Научная статья на тему 'Анализ сложного движения точки с использованием функций комплексного переменного. Моделирование'

Анализ сложного движения точки с использованием функций комплексного переменного. Моделирование Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

CC BY
179
19
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ / МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ / ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Аннотация научной статьи по механике и машиностроению, автор научной работы — Манжосов Владимир Кузьмич, Новикова Ольга Дмитриевна, Овсянникова Наталья Борисовна

Рассмотрена задача о движении точки по прямолинейному пазу вращающегося диска. Для описания сложного движения точки используются функции комплексного переменного. Выделение в комплексных числах, соответствующих векторам скорости или ускорения, действительной и мнимой частей, позволяет определять проекции этих векторов на оси координат, модули скоростей и ускорений точки. Осуществлено моделирование сложного движения точки по прямолинейному пазу

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по механике и машиностроению , автор научной работы — Манжосов Владимир Кузьмич, Новикова Ольга Дмитриевна, Овсянникова Наталья Борисовна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Анализ сложного движения точки с использованием функций комплексного переменного. Моделирование»

УДК 531; 004.942

В. К. МАНЖОСОВ, О. Д. НОВИКОВА, Н. Б. ОВСЯННИКОВА

АНАЛИЗ СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. МОДЕЛИРОВАНИЕ

Рассмотрена задача о двю/сепии точки по прямолинейному пазу вращающегося диска. Для описания сложного двилсения точки используются функции комплексного переменного. Выделение в комплексных числах, соответствующих векторам скорости или ускорения, действительной и мнимой частей, позволяет определять проекции этих векторов на оси координат, модули скоростей и ускорений точки. Осуществлено моделирование слоэ/сного двю/сения точки по прямолинейному пазу.

Ключевые слова: сложное движение точки, моделирование движения, функции комплексного переменного.

Анализ механизмов предполагает расчёт параметров движения звеньев механизма, определения их положения в заданный момент времени, траектории движения заданных точек, определение скорости и ускорения характерных точек механизма.

Рассмотрена задача о движении точки М по прямолинейному пазу вращающегося диска (рис. 1). С диском связана подвижная система координат ¿,-г]. Ось £ расположена перпендикулярно прямолинейному пазу, а ось т] расположена параллельно этому пазу и отстоит

от него на расстоянии Ъ.

Движение диска (вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости диска) задано углом поворота ср = cp{t), определяющим положение подвижной оси £ относительно

неподвижной оси*. Координатные оси у-х образуют систему неподвижных координатных осей.

Движение точки А/ является сложным и состоит из переносного движения, которое точка совершает вместе с подвижной системой координат £-77, и относительного движения по прямолинейному пазу по закону rj - 77(f) .

* • * • • , ,

Плоскость хОу представим как плоскость комплексных чисел 2, причём ось Ох является действительной осью (точки этой оси представляют действительные части комплексных чисел). Ось Оу

является мнимой осью (точки этой оси представляют мнимые части комплексных чисел). Каждой точке плоскости комплексных чисел z отвечает определённое комплексное число

z = X + у • / „ (1)

где х - координата точки на действительной оси; у - координата точки на мнимой оси; i = -мнимая единица.

Имеем следующие значения координат точки Мна действительной и мнимой осях:

хм = b • COS (р - 7] • sin (р , ум - b • sin (р + 77 • COS (р .

Если следовать структуре (1), то комплексное число Z, отвечающее точке Мна плоскости комплексных чисел, примет вид

Z — (¿-COS^-77-sin^) +(6-sin^ + 77-COS#>)-/.

Сгруппируем слагаемые, имеющие одинаковые тригонометрические функции:

z- (b + i-т])• cos<p + (-77 + i• b)■ sin(p .

Если учесть, что (-77 + / • b) = (b + / • 77) • /, то

© Манжосов В. К., Новикова О. Д., Овсянникова Н. Б., 2010

Рис. 1. Схема движения

z = (b + i-T])- cos (p + (b + i -т])ч -sin (p = (b + i •?])-(cos (p +i-s\n(p). (2)

В более компактной форме, используя формулу Эйлера [3]

(cos<p + i-s\n<p) = (3)

комплексное число г, отвечающее точке М па плоскости комплексных чисел, примет вид

z= (ft + 1-7)- (4)

Обратим внимание, что множитель

(b + i-rj) = z* (5)

соответствует вектору г* на комплексной плоскости, связанной с подвижной системой координатных осей , где ось £ является действительной осыо, а ось т] - мнимой осыо.

Так как комплексное число геометрически соответствует векгору на комплексной плоскости, то, определяя производную функции (4) по времени, можем найти новую функцию, характеризующую скорость точки М:

(1(р

где — -со. Ж

Представим (6) в виде

— = [-т]-со + (Ь-со + ?7) •/] • е'Л (7)

(11

По аналогии с равенством (5) можем констатировать, что множитель

[-7] ■ со + (Ь ■ со + ц) • I] = * (8)

соответствует вектору скорости * на комплексной плоскости, связанной с подвижной системой

ч/ И И V/ и о

ПИТ ТЛТ^1 I? Т\/ * >— VI Т> П /Л /\/\т г?/Т/ЧПППЛ »»^ ■ * /ч /ч» »<% л ^ * Г* Т Т/4.

1\иирдмпа1по1л ц, — 4 , I ич/О лолл^11/Я дыН/Юшитпип и^вш, а // - ммимип и^ыи.

Действительная часть (-т]-со) комплексного числа г,* представляет проекцию (г*)4 вектора

скорости на действительную ось а мнимая часть {Ъ-со + т)) представляет проекцию (г,*) вектора скорости на мнимую ось г]:

(*,*),=(-?•<»), (г, *), = (А • ©+7). (9)

Абсолютное значение скорости точки М определится как

"V + V = Ь-вЯ+У-а + т!)2 . (10)

Перейдём к определению ускорения точки М Так как комплексное число геометрически соответствует вектору на комплексной плоскости, то, определяя вторую производную функции (4) или первую производную функции (7) по времени, можем найти новую функцию, характеризующую ускорение точки М:

+ (11)

да Ш

Так как

(I

—[-т]-со+(Ь-со+г1)ч]-е'р = [-г/-со-т]-а) + (Ь-(Ь+т])-1]-е"р + [-7]-со-1-(Ь-о)+г/)]-со-е''<р,

Ж

то

СI 2 2 ->

—-= [-77 • со - 7] • со+(о • со+г\) • /] • е'* + [~т]'СО •/' — (Ьсо +г/-й))]-е'*. с!С

Данное равенство после группировки действительных и мнимых частей можно представить в виде

с12г

— = [(~2?]-а)-?]-со-Ь-со2) + {Ь-сЬ-т]-со2+7])-1]-е'Г (12)

Ж

По аналогии с равенством (5) можем констатировать, что множитель

[(—277 • СО -7] • со - Ь • со2) + (Ь ■ СО -7] • СО1 +7])-г\ - 2г * (13)

соответствует вектору ускорения гг * на комплексной плоскости, связанной с подвижной системой координатных осей %-т], где ось £ является действительной осью, а ось /; - мнимой осыо.

Действительная часть [-(2r/-co + r¡ • cb + b- со1)] комплексного числа z2 * представляет проекцию {z2*)r вектора ускорения на действительную ось а мнимая часть (b-oj-rjco2 +rj) представляет проекцию (z2*)7 вектора ускорения на мнимую ось 77 :

(z2*h = -(2rj>a) + T]-cb + b-ú)2), (z2*)„ = (¿.¿>-17.^ + 7). (14)

Абсолютное значение ускорения точки Мопределится как

** = Н*г*\2 = +2?¡ • co + rj-á))2 +(b-<b-7j-со2 + //)2 . (15)

Способ описания и анализа сложного движения точки, основанный на использовании комплекс-* *

ных чисел и функций комплексного переменного, является более компактным.

Компактность достигается тем, что комплексное число z, отвечающее точке М на плоскости комплексных чисел, для рассматриваемой задачи принимает вид

2= 2*- е'\

где множитель z* = (b + i-r/) соответствует вектору z* на комплексной плоскости, связанной с подвижной системой координатных осей £-77, здесь ось £ является действительной осью, а ось r¡ -мнимой осью.

Дифференцирование функций комплексного переменного, соответствующих тем или иным векторам, производится по обычным правилам дифференцирования скалярных функций.

Выделение в комплексных числах, соответствующих векторам скорости или ускорения, действительной и мнимой частей, позволяет сразу определять проекции этих векторов на оси координат (в рассматриваемой задаче на подвижные оси координат £ - Т]), модули скоростей и ускорений точки.

Важное значение при анализе механизмов приобретает подход, основанный на компьютерном моделировании движения механизма с анимацией процесса движения на мониторе персонального компьютера [1,2].

Данный подход реализован при разработке программного продукта [1] для моделирования сложного движения точки механизма, схема которого представлена на рис. 2.

_ А

Движение звена 1 механизма задано уравнением движения вида (ре = A}t + В Г, где A¿, В1 - постоянные, задаваемые при формировании исходных данных; / - время. Звено 1 имеет паз, вдоль которого перемещается точка М. Относительное движение точки М задано уравнением вида

ОМ = А(\ + sin 2nt),

где А - амплитуда колебаний точки М.

В правом верхнем углу поля экрана монитора персонального компьютера расположена панель управления с окнами для ввода исходных данных: А, Ар В;. Здесь же на панели размещены гнёзда,-

обозначив которые с помощью курсора, пользователь определяет необходимость вывода на экран информации о скорости или ускорении (кариолисове и абсолютном) точки М.

На панели управления внизу расположены три кнопки управления процессом моделирования. Обозначив курсором левую кнопку (кнопку «Старт»), пользователь осуществляет запуск процесса моделирования. На экране монитора реализуется анимационный процесс движения механизма, воспроизводится траектория движения точки М (рис. 3).

Рис. 2. Схема механизма Рис. 3. Воспроизведение на экране монитора траектории движения точки М,

диаграммы изменения скорости точки М во времени

Траектория точки М ^

Тоаектоиия точки ЫуУ

Траектория точки М

Траектооия точки М

В 1

Рис. 4. Воспроизведение на экране монитора траектории движения точки М с иллюстрацией направления абсолютной скорости точки М, абсолютного и кариолисова ускорения точки М при различных

положениях механизма

Под панелью управления моделируется работа компьютерного осциллографа, который воспроизводит осциллограммы скорости и ускорения точки М.

В левом верхнем углу экрана монитора в режиме реального времени воспроизводятся числовые значения параметров движения: время, угол поворота звена 1, скорость и ускорение точки М.

Если возникает необходимость фиксации параметров движения при интересующем пользователя положении звена 1, курсором на панели управления обозначается кнопка «Пауза». Движение механизма прекращается, фиксируется траектория движения,'цифровые значения параметров движения, время.

Проанализировав результаты, пользователь может продолжить процедуру моделирования, воспользовавшись вновь кнопкой «Старт».

На рис. 4, а и б показаны воспроизведенные и зафиксированные на экране монитора траектории движения точки М с иллюстрацией направления относительной Уг, переносной Ус и абсолютной скорости V точки М при различных положениях звена 1. Отметим, что в режиме анимации движения вектор скорости непрерывно меняет свое направление. Вектор абсолютной скорости всегда направлен по касательной к траектории движения.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

На рис. 4, в и г показаны воспроизведенные и зафиксированные на экране монитора траектории движения точки М с иллюстрацией направления абсолютного а и кариолисового ак ускорений точки М при различных положениях звена 1. В режиме анимации движения вектора абсолютного а и кариолисового ак ускорений точки М непрерывно меняют своё направления. Отметим, что кариолисово ускорение ак всегда перпендикулярно вектору относительной скорости точки М, совпадающему с направлением паза звена 1.

Моделирование сложного движения точки в анимационном режиме обладает большой наглядностью, в результате чего может быть достигнут существенный эффект в изучении движения механизма.

Возможность моделировать процесс движения при новых исходных данных позволяет проанализировать влияние параметров системы на это движение. Возможность фиксации анимационного режима движения позволяет более детально разобраться с особенностями сложного движения точки.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Зайцев, В. А. Моделирование и анимация сложного движения точки с представлением кинематических диаграмм движения на мониторе компьютера / В. А. Зайцев, В. К. Манжосов, О. Д. Новикова // Молодёжь России - науке будущего. Труды третьей Всероссийской заочной молодёжной научно-технической конференции. - Ульяновск, 2005. - С. 201-203.

2. Манжосов, В. К. Моделирование движения кулисиого механизма с представлением кинематических диаграмм движения на мониторе компьютера / В. К. Манжосов, О. Д. Новикова, С. А. Румянцев // Молодёжь России - науке будущего. Труды третьей Всероссийской заочной молодёжной научно-технической конференции. - Ульяновск, 2005. - С. 204-206.

3. Привалов, И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И. И. Привалов. -М. : Наука, 1977.-444 с.

Манжосов Владимир Кузьмич} доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики и синтеза механизмов, продольного удара в стержневых системах.

Новикова Ольга Дмитриевна, доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи в области динамики и синтеза механизмов, моделирования механизмов. — :

Овсянникова Наталья Борисовна, доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета.

УДК 629Л 13.075

Ю. Н. САНКИН, С. В. РОМАШКОВ

ВЛИЯНИЕ КВАЛИФИКАЦИИ ВОДИТЕЛЯ НА КРИТИЧЕСКУЮ СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ ПРИ РАЗЛИЧНОЙ ЗАГРУЗКИ ПАССАЖИРАМИ

Динамические характеристики автомобиля во многом зависят от количества пассажиров в салоне, что приводит к сню/сению его критической скорости. Существенную роль играет квалификация водителя [1, 2, 3, 4].

Движение на скоростях близких к критической или превышающих её снижает управляемость автомобиля и повышает риск совершения аварии, Поэтому движение на таких скоростях с целью соблюдения безопасности должно быть исключено [5, 6, 7]. Однако информация о подобных обстоятельствах в литературе по динамике автомобиля отражена недостаточно, несмотря на то, что повышение безопасности движения является весьма актуальной задачей.

Информация данной статьи подтверждена опытным путём лишь частично, хотя известно, что у каждого автомобиля есть скорости, движение на которых является опасным, при этом желательно, чтоб такие скорости были исключены из практики вождения автомобилем, а предельные скорости вождения транспортным средством при его проектировании должны быть согласованы с его динамическими характеристиками.

Ключевые слова: курсовая устойчивость, динамические характеристики водителя, влияние пассажиров, критическая скорость, безопасность движения.

На рис. 1 представлена расчётная схема автомобиля с учётом пассажиров.

© Санкин Ю. Н., Ромашков С. В., 2010

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.