Анализ случайных процессов геометрических неровностей рельсовых нитей Текст научной статьи по специальности «Математика»

22

Современные технологии - транспорту

УДК 625.4.01 5 Ю. С. Ромен

ОАО «Научно-исследовательский институт железнодорожного транспорта»

А. Н. Савоськин, А. А. Акишин

Московский государственный университет путей сообщения

АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРОВНОСТЕЙ РЕЛЬСОВЫХ НИТЕЙ

На движение рельсовых экипажей оказывает сильное влияние внешнее возмущение. Таким возмущением являются геометрические неровности рельсовых нитей. В предыдущих работах не было уделено достаточного внимания корреляционной взаимосвязи между горизонтальными и вертикальными возмущениями рельсовых нитей. В данной работе показана эта взаимосвязь, а также уточнены характеристики возмущений.

В качестве возмущений рассмотрен четырехмерный случайный процесс вертикальных и горизонтальных геометрических неровностей рельсовых нитей. Был проведен корреляционно-спектральный анализ этого возмущения с последующей аппроксимацией графиков корреляционных функций и спектральных плотностей аналитическими выражениями.

Используя полученные аналитические выражения, можно будет в дальнейшем решать задачи генерации геометрических неровностей во временной области для исследования колебаний рельсовых экипажей с нелинейными характеристиками рессорного подвешивания.

геометрические неровности рельсов; корреляционный и спектральный анализ.

Введение

Для исследования колебаний рельсовых экипажей и решения задач по выбору схемы и параметров их рессорного подвешивания необходимо учитывать внешние возмущения. Такими возмущениями, вызывающими колебания рельсовых экипажей, являются геометрические неровности рельсовых нитей. Изучению характеристик этих неровностей посвящен ряд работ [1] - [4]. В работе [3] приведены характеристики четырехмерного случайного процесса возмущений в виде реализаций вертикальных п л п и горизонтальных п л п неровностей левого и правого рельсов. Однако эти реализации имели малую длительность и были получены с большим шагом дискретизации. В результате этого в составе корреляционных функций и спектральных плотностей исследуемых случайных процессов было выявлено только по одному максимуму.

В настоящей работе приведены результаты обработки реализаций случайных процессов вертикальных и горизонтальных неровностей левой и правой рельсовых нитей, полученных на Октябрьской и Куйбышевской железных дорогах интегрированием ускорений масс, контактирующих с рельсовыми нитями

[4]. Замеры выполнялись на участках пути длиной 1 км с шагом дискретизации Ах = = 0,185 м, что соответствует шагу по времени At = 0,185 с при скорости движения 1 м/с. При таком шаге дискретизации было получено N = 5400 замеров.

1 Корреляционный анализ

Такой объем выборок N исследуемых случайных процессов (х = vt) (рис. 1) позво-

лил выполнить вычисление корреляционных функций Rz^n (т) и функций спектральных плотностей (f) = 2ФЛ,П (f) непосред-

2014/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Современные технологии - транспорту

23

а) V , мм

120] X, М

Ш) X, М

1201) X, м

120] X, м

Рис. 1. Реализации случайных процессов неровностей рельсов: горизонтальная левого (а) и правого (б) рельсов; вертикальная левого (в) и правого (г) рельсов

ственно по реализациям с использованием следующих формул:

Rniu (x = lAt) = -----— х

^,иУ ’ (N3 - s) At

(N3 -l )At

х Z Пи (i'm AtУпш [(i'm +l)At] ;

lmAt=0

(1)

x (r 2nAf; tp ) =

N-1 (3)

At Z n (in At) exP (-j 2nAfrAt);

i=0

xu (r 2nAf; tp ) =

N-1 (4)

At Z Пи (inAt) exP (- j 2nAfr At)>

i=0

GWu(r2nAf ) =

2

tp

x (r 2nAf; tp )• xu (r 2nAf; tp)

(2) где Gr[iu (ш = r2nAf) - «односторонняя» спектральная плотность, определенная в диапазоне частот 0 < f < х, а Ф (ш) - «двух-

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/1

24

Современные технологии - транспорту

сторонняя» спектральная плотность, определенная в диапазоне частот -да < ш < да.

В этих выражениях обозначены: /ш - номер шага временной дискретизации случайного процесса; l - сдвиг между вычисляемыми значениями корреляционной функции (l = 0, 1, 2, ..., ^); s - максимальное значение сдвига (s = 0,1^0,25 N); At - шаг временной дискретизации случайных процессов; r - номер шага по частоте (г = 0, 1, 2, ... mf=f7Af); Af - шаг по частоте (в пакете Матлаб выбирается автоматически по алгоритму быстрого преобразования Фурье в зависимости от величины N.

р

Чтобы избавиться от ошибок взаимного влияния отдельных значений G (rAf) и получить эффективную оценку истинной спектральной плотности, выполняют сглаживание ее вычисленных значений. В настоящей работе с этой целью был использован алгоритм Хана:

= <

G (r А/ ) =

0,5 {G (r А/) + G [(r + 1)А/ ]},

при r = 0

0,25G [(r - 1)А/ ] + 0,5G (r А/) +

0,25G[(r + 1)А/], приr=1,2,..., mf -1

0,5{G[(mf - 1)А/] + G(mf А/)}, приr=mf

При i = u - вычисляются автокорреляционные функции Rni (т) или Rnu (т) и спектральные плотности Gni (f) или Gnu (f), а при i Ф и - взаимные корреляционные функции R (т) и взаимные спектральные плотности

Фп,и (J®) = 0, Gu (J®), где ш = 2nf

Результаты вычисления автокорреляционных функций (рис. 2) свидетельствуют о том,

т, c

Рис. 2. Автокорреляционные функции неровностей пути: левого рельса горизонтальная (а) и вертикальная (б); правого рельса горизонтальная (в) и вертикальная (г); 1 - экспериментальные; 2 - по аналитическому выражению

2014/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Современные технологии - транспорту

25

что в их состав входит несколько затухающих периодических слагаемых. Из этого рисунка видно, что автокорреляционные функции являются четными, т. е. Rn (т) = Rn (-т). Их максимум, равный дисперсии S ^, соответствует началу координат.

Вместе с тем взаимные корреляционные функции (рис. 3) не являются четными R (т) = R (-т). Максимум взаимных кор-

цг,и v у ци,г v у J А

реляционных функций, равный дисперсии S2. = S S , сдвинут относительно начала

Г|ш п Пи J

координат на время тс. Отметим также, что для взаимных корреляционных функций R (т) и R (т), связывающих вертикальные и горизонтальные неровности левой и правой рельсовых нитей, тс = 0 (рис. 4). Это означает, что соответствующие случайные процессы пл. и пп. слабо коррелированы, т. е. статистически независимы, что характерно для пути хорошего состояния. В этом случае:

а) Rлвлг , мм2 С=5

т, c

Ъы (т) = (т) К, (т) • (5)

Для решения последующей задачи генерации четырехмерного случайного процесса неровностей необходимо выполнить аналитическую аппроксимацию полученных графиков корреляционных функций и спектральных плотностей.

Для взаимных корреляционных функций будем использовать аналитическое выражение:

Rniu (т) = ^X ak exp [~alV2 (т2 -т2) xcos [PkV (т-тс )],

X

(6)

соответствующее дифференцируемому случайному процессу n (х = vt).

В этом выражении обозначены: ak - доля дисперсии S2п, приходящаяся на k-тую составляющую аналитического выражения (X ak = 1);

k

Рис. 3. Взаимные корреляционные функции между неровностями левой и правой рельсовых нитей:

а - левая вертикальная и горизонтальная; б - правая вертикальная и горизонтальная; в - правая вертикальная и левая горизонтальная; г - левая вертикальная и правая горизонтальная;

1 - экспериментальные; 2 - по аналитическому выражению

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/1

26

Современные технологии - транспорту

Рис. 4. Взаимные корреляционные функции горизонтальных (а) и вертикальных (б) неровностей правой и левой рельсовых нитей: 1 - экспериментальные; 2 - построенные

по выражениям Лпглг(т) = VRnrWRr('T) и Дпвлв(т) = 7Rib(т)^Лв(т)

вк и ак [м1] - нормированные по скорости частота и коэффициент затухания к-той затухающей периодической составляющей;

тс - время сдвига максимума взаимной корреляционной функции относительно начала координат.

При вк равном нулю в составе (6) будет экспоненциальная составляющая. При тс равном нулю, как уже говорилось, случайные процессы пш. и пш. не коррелированы, т. е. статистически независимы. Отметим также, что тс = 0 соответствует аналитическому выражению автокорреляционной функции:

Rnu (т) = %X ak exP (-a2kv2т2) cos (P^vr). (7)

k

2 Спектральный анализ

Поскольку спектральная плотность случайного процесса может быть получена как преобразование Фурье корреляционной функции, аналитическому выражению автокорреляционной функции (7) при тс = 0 будет соответствовать следующее выражение спектральной плотности:

S 2

= a

4п k

exp

(®-М )2 4ak v 2

+ exp

(®+M )2 4a 2 v 2

+

(8)

Для взаимной спектральной плотности, которая является нечетной функцией, аналитическое выражение, соответствующее

(6), имеет вид:

i да

Фпш (J® = — п j RWu (т) JaTdт =

2П -да

= Re флги (J® ) + J Im Фпи (J® ) =

= ФАи (®) exP Г-Фги (®)

где ReФ (/ш) - вещественная (синфазная) составляющая взаимной спектральной плотности.

да

Re ФФ u ( j®) = j RWu (т) cos®rd т; (9)

-да

Фл(ю)

2п

да

j Rn(r) cos ®rd r

-да

1тФ (/ш) - мнимая (квадратурная) составляющая взаимной спектральной плотности:

2014/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Современные технологии - транспорту

27

1 да

ImФпи (j®)=— j Ru (т)sin®Tdт; (io)

2 п-да

Фи (®) =

ReФлш(7'®)] +[Imфлш(j®)] ;

(11)

Фф (ш) - фазовая составляющая взаим-

(®-Pkv)

4а kv

sin

(PkvTc);

ФСи (ш) - амплитудная составляющая вза- X да1 "(®+Pkv ) Р-1 ^

имной спектральной плотности: рЕ (2 p -1 !! 2а2 v2 V k у

ной спектральной плотности:

+ Е

р=1 (2 p -1)!!

(® + Pkv)Р-1 ^

2а2 v2

v k

\ (13)

и

1

Ф*„ (®) =

= arctg [Imфцш (j®)/Reфлш (j®)]

(12)

Графики спектральных и взаимных спектральных плотностей, построенные по реализациям случайных процессов пЛ,П (х = vt) на основе выражений (2) - (4), также свидетельствуют о том, что в их составе имеется несколько слагаемых, обусловленных различными частотами и формами колебаний в системе. Эту особенность взаимных корреляционных функций R (т) можно объяснить влиянием колебаний боковой качки, а также относа и виляния, формирующих силы в системе «экипаж - путь».

При этом вещественные составляющие взаимных спектральных плотностей являются симметричными функциями, а их мнимые составляющие - кососимметричными.

По взаимной корреляционной функции, определяемой аналитическим выражением (6), по формулам (8) и (9) были получены выражения для вещественной и мнимой составляющих взаимной спектральной плотности в виде:

S2

Re Флш (® ) = ^ Е ak exP (-а2v2т2 ) х

2п к

cos

exp

(®+р,-)2

4а2 v2

(PkvTc) 1 п

4 Vа2 v

)2 ' (

2 + exp

У V

2

4а2 v2

Im Фп и (®) =

= ^Е ak exP (-а2v2Т2)х

2П к

cos

(PkvTc )

4а2 v2

да

(® + Pkv )Е

р=1 (2 p -1)!!

2 Л p-

(®+Pkv )

2а 2 v2

v k У

да1

+(®-ekv) е (2p-1)ii

f / о 2 p -1 ]

(®-Pkv

2а 2 v2

V k У

+Имт) L^y 4 V а2 v2

f (® + Pkv)2 ^ f (®-Pkv)2 ^

exp 2а 2 v2 v k У - exp 2а2 v2 V k У

- (14)

1

x

Параметры аналитических выражений корреляционных функций и, соответственно, спектральных плотностей определялись следующим образом. Величины ^ и тс находились непосредственно по графикам корреляционных функций; значения вк - по графикам спектральных плотностей. При этом на основе графиков, приведенных на рис. 5-9, было принято четыре слагаемых с частотами Pj = 0; р2 = 0,125 м-1; р3 = 0,250 м-1 и р4 = = 0,500 м-1. Значения же величин ак и ак определялись методом оптимизации. При этом

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/1

28

Современные технологии - транспорту

Рис. 5. Спектральные плотности неровностей левого рельса: вертикальных (а) и горизонтальных (б); правого рельса: вертикальных (в) и горизонтальных (г); 1 - экспериментальные; 2 - построенные по аналитическому выражению

Рис. 6. Составляющие взаимной спектральной плотности между левой вертикальной и правой горизонтальной неровностями рельсов: а - вещественная; б - мнимая; в - амплитудная; г - фазовая; 1 - экспериментальные; 2 - построенные по аналитическим выражениям

2014/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Современные технологии - транспорту

29

Рис. 7. Составляющие взаимной спектральной плотности между левой вертикальной и левой горизонтальной неровностями рельсов: а - вещественная; б - мнимая; в - амплитудная; г - фазовая; 1 - экспериментальные; 2 - построенные по аналитическим выражениям

Рис. 8. Составляющие взаимной спектральной плотности между правой вертикальной и правой горизонтальной неровностями рельсов: а - вещественная; б - мнимая; в - амплитудная; г - фазовая; 1 - экспериментальные; 2 - построенные по аналитическим выражениям

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/1

30

Современные технологии - транспорту

Рис. 9. Составляющие взаимной спектральной плотности между правой вертикальной и левой горизонтальной неровностями рельсов: а - вещественная; б - мнимая; в - амплитудная; г - фазовая; 1 - экспериментальные; 2 - построенные по аналитическим выражениям

в качестве целевой функции была выбрана сумма квадратов отклонений расчетных значений спектральной плотности и вещественной составляющей взаимной спектральной плотности, полученных по аналитическим выражениям (8) и (13), (14), от соответствующих значений, полученных по экспериментальным данным:

Ц

Ф (ш)-ф (ш)] .

(15)

Минимум выбранной целевой функции находился с помощью алгоритма Нелдера-Мида [5]. Найденные значения параметров аналитических выражений корреляционных функций и спектральных плотностей приведены в табл. 1 и 2.

Графики аналитических выражений корреляционных и взаимных корреляционных функций, а также спектральных и взаимных спектральных плотностей исследуемых про-

цессов, построенные по принятым значениям их параметров, приведены на рис. 2-9 пунктирными линиями. Как видно из этих рисунков, принятые аналитические выражения с выбранными значениями параметров обеспечивают удовлетворительную сходимость с экспериментальными данными. В них явно выделяются четыре слагаемых на принятых значениях частот вк; максимумы спектральных плотностей и составляющих взаимных спектральных плотностей расчетных и экспериментальных графиков достаточно близки. Максимумы графиков взаимных корреляционных функций сдвинуты относительно начала координат в точности на величину тс.

Графики амплитудных составляющих взаимных спектральных плотностей, построенные по аналитическим выражениям (8), (13) и (14), также имеют четыре максимума на принятых частотах вк, а графики фазовых составляющих с ростом частоты увеличиваются.

2014/1

Proceedings of Petersburg Transport University

Современные технологии - транспорту

31

ТАБЛИЦА 1. Параметры аппроксимирующих выражений для спектральных плотностей

и корреляционных функций

Наименование параметра Номер составля- ющей Ф лг Ф пг Ф лв Ф пв

Величина

S 2, мм2 6,75 8,28 27,0 26,2

дисперсии п’

1 0,000 0,000 0,010 0,010

Доля 2 0,150 0,200 0,150 0,200

дисперсии ak 3 0,700 0,650 0,700 0,750

4 0,150 0,150 0,140 0,040

1 0,000 0,000 О О О О О О

Нормированный 2 0,015 0,020 0,010 0,010

коэффициент ak, м-1 3 0,040 0,040 0,035 0,035

затухания 4 0,021 0,032 0,025 0,021

1 0,000 0,000 0,000 0,000

Нормированная R м-1 2 0,125 0,125 0,125 0,125

частота м 3 0,250 0,250 0,250 0,250

4 0,500 0,500 0,500 0,500

ТАБЛИЦА 2. Параметры аппроксимирующих выражений для взаимных спектральных

плотностей и корреляционных функций

Наименование параметра Номер составля- ющей Ф лвлг Ф лвпг Ф пвпг Ф пвлг

Величина

S 2, мм2 2,90 2,70 1,8 1,76

дисперсии п’

1 0,010 0,010 0,010 0,010

Доля 2 0,250 0,200 0,220 0,240

дисперсии ak 3 0,600 0,700 0,600 0,650

4 0,140 0,090 0,170 0,100

1 О О О О О О 0,040 О О О

Нормированный 2 0,021 0,021 0,019 0,021

коэффициент ak, м-1 3 0,030 0,035 0,035 0,035

затухания 4 0,028 0,035 0,035 0,030

1 0,000 0,000 0,000 0,000

Нормированная 2 0,125 0,125 0,125 0,125

частота Pk, м 3 0,250 0,250 0,250 0,250

4 0,500 0,500 0,500 0,500

Время сдвига T, с с’ — 5,0 4,5 8,0 8,0

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/1

32

Современные технологии - транспорту

Заключение

Таким образом, в работе представлен полный набор характеристик, определяющих особенности многомерных случайных процессов возмущений, вызывающих колебания подвижного состава железных дорог, в виде вертикальных и горизонтальных неровностей левой и правой рельсовых нитей. В состав этих характеристик вошли корреляционные и взаимные корреляционные функции, а также спектральные и взаимные спектральные плотности.

Аппроксимация этих характеристик аналитическими выражениями позволяет в дальнейшем выполнять решение задач динамики подвижного состава с линеаризованными характеристиками рессорного подвешивания в частотной области. Кроме того, используя эти аналитические выражения, можно выполнять генерацию многомерного случайного процесса возмущения во временной области для численного решения задач динамики подвижного состава с нелинейными характеристиками рессорного подвешивания.

Выводы:

1. Используя полученные статические характеристики многомерного случайного процесса, описывающего геометрические неровности рельсовых нитей, можно более точно проводить исследования колебаний рельсовых экипажей и выбор параметров рессорного подвешивания, генерируя совокупности возмущений, а также решать обобщенные задачи анализа динамики рельсовых экипажей в частотной области.

2. Корреляционные и взаимные корреляционные функции, а также спектральные и взаимные спектральные плотности геометрических неровностей рельсовых нитей содержат несколько составляющих.

3. Аналитическая аппроксимация экспериментальных графиков корреляционных функций и спектральных плотностей выбранными аналитическими выражениями обеспечивает удовлетворительную сходимость.

Библиографический список

1. Спектральный состав очертаний рельсовых нитей / З. Л. Крейнис // Вестник ВНИИЖТ. -1982. - № 4. - С. 48-51.

2. Некоторые результаты исследований вертикальных траекторий колеса / А. Н. Савоськин, Л. В. Гойхман, Д. А. Харин // Труды МИИТ. -1968. - Вып. 296. - С. 143-157.

3. Вертикальные и горизонтальные возмущения на рельсовом полотне / А. Н. Савоськин,

В. В. Кочергин, А. И. Поляков // Мир транспорта. - 2005.- № 4. - С. 4-14.

4. Еще раз об измерении вертикальных неровностей пути / Ю. С. Ромен, Н. Н. Кудрявцев, В. Н. Белоусов // Вестник ВНИИЖТ. - 1990. -№ 1. - С. 29-31.

5. Himmelblau, D. М. (1972). Applied Nonlinear Programming, Mcgraw-Hill, 416 p.

6. Garg, V. K., Dukkipati, R. V. (1984). Dynamics of Railway Vehicle Systems, Toronto, 407 p.

7. Jenkins, G. M., Watts, D. G. (1968). Spectral Analysis and Its Applications, San Francisco, 525 p.

8. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями : учеб. пособие для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. / И. М. Соболь, Р. Б. Статников. - Москва : Дрофа, 2006. - 175 с., ил.

9. Bendat, J. S., Piersol, A. G. (1971). Random Data: Analysis and Measurement Procedures, New York, 407 p.

10. Прикладные методы теории случайных функций / А. А. Свешников. - Москва : Наука, 1968. - 463 с.

2014/1

Proceedings of Petersburg Transport University