. Дедуктивный метод изложения материала был основан на построении последовательных логических цепочек, развивающих абстрактно-логическое мышление. Соответственно, правильно выстроенные механизмы при изучении теоретического материала способствовали бы данному процессу, но система была реализована неудачно: « В Кол-могоровской «Геометрии, 6-8» в шестом классе ... из выделенных там 38 утверждений почти две трети оставлены без доказательства» [2, с. 21].
Идея внедрения теоретико-множественного подхода в школьный курс была инновационной и экспери-
ментальной. Но основная проблема неудачного построения курса заключалась не в общем принципе внедрения понятия «множество», а в разработанных учебных пособиях. Должного эффекта не оказало «изгнание слова «множество» и соответствующих теоретико-множественных атрибутов из школьного курса» [1, с. 216].
Содержание формулировок теоретического материала, методы и способы его изложения, система упражнений учебника и другие аспекты были ключевыми факторами в общей неудаче реформы. Причиной этому являлось недостаточное время, выделенное на разработку учебно-методического комплекса: «Необходимо было после нового учебника для 4 класса к следующему году обязательно сдать учебник для 5 класса. Это не могло не сказываться на качестве работы» [1, с. 242].
Наряду с этим, в сжатые сроки невозможно было обучить всех учителей преподаванию по новой программе и по новому учебнику. Непродуманная система повышения квалификации учителей также являлась весомой причиной неудачи реформы. Слабая координация между вузами и школой сказалась на преподавании «новой» математики в «новой» массовой школе.
Список литературы
1. Абрамов А.М. Великий отечественный мир, или Колмогоровский проект XXI века: книга Александра Абрамова и воспоминания о нём I под ред. А.С. Русакова, Н.Г. Пучковой. - СПб.: Образовательные проекты, 2016. - 616 с.
2. Вернер А.Л. А.Д. Александров и школьный курс геометрии II Математические структуры и моделирование. - 2Q12. - №25. - С. 18-3S.
3. Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. Структура и некоторые методические особенности учебника «Математика. 4 класс» II Математика в школе. - 19lQ. - №2. - С. 38-42.
4. Виленкин Н.Я. и др. Математика: учебник для 4-го класса средней школы I под ред. А.И. Маркушевича. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1977. - 239 с.
Б. Колмогоров А.Н. и др. Геометрия: учебное пособие для 6 класса средней школы I под ред. А.Н. Колмогорова. - l-е изд. - М.: Просвещение, 1977. - 128 с.
6. Колмогоров А.Н. и др. Геометрия: учебное пособие для 7 класса средней школы I под ред. А.Н. Колмогорова. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 1977. - 160 с.
7. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. - М.: Просвещение, 2001. - 318 с.
5. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра: учебное пособие для 6 класса средней школы I под ред. А.И. Маркушевича. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1974. - 220 с.
9. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра: учебное пособие для 7 класса средней школы I под ред. А.И. Маркушевича. - S-е изд. - М.: Просвещение, 1976. - 255 с.
10. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра: учебное пособие для 8 класса средней школы I под ред. А.И. Маркушевича. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1975. - 256 с.
11. Понтрягин Л.С. О математике и качестве ее преподавания II Коммунист. - 19SQ. - № 14. - С. 99-112.
References
1. Abramov A.M. Velikij otechestvenny'j mir, ili Kolmogorovskij proekt XXI veka: kniga Aleksandra Abramova i vospominaniya o nyom / pod red. A.S. Rusakova, N.G. Puchkovoj. - SPb.: Obrazovatel'ny'e proekty', 2Q16. -616 s.
2. Verner A.L. A.D. Aleksandrov i shkol'ny'j kurs geometrii // Matematicheskie struktury' i modelirovanie. -2Q12. - №25. - S. 1S-3S.
3. Vilenkin N.Ya., Shvarczburd S.I. Struktura i nekotorye metodicheskie osobennosti uchebnika «Matematika. 4 klass» II Matematika v shkole. - 19lQ. - №2. - S. 3S-42.
4. Vilenkin N.Ya. i dr. Matematika: uchebnik dlya 4-go klassa srednej shkoly' / pod red. A.I. Markushevicha. - 3-e izd. - M.: Prosveshhenie, 19ll. - 239 s.
Б. Kolmogorov A.N. i dr. Geometriya: uchebnoe posobie dlya 6 klassa srednej shkoly' / pod red. A.N. Kolmogorova. - l-e izd. - M.: Prosveshhenie, 19ll. - 12S s.
6. Kolmogorov A.N. i dr. Geometriya: uchebnoe posobie dlya l klassa srednej shkoly' / pod red. A.N. Kolmogorova. - 6-e izd. - M.: Prosveshhenie, 19ll. - 16Q s.
7. Kolyagin Yu.M. Russkaya shkola i matematicheskoe obrazovanie: Nasha gordost' i nasha bol. - M.: Prosveshhenie, 2QQ1. - 31S s.
5. Makary'chev Yu.N. i dr. Algebra: uchebnoe posobie dlya 6 klassa srednej shkoly' / pod red. A.I. Markushevicha. - 4-e izd. - M.: Prosveshhenie, 19l4. - 22Q s.
9. Makary'chev Yu.N. i dr. Algebra: uchebnoe posobie dlya l klassa srednej shkoly' / pod red. A.I. Markushevicha. - S-e izd. - M.: Prosveshhenie, 19l6. - 2SS s.
10. Makary'chev Yu.N. i dr. Algebra: uchebnoe posobie dlya S klassa srednej shkoly' / pod red. A.I. Markushevicha. - 3-e izd. - M.: Prosveshhenie, 19lS. - 2S6 s.
11. Pontryagin L.S. O matematike i kachestve ee prepodavaniya // Kommunist. - 19SQ. - № 14. - S. 99-112.
Для ссылки: Богуславский М.В., Садовников Е.Ю. Анализ содержания программы общего математического образования 1970-х гг. II Гуманитарные исследования Центральной России. - 2Q23. - №3 (28). - С. 49-6Q.
DOI 10.24412/2541-9056-2023-328-49-60
